数学人教A版（2019）必修第二册7.1.1数系的扩充和复数的概念 课件（共26张ppt）

(共26张PPT)
数系的扩充和复数的概念
数的概念是从实践中产生和发展起来的。随着生产和科学的发展，数的概念也不断的被扩大充实。
数集的扩充，
一方面是为了满足社会生产实践的需要.
N
Z
Q
R
自然数
整数
有理数
实数
负整数
分数
无理数
今天真顺，可是我现在
共捕了多少头野猪呢？
有办法了，用结绳来计数！
我真是天才！
该如何记出入账呢
毕达哥拉斯（约公元前560—480年）
1
1

x2=2
《九章算术》 (东汉初年) :
第二章“粟米”：粮食的按比例折换；
第三章“衰分”：比例分配问题；
第六章“均输”：合理摊派赋税；
第八章 “方程”：解一次方程组.
无论是负数、分数的确切定义和科学表示，还是它们的运算，最早建立起来的都是中国，比欧洲早1400年.
数的概念是从实践中产生和发展起来的。随着生产和科学的发展，数的概念也不断的被扩大充实。
数集的扩充，
一方面是为了满足社会生产实践的需要.
另一方面是为了解决数学内部的矛盾.
N
Z
Q
R
自然数
整数
有理数
实数
从方程角度看数系扩充：
负整数
分数
无理数
数系每次扩充的基本原则：
第一、增加新元素；
第二、加法与乘法满足交换律、结合律及分配律均得到保留；
第三、新数系能解决旧数系中的矛盾.
自然数
整数
有理数
实数
从方程角度看数系扩充：
负整数
分数
无理数
引入新数
？
数系每次扩充的基本原则：
第一、增加新元素；
第二、加法与乘法满足交换律、结合律及分配律均得到保留；
第三、新数系能解决旧数系中的矛盾.
负数开平方在R中无意义
负数不能开平方的根本原因是什么？
－1不能开平方
引入什么新数能使负数开平方有意义？
在原有的R中不存在一个数的平方等于-1
引入一个新数，使它的平方等于-1
1777年，瑞士数学家欧拉首次使用表示－1的平方根，它取自imaginary（想象的，假想的）一词的词头.并把它称为虚数单位.
规定
在新的数集中，
把新引进的数i添加到实数集中，我们希望数i和实数之间仍然能 像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律结合律以及乘法对加法满足分配律，那么实数系经过扩充后得到的新数系由哪些数组成呢？
思考：
实数
i
2
有理数Q
复数的概念
定义：形如 （， ）的数称为复数.
其中叫做虚数单位.
.
全体复数组成的集合称为复数集，记作 .
用描述法表示为：
对任意实数 ，有 ，所以 .
复数通常用字母表示，即 这一表示形式叫做复数的代数形式，其中叫做复数的实部叫做复数的虚部.
虚数
单位
实部
虚部
例1 说出下列复数的实部和虚部：
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6） .
解：（1） 的实部是 ，虚部是 ；
（2） 的实部是 ，虚部是 ；
（3） ，所以 的实部是 ，虚部是 ；
例1 说出下列复数的实部和虚部：
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6） .
解：（4） 的实部是 ，虚部是 ；
（5） 的实部是 ，虚部是 ；
（6） 的实部是 ，虚部是 .
例1 说出下列复数的实部和虚部：
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6） .
小结：复数 （ ， ）的实部是 ，虚部是 .
1.复数 （ ， ）的分类：
实数
纯虚数
虚数
(b=0)
(b 0)
(a=0)
复数
(a≠0)
非纯虚数
复数
虚数
纯虚数
实数
用韦恩图表示为：
例2 说出下列复数中的虚数和纯虚数：
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6） .
解：虚数有 ， ，， ；
其中纯虚数有 ， .
（1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数.
例3 分别求实数 的值，使得复数
解：（1）当 ，即 时，复数 是实数；
（2）当 ，即 时，复数 是虚数；
（3）当 且 ，即 时，复数 是纯虚数.
2.两个复数的相等关系
已知复数 （ ， ）， （ ， ），则
且 .
特别地，
注意：两个实数可以比较大小；但是对于两个复数，如果不全是实数，它们之间不能比较大小，只能说它们相等或不相等.
（1） ；
（2） ；
（3） .
例4 分别求满足下列关系的实数 与 的值.
（1） ；
（2） ；
（3） .
例4 分别求满足下列关系的实数 与 的值.
解：（1）根据复数相等的定义，得
解得 ， .
（1） ；
（2） ；
（3） .
例4 分别求满足下列关系的实数 与 的值.
解：（2）根据复数相等的定义，得
解得 ， .
（1） ；
（2） ；
（3） .
例4 分别求满足下列关系的实数 与 的值.
解：（3）根据复数相等的定义，得
解得 ， .
自然数
整数
有理数
实数
负整数
分数
无理数
引入新数
？
复数
虚数
小结
小结
2. 复数的概念
形如 ( , )的数称为复数.
（1）其中 称为虚数单位，满足 ；
（2） 称为 的实部， 称为 的虚部；
（3）复数的分类：实数，虚数，纯虚数；
（4）复数的相等关系.
7.1.1数系的扩充与复数的概念
一、数系扩充过程
自然数集N
整数集Z
有理数集Q
实数集R
复数集
负数
分数
无理数
虚数
二、问题情境
方程在上无解。
三、探究新知
1.虚数单位：
2.复数的概念
(1)定义：形如的数叫作复数。
(2)代数形式：
实部
虚部
(3)复数集
3.复数的分类
实数
纯虚数
(b=0)
(b 0)
(a=0)
( a,b R )
z=a +bi
(a≠0)
非纯虚数
虚数
4.复数的相等关系
四、学以致用
五、归纳小结
a+bi = c+di
(a,b,c,d∈R)

a=c 且 b=d