课件33张PPT。2．1 椭 圆 1．知识与技能
掌握椭圆的定义，会推导椭圆的标准方程．
2．过程与方法
会用待定系数法求椭圆的标准方程．本节重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式．
本节难点：椭圆标准方程的建立和推导．
1．对于椭圆定义的理解，要抓住椭圆上的点所要满足的条件，即椭圆上点的几何性质，可以对比圆的定义来理解．
2．在理解椭圆的定义时，要注意到对“常数”的限定，即常数要大于|F1F2|.这样就能避免忽略两种特殊情况，即：当常数等于|F1F2|时轨迹是一条线段；当常数小于|F1F2|时点不存在．1．平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于定长(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做 ．这两个定点F1、F2叫做椭圆的 ，两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的 ．
2．在椭圆定义中，条件2a>|F1F2|不应忽视，若2a<|F1F2|，则这样的点不存在；若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是 ．椭圆焦点焦距线段
[例1] 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点坐标分别是(－3,0)、(3,0)，椭圆经过点(5,0)；
(2)两个焦点坐标分别是(0,5)、(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26.[例2] 根据下列条件，求椭圆的标准方程．
(1)坐标轴为对称轴，并且经过两点A(0,2)，B.
(2)经过点(2，－3)且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同的焦点．[点评] 1.求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为 ＝1(m>0，n>0)．再根据条件确定m、n的值．
2．当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0)．将点的坐标代入解方程组求得系数．一、选择题
1．(2009·陕西文，7)“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的
( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] C2．已知椭圆 ＝1上一点P到其一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为
( )
A．2 B．3 C．5 D．7
[答案] D
[解析] 设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，由椭圆定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，点P到另一个焦点的距离为7.[答案] A 4．椭圆 ＝1的焦点坐标是
( )
A．(±5,0) B．(0，±5)
C．(0，±12) D．(±12,0)
[答案] C
[解析] ∵椭圆方程为 ＝1，
∴椭圆焦点在y轴上，
又∵a＝13，b＝5，∴c＝12，
∴椭圆焦点坐标为(0，±12)．6．椭圆 ＝1的焦距是2，则m的值为________．
[答案] 5或3
[解析] 由题意得2c＝2，c＝1，当焦点为x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4＝1，∴m＝5，
当焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，c2＝4－m＝1，
∴m＝3.课件30张PPT。椭圆第二节1．知识与技能
掌握椭圆的定义，会推导椭圆的标准方程．
2．过程与方法
会用待定系数法求椭圆的标准方程．本节重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式．
本节难点：椭圆标准方程的建立和推导．
1．对于椭圆定义的理解，要抓住椭圆上的点所要满足的条件，即椭圆上点的几何性质，可以对比圆的定义来理解．
2．在理解椭圆的定义时，要注意到对“常数”的限定，即常数要大于|F1F2|.这样就能避免忽略两种特殊情况，即：当常数等于|F1F2|时轨迹是一条线段；当常数小于|F1F2|时点不存在．1．平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于定长(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做 ．这两个定点F1、F2叫做椭圆的 ，两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的 ．
2．在椭圆定义中，条件2a>|F1F2|不应忽视，若2a<|F1F2|，则这样的点不存在；若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是 ．椭圆焦点焦距线段
[例3] 已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．
[分析] 根据两圆内切的特点，得出|PA|＋|PB|＝10，由于A点的坐标为(－3,0)，B点的坐标为(3,0)，所以点P的轨迹方程是以A、B为焦点的椭圆的标准方程，这就把求点P的轨迹方程的问题转化成了求a2、b2的问题．[解析] 设圆P的半径为r，又圆P过点B，∴|PB|＝r，
又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10.
∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，
即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)．
∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆．
∴2a＝10,2c＝|AB|＝6，
∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.
[点评] 在求动点的轨迹方程时，要对动点的运动规律仔细分析，去伪存真，当发现有动点到两定点的距离之和为定值时，要马上和椭圆的定义进行联系．若符合椭圆的定义，即可直接写出对应的椭圆方程，这种方法也叫定义法求轨迹方程．
已知F1、F2是两点，|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则点M的轨迹是____________．
动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则点M的轨迹是__________．
[答案] 以F1、F2为焦点，焦距为8的椭圆 线段F1F2[解析] 因为|F1F2|＝8且动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10>8＝|F1F2|，
由椭圆定义知，动点M的轨迹是以F1、F2为焦点，焦距为8的椭圆．其方程为
因为|MF1|＋|MF2|＝8＝|F1F2|，所以动点M的轨迹是线段F1F2.
[例4] 如图所示，已知点P是椭圆 ＝1上的点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．
已知椭圆 ＝1上一点P，F1、F2为椭圆的焦点，若∠F1PF2＝θ，求△F1PF2的面积．[解析] 由椭圆的定义，有
|PF1|＋|PF2|＝2a，而在△F1PF2中，由余弦定理有
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosθ
＝|F1F2|2＝4c2，
∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cosθ＝4c2，
即4a2－4c2＝2|PF1|·|PF2|(1＋cosθ)[点评] 椭圆上一点P与两焦点F1、F2构成的三角形PF1F2我们通常称其为焦点三角形，在这个三角形中，既可运用到椭圆定义，又能用到正、余弦定理．上述解答过程中还运用了整体思想直接求出|PF1|·|PF2|，没有单独求|PF1|、|PF2|，以减少运算量．[例5] 设P为椭圆 ＝1上任意一点，F1为它的一个焦点，求|PF1|的最大值和最小值．
[解析] 设F2为椭圆的另一焦点，则由椭圆定义得：|PF1|＋|PF2|＝2a，
∵||PF1|－|PF2||≤2c，
∴－2c≤|PF1|－|PF2|≤2c，
∴2a－2c≤2|PF1|≤2a＋2c，
即a－c≤|PF1|≤a＋c
∴|PF1|的最大值为a＋c，最小值为a－c.[点评] 椭圆上到某一焦点的最远点与最近点分别是长轴的两个端点，应掌握这一性质．
二、填空题
5．(2009·北京文，13)椭圆 ＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝______；∠F1PF2的大小为________．
[答案] 2 120°[辨析] 上述解法只注意了焦点在y轴上，而没有考虑到m2>0且(m－1)2>0，这是经常出现的一种错误，一定要避免．[辨析] 由a2＝(m－1)2及b2＝m2，应得a＝|m－1|及b＝|m|，m－1与m不一定是正值，上述解法误认为m－1与m是正值而导致错误．
已知椭圆的焦点F1、F2在x轴上，它与y轴的一个交点为P，且△PF1F2为正三角形，且焦点到椭圆上的点的最短距离为 ，则椭圆的方程为__________．课件39张PPT。1．知识与技能
掌握椭圆的几何性质，掌握标准方程中的a，b以及c，e的几何意义，a，b，c，e之间的相互关系．
2．过程与方法
能根据椭圆的方程讨论椭圆的几何性质
会用代数方法研究曲线的特殊几何性质，如：对称中心，对称轴，范围等．本节重点：利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质．
本节难点：椭圆的几何性质的实际应用．
1．根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一．本节就是根据椭圆的标准方程来研究它的几何性质．其性质可分为两类：一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长短轴长、焦距、离心率；一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点．2．根据椭圆几何性质解决实际问题时，关键是将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，用代数知识解决几何问题，体现了数形结合思想、函数与方程及等价转化的数学思想方法．1．椭圆的对称中心叫做椭圆的 ，所以椭圆是 对称图形．中心中心这四个点叫做椭圆的 ，线段A1A2叫做椭圆的 ，它的长等于 ；线段B1B2叫做椭圆的 ，它的长等于 .显然，椭圆的两个焦点在它的 上．
4．椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的 ．顶点长轴2a短轴2b长轴离心率
[例1] 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：①已知椭圆的方程；②研究椭圆的几何性质．解答本题可先把方程化成标准形式然后再写出性质．[点评] 解决这类问题关键是将所给方程正确地化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系求椭圆的几何性质．
已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝ ，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
[例2] 已知椭圆的长轴是短轴的3倍，且过点A(3,0)，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：①已知椭圆的几何性质；②求椭圆的标准方程．解答本题要把已知条件转化为有关a、b、c的关系式．[点评] 已知椭圆的几何性质，求其标准方程的方法步骤：(1)确定焦点所在的位置，以确定椭圆方程的形式，(2)确立关于a、b、c的关系方程(组)，求出参数a、b、c，(3)写出标准方程．
求适合下面条件的椭圆的标准方程．
(1)经过点P(－5,0)、Q(0，－3)．
(2)长轴的长为10，离心率等于[辨析] 上述解法没有讨论焦点的位置，而默认了椭圆的焦点在x轴上．[答案] D [答案] C [答案] A 二、填空题
5．椭圆25x2＋y2＝25的长轴长为________，短轴长为______，焦点坐标为________，离心率为________．课件30张PPT。1．知识与技能
掌握椭圆的几何性质，掌握标准方程中的a，b以及c，e的几何意义，a，b，c，e之间的相互关系．
2．过程与方法
能根据椭圆的方程讨论椭圆的几何性质
会用代数方法研究曲线的特殊几何性质，如：对称中心，对称轴，范围等．本节重点：利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质．
本节难点：椭圆的几何性质的实际应用．
1．根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一．本节就是根据椭圆的标准方程来研究它的几何性质．其性质可分为两类：一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长短轴长、焦距、离心率；一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点．2．根据椭圆几何性质解决实际问题时，关键是将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，用代数知识解决几何问题，体现了数形结合思想、函数与方程及等价转化的数学思想方法．1．通过对椭圆的范围、对称性、特殊点(顶点、焦点、中心)、准线、对称轴及其他特性的讨论从整体上把握曲线的形状、大小和位置，进而掌握椭圆的性质，学习过程中应注意，图形与方程对照、方程与性质对照，只有通过数形结合的方式才能牢固掌握椭圆的几何性质．
2．涉及直线与椭圆位置关系问题时，注意判别式及韦达定理的运用，特别是函数与方程思想在解题中的应用．3．利用待定系数法求椭圆标准方程一定要注意先“定型”，“再定量”，在焦点位置不确定时，要注意分类讨论．
4．椭圆上两个重要的三角形
(1)椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，周长为2(a＋c)．
(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成了一个直角三角形，称为椭圆的特征三角形，边长满足a2＝b2＋c2.
[例3] F1、F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，PF1⊥PQ且|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：①已知椭圆上两点与焦点连线的几何关系．②求椭圆的离心率．解答本题的关键是把已知条件化为a、b、c之间的关系．[点评] 所谓求椭圆的离心率e的值，即求 的值，所以，解答这类题目的主要思路是将已知条件转化为a、b、c之间的关系．如特征三角形中边边关系、椭圆的定义、c2＝a2－b2等关系都与离心率有直接联系，同时，a、b、c之间是平方关系，所以，在求e值时，也常先考查它的平方值．[答案] D
[例5] 已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最小，并求出最小值．[点评] 本题利用了数形结合的思想寻找解题思路，简化了运算过程，也可以设出P点坐标，利用点到直线的距离公式求出最小值．[点评] 本题应用三角形中两边之差小于第三边，两边之和大于第三边的思想，并结合椭圆定义求解.[点评] 本题根据椭圆定义及性质从不同角度应用了四种方法求椭圆离心率的范围，法一应用了基本不等式，法二构造一元二次方程，应用了方程思路，可谓奇思妙解，法三通过焦半径公式搭建起应用x范围的桥梁，法四应用了极端思想使问题迅速得解，由此可见，在椭圆中建立不等关系的途径或方法还是比较多的，平时解题时需要根据已知条件灵活选择方法，达到快速而又准确地解答题目的目的．[答案] A 课件24张PPT。1．知识与技能
记住双曲线的定义，会推导双曲线的标准方程．
2．过程与方法
会用待定系数法确定双曲线的方程
与椭圆的标准方程比较，加以区分．本节重点：双曲线的定义及其标准方程．
本节难点：双曲线标准方程的推导．
1．对于双曲线定义的理解，要抓住双曲线上的点所要满足的条件，即双曲线上点的几何性质，可以类比椭圆的定义来理解．
2．在理解双曲线的定义时，要注意到对“定值”的限定．即定值大于零且小于|F1F2|.这样就能避免忽略两种特殊情况，即：“当定值等于|F1F2|时，轨迹是两条射线；当定值大于|F1F2|时，点不存在．”3．类比椭圆标准方程的推导方法，建立适当坐标系，推导出双曲线的标准方程，但要注意在椭圆标准方程推导中，是令b2＝a2－c2，而在双曲线标准方程的推导过程中，是令b2＝c2－a2.1．当用双曲线的定义来求解双曲线的标准方程时，可直接求出a、b，写出对应的方程，而无须由距离公式写出推导过程．
2．利用待定系数法求双曲线的标准方程时，应先判断焦点所在位置，不能确定时应分类讨论．
3．已知双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题，往往利用正弦定理、余弦定理以及双曲线的定义列出关系式．
4．当利用双曲线的定义求解轨迹方程问题时，要注意应用数形结合的思想方法．5．利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤
(1)确定焦点位置：根据条件判定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两坐标轴都有可能．
(3)确立参数的关系式：根据已知条件列出关于a、b、c的方程组．
(4)解方程组：定形式，解上述方程组，得到参数a、b、c的值，代入所设方程即为所求．
[例2] 已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1与圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
[解析] 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的充要条件，得
|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|.
∵|MA|＝|MB|，
∴|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，∴|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2.
这表明动点M与两定点C2、C1的距离的差是常数2.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)．
这里a＝1，c＝3，则b2＝8，设点M的坐标为(x，y)，
则其轨迹方程为x2－ ＝1(x<0)．[点评] (1)本题是用定义法求动点的轨迹方程，当判断出动点的轨迹是双曲线的一支，且可求出a、b时，直接根据定义写出其标准方程，而无需用距离公式写出方程，再通过复杂的运算进行化简．
(2)由于动点M到两定点C2、C1的距离的差为常数，而不是差的绝对值为常数，因此，其轨迹只能是双曲线的一支．这一点要特别注意！
已知△ABC的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，使sinB－sinC＝ sinA.求点A的轨迹．[解析] 由双曲线的对称性，可设点P在第一象限，
由双曲线的方程，知a＝3，b＝4，∴c＝5.
由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a＝6.
上式两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋64＝100，
由余弦定理，得[点评] 在焦点三角形中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义等是经常使用的知识点．另外，还经常结合|PF1|－|PF2|＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1|·|PF2|的联系，请同学们多加注意．[解析] 设双曲线的左焦点为F1，右焦点为F2，如图所示，由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a.在△F1PF2中，由余弦定理，得[答案] C
[解析] c2＝a2＋b2＝m2＋12＋4－m2＝16，c＝4，
焦距2c＝8.[答案] m>2或－1记住双曲线的定义，会推导双曲线的标准方程．
2．过程与方法
会用待定系数法确定双曲线的方程
与椭圆的标准方程比较，加以区分．本节重点：双曲线的定义及其标准方程．
本节难点：双曲线标准方程的推导．
1．对于双曲线定义的理解，要抓住双曲线上的点所要满足的条件，即双曲线上点的几何性质，可以类比椭圆的定义来理解．
2．在理解双曲线的定义时，要注意到对“定值”的限定．即定值大于零且小于|F1F2|.这样就能避免忽略两种特殊情况，即：“当定值等于|F1F2|时，轨迹是两条射线；当定值大于|F1F2|时，点不存在．”3．类比椭圆标准方程的推导方法，建立适当坐标系，推导出双曲线的标准方程，但要注意在椭圆标准方程推导中，是令b2＝a2－c2，而在双曲线标准方程的推导过程中，是令b2＝c2－a2.1．在平面内到两个定点F1、F2距离之差的绝对值等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做 ．这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点之间的距离叫做双曲线的 ．
2．在双曲线的定义中，条件0<2a<|F1F2|不应忽视，若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是 ；若2a>|F1F2|则动点的轨迹是 ．
3．双曲线定义中应注意关键词“ ”，若去掉定义中“ ”三个字，动点轨迹只能是 ．双曲线焦点焦距两条射线不存在绝对值绝对值双曲线一支[点评] 求双曲线的标准方程一般应先判定焦点所在的坐标轴，其次再确定a、b的值．若已知双曲线经过两个定点，求双曲线方程，设所求双曲线方程为Ax2－By2＝1(AB<0)，列出关于A、B的二元一次方程组，求出A、B既避免了讨论又降低了未知数的次数，大大减少所需的运算，体现了由繁至简的化归思想．[例5] 已知双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，求k的值．一、选择题
1．已知两定点F1(－5,0)、F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则当a＝3和5时，P点的轨迹为
( )
A．双曲线和一直线
B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条射线
D．双曲线的一支和一条直线
[答案] C[解析] 当a＝3时，|PF1|－|PF2|＝2a＝6<|F1F2|＝10，由双曲线定义知，P点轨迹是双曲线的右支．
当a＝5时，|PF1|－|PF2|＝2a＝10＝|F1F2|，
∴P点轨迹是以F2为始点的一条射线．2．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程的曲线是
( )
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在y轴上的双曲线
[答案] D[答案] A
[解析] ∵a2＝20，b2＝5，c2＝25，c＝5，
∴焦距2c＝10.三、解答题
7．已知双曲线的一个焦点坐标为F1(0，－13)，双曲线上一点P到两焦点距离之差的绝对值为24，求双曲线标准方程．课件25张PPT。
1．知识与技能
类比椭圆的性质，能根据双曲线的标准方程，讨论它的几何性质．
2．过程与方法
能运用双曲线的性质解决一些简单的问题
与椭圆的性质比较，归纳并加以区别记忆．本节重点：双曲线的几何性质，双曲线各元素之间的相互依存关系，特别是双曲线的渐近线性质．
本节难点：有关双曲线的离心率、渐近线的问题，数形结合思想、方程思想、等价转化思想的运用．
1．对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线的特有性质，利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．2．双曲线上两个重要的三角形
(1)实轴端点、虚轴端点及对称中心构成一个直角三角形，边长满足c2＝a2＋b2，称为双曲线的特征三角形．(2)焦点F、过F作渐近线的垂线，垂足为D，则|OF|＝c，|FD|＝b，|OD|＝a，△OFD亦是直角三角形，满足|OF|2＝|FD|2＋|OD|2，也称为双曲线的特征三角形．3．双曲线中应注意的几个问题：
(1)双曲线是两支曲线，而椭圆是一条封闭的曲线；
(2)双曲线的两条渐近线是区别于其他圆锥曲线所特有的；
(3)双曲线只有两个顶点，离心率e>1；
(5)注意双曲线中a、b、c、e的等量关系与椭圆中a、b、c、e的不同．[点评] 本题是双曲线与平面向量的综合题，首先通过建立坐标系设出双曲线方程，由题设条件得到λ与离心率e的关系式，最后借助于λ的范围来建立离心率e的不等式求解．[点评] 根据双曲线的定义用a来表示出|PF1|和|PF2|，利用两点之间线段最短建立|PF2|＋|PF1|≥|F1F2|的不等关系式，解不等式求解，注意等号成立的条件，还要注意隐含条件“e>1”．[点评] 面对较复杂的式子不要急于化简，要先观察特点，从特点入手进行整体化简；本题中三式变成两式，又由两式变成一式完全是从整体出发的，充分体现了整体运算的好处．[点评] 本题借助于两个曲线的“整体方程”来处理问题，显然，这样避免了将直线方程分别为双曲线方程及渐近线方程联立的复杂运算．求解过程简练易懂．课件40张PPT。
1．知识与技能
类比椭圆的性质，能根据双曲线的标准方程，讨论它的几何性质．
2．过程与方法
能运用双曲线的性质解决一些简单的问题
与椭圆的性质比较，归纳并加以区别记忆．本节重点：双曲线的几何性质，双曲线各元素之间的相互依存关系，特别是双曲线的渐近线性质．
本节难点：有关双曲线的离心率、渐近线的问题，数形结合思想、方程思想、等价转化思想的运用．
1．对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线的特有性质，利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．2．要明确双曲线的渐近线是哪两条直线，过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线．
3．要理解“渐近”两字的含义，当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的．5．根据双曲线的渐近线方程求双曲线方程的方法：如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程为A2x2－B2y2＝m(m≠0)，这里m是待定系数，其值可由题目中的已知条件确定．
6．双曲线的几何性质与椭圆的几何性质有不少相同或类似之处，要注意它们的区别与联系，不能混淆，列表如下：1．双曲线是以x轴、y轴为对称轴的 图形；也是以原点为对称中心的 图形，这个对称中心叫做 ．
2．双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点，双曲线 ＝1(a>0，b>0)的顶点是 ，这两个顶点之间的线段叫做双曲线的 ，它的长等于 .同时在另一条对称轴上作点B1(0，－b)，B2(0，b)，线段B1B2叫做双曲线的 ，它的长等于 ，a、b分别是双曲线的 和 ．轴对称中心对称双曲线的中心(±a,0)实轴2a虚轴2b实半轴长虚半轴长4．双曲线的半焦距c与实半轴a的比叫做双曲线的 ，其范围是 ．离心率(1，＋∞)
[例1] 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．
[分析] 要将双曲线方程化成标准方程，然后由各个所求量的定义作答．作草图如图：[点评] (1)必须对λ进行讨论；(2)当λ<0时，要将方程化为标准形式，否则容易导致错误.[辨析] 错因在于忽视了4－k2＝0，即l与双曲线的渐近线平行时，l与双曲线只有一个交点也符合题意．另外没有考虑直线l斜率不存在的情况．[答案] A[答案] C[答案] A[答案] C二、填空题
5．双曲线9x2＋144＝16y2的虚轴长为________，焦点坐标为________，渐近线方程是__________．6．双曲线中a、b、c的长成等差数列，则e＝________.三、解答题
7．求一条渐近线方程是3x＋4y＝0，一个焦点是(4,0)的双曲线标准方程．
[解析] ∵双曲线的一条渐近线方程为3x＋4y＝0，课件43张PPT。 2．3 抛 物 线
1．知识与技能
知道抛物线的定义，能推导抛物线的标准方程．
2．过程与方法
能根据条件，求出抛物线的标准方程．
3．情感态度与价值观
与椭圆、双曲线的标准方程比较，加深理解．
本节重点：抛物线的定义及标准方程．
本节难点：建立标准方程时坐标系的选取．
1．对抛物线的认识
(1)抛物线不是双曲线的一支，当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线接近于与其对称轴平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，双曲线接近于与它的渐近线平行．注意：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象一定是抛物线．但是，抛物线对应的方程不一定是二次函数，如x＝y2是抛物线，但不是函数．2．对抛物线定义的理解应注意定点不在定直线上，否则动点的轨迹是一条直线．
3．由抛物线的定义推导出它的标准方程时，要考虑怎样选择坐标系．由定义可知直线KF是曲线的对称轴，所以把KF作为x轴可以使方程不出现y的一次项．因为抛物线KF的中点适合条件，所以它在抛物线上，因而以KF的中点为原点，就不会出现常数项，这样建立坐标系，得出的方程形式比较简单．1． 叫做抛物线．点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 ，焦点到准线的距离(定长p)叫做抛物线的 ．平面内到定点F的距离等于到定直线l(定点不在定直线上)的距离的点的轨迹焦点准线焦准距3．过抛物线焦点的直线与抛物线相交，被抛物线所截得的线段，称为抛物线的 ．
4．通过抛物线的焦点作垂直于坐标轴而交抛物线于A、B两点的线段，称为抛物线的通径，通径|AB|的长等于 .焦点弦2p
[例1] 求满足下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点(－3,2)；
(2)焦点在直线x－2y－4＝0上；
(3)过抛物线y2＝2mx的焦点F作x轴的垂线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝6.
已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．[点评] 解法二利用抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，既快捷又方便，要善于转化.
[例2] 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线焦点．
(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．此时，由抛物线定义知：
|P1Q|＝|P1F|.
那么|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|
＝|BQ|＝3＋1＝4.
即最小值为4.[点评] 本题中的两个问题有一个共性，都是利用抛物线的定义，即抛物线的点到准线的距离等于该点到焦点的距离，从而构造出“两点间线段最短”或“点到直线垂线段最短”使问题获解．[答案] C
[解析] 如下图．[点评] 方法一分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，同学们容易忽略斜率不存在的情形，应引起重视；方法二对直线方程的设法避免了直线的斜率不存在这一情况，解答更为简洁，在学习过程中应深刻体会．
斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长．
[解析] 如图，由抛物线的标准方程可知，焦点F(1,0)，准线方程x＝－1.由题设，直线AB的方程为：y＝x－1.
代入抛物线方程y2＝4x，整理得：x2－6x＋1＝0.
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义可知，|AF|等于点A到准线x＝－1的距离|AA′|，
即|AF|＝|AA′|＝x1＋1，同理|BF|＝x2＋1，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.
一、选择题
1．抛物线y2＝20x的焦点坐标为 ( )
A．(20,0) B．(10,0)
C．(5,0) D．(0,5)
[答案] C
2．平面内到定点F的距离等于到定直线l的距离的点的轨迹是 ( )
A．抛物线 B．直线
C．抛物线或直线 D．不存在
[答案] C
[解析] 当F∈l上时，是直线，当F?l上时，是抛物线．3．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，又过点(－2,3)的抛物线方程是 ( )[答案] D
[解析] ∵点(－2,3)在第二象限，
∴设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝2p′y(p′>0)，
又点(－2,3)在抛物线上，4．已知抛物线的准线方程为x＝－7，则抛物线的标准方程为 ( )
A．x2＝－28y B．y2＝28x
C．y2＝－28x D．x2＝28y
[答案] B二、填空题
5．抛物线x＝ay2的准线方程为__________． 6．在抛物线y2＝12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________．课件32张PPT。
1．知识与技能
能根据抛物线的方程推导它的几何性质．
2．过程与方法
能应用抛物线的性质解决有关问题
归纳，对比四种方程表示的抛物线几何性质的异同．本节重点：抛物线的几何性质．
本节难点：抛物线几何性质的运用．
1．抛物线与椭圆、双曲线的重要区别是：只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线，没有中心和渐近线．
2．不能把抛物线看作是双曲线的一支．虽然两者都是沿开口方向越来越远离对称轴，但抛物线却越来越接近于对称轴的平行线．
3．为了简化解题过程，有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标，有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论． 4．在抛物线的几何性质中，应用最广泛的是范围、对称性、顶点坐标，在解题时，应先注意开口方向、焦点位置，选准标准形式，然后运用条件求解．
5．要注意运用数形结合思想，根据抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化．
6．在求解直线与抛物线的位置关系的问题时，要注意运用函数与方程思想，将位置关系问题转化为方程根的问题．1．范围 因为p>0，由方程y2＝2px(p>0)可知，这条抛物线上任意一点M的坐标(x，y)满足等式．所以这条抛物线在y轴的 侧；当x的值增大时，|y|也 ，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，它开口 ．
2．对称性 以－y代y，方程y2＝2px(p>0)不变，因此这条抛物线是以x轴为对称轴的轴对称图形，抛物线的对称轴叫做抛物线的 ．
3．顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的 发 ．在方程y2＝2px(p>0)中，当y＝0时，x＝0，因此这条抛物线的顶点就是 ．右增大越开阔轴顶点坐标原点4．离心率 抛物线上的点与焦点和准线的距离的比，叫做抛物线的 ，用e表示，按照抛物线的定义，e＝ .离心率1
[例2] 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．
[解析] 如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且它们坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，则y＝2px1，y＝2px2，[点评] 本题利用了抛物线与正三角形有公共对称轴这一性质，但往往会直观上承认而忽略了它的证明．
[例3] 求过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦长的最小值．解法二：如图所示，设焦点弦AB的中点为E，分别过A，E，B作准线l的垂线，垂足为D，H，C，由抛物线定义知|AD|＝|AF|，|BC|＝|BF|，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AD|＋|BC|＝2|EH|.
由图可知|HE|≥|GF|，当且仅当AB与x轴垂直时，|HE|＝|GF|，即|AB| min＝2|GF|＝2p.[点评] 解法一运用了弦长公式；解法二运用了抛物线的几何意义，由此题我们可以得出一个结论：过抛物线焦点的所有弦中，通径最短(当过焦点的弦垂直于x轴时，此弦为抛物线的通径)，但值得注意的是，若弦长小于通径，则此弦不可能过焦点．
抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．(2)在抛物线上求一点P，使P到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．[分析] 由题目可获取以下主要信息：①已知抛物线的标准方程．②求抛物线上的一点到其他元素的距离的最值，解答本题时一是可找到表示最值的目标函数；二是可分析最值对应的数学元素的意义．[点评] 有关抛物线的最值问题，主要有两种解决思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离的转化，数形结合，以几何意义解决之，二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，获得有关距离的含变量的代数关系式，以目标函数最值的求法解决之．[答案] C[答案] B3．顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线，过点(－1,2)，则它的方程是 ( )
A．y＝2x2或y2＝－4x
B．y2＝－4x或x2＝2y
C．x2＝－ y
D．y2＝－4x
[答案] A
[解析] ∵抛物线的顶点在原点，坐标轴为对称轴，
∴抛物线的方程为标准形式．当抛物线的焦点在x轴上时，
∵抛物线过点(－1,2)，
∴设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)．
∴22＝－2p(－1)．∴p＝2.
∴抛物线的方程为y2＝－4x.
当抛物线的焦点在y轴上时，
∵抛物线过点(－1,2)，
∴设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)．4．过抛物线y2＝8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为 ( )
A．8 B．16
C．32 D．61
[答案] B
[解析] 由抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，得直线的方程为y＝x－2.
代入y2＝8x，得(x－2)2＝8x，即x2－12x＋4＝0.
∴x1＋x2＝12，弦长＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.二、填空题
5．顶点在原点，焦点在x轴上且正焦弦(过焦点和对称轴垂直的弦)长为6的抛物线方程是__________．
[答案] y2＝±6x
[解析] ∵焦点在x轴上，顶点在原点，
∴抛物线方程为：y2＝±2px(p>0)
又正焦弦长为2p＝6，∴y2＝±6x.6．抛物线y＝x2上的点到直线y＝2x－4的距离最短的点的坐标是________．
[答案] (1,1)
[解析] 设与直线y＝2x－4平行且与y＝x2相切的直线方程为y＝2x＋b，课件28张PPT。章末归纳总结坐标法是研究圆锥曲线问题的基本方法，它是用代数的方法研究几何问题．
本章介绍了研究圆锥曲线问题的基本思路，建立直角坐标系，设出点的坐标，根据条件列出等式，求出圆锥曲线方程，再通过曲线方程，研究曲线的几何性质．
本章内容主要有两部分：一部分是求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程，基本方法是利用定义或待定系数法来求；另一部分是研究椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，并利用它们的几何性质解决有关几何问题．
学习本章应深刻体会数形结合的思想，转化的思想，函数的思想及待定系数法等重要的数学思想和方法．
[例1] 已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求椭圆的另一个焦点F的轨迹方程．
[分析] 依据椭圆的定义，列出关系式，再将其坐标化即可．[解析] |AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14.又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2，故F点的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线，
又c＝7，a＝1，b2＝48，
[点评] 利用圆锥曲线的定义直接求出相关点的轨迹，是常考的题型．
求曲线方程的基本方法有：直接法和间接法．常见的求曲线方程的方法有：直接法、定义法、代入法、参数法以及求弦的中点轨迹时常用的“设而不求”法．这里仍需强调的是不管用什么方法求轨迹方程，都要注意检验所求的方程与曲线是否等价，多余的点要舍去，缺少的点要补上.
[例2] 已知抛物线y2＝2x上两个动点A、B，且|AB|＝3，求AB的中点P到y轴距离的最小值．
[解析] 如右图，分别过A、B、P作准线l的垂线，设垂足为A1、B1、P1，PP1交y轴于Q点，连结AF、BF.
由抛物线定义可知
|AF|＝|A1A|，
|BF|＝|B1B|，
∴|A1A|＋|B1B|＝|AF|＋|BF|.
又四边形A1ABB1为梯形，P1P是中位线，[点评] 本题利用抛物线的定义，通过图形，借助梯形中位线定理，从而确定了最值，体现了“转化与化归”的数学思想，应深刻体会这一重要思想方法．[例3] 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．(1)证明：λ＝1－e2；
(2)确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形．
[分析] 解析几何中的向量问题，化为坐标处理．[点评] 圆锥曲线随着定义的不同，那么它们的几何性质也不尽相同，这就需要结合相关圆锥曲线的定义和方程，准确刻画它们的几何性质．通常由圆锥曲线方程研究圆锥曲线的几何性质时，常把圆锥曲线方程化成标准方程，再讨论曲线的顶点、焦点、准线、离心率、渐近线、对称性等几何性质.[分析] 设直线AB的点斜式方程，由已知得出线段AB的垂直平分线方程，利用求值域的方法求解．[点评] 直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．
