课件37张PPT。2．1 合情推理与演绎推理1．知识与技能
了解合情推理的含义．
2．过程与方法
能利用归纳推理和类比推理进行简单的推理．
体会并认识合情推理在教学发现中的作用．本节重点：合情推理的定义及归纳推理和类比推理的定义．
本节难点：归纳和类比推理的基本方法．1．归纳推理
由某类事物的 具有某些特征，推出该类事物的 都具有这些特征的推理，或者由 概括出 的推理，称为归纳推理(简称 )．简言之，归纳推理是由 、由 的推理．
2．类比推理
由两类对象具有 和其中一类对象的 ，推出另一类对象也具有 的推理称为类比推理(简称 )．简言之，类比推理是由 的推理．部分对象全部对象个别事实一般结论部分到整体个别到一般某些类似特征某些已知特征这些特征类比特殊到特殊归纳3．合情推理
归纳推理和类比推理都是根据 ，经过 ，再进行 ，然后提出 的推理．我们把它们称为合情推理．通俗地说，合情推理是指“ ”的推理．已有的事实观察、分析、比较、联想归纳、类比猜想合乎情理
[例1] 下面各列数都依照一定规律排列，在括号里填上适当的数：
(1)1,5,9,13,17，( )；
[解析] 要在括号里填上适当的数，必须正确地判断出每列数所具有的规律，为此必须进行仔细的观察和揣摩．
(1)考察相邻两数的差：
5－1＝4,9－5＝4，
13－9＝4,17－13＝4
可见，相邻两数之差都是4.按此规律，括号里的数减去17等于4，所以应填入括号里的数是17＋4＝21.(4)分成两列数：奇数位的数为
32,16，( ),4,2.
可见前面括号中应填入8；偶数位的数为
31,26，( ),16,11.
括号中的数应填入21.所以两括号内依次填入8,21.
[点评] 从上面例子可以看到，观察时不可把眼光停留在某一点上固定不变，而要注意根据问题特点不断调整自己观察的角度，以利于观察出有一定隐蔽性的内在规律．
[例2] 如图，在圆内画一条线段，将圆分成两部分；画两条线段，彼此最多分割成4条线段，同时将圆分割成4部分；画三条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画四条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分．那么：
(1)在圆内画5条线段，它们彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？
(2)猜想：圆内两两相交的n(n≥2)条线段，彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①在圆内画线段；
②所画线段彼此分割线段的条数和将圆分割的部分的个数．解答本题可先从几个特殊的数值入手，再根据给出的数值特点进行归纳猜想．[点评] 在几何中随着点、线、面等元素的增加，探究相应的线段、交点、区域部分等的增加情况常用归纳推理解决，分析时递推关系的寻找是重点．
请运用类比思想，对于空间中的四面体V－BCD，存在什么类似的结论？并用体积法证明．
[解析] 考虑到用“面积法”证明结论时，把O点与三角形的三个顶点连结，把三角形分成三个三角形，利用面积相等来证明相应结论．在证明四面体中类似结论时，可考虑利用体积的方法相应结论．[点评] 在类比推理中，找出两类事物之间的相似性或一致性，特别是由平面向空间类比中，注意研究空间和平面的根本区别．[例4] 在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立，类比上述性质，相应地在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式________成立．
[答案] b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)
[解析] 本题考查等差数列与等比数列的类比．一种较本质的认识是：等差数列→用减法定义→性质用加法表述(若m、n、p、q∈N＋，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq)；等比数列→用除法定义→性质用乘法表述(若m、n、p、q∈N＋，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq)．
由此，猜想本题的答案为：
b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)．
事实上，对等差数列{an}，如果ak＝0，则an＋1＋a2k－1－n＝an＋2＋a2k－2－n＝…＝ak＋ak＝0.所以有：a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋an＋(an＋1＋an＋2＋…＋a2k－2－n＋a2k－1－n)(n<2k－1，n∈N＋)．从而对等比数列{bn}，如果bk＝1，则有等式：b1b2…bn＝b1b2…b2k－1－n(n<2k－1，n∈N＋)成立．[点评] 本题是一道小巧而富于思考的妙题，主要考查观察分析能力，抽象概括能力，考查运用类比思想方法由等差数列{an}而得到等比数列{bn}的新的一般性的结论．一、选择题
1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于 ( )
A．28 B．32
C．33 D．27
[答案] B
[解析] 由以上各数可得每两个数之间依次差3,6,9,12……故x＝20＋12＝322．下列说法正确的是 ( )
A．由合情推理得出的结论一定是正确的
B．合情推理必须有前提有结论
C．合情推理不能猜想
D．合情推理得出的结论不能判断正误
[答案] B
[解析] 合情推理的结论不一定正确，是否正确需进一步证明且合情推理有前提，故A、D错，合情推理能猜想，故C错．3．若把正整数按下图所示的规律排序，是从2010到2012的箭头方向依次为 ( )
1 4→5 8→9 12
↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ……
2→3 6→7 10→11
A．↓→ B．→↓
C．↑→ D．→↑
[答案] D
[解析] 根据箭头方向找规律，每相邻四个数字，箭头方向相同，2010÷4＝502余2，故同数字2处的方向，故选D.4．下列说法中正确的是 ( )
A．合情推理就是正确的推理
B．合情推理就是类比推理
C．归纳推理是从一般到特殊的推理过程
D．类比推理是从特殊到特殊的推理过程
[答案] D二、填空题
5．由数列1,10,100,1000，…猜想，数列的第n项可能是______．
[答案] 10n－1.
[解析] ∵1＝100,10＝101,100＝102,1000＝103，……，∴可猜想第n项是10n－16．正方形的面积为边长的平方，则在立体几何中，与之类比的图形是______，结论是________________．
[答案] 正方体 正方体的体积为棱长的立方
[解析] 利用类比思想可知平面图形与空间几何体对应，故正方形类比正方体，面积与体积类比．课件24张PPT。1．知识与技能
掌握演绎推理的基本模式，体会它们的重要性，并能运用它们进行一些简单的推理．
2．过程与方法
了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．本节重点：演绎推理的含义及四种演绎推理规则．
本节难点：演绎推理的应用．一、演绎推理
从 出发，推出 情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由 的推理．
二、三段论
“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
(1)大前提——已知的 ；
(2)小前提——所研究的 ；
(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的 ．一般性的原理某个特殊一般到特殊一般原理特殊情况判断三、三段论的表示形式
大前提：M是P.
小前提：S是M.
结 论： .
利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么 .S是PS中所有元素也都具有性质P
[例1] 试将下列演绎推理写成三段论的形式：
(1)一次函数是单调函数，函数y＝2x－1是一次函数，所以y＝2x－1是单调函数；
(2)等差数列的通项公式具有形式an＝pn＋q(p，q是常数)，数列1,2,3，…，n是等差数列，所以数列1,2,3，…，n的通项具有an＝pn＋q的形式．
[分析] 分清三段论的大前提、小前提、结论是解题的关键．[解析] (1)大前提：一次函数都是单调函数；
小提提：函数y＝2x－1是一次函数；
结论：y＝2x－1是单调函数．
(2)大前提：等差数列的通项公式具有形式an＝pn＋q；
小前提：数列1,2,3，…，n是等差数列；
结论：数列1,2,3，…，n的通项具有an＝pn＋q的形式．
[点评] 分清楚“三段论”中的大前提、小前提、结论，要抓住它们的含义，即大前提——已知的一般原理，小前提——所研究的特殊情况，结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
[例2] 已知A，B，C，D四点不共面，M，N分别是△ABD和△BCD的重心．
求证：MN∥平面ACD.
[证明] 如图，连结BM，BN并延长分别交AD，DC于P，Q两点，连结PQ.
[点评] 本题为一个三段论推理的问题，首先是在△PBQ中，由BM?MP＝2?1 ，BN?NQ＝2?1，得MN∥PQ.又有MN?平面ACD，PQ?平面ACD，从而有MN∥平面ACD.
为了养成严谨的推理习惯、提高抽象思维能力，应详细地分析几何推理求证问题的每一个证明步骤，找准大前提、小前提和结论，但书写起来非常繁琐，一般可以从实际出发，省略大前提或小前提，采用简略的符号化写法．一、选择题
1．演绎推理的特征为 ( )
A．前提为真时，结论一定真
B．前提为真时，结论可能真
C．前提为真时，结论一定假
D．前提为真时，结论不确定真假
[答案] A2．下列说法中正确的是 ( )
A．演绎推理和合情推理都可以用于证明
B．合情推理不能用于证明
C．演绎推理不能用于证明
D．以上都不对
[答案] B
[答案] C4．在不等边三角形ABC中，a为最长边，要想得到其对角∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足的条件是( )
A．a2B．a2＝b2＋c2
C．a2>b2＋c2
D．a2≤b2＋c2
[答案] C6．(2010·徐州高二检测)已知推理：“因为△ABC的三边长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形”，若将其恢复成完整的三段论，则大前提是________________________．
[答案] 一条边的平方等于其它两边平方和的三角形是直角三角形．三、解答题
7．如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，且CD＝2AB，E为PC的中点．(1)求证：平面PDC⊥平面PAD
(2)求证：BE∥平面PAD.
[证明] (1)由PA⊥底面ABCD知PA⊥CD.
又因为CD⊥AD，
PA∩AD＝A，
所以CD⊥平面PAD.因为CD?平面PDC，所以平面PDC⊥平面PAD.
(2)如图，取PD的中点F，连结EF，AF，由E为PC的中点，得EF为△PDC的中位线，则EF∥CD，且CD＝2EF.又因为CD＝2AB，故EF＝AB，故AB∥CD，得EF∥AB，所以四边形ABEF为平行四边形，则BE∥AF.又因为BE?平面PAD，AF?平面PAD，所以BE∥平面PAD.
课件36张PPT。
2．2 直接证明与间接证明1．知识与技能
了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点．
2．过程与方法
进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异．本节重点：综合法和分析法的概念及思考过程、特点．
本节难点：运用综合法和分析法解答问题．
从实际问题中命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结果的真实性，从证明过程上认识分析法和综合法的推理过程，学会用分析法和综合法证明实际问题，并且理解分析法和综合法之间的内在联系．已知条件定义定理公理推理论证结论出发充分条件定理定义公理已知条件定义定理公理所要证明的结论[点评] 1.综合法证明问题的步骤
第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．
第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．[点评] (1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
(2)分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；
(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语．[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①a、b、c是不全相等的三个正数；②所求的不等式是以对数形式给出且底数0＜x＜1.解答本题的关键是利用对数运算法则和对数函数性质转化成证明整式不等式．[点评] 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证．[答案] D[答案] B
[解析] ∵a、b、c∈R，∴a2＋b2≥2ab，
b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，
∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac＝1
又(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac
＝a2＋b2＋c2＋2≥3.3．下面叙述正确的是
( )
A．综合法、分析法是直接证明的方法
B．综合法是直接证法，分析法是间接证法
C．综合法、分析法所用语气都是肯定的
D．综合法、分析法所用语气都是假定的
[答案] A
[解析] 在分析法中的语气即有肯定又有否定两种证明方法均是直接证明．4．A、B为△ABC的内角，∠A＞∠B是sinA＞sinB的
( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] C[答案] 96．函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，y＝f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f(2.5)，f(3.5)的大小关系是______．
[答案] f(3.5)＜f(1)＜f(2.5)
[解析] y＝f(x＋2)是偶函数，则x＝2是f(x)的对称轴，又f(x)在(0,2)上为增函数，
∴f(1)＜f(1.5)＝f(2.5)，f(3.5)＝f(0.5)＜f(1)，
∴f(3.5)＜f(1)＜f(2.5)课件23张PPT。1．知识与技能
了解反证法是间接证明的一种基本方法；了解反证法的思考过程、特点．
2．过程与方法
感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用．本节重点：反证法概念的理解以及反证法的解题步骤．
本节难点：应用反证法解决问题．
用反证法证明问题，一般由证明p?q，转向证明?q?r?…?t，t与假设矛盾或与某个真命题矛盾，从而到判断?q为假，得出q为真．反证法，不是从已知条件去直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上进行演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．1．反证法的定义
一般地，假设原命题不成立，经过 ，最后得出 ，因此说明假设 ，从而证明了原命题 ，这样的证明方法叫做反证法．反证法是 的一种基本方法．
2．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与 矛盾，或与 矛盾，或与定义、公理、 、 矛盾等．正确的推理矛盾错误成立间接证明已知条件假设定理事实
[例1] 求证：若两条平行直线a，b中的一条与平面α相交，则另一条也与平面α相交．
[证明] 不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而要证b也与平面α相交．假设b不与平面α相交，则必有下面两种情况：(1)b在平面α内．由a∥b，a?平面α，得a∥平面α，与题设矛盾．(2)b∥平面α.
则平面α内有直线b′，使b∥b′.
而a∥b，故a∥b′，因为a?平面α，所以a∥平面α，这也与题设矛盾．
综上所述，b与平面α只能相交．
[点评] 直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反证法，注意该命题的否定形式不止一种，需一一驳倒，才能推出命题结论正确．[点评] 该命题中有“至少……”，直接方法很难证明，故可采用反证法．
类题解法揭示：当命题中出现“至少……”、“至多……”、“不都……”、“都不……”、“没有……”、“唯一”等指示性词语时，宜用反证法．注意“至少有一个”、“至多有一个”、“都是”的否定形式分别为“一个也没有”、“至少有两个”、“不都是”．
[例4] 求证：当x2＋bx＋c2＝0有两个不相等的非零实数根时，bc≠0.
[证明] 假设bc＝0，则有三种情况出现：
(1)若b＝0，c＝0，方程变为x2＝0；x1＝x2＝0是方程x2＋bx＋c2＝0的根，这与已知方程有两个不相等的实根矛盾．
(2)若b＝0，c≠0，方程变为x2＋c2＝0，但当c≠0时x2＋c2≠0与x2＋c2＝0矛盾．(3)若b≠0，c＝0，方程变为x2＋bx＝0，方程的根为x1＝0，x2＝－b，这与已知条件：方程有两个非零实根矛盾．
综上所述，bc≠0.一、选择题
1．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定为( )
A．自然数a，b，c都是奇数
B．自然数a，b，c都是偶数
C．自然数a，b，c中至少有两个偶数
D．自然数a，b，c都是奇数或至少有两个偶数
[答案] D
[解析] 恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数，其二是至少有两个偶数．[答案] C3．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是
( )
A．有两个内角是直角
B．有三个内角是直角
C．至少有两个内角是直角
D．没有一个内角是直角
[答案] C
[解析] “最多”与“至少”互为否定，“一个”对应“两个”．4．a＋b＞c＋d的必要不充分条件是( )
A．a＞c B．b＞d
C．a＞c且b＞d D．a＞c或b＞d
[答案] D
[解析] A，B是既不充分也不必要条件，C是充分不必要条件，只有D正确，可用反证法证明；若a＞c或b＞d不成立，则a≤c且b≤d，相加得，a＋b≤c＋d，与a＋b＞c＋d矛盾，故条件是必要的．又取a＝10，b＝1，c＝4，d＝8知条件是不充分的．二、填空题
5．有下列命题：①空间四点中有三点共线，则这四点必共面；②空间四点，其中任何三点不共线，则这四点不共面；③垂直于同一直线的两直线平行；④两组对边相等的四边形是平行四边形．其中真命题是________．
[答案] ①
6．和两条异面直线AB、CD都相交的两条直线AC、BD的位置关系是________．
[答案] 异面课件16张PPT。章末归纳总结1．归纳推理和类比推理都是合情推理，归纳推理是由特殊到一般，由部分到整体的推理；后者是由特殊到特殊的推理．二者都能由已知推测未知，都能用于猜测，得出新规律，但推理的结论有待于去证明它的正确性．
2．演绎推理与合情推理不同，演绎推理是由一般到特殊的推理，是数学证明中的基本推理形式，只要前提正确，推理形式正确，得到的结论就正确．
3．合情推理与演绎推理既有联系，又有区别，它们相辅相成，前者是后者的前提，后者证明前者的可靠性．
[例1] 设f(n)＝n2＋n＋41，n∈N＋，计算f(1)，f(2)，f(3)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想是否正确．[解析] f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，
f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61，
f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83，
f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113，
f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151.
由于43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都为质数．于是猜想当n取任何非负整数时f(n)＝n2＋n＋41的值为质数．
因为当n＝40时，f(40)＝402＋40＋41＝41×41，所以f(40)为合数，因此，上面由归纳推理得到的猜想不正确．
[例2] 如图①所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．[解析] 如图②所示，在四面体P－ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小，我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.
[例3] 求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．
[例4] 已知a、b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
[证明] 因为b2＋c2≥2bc，a>0，
所以a(b2＋c2)≥2abc.
又因为c2＋a2≥2ac，b>0，
所以b(c2＋a2)≥2abc.
因为a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
