课件36张PPT。3．1 数系的扩充与复数的概念1．了解数系从自然数系到有理数到实数再到复数扩充的基本思想．
2．理解复数的有关概念，掌握复数的代数表示．
3．理解复数相等的充要条件．本节重点：
1．复数的概念与复数的代数形式．
2．复数的分类．
本节难点：复数的概念及分类，复数相等．
1．在理解复数有关概念的基础上，牢记实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与虚数加以区别，对于纯虚数bi(b≠0，b∈R)不要只记形式，要注意b≠0.
2．复数相等的充要条件是本章学习的重点内容，是把复数问题转化为实数问题的主要方法，在学习过程中要深刻体会转化思想的应用．1．复数的概念及代数表示
(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝ .
(2)表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的 与 ．－1实部虚部3．复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di? .a＝c且b＝d
[例1] 下列命题中，正确命题的个数是 ( )
①若x，y∈C则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A．0 B．1 C．2 D．3[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①题中给出了三个命题；
②判断正确命题的个数．
解答本题只需根据复数的有关概念判断即可．
[答案] A
[解析] ①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①是假命题．
②由于两个虚数不能比较大小，
∴②是假命题．
③当x＝1，y＝i时
x2＋y2＝0成立，∴③是假命题．[点评] 1.数系扩充的原则
(1)为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数集中无解的问题，人们引进了一个新数i，叫做虚数单位，并且规定i2＝－1.这样原数集中不能解决的问题在新数集中就能够解决了．
(2)规定i与实数可以进行四则运算，在进行运算时，原有的加、乘运算律仍然成立，即与原数集不矛盾．2．关于复数的代数形式
复数z＝a＋bi(a，b∈R)中注意以下几点：
(1)a，b∈R，否则不是代数形式．
(2)从代数的形式可判定z是实数，虚数还是纯虚数．
反之，若z是纯虚数，可设z＝bi(b≠0，b∈R)；
若z是虚数，可设z＝a＋bi(b≠0，b∈R)；
若z是复数，可设z＝a＋bi(a，b∈R).[点评] ①判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数，首先要保证参数值使虚数表达式有意义，如果忽略了实部分式中的分母m＋3≠0，就会酿成根本性的错误，其次对参数值的取舍，是取“并”还是“交”，非常关键，多与少都是不对的，解答后进行验算是很必要的．
②对于复数z＝a＋bi (a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数z看成一个整体，又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它．这是解复数问题的重要思路之一．
[例3] 已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，
求实数x，y的值．[点评] 找到两复数的实部与虚部后，根据复数相等的充要条件，实部与虚部分别相等即可求得x，y的值．[例4] 在下列命题中，正确命题的个数是( )
①两个复数不能比较大小；
②z1、z2、z3∈C，若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z3；
③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；
④若a、b是两个相等的实数，则(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数．
A．0 B．1 C．2 D．3若a、b是两个相等的实数，则a－b＝0，
但是当a＝b＝0时，a＋b＝0，此时(a－b)＋(a＋b)i是实数．
所以(a－b)＋(a＋b)i不一定是纯虚数，故④不正确．
综上可知：只有①②正确，故选C.[辨析] 两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，错解①中忽视了这一特殊情况导致错误；而错解②中运算的依据“a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”在复数集中是不成立的，例如“由i2＋12＝0，不能推出i＝1＝0.”错解中忽视了实数集中的结论在扩充后的复数集中不一定成立这个事实，从而导致错误．[正解] 两个复数当它们都是实数时，是可能比较大小的，故①是不正确的；反例法：“若(i－0)2＋(0－1)2＝0，则i＝1”显然是错误的，故②是不正确的；③④的判断同错解．
综上可知：①②③④均不正确，故选A.一、选择题
1．下列结论错误的是
( )
A．自然数集是非负整数集
B．实数集与复数集的交集是实数集
C．实数集与虚数集的交集是{0}
D．纯虚数集与实数集的交集为空集
[答案] C
[解析] 实数集与虚数集的交集为?．[答案] C3．若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝( )
A．－1 B．1
C．±1 D．不存在
[答案] C
[解析] (a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)为实数的充要条件是a2－1＝0，∴a＝±1.二、填空题
4．若a－2i＝bi＋1，a，b∈R，则a2＋b2＝______
[答案] 55．方程2x2－3x－2＋(x2－5x＋6)i＝0的实数解为x＝__________.
[答案] 2三、解答题
6．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i是：
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数．课件32张PPT。1．理解复数与复平面内的点之间的一一对应关系，掌握复数的几何意义．
2．能够进行复数模的计算．本节重点：1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系．
2．掌握实轴、虚轴、模等概念．
3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法．
本节难点：1.在复平面内求点的轨迹等问题．
2．对复数几何意义的理解．
数和形的有机结合，是把复数问题转化为几何问题的重要途径之一，在学习过程中要认真体会数形结合思想在本章学习中的重要性．
1．复平面的定义
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做 ，y轴叫做 ，实轴上的点都表示实数，除了 外，虚轴上的点都表示纯虚数．实轴虚轴原点
2．复数与点、向量间的对应
如图，在复平面内，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用点
或向量 表示．
Z(a，b)复数z＝a＋bi(a，b∈R)与点Z(a，b)和向量O的一一对应关系如下：
[例1] 在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点
(1)在虚轴上；
(2)在第二象限；
(3)在直线y＝x上．
分别求实数m的取值范围．
[解析] 复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.
(1)由题意得m2－m－2＝0.
解得m＝2或m＝－1.[点评] 复数的几何意义包含两种：
(1)复数与复平面内点的对应关系：每一个复数和复平面内的一个点一一对应，两者联系：复数的实部、虚部分别是对应点的横坐标、纵坐标，从而讨论复数对应点在复平面内的位置，关键是确定复数的实、虚部，由条件列出相应的方程(或不等式组)．(2)复数与复平面内向量的对应关系：当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系，借助平面向量的有关知识，可以更好的理解复数的相关知识．[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①z1，z2均已知；
②求|z1|、|z2|，并比较模的大小．
解答本题可先确定复数的实、虚部，再代入公式即可．
[例4] 求适合下列条件的复数z在复平面上表示的图形．
(1)2≤|z|<3；
(2)z＝x＋yi，x<0，y>0，且x2＋y2<9.[点评] 复数的几何意义实现了数与形的相互转化，使复数在平面问题中得到广泛的应用．[例5] 已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是
( )
A．1个圆 B．线段
C．2个点 D．2个圆
[误解] 由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1，故选D.
[辨析] 错解中忽视了“|z|”的几何意义是“点Z到坐标原点的距离”导致错误.
[正解] 由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1.
∵|z|≥0，∴|z|＝－1应舍去，故应选A.一、选择题
1．在下列结论中正确的是 ( )
A．在复平面上，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴
B．任何两个复数都不能比较大小
C．如果实数a与纯虚数ai对应，那么实数集与纯虚数集是一一对应的
D．－1的平方根是i
[答案] A
[解析] 两个虚数不能比较大小排除B，当a＝0时，ai是实数排除C，－1的平方根是±i排除D，故选A.2．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i (a、b∈R)为纯虚数的充要条件是
( )
A．|a|＝|b| B．a<0且a＝－b
C．a>0且a≠b D．a>0且a＝±b
[答案] D
[解析] a2－b2＝0，且a＋|a|≠0.[答案] A
[解析] (x－1)2＋(2x－1)2<10.二、填空题
4．设复数z的模为17，虚部为－8，则复数z＝______.
[答案] ±15－8i5．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝________.
[答案] 3i课件28张PPT。3．2 复数代数形式的四则运算
1．知识与技能
掌握复数的代数形式的加法、减法、运算法则，并熟练地进行化简、求值．
2．过程与方法
了解复数的代数形式的加法、减法运算的几何意义．本节重点：
复数的加、减法运算．
本节难点：
复数运算的几何意义．
1．复数加法的几何意义
复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则(或三角形法则)．3．对复数加减法几何意义的理解
它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．1．复数加法与减法的运算法则
(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则z1＋z2＝ ，z1－z2＝ .
(2)对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝ ，(z1＋z2)＋z3＝ (a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)iz2＋z1z1＋(z2＋z3)
2．复数加减法的几何意义
如图：设复数z1，z2对应向量分别为 ， ，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是 ，与z1－z2对应的向量是 .
[例1] 计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．[解析] (1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i.
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i.
[点评] 两个复数相加(减)，将两个复数的实部与实部相加(减)，虚部与虚部相加(减)．[点评] 本题给出了几何图形上一些点对应的复数，因此，借助复数加、减法的几何意义求解即可，要学会利用复数加减运算的几何意义去解题，主要包含两个方面：(1)利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．
(2)对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．例如：已知复数z1，z2，z1＋z2在复平面内分别对应点A，B，C，O为原点，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，判断四边形OACB的形状．把关系式|z1＋z2|＝|z1－z2|给予几何解释为：平行四边形两对角线长相等，故四边形OACB为矩形．
满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面上的对应点的轨迹是 ( )
A．一条直线 B．两条直线
C．圆 D．椭圆
[答案] C[点评] 解法一是利用复数的代数形式求解，即“化虚为实”．解法二则是利用复数的几何意义求解．关于复数模的问题，可以转化为复平面内两点间的距离解决．一、选择题
1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝( )
A．8i B．6 C．6＋8i D．6－8i
[答案] B
[解析] z1＋z2＝3＋4i＋3－4i
＝(3＋3)＋(4－4)i＝62．若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝( )
A．0 B．2i C．6 D．6－2i
[答案] D
[解析] ∵z＋i－3＝3－i
∴z＝3－i－(i－3)＝6－2i[答案] A[答案] －2i[答案] 5课件28张PPT。
掌握复数代数形式的乘法和除法运算．
理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．
理解共轭复数的概念．本节重点：复数的乘除运算及共轭复数的概念．
本节难点：共轭复数的求解及特殊复数的运算．1．复数的乘法
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝ (a，b，c，d∈R)．(ac－bd)＋(ad＋bc)i2．复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
z2·z1z1·(z2·z3)z1z2＋z1·z33.共扼复数的概念
一般地，当两个复数的 ，虚部 数时，这两个复数叫做互为共轭复数．通常记复数z的共轭复数 ，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做 ．实部相等互为相反共轭虚数[点评] (1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，ω3＝1，巧用这些性质，可以快速解答许多问题．因此，记住这些小结论将是有益的．[解析] (1)设z＝x＋yi(x，y∈R)．则集合
P＝{(x，y)|x2＋y2－6y＋5＝0}
＝{(x，y)|x2＋(y－3)2＝4}，
故P表示以(0,3)为圆心，2为半径的圆．
设w＝a＋bi(a，b∈R)．
z＝x0＋y0i∈P(x0，y0∈R)且w＝2iz.[答案] C[答案] D[答案] A二、填空题
4．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝______，y＝______.
[答案] －1 1课件24张PPT。章末归纳总结
本章在小学、初中和高中所学知识的基础上，介绍复数的概念、复数的代数形式的运算和数系的扩充等内容．本章共分两大节．第一大节是“数系的扩充与复数的概念”．第二大节是“复数的运算”．在第一大节中，首先简要地展示了数系的扩充过程，回顾了数的发展，并指出当数集扩充到实数集时，由于负数不能开平方，因而大量代数方程无法求解，于是就产生了要开拓新数集的要求，从而自然地引入虚数i，复数由此而产生，接着，介绍了复数的有关概念和复数的几何表示．主要涉及的概念有：复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数相等、复数的模等． 在第二大节中，介绍了复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则，同时指出了复数加法、减法的几何意义，复平面上两点间的距离公式，沟通了“数与形”之间的联系，提供了用“形”来帮助处理“数”和用“数”来帮助处理“形”的工具．本章有两条主线：一条主线是以复数代数形式来表示复数的概念．规定了加、乘两种运算法则，然后把减、除法分别定义为加、乘法的逆运算来推导出其运算法则．利用复数的四则运算，可把复数代数形式a＋bi看成由a和bi两个非同类项组成，这样多项式的运算法则几乎可以全部搬过来照用不误，于是复数就与多项式、方程联系起来，从而能帮助解决一些多项式中的因式分解、解方程等数学问题．另一条主线是用复平面上的点或向量来描述复数．由此引出了复数运算的几何意义，使复数在平面几何、解析几何中得到广泛应用． 这两条主线在教材中是交替安排的，这样能加强学生的“形与数”结合的观念，使学生在看到代数形式时就能联想到几何图形，看到几何图形就能联想到对应的复数．有利于学生深入理解复数概念，开阔学生的思路，培养和提高用“数形结合”观点来处理问题的能力．
[例1] (2010·潍坊高二检测)已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i
当m取何实数值时，复数z是：
(1)零；
(2)纯虚数；
(3)z＝2＋5i.
复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、除，加减法是实部与实部、虚部与虚部分别相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分母有理化，要注意i2＝－1.[答案] D
[例3] 在复平面内，点P，Q对应的复数分别为z1，z2，且z2＝2z1＋3－4i，|z1|＝1，求点Q的轨迹．
[解析] 因为z2＝2z1＋3－4i，
所以2z1＝z2－3＋4i.
又因为|2z1|＝2，
所以|z2－3＋4i|＝2，
即|z2－(3－4i)|＝2.
所以Q的轨迹是以(3，－4)为圆心，2为半径的圆．[点评] 本题关键是求出z2满足的方程，因为已知
|z1|＝1，故可先将z1用含z2的式子表出，然后代入已知即可．
复数的几何意义及复数加减运算的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题.
[例4] 已知复数z＝cosθ＋isinθ(0≤θ≤2π)．当θ为何值时，|1－i＋z|取得最值．并求出它的最值．
