课件27张PPT。 3．1 变化率与导数
1．知识与技能
理解函数在某点的平均变化率的概念并会求此变化率．
2．过程与方法
理解函数在x0处的瞬时变化率，理解导数的概念和定义．本节重点：函数在某一点的平均变化率，瞬时变化率、导数的概念．
本节难点：导数的概念的理解．
本节学习的有关概念比较抽象，学习时应通过实例理解相关概念，深刻体会数学源于生活，又应用于生活．
对导数的定义要注意两点：第一：Δx是自变量x在x0处的改变量，所以Δx可正可负，但Δx≠0；第二：函数在某点的导数，就是在该点的函数值改变量与自变量改变量之比的极限值．因此它是一个常数而不是变数．3．物体在某一时刻的速度称为 ．瞬时速度t时刻的瞬时速度 [分析] 直接利用概念求平均变化率，先求出表达式，再直接代入数据就可以得出相应的平均变化率．[点评] 解答本题的关键是熟练掌握平均变化率的意义．只要求出平均变化率的表达式，它的值就可以很容易求出．
[点评] 瞬时速度是平均速度在Δt→0时的极限值．因此，要求瞬时速度，应先求出平均速度．[点评] 用导数定义求函数在某一点处的导数的过程：一差、二比、三极限．A．4 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
[答案] C2．如果质点A按规律s＝2t3运动，则在t＝3秒时的瞬时速度为 ( )
A．6 B．18
C．54 D．81
[答案] C
[解析] s(t)＝2t3，Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝2Δt3＋18Δt2＋54Δt，3．当自变量x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 ( )
A．在区间[x0，x1]上的平均变化率
B．在x0处的变化率
C．在x1处的导数
D．在区间[x0，x1]上的导数
[答案] A
[解析] 由平均变化率的定义可知A正确．4．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝ ( )
A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx
C．－3 D．0
[答案] C二、填空题
5．已知函数f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于______．
[答案] a＝2
[解析] Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)＋4－a－4＝aΔx，6．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为____________．
[点评] 导数的物理意义：
(1)若已知位移s与时间t的函数关系s＝s(t)，则在t0时刻的瞬时速度v＝s′(t0)；
(2)若已知速度v与时间t的函数关系v＝v(t)，则在t0时刻的瞬时加速度a＝v′(t0)．课件32张PPT。
1．知识与技能
了解导函数的概念，理解导数的几何意义．
2．过程与方法
会求导函数，根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．本节重点：导数的几何意义．
本节难点：对导数几何意义的理解．
1．正确理解曲线的切线的定义，即：过曲线y＝f(x)上一点P作曲线的割线PQ，当Q点沿着曲线无限趋近于P时，若割线PQ趋近于某一确定的直线PT，则这一确定的直线PT称为曲线y＝f(x)在点P的切线．
2．“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”三者之间的区别与联系
(1)“函数在一点处的导数”，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是变数．(3)导函数也简称导数，所以
(4)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．f′(x0)＝f′(x)|x＝x0.切线 ②导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 ．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 ．相应地，切线方程为 ．
2．函数的导数斜率f′(x0)y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
(1)求曲线C上的横坐标为2的点处的切线方程；
(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
[分析] 解答本题可先求出切点坐标及斜率，再利用直线方程的点斜式形式求切线方程．[解析] (1)将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点P(2,4)．解得x1＝2，x2＝－4.
从而求得公共点为P(2,4)或M(－4，－20)．
即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另外的公共点．
[点评] 求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在P点处的切线”的差异：过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在曲线上；而在点P处的切线，点P必为切点．
[例3] 抛物线y＝x2在点P处的切线与直线2x－y＋4＝0平行，求P点的坐标及切线方程．
[分析] 解答本题可先设切点坐标再利用切线斜率及切点在抛物线上列方程组求解．得y′|x＝x0＝2x0.
又由切线与直线2x－y＋4＝0平行，得2x0＝2，x0＝1.
∵P(1，y0)在y＝x2上，∴y0＝1.
∴点P的坐标为(1,1)，切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
[点评] 解决切线问题的关键是求出切点坐标．求切点坐标往往利用切点既在曲线上又在切线上及切点处的导数值，即为切线斜率这些条件来构造方程组求解．A．4x－y＋9＝0或4x－y＋25＝0
B．4x－y＋1＝0
C．4x＋y＋9＝0或4x＋y－25＝0
D．以上都不对
[答案] C即直线l的斜率为－4.
故经过(1,4)的曲线的切线方程为
y－4＝－4(x－1)，即4x＋y－8＝0.
设直线l的方程为4x＋y＋c＝0.[例6] 试求过点M(1,1)且与曲线y＝x3＋1相切的直线方程．
[辨析] 上述解法错在将点(1,1)当成了曲线y＝x3＋1上的点．因此在求过某点的切线时，一定要先判断点是否在曲线上，再据不同情况求解．一、选择题
1．曲线y＝－2x2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是( )
A．－4 B．0
C．4 D．不存在
[答案] B[答案] B3．若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，那么 ( )
A．h′(a)＝0 B．h′(a)<0
C．h′(a)>0 D．h′(a)不确定
[答案] B
[解析] 由导数的几何意义，得h′(a)＝k＝－2<0.4．曲线y＝x3在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为 ( )
A．(－2，－8) B．(1,1)，(－1，－1)
[答案] B[答案] y＝2x－1
[解析] 设P(x0，x)，则k＝y′＝2x0＝2，
故x0＝1，∴P(1,1)，k＝2，
∴切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.课件22张PPT。 3．2 导数的计算
1．知识与技能
了解常数函数和幂函数的求导方法和规律，会求任意y＝xα(α∈Q)的导数．
2．过程与方法
掌握基本初等函数的导数公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数．
本节重点：常数函数、幂函数的导数
本节难点：由常见幂函数的求导公式发现规律，得到幂函数的求导公式．
利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归，才能抓住问题的本质，把解题思路放开．1．若f(x)＝c，则f′(x)＝ .
若f(x)＝xn(n∈N*)，则f′(x)＝ .
2．若f(x)＝sinx，则f′(x)＝ .
若f(x)＝cosx，则f′(x)＝ .
3．若f(x)＝ax，则f′(x)＝ ．
若f(x)＝ex，则f′(x)＝ .0nxn－1cosx－sinxaxlna(a>0)ex
[例1] 求下列函数的导数．
(1)y＝a2(a为常数)．
(2)y＝x12.
(3)y＝cosx.
[解析] (1)∵a为常数，∴a2为常数，
∴y′＝(a2)′＝0.
(2)y′＝(x12)′＝12x11
(3)y′＝(cosx)′＝－sinx.[点评] (1)用导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算较繁．利用常用函数的导数公式，可以简化求导过程，降低运算难度．
(2)利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式，将题中函数的结构进行调整．如将根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．
[点评] 求函数在某点处的导数的步骤是先求导函数，再代入变量的值求导数．
求曲线y＝3x2的斜率等于12的切线方程．
[解析] 设切点为P(x0，y0)，
则y′＝(3x2)′＝6x，
∴y′|x＝x0＝12，即6x0＝12，∴x0＝2
当x0＝2时，y0＝12
∴切点P的坐标为(2,12)
∴所求切线方程为：y－12＝12(x－2)，
即y＝12x－12.
一、选择题
1．函数f(x)＝0的导数是 ( )
A．0 B．1
C．不存在 D．不确定
[答案] A
[解析] 常数函数的导数为0A．x－y－1＝0 B．x＋y－3＝0
C．x－y＋1＝0 D．x＋y－1＝0
[答案] A[答案] D[答案] B
二、填空题
5．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于________．
[答案] 3
[解析] y′＝nxn－1，∴y′|x＝2＝n2n－1＝12，∴n＝3.
6．若函数y＝sint，则y′|t＝6π＝________.
[答案] 1
[解析] y′＝(sint)′＝cost，y′|t＝6π＝cos6π＝1.课件27张PPT。
能利用给出的基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数本节重点：导数的四则运算及其运用．
本节难点：导数的四则运算法则的推导．
1．可导函数的四则运算法则是解决函数四则运算形式的求导法则，也是进一步学习导数的基础，因此，必须透彻理解函数求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内在联系及规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提升能力的目的．
2．利用导数的定义推导出函数的和、差、积的求导法则，以及常见函数的导数公式之后，对一些简单函数的求导问题，便可直接应用法则和公式很快地求出导数，而不必每一问题都回到定义．3．应用导数的四则运算法则和常见函数的导数公式求导数时，在可能的情况下，应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免差错．1．设函数f(x)、g(x)是可导函数，(f(x)±g(x))′＝ ；
(f(x)·g(x))′＝ ．f′(x)±g′(x)f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)
[例1] 求下列函数的导数：
(1)y＝(x＋1)2(x－1)；
(2)y＝x2sinx；[解析] (1)方法一：y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1.
方法二：y＝(x2＋2x＋1)(x－1)＝x3＋x2－x－1，
y′＝(x3＋x2－x－1)′＝3x2＋2x－1.
(2)y′＝(x2sinx)′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.[点评] 较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商的几种运算，要注意：(1)先将函数化简；(2)注意公式法则的层次性．[点评] 在可能的情况下，求导时应尽量少用甚至不用乘法的求导法则，所以在求导之前，应利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可减少运算量.
[例3] 偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．
[解析] ∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.
∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.
∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，
∴切点为(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1.
∵f′(x)|x＝1＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1.
已知抛物线y＝ax2＋bx－7通过点(1,1)，过点(1,1)的切线方程为4x－y－3＝0，求a、b的值．
[解析] 由于抛物线y＝ax2＋bx－7经过点(1,1)，
∴1＝a＋b－7，即a＋b－8＝0①
又由于经过点(1,1)的抛物线的切线方程为
4x－y－3＝0，
∴经过该点的抛物线的切线斜率为4.
∵y′＝(ax2＋bx－7)′＝2ax＋b，∴2a＋b－4＝0.②
由①、②解得a＝－4，b＝12.一、选择题
1．函数y＝2sinxcosx的导数为 ( )
A．y′＝cosx B．y′＝2cos2x
C．y′＝2(sin2x－cos2x) D．y′＝－sin2x
[答案] B
[解析] y′＝(2sinxcosx)′
＝2(sinx)′·cosx＋2sinx(cosx)′
＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x.[答案] C
3．函数y＝(x－a)(x－b)在x＝a处的导数为 ( )
A．ab B．－a(a－b)
C．0 D．a－b
[答案] D
[解析] ∵y＝(x－a)(x－b)＝x2－(a＋b)x＋ab
∴y′＝2x－(a＋b)，y′|x＝a＝2a－a－b＝a－b.4．函数y＝x·lnx的导数是 ( )
[答案] C
二、填空题
5．函数y＝2x3－3x2＋4x－1的导数为____________．
[答案] 6x2－6x＋4
[解析] y′＝(2x3)′－(3x2)′＋(4x)′＝6x2－6x＋4.
6．函数y＝xsinx－cosx的导数为__________________．
[答案] 2sinx＋xcosx
[解析] y′＝(xsinx)′－(cosx)′＝2sinx＋xcosx.课件30张PPT。3．3 导数在研究函数中的应用
1．知识与技能
结合实例，借助几何直观发现函数的单调性与导数的关系．
2．过程与方法
能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．本节重点：利用求导的方法判断函数的单调性．
本节难点：函数的导数与单调性的关系．
1．用导数去研究函数的单调性比用定义法更为简便，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，它充分体现了数形结合的基本思想．因此，必须重视对数学思想、方法进行归纳总结，提高应用数学思想、方法解决问题的熟练程度，达到优化解题思路、简化解题过程的目的．
2．利用导数的符号判断函数单调性的解题过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，判断函数的单调区间．1．设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，
(1)如果在区间(a，b)内，f′(x)≥0，则f(x)在此区间是 的；
(2)如果在区间(a，b)内，f′(x)≤0，则f(x)在此区间内是 的．
2．如果函数y＝f(x)在x的某个开区间内，总有f′(x)＞0，则f(x)在这个区间上严格增加，这时该函数在这个区间为 ；如果函数当自变量x在某区间上，总有f′(x)＜0，则f(x)在这个区间为 ．单调递增单调递减严格增函数严格减函数
[例1] 求下列函数的单调区间
(1)f(x)＝x3－3x＋1
[解析] (1)函数f(x)的定义域为R
f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＞0，则3x2－3＞0.
即3(x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－1.
∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)
令f′(x)＜0，则3(x＋1)(x－1)＜0，解得－1＜x＜1.
∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,1)(2)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)[点评] 求函数的单调区间必须在函数的定义域内，依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观性．另外，单调区间不可写成并集的形式．
[例2] 已知x＞1，求证x＞lnx.
[解析] 设f(x)＝x－lnx (x＞1)
∴函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数．
又f(1)＝1－ln1＝1＞0
即f(x)＞0对x∈(1，＋∞)恒成立
∴x－lnx＞0，即x＞lnx (x＞1)．[点评] 构造函数是解本题的突破口，构造函数，利用导数确定函数单调性，这种不等式证明方法经常使用，它是作差法的一个延伸．
[解析] 解法一：(区间法)
f′(x)＝x2－ax＋a－1，令f′(x)＝0，所以x＝1或x＝a－1.
当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)内单调递增，不合题意．当a－1>1，即a>2时，f(x)在(－∞，1)和(a－1，＋∞)上单调递增，在(1，a－1)上单调递减，由题意知：(1,4)?(1，a－1)且(6，＋∞)?(a－1，＋∞)，
所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7.
解法二：(数形结合)
如图所示，f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]．若在(1,4)内f′(x)≤0，(6，＋∞)内f′(x)≥0，且f′(x)＝0有一根为1，则另一根在[4,6]上．解法三：(转化为不等式的恒成立问题)
f′(x)＝x2－ax＋a－1.因为f(x)在(1,4)内单调递减，所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立．即a(x－1)≥x2－1在(1,4)上恒成立，所以a≥x＋1，因为2
又因为f(x)在(6，＋∞)上单调递增，所以f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立，所以a≤x＋1，因为x＋1>7，所以a≤7时，f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．由题意知5≤a≤7.
[点评] 本题是含参数单调性问题，是高考的重点和热点，体现了数学上的数形结合与转化思想．[解析] 因为f′(x)＝x2＋ax＋a(a∈R)
由题意知：f′(x)≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
所以Δ＝a2－4a≤0，所以0≤a≤4.
故当0≤a≤4时，f(x)在R上单调递增．[例4] 已知函数f(x)＝2ax－x3，x∈(0,1]，a>0，若f(x)在(0,1]上单调递增，求a的取值范围．[点评] 在某区间内若f′(x)>0，则函数在该区间内单调递增，反之，若f(x)在区间D上为增函数，则f′(x)≥0在D上恒成立．一、选择题
1．函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上 ( )
A．是增函数
B．是减函数
C．在(0，＋∞)上增，在(－∞，0)上增
D．在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上增
[答案] A
[解析] f′(x)＝2－cosx>0在(－∞，＋∞)上恒成立．2．函数y＝xlnx在区间(0,1)上是 ( )
A．单调增函数
B．单调减函数
[答案] C
3．若在区间(a，b)内有f′(x)＞0，且f(a) ≥0，则在(a，b)内有 ( )
A．f(x)＞0 B．f(x)＜0
C．f(x)＝0 D．不能确定
[答案] A
[解析] ∵在区间(a，b)内有f′(x)>0，且f(a)≥0，
∴函数f(x)在区间(a，b)内是递增的，且f(x)>f(a)≥0.
4．在下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )
A．sin2x B．xex
C．x3－x D．－x＋ln(1＋x)
[答案] B
[解析] y＝xex，则y′＝ex＋x·ex＝ex(1＋x)，
又∵x>0，∴y′>0，故选B.二、填空题
5．函数f(x)＝x3－x的增区间是____________和____________，减区间是____________．
6．已知函数y＝ax2＋2x＋3在(－1，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是____________．
[答案] 0[解析] 令f(x)＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，
∴函数f(x)在(－1，＋∞)上是增函数，
要使y＝af(x)在(－1，＋∞)上是减函数，应有07．已知函数f(x)＝x3＋ax＋8的单调递减区间为(－5,5)，求函数f(x)的递增区间．
[解析] f′(x)＝3x2＋a.
∵(－5,5)是函数y＝f(x)是单调递减区间，则－5、5是方程3x2＋a＝0的根，
∴a＝－75.此时f′(x)＝3x2－75.
令f(x)>0，则3x2－75>0.
解得x>5或x<－5.
∴函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－5)和(5，＋∞)．课件35张PPT。1．知识与技能
结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．
2．过程与方法
会用导数求不超过三次的多项式函数的极值，以及在给定区间上求最大值、最小值．本节重点：利用导数的知识求函数的极值．
本节难点：函数的极值与导数的关系．
利用函数的导数求极值时，首先要确定函数的定义域；其次，为了清楚起见，可用导数为零的点，将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格，判断导函数在各个小开区间的符号．
求函数的最大值和最小值，需要先确定函数的极大值和极小值，极值是一个局部概念并且不唯一，极大值与极小值之间无确定的大小关系．f′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0取得极值的必要条件，不是充分条件．例如：函数f(x)＝x3，f′(0)＝0但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．1．已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x.对于包含x0在内的开区间内的所有点x，如果都有 ，则称函数f(x)在点x0处取得 ，并把x0称为函数f(x)的一个 ；如果都有 ，则称函数f(x)在点x0处取得 ，并把x0称为函数f(x)的一个 ．极大值与极小值统称为 ，极大值点与极小值点统称为 ．f(x)≤f(x0)极大值极大值点f(x)≥f(x0)极小值极小值点极值极值点2．假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条 ，该函数在[a，b]上一定能够取得 与 ，该函数在(a，b)内是 ，该函数的最值必在 取得．
3．当函数f(x)在点x0处连续时，判断f(x0)是否存在极大(小)值的方法是：
(1)如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极 值；连续不断的曲线最大值最小值可导的极值点或区间端点f′(x)>0f′(x)<0大(2)如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极 值；
(3)如果f′(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0) 函数f(x)的极值．f′(x)<0f′(x)>0小不是
[例1] 求函数y＝3x3－x＋1的极值．
[分析] 首先对函数求导，求得y′，然后求方程y′＝0的根，再检查y′在方程根左右的值的符号．如果左正右负，那么y在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么y在这个根处取得极小值．[点评] 熟记极值的定义是做好本题的关键，要利用求函数极值的一般步骤求解．
函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有 ( )
A．极大值为5，极小值为－27
B．极大值为5，极小值为－11
C．极大值为5，无极小值
D．极大值为－27，无极小值
[答案] C
[解析] f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)
令f′(x)＝0得x1＝－1，x2＝3(舍去)
当－2＜x＜－1时，f′(x)＞0
当－1＜x＜2时，f(x)＜0
∴当x＝－1时f(x)有极大值，f(x)极大值＝f(－1)＝5，无极小值．故应选C.
[例2] 求函数f(x)＝x3－2x2＋1在区间[－1,2]上的最大值与最小值．
[分析] 首先求f(x)在(－1,2)内的极值．然后将f(x)的各极值与f(－1)，f(2)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
[解析] f′(x)＝3x2－4x.
故f(x)最大值＝1，f(x)最小值＝－2.
[点评] 利用求最值的步骤求解．
函数最大值及最小值点必在下面各种点之中：导数等于0的点、导数不存在的点或区间的端点．
函数在区间[a，b]上连续是f(x)在[a，b]上存在最大值的充分而非必要条件．
求函数f(x)＝x4－8x2＋2在[－1,3]上的最大值与最小值．
[解析] f′(x)＝4x3－16x＝4x(x－2)(x＋2)．
令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝0，x3＝2.
其中x2＝0，x3＝2在[－1,3]内，计算得
f(0)＝2，f(2)＝－14，f(－1)＝－5，f(3)＝11，
故f(x)在[－1,3]上的最大值是11，最小值是－14.
[例3] 已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1，
(1)试求常数a、b、c的值；
(2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．
[解析] (1)由f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0.
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.[点评] 若函数f(x)在x0处取得极值，则一定有f′(x0)＝0，因此我们可根据极值得到一个方程，来解决参数．[例4] 已知函数f(x)＝ax4lnx＋bx4－c(x>0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a、b、c为常数．
(1)试确定a，b的值；
(2)若对任意x>0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值范围．
[点评] 恒成立转化为最值，即用导数求最值．
函数的极值、最值常与单调性，不等式结合出解答题，是历年考试的重点，一般分为二至三问，要注意它们之间的内在联系，另外解此类问题要注意极值，最值的注意事项．[例5] 已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a、b的值．
[误解] 因为f(x)在x＝－1时有极值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b.[辨析] 根据极值定义，函数先减后增为极小值，函数先增后减为极大值，此题未验证x＝－1时函数两侧的单调性，故求错．
[正解] (在上述解法之后继续)当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去；
当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
当x∈[－3，－1]时，f(x)为减函数；
当x∈[－1，＋∞)时，f(x)为增函数，
所以f(x)在x＝－1时取得极小值．因此a＝2，b＝9.一、选择题
1．若函数y＝f(x)是定义在R上的可导函数，则f′(x)＝0是x0为函数y＝f(x)的极值点的 ( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 如y＝x3，y′＝3x2，y′|x＝0＝0，但x＝0不是函数y＝x3的极值点．
[答案] A3．函数y＝x3＋1 的极大值是 ( )
A．1 B．0
C．2 D．不存在
[答案] D
[解析] ∵y′＝3x2≥0在R上恒成立，
∴函数y＝x3＋1在R上是单调增函数，
∴函数y＝x3＋1无极值．4．y＝f(x)＝2x3－3x2＋a的极大值是6，那么a等于
( )
A．6 B．0
C．5 D．1
[答案] A
[解析] f′(x)＝6x2－6x，令f′(x)＝0，得6x2－6x＝0，
解得x＝0或1.且易知x＝0是极大值点．
∴f(0)＝a＝6.
[答案] 36．函数y＝x·ex的最小值为________．课件31张PPT。3．4 生活中的优化问题举例
1．知识与技能
了解导数在实际问题中的应用，对给出的实际问题，如使利润最大、效率最高、用料最省等问题，体会导数在解决实际问题中的作用．
2．过程与方法
能利用导数求出某些特殊问题的最值．本节重点：利用导数知识解决实际中的最优化问题．
本节难点：将实际问题转化为数学问题，建立函数模型．
解决最优化问题的关键是建立函数模型，因此需先审清题意，细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的因变量y与自变量x，把实际问题化为数学问题，即列出函数关系式y＝f(x)，根据实际问题确定y＝f(x)的定义域．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 ．优化问题
[例1] 在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？[解析] 设箱高为xcm，则箱底边长为(60－2x)cm，则得箱子容积V是x的函数，
V(x)＝(60－2x)2·x(0＝4x3－240x2＋3600x.
∴V′(x)＝12x2－480x＋3600，
令V′(x)＝0，得x＝10，或x＝30(舍去)
当00，
当10∴当x＝10时，V(x)取极大值，这个极大值就是V(x)的最大值V(10)＝16000(cm3)答：当箱子的高为10cm，底面边长为40cm时，箱子的体积最大，最大容积为16000cm3.
[点评] 在解决实际应用问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只需根据实际意义判定是最大值还是最小值．不必再与端点的函数值进行比较．
[例2] 将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截法使正方形与圆面积之和最小？[点评] 该题中涉及的量较多，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．
[例3] 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0[解析] (1)由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×(1＋x)；出厂价为13×(1＋0.7x)，年销售量为5000×(1＋0.4x)．因此本年度的年利润为：
p＝[13×(1＋0.7x)－10×(1＋x)]×5000×(1＋0.4x)＝(3－0.9x)×5000×(1＋0.4x)＝－1800x2＋1500x＋15000(0(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？[答案] D
[答案] C二、填空题
5．面积为S的一切矩形中，其周长最小的是________．故面积为S的一切矩形中，其周长最小的是以为边长的正方形．三、解答题
7．用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱．问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？令V′(x)＝0得，x＝0(舍)或x＝80.
当x在(0,120)内变化时，导数V′(x)的正负如下表：
答：水箱底边长取80cm时，容积最大，最大容积为128000cm3.课件28张PPT。章末归纳总结导数是在函数极限的基础上发展起来的研究变量的一门科学．它是研究函数、解决实际问题的有力工具．
如求曲线的切线方程，函数的单调区间，函数的最值以及有关的实际问题．熟练记忆基本导数公式和函数的求导法则，是正确进行导数运算的基础．
掌握导数运算在判断函数的单调性，求函数的极大(小)值中的应用，尤其要重视导数运算在实际问题中的最大(小)值问题中的作用．
通过本章的学习，深刻体会导数的思想和丰富的内涵，感受导数在解决实际问题中的应用．
[例1] 求下列函数的导数
(1)y＝2tanx＋3cotx
(2)y＝x·ex＋lnx
[点评] 对于复杂函数的导数，可先化成基本初等函数，然后利用运算法则求导计算.
由于函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．因此关于曲线的切线问题可尝试用导数的方法解决．
[分析] 因为切线与直线y＝－2x＋3垂直，可知其斜率，进而可由导数求出切点的横坐标．
[点评] 根据导数的几何意义知，函数的导数就是曲线在该点的切线斜率，利用斜率求出切点的坐标，再由点斜式求出切线方程.
∴函数在(－∞，3)上是增函数．
当x∈(3，＋∞)时，y′<0.函数是减函数．
[例5] 已知f(x)＝ax3＋cx＋d(a≠0)是R上的奇函数，当x＝1时f(x)取得极值－2.
(1)求f(x)的单调区间和极大值；
(2)证明对任意x1、x2∈(－1,1)，不等式|f(x1)－f(x2)|<4恒成立．
[解析] (1)解：由函数的定义，应有f(－x)＝－f(x)，x∈R，即－ax3－cx＋d＝－ax3－cx－d，∴d＝0.
因此f(x)＝ax3＋cx，f′(x)＝3ax2＋c.
由条件f(1)＝－2为f(x)的极值，必有f′(1)＝0，
故a＋c＝－2,3a＋c＝0.
∴a＝1，c＝－3.因此f(x)＝x3－3x，
f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
f′(－1)＝f′(1)＝0.
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－1)上为增函数；当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(－1,1)上是减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上是增函数．所以f(x)在x＝－1处取得极大值，极大值为f(－1)＝－2.(2)证明：由(1)知，f(x)＝x3－3x(x∈[－1,1])是减函数，且f(x)在[－1,1]上的最大值M＝f(－1)＝2，f(x)在[－1,1]上的最小值m＝f(1)＝－2，
∴对任意的x1、x2∈(－1,1)，恒有|f(x1)－f(x2)|要证不等式f(x)>g(x)，则构造函数φ(x)＝f(x)－g(x)．
只需证φ(x)>0，由此转化成求φ(x)最小值问题，借助于导数解决．
[分析] 可利用构造函数求极值的方法予以证明，同时要注意到题中x>0这一隐含条件．[点评] 如果连续函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点，且在该点取得极大(小)值，那么这个极大(小)值就是最大(小)值.
[例7] 用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．
[分析] 应先理解题意把实际问题转化成求函数的最值问题，然后利用导数求最值．
由题意知x>0，x＋0.5>0，且3.2－2x>0.
∴0设容器的容积为Vm3，则有V＝x(x＋0.5)(3.2－2x)(0∴V＝－2x3＋2.2x2＋1.6x(0∴V′＝－6x2＋4.4x＋1.6.
令V′＝0，有15x2－11x－4＝0，[点评] 解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题，再化归为常规问题，选择适当的方法求解．