课件38张PPT。 基础知识是形成学科能力的源头，本栏目根据课标要求，精准梳理，清晰呈现主要知识及内在关系。关键处合理挖空、易错处及时提醒，多策并举，夯实基础，要求学生动手填一填吧！【思考】【点拨】 核心要点是提升学科素养的关键。本栏目突破核心要点，讲练结合，提醒认知误区，点拨规律技巧，循序渐进，培养主动思考意识，提升自主探究能力，请引导学生进入探究空间吧！ 正弦定理的基本应用
【名师指津】正弦定理主要用于解决下列两类解三角形的问题：
（1）已知两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一解.
（2）已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如表：【特别提醒】判断三角形解的个数也可由“三角形中大边
对大角”来判定(A为锐角)：若a≥b,则A≥B，从而B为锐
角，有一解；若a
的值.①sinB>1，无解；②sinB=1，一解；
③sinB<1，两解.【例1】已知在△ABC中， B=45°，解这个三角形.
【审题指导】在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，可运用正弦定理求解，但要注意解的个数的判定.【规范解答】由正弦定理及已知条件有 得
因为a>b，所以A>B，又 ∴A=60°或120°，
当A=60°时，C=180°-45°-60°=75°，
当A=120°时，C=180°-45°-120°=15°，
综上可知：A=60°,C=75°,
或A=120°，C=15°，【互动探究】若将本例中的条件 改为
其他条件不变，本例答案又如何?
【解题提示】由条件可知a 因为a∴A=30°，∴C=180°-45°-30°=105°， 判断三角形的形状
【名师指津】判断三角形形状的方法
已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，可考虑使用正弦定理，把关系式中的边化为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式，然后给予判定.在正弦定理的推广中，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC(R为三角形外接圆的半径)是化边为角的主要工具.
【特别提醒】正弦定理及三角函数知识是判断三角形形状的主要方法，要注意灵活运用正弦定理的变形.【例2】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且
试判断△ABC的形状.
【审题指导】将式中的a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、
2RsinC来代替是解决本题的关键.【规范解答】由正弦定理
（R为△ABC外接圆的半径）得
a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
代入 中，可得
所以，tanA=tanB=tanC.
又因为A、B、C是△ABC的内角，
所以A=B=C，
所以△ABC是等边三角形.【变式训练】在△ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、
c，且 试判断△ABC的形状.
【解题提示】结合正弦定理，将已知等式变形，寻找角B、C之间的关系，求出角B、C，从而判断三角形的形状.【解析】方法一：由
得
∴sinB=cosB，即 ∴B=45°，
同理，C=45°.
∴A=180°-B-C=90°.
所以△ABC为等腰直角三角形.方法二：由 得
(*)
把a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC(R为△ABC外接圆的半径)，代入(*)，得
2R=2RtanB=2RtanC，∴tanB=tanC=1，
又0°＜B，C＜180°，∴B=C=45°，A=90°，
所以△ABC为等腰直角三角形. 利用正弦定理证明等式
【名师指津】利用正弦定理证明等式应注意：
观察等式的特点，有边有角，需把边、角统一，为此用正弦定理将a、b、c转化为sinA、sinB、sinC，此时题目完全转化成三角函数的运算了.可见，三角形中的三角函数问题也是解三角形过程中经常遇到的.
【特别提醒】要注意灵活应用正弦定理的变形公式.【例】在任意△ABC中，求证：a(sin B-sin C)+b(sin C-sin A)+c(sin A-sin B)=0.
【审题指导】本题要求证的式子中既有角也有边，可考虑把边统一化为角或把角统一化为边.【规范解答】方法一：设R为△ABC外接圆的半径，则左边=2RsinA·(sinB-sinC)+2RsinB·(sinC-sinA)+2RsinC(sinA-sinB)=2R(sinAsinB-sinAsinC+sinBsinC-sinAsinB+sinAsinC-sinBsinC)=0=右边,原等式得证.
方法二：设R为△ABC外接圆的半径，则左边=
bc-ab+ac-bc)=0=右边，原等式得证.【变式备选】在△ABC中，若
求证：a+c=2b.
【证明】∵
∴
即sinA+sinAcosC+sinC+sinCcosA=3sinB，
∴sinA+sinC+sin(A+C)=3sinB
即sinA+sinC=2sinB,∴a+c=2b. 规避误区、规范解答是提高数学成绩的有效途径。本栏目通过“见式得分，踩点得分”呈现得分点，点评失分点，帮助学生形成识错、纠错、避错能力，借以养成严谨的数学思维和良好的规范答题习惯。【典例】(12分)在△ABC中，已知 c=1，B=45°，求
a、A、C.
【审题指导】可利用正弦定理求解，但要注意判断三角形解的个数.【规范解答】由正弦定理得，
…………………………2分
由c∴A=180°-30°-45°=105°………………………7分
再由正弦定理得，
……………………10分
所以 A=105°，C=30°…………………12分 【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】在△ABC中，已知A=45°，a=2，
求B.
【解析】根据正弦定理 得
∵b是( )
(A) (B) (C) (D)
【解析】选A.sinA∶sinB=a∶b=5∶3.2.在△ABC中，已知 c=10，A=30°，则B=( )
(A)105° (B)60°
(C)15° (D)105°或15°
【解析】选D.
∵c>a,∴C>A，∴C=45°或135°，∴B=105°或15°.3.在△ABC中，若B=2A， 则A=_______.
【解析】∵
故A=30°.
答案：30°4.在△ABC中，A=30°，C=45°， 则边a=______.
【解析】在△ABC中，由正弦定理 得
答案：15.在△ABC中，B＝135°，C＝15°，a＝5，则此三角形的最大边长为多少？
【解析】根据三角形中“大角对大边”可知，此三角形的最大边为b，
由B＝135°，C＝15°，可得A=30°，
根据正弦定理
所以
故此三角形的最大边长为课件42张PPT。【思考】【点拨】 余弦定理的简单运用
【名师指津】理解与应用余弦定理的关注点：
(1)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.
(2)在应用余弦定理时，因为已知三边(求角)或已知两边及夹角(求第三边)时，三角形是惟一确定的，即此时的解是惟一的.
【特别提醒】在余弦定理的表达式中，含有三边和一边的对角这四个元素，可利用方程的思想，知三求一.【例1】在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的三边，a2-(b-c)2=bc，
(1)求A；
(2)若 B等于x，周长为y，求函数y=f(x)的取值
范围.
【审题指导】先对a2-(b-c)2=bc进行化简，再利用余弦定理求解；先写出y=f(x)的解析式，再利用三角函数知识求解.【规范解答】(1)由a2-(b-c)2=bc得:
a2-b2-c2=-bc，
∴
又∵0(2)故
∴y的取值范围为【变式训练】△ABC中，若a∶b∶c=3∶5∶7,则这个三角形中最大内角为( )
(A)60° (B)90° (C)120° (D)150°
【解题提示】先判断出最大边，再利用余弦定理计算最大角.
【解析】选C.令a=3x,b=5x,c=7x(x>0)，则c为最大边，角C为三角形中最大内角，
由余弦定理
∴C=120°. 正、余弦定理的综合应用
【名师指津】正、余弦定理的综合应用
正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系，要解三角形，必须已知三角形的一边的长，对于两个定理，根据实际情况可以选择性地运用，也可以综合运用，要注意以下关系式的运用：【特别提醒】如何灵活地运用正弦定理、余弦定理呢？关键在于观察、分析已知条件的结构特征，并联想公式运用之.【例2】(2011·辽宁高考)△ABC的三个内角A、B、C所对
的边分别为a、b、c，且asinAsinB+bcos2A=
(1)求
(2)若 求B.
【审题指导】（1）利用正弦定理化简上式，从而求得
的值；(2)利用余弦定理求B.【规范解答】(1)由正弦定理，得sin2AsinB+sinBcos2A
即
sinB(sin2A+cos2A) 故sinB
所以
(2)由余弦定理得 又因为
所以
整理得又由(1)知b2=2a2，故
可得cos2B= 又cosB>0，故
所以B=45°.
【误区警示】不能正确利用余弦定理和(1)的结论，从而导致(2)无法求解.【变式训练】在△ABC中，AC=2，BC=1，
(1)求AB的值；
(2)求sin(2A+C)的值.
【解题提示】先由余弦定理解出AB，再结合正弦定理及倍角公式等解出sin2A、cos2A、sinC的值.【解析】(1)由余弦定理得
AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC
(2)由cosC= 且0得
由正弦定理得
解得又∵AB>BC,∴C>A， 判断三角形的形状
【名师指津】判断三角形形状的方法：
判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形的形状. 【例3】在△ABC中，若sinA-2sinBcosC=0，试判断△ABC的形状.
【审题指导】将角化为边或将边化为角来判断三角形的形状.【规范解答】方法一：∵sinA-2sinBcosC=0,∴由正弦定
理知a=2bcosC,再由余弦定理得
∴b2=c2,b=c,.故△ABC为等腰三角形.
方法二：由sinA=sin(B+C),∴有sinBcosC+cosBsinC-2sinBcosC=0,即sinCcosB-cosCsinB=0,sin(C-B)=0,∴C-B=0,即C=B.故△ABC为等腰三角形.【互动探究】本例中，将所给条件变为b2sin2C+c2sin2B
=2bccosBcosC，则三角形的形状又如何？
【解题提示】利用“角化边”或“边化角”来判断三角形的形状.【解析】方法一：由正弦定理 (R为△ABC外接圆的半径），将原式化为sin2Bsin2C=
sinBsinCcosBcosC.
∵sinBsinC≠0，
∴sinBsinC=cosBcosC，即cos(B+C)=0，
∴B+C=90°.∴A=90°.
∴△ABC为直角三角形.方法二：将已知等式变为
b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccosBcosC.
由余弦定理，可得
即
∴b2+c2=a2.
∴△ABC为直角三角形.【例】在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，
求证：
【审题指导】利用正弦定理、余弦定理，把边化为角，再利用三角函数知识化简.【规范解答】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,
b2=a2+c2-2accosB，
∴a2-b2=b2-a2-2bccosA+2accosB.
整理得：
由正弦定理得：
代入上式整理得：【变式备选】在△ABC中，求证：
【证明】由余弦定理得，【典例】(12分)在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC，
(1)求A的大小；
(2)若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状.
【审题指导】应用正、余弦定理及其变形化简即可.【规范解答】(1)由已知，根据正弦定理得
2a2=(2b+c)b+(2c+b)c ……………………………… 2分
即a2=b2+c2+bc …………………………………………3分
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA
可求得cosA= ………………………………………5分
又∵A为△ABC内角，∴A=120°.…………………… 6分(2)由a2=b2+c2+bc得：
sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC ………………………8分
又∵A=120°,sinB+sinC=1,
∴sinB=sinC= ……………………………………10分
因为0°所以△ABC是等腰的钝角三角形.……………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】在△ABC中，若acosA+bcosB=ccosC,则△ABC的形状是什么？
【解析】方法一：acosA+bcosB=ccosC,
sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC
sin2A+sin2B=sin2C,
2sin(A+B)cos(A-B)=2sinCcosC
cos(A-B)=-cos(A+B),2cosAcosB=0,
cosA=0或cosB=0,得
所以△ABC是直角三角形.方法二：由余弦定理得：
上式两边同乘以2abc得
a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)=c2(a2+b2-c2)
?a2b2+a2c2-a4+a2b2+b2c2-b4=a2c2+b2c2-c4
?a4+b4-2a2b2=c4? (a2-b2）2=c4
∴a2-b2=c2或a2-b2=-c2
∴a2=b2+c2或a2+c2=b2,
所以△ABC是直角三角形. 1.三角形的三边分别为4、6、8，则此三角形为( )
(A)锐角三角形 (B)直角三角形
(C)钝角三角形 (D)不存在
【解析】选C.∵42+62<82，∴此三角形为钝角三角形.2.在△ABC中，若a=c=2,B=120°,则边b=( )
(A) (B) (C) (D)
【解析】选B.由余弦定理可得
b2=a2+c2-2accosB=4+4-2×2×2×3.在△ABC中，a=12,b=13,C=60°,此三角形的解的情况
是( )
(A)无解 (B)一解
(C)两解 (D)不能确定
【解析】选B.已知两边及其夹角的三角形惟一确定.4.在△ABC中，B=60°,b2=ac，则△ABC的形状为____.
【解析】∵b2=ac,∴a2+c2-2accos60°=ac，∴(a-c)2=0.
∴a=c,∴△ABC为等腰三角形.
又∵B=60°，∴△ABC为正三角形.
答案：正三角形5.在△ABC中，若AB= AC=5且cosC= 则BC=______.
【解析】由余弦定理得
∴BC2-9BC+20=0,∴BC=4或5.
答案：4或56.在△ABC中，已知c4-2(a2+b2)c2+a4+a2b2+b4=0，求角C.
【解析】∵c4-2(a2+b2)c2+a4+a2b2+b4=0，
∴［c2-(a2+b2)］2-a2b2=0，∴c2-(a2+b2)=±ab，
∴C=120°或60°.课件37张PPT。【思考】【点拨】 可到达的两点的距离问题
【名师指津】解三角形应用问题的一般步骤：
(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；
(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个数学模型；
(3)求解：利用正弦定理和余弦定理有顺序地解出三角形，求得数学模型的解；
(4)检验：检验上述所求的三角形是否具有实际意义，从而得出实际问题的解.
【特别提醒】建立数学模型就是构造出三角形.【例1】如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直
角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，
AB=2.
(1)求cos∠CBE的值；
(2)求AE.
【审题指导】由三角形的性质可求出∠CBE的度数，从而可解出cos∠CBE的值；求AE，可在△ABE中利用正弦定理求得.【规范解答】(1)因为∠BCD=90°+60°=150°,CB=AC=CD,所以∠CBE=15°,
∴cos∠CBE=cos(45°-30°)=
(2)在△ABE中，AB=2，故由正弦定理得【变式训练】在△ABC中，已知A=45°，
(1)求cosC的值；
(2)若BC=10,D为AB的中点，求CD的长.
【解析】(1)∵ 且0°＜B＜180°,
∴
cosC=cos(180°-A-B)=cos(135°-B)
=cos135°cosB+sin135°sinB(2)由（1)可得
由正弦定理得
即
解得AB=14，∴BD=7.
∴CD2=BD2+BC2-2BD·BCcosB
=72+102-2×7×10× =37,
所以【误区警示】(1)问中的符号容易出现错误从而导致第(2)问中的结果出现错误. 不可到达的两点的距离问题
【名师指津】测量不可到达的两点的距离要注意的问题：
测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为求三角形的边长问题，首先是明确题意，根据条件和图形特点寻找可解的三角形，然后利用正弦定理或余弦定理求解，另外基线的选取要恰当.
【特别提醒】构造数学模型的时候，尽量把已知元素放在一个三角形中.【例2】如图，在河的对岸可以看到两个目
标物M，N，但不能到达，在河岸边选取相距
40米的两个目标物P，Q两点，测得∠MPN=
75°，∠NPQ=45°,∠MQP=30°，∠MQN=45°,试求两个目标物Ｍ，N之间的距离.
【审题指导】根据已知条件与求解目标，在相应三角形中，分别利用正弦定理和余弦定理求解.【规范解答】根据题意，知PQ=40，∠PMQ=30°,
∠PNQ=60°,在△MPQ中，由正弦定理，得
即
在△NPQ中，由正弦定理，得即
在△MQN中，由余弦定理，知
ＭN2=MQ2+NQ2-2MQ·NQcos∠MQN
故MN2=
从而
故两个目标物M，N之间的距离是 米.【互动探究】本题条件若改为：MP=PQ=40米，
米，∠MPQ=120°,∠NQP=75°,又如何求MN的距离呢？
【解题提示】可先由余弦定理求出MQ，再求出∠MQP,进而求出∠MQN,然后由余弦定理求得MN.【解析】∵MP=PQ=40，∠MPQ=120°，在△MPQ中，由余弦定理得
∴MQ2=MP2+PQ2-2MP·PQcos∠MPQ
=402+402-2×40×40cos120°=4 800，
∴
又∵MP=PQ,∠MPQ=120°,
∴∠MQP=30°,又∵∠NQP=75°,∴∠NQM=45°，在△MNQ中由余弦定理得
∴MN2=MQ2+NQ2-2MQ·NQcos∠NQM
∴ 即两个目标物M，N之间的距离为 米.【例】如图所示，a是海面上一条南
北方向的海防警戒线，在a上点A处
有一个水声监测点，另两个监测点
B，C分别在A的正东方20 km处和54 km处.某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8 s后监测点A、20 s后监测点C相继收到这一信号.在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A到P的距离为x km，用x表示B、C到P的距离，并求x的值；
(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离.(结果精确到
0.01 km)
【审题指导】(1)PA、PB、PC长度之间的关系可以通过收到信号的先后时间建立起来；(2)作PD⊥a，垂足为D，要求PD的长，只需求出PA的长和cos∠APD即可.【规范解答】(1)依题意，PA-PB=1.5×8=12(km)，PC-PB=1.5×20=30(km).因此
PB=(x-12) km，PC=(18+x) km,
在△PAB中，AB=20 km，
同理，在△PAC中可求得由于cos∠PAB=cos∠PAC,
即
解得
(2)作PD⊥a，垂足为D，在Rt△PDA中，
PD=PAcos∠APD=PAcos∠PAB
所以静止目标P到海防警戒线a的距离约为17.71 km.【变式备选】如图，为了解某海域海
底构造，在海平面内一条直线上的A，
B，C三点进行测量，已知AB=50 m，
BC=120 m，于A处测得水深AD=80 m，
于B处测得水深BE=200 m，于C处测得水深CF=110 m，求∠DEF的余弦值. 【解析】作DM∥AC交BE于点N，交CF于点M.
在△DEF中，由余弦定理得，
cos∠DEF【典例】(12分)如图，△OAB是等
边三角形，∠AOC=45°，
A、B、C三点共线，
(1)求sin∠BOC的值；
(2)求线段BC的长.
【审题指导】求sin∠BOC的值，可以利用两角和的正弦公式求得，再利用正弦定理求BC即可.【规范解答】 (1)∵△OAB是等边三角形，∠AOC=45°,∴∠BOC=45°+60°,
sin∠BOC=sin(45°+60°) …………………………4分
=sin45°cos60°+cos45°sin60°
= ……………………………………………6分
(2)在△OBC中，
……………………………8分
∴
…………………………12分 【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】在△ABC中，已知B=45°，
D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6,
(1)求∠ADC的大小；
(2)求AB的长.
【解析】(1)在△ADC中，AD=10，AC=14，DC=6，
由余弦定理得
∴∠ADC=120°.(2)由（1)得∠ADB=60°,
在△ABD中，AD=10，∠B=45°，∠ADB=60°，
由正弦定理得1.已知A、B两地相距10 km,B、C两地相距20 km,且∠ABC=120°，则A、C两地相距（ ）
（A）10 km （B） km
（C） km （D） km
【解析】选D.AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos120°=700，
∴AC= (km).2.如图所示，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据中，较适宜的是（ ）
（A）c与a （B）c与b （C）c与β （D）b与α
【解析】选D.在a,b,c,α,β五个量中，a,c,β不易测量，故选D.3.江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，且两条船与炮台底部都在一条线上，则两船相距( )
(A) 米 (B)30米
(C) 米 (D) 米
【解析】选C.如图所示，由题意知
CO= 米，BO=30米，
∴CB= 米.4.一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向
航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 h，该船实际
航程为_______.
【解析】如图所示，在△ACD中，
∠ACD=60°,
∴
∴AD=6，即该船实际航程为6 km.
答案：6 km5.如图，为了测量河的宽度，
在一岸边选定两点A、B，望对
岸的标记物C，测得∠CAB=45°，
∠CBA=75°，AB=120米，求河的宽度.【解析】在△ABC中，∵∠CAB=45°，∠CBA=75°，∴∠ACB=60°.
由正弦定理,可得，
设C到AB的距离为CD，
则
∴河的宽度为 米.课件43张PPT。【思考】【点拨】 测量高度问题
【名师指津】解决测量高度问题的步骤：【特别提醒】在解题中，要综合运用立体几何与平面几何知识，注意方程思想的运用.【例1】如图，测量河对岸的塔高AB时，
可以选与塔底B在同一水平面内的两个
测点C和D.现测得∠BCD=α，∠BDC=β,
CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为θ，
求塔高AB.
【审题指导】先利用三角形内角和定理求出∠CBD的度数，再利用正弦定理求出BC的长，然后在Rt△ABC中求出AB，即塔高.【规范解答】在△BCD中，∠BCD=α，∠BDC=β，
∴∠CBD=180°-(α+β),
在△ABC中，由于∠ABC=90°，【变式训练】如图，A，B是水平面上
两个点，相距800 m，在A点测得山顶
C的仰角是25°，∠BAD=110°,又在
点B测得∠ABD=40°,其中D点是点C在
水平面上的垂足.求山高CD(精确到1 m).
【解题提示】 【解析】在△ABD中，∠ADB=180°-110°-40°=30°,
由正弦定理得
≈1 028.5(m)，
在Rt△ACD中，CD=ADtan25°≈480(m).
答：山高约为480 m. 测量角度问题
【名师指津】解决测量角度问题的注意点：
(1)注意作图的准确性，通过积累、归纳，学会根据题目已知的方向角、方位角、仰角、俯角等已知量顺利地作出图形.
(2)注意数学思想方法的应用：
①化归与转化思想，即将实际问题抽象概括，转化为解三角形的问题；②方程思想，即在三角形中应用正、余弦定理列方程（组）求解；
③函数思想，题目中涉及最值问题的往往需要考虑构建函数解析式求最值.
【特别提醒】当一些题目的图形是空间立体图形时，除要作好图外，还要发挥空间想象能力.【例2】某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9海里/小时的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21海里/小时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间.
【审题指导】解答本题的关键是设出相遇点，根据题意画出图形，标出有关数据并恰当选择有关定理解三角形.【规范解答】设舰艇与渔船在B点相遇.
如图，则AC=10海里，∠ACB=120°.设所需时间为t小时，则AB=21t海里，CB=9t海里,
在△ABC中，根据余弦定理，得AB2=AC2+
BC2-2AC·BCcos120°，
即(21t)2=102+81t2+2×10×9t×
整理得，36t2-9t-10=0，
解得 （舍去）.所以舰艇需要 小时靠近渔船.
此时AB=14海里，CB=6海里，
由正弦定理，得
∴∠CAB≈21.8°，21.8°+45°=66.8°,
∴舰艇的航向是北偏东约66.8°.【变式训练】一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°相距20海里处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，到达N处，又测得灯塔在货轮的北偏东45°，求货轮的速度.
【解题提示】解决此题，可以先求出∠NSM的度数，再利用正弦定理求解即可.【解析】如图所示，∠SMN=15°+30°=45°，
∠SNM=180°－45°－30°=105°，
∴∠NSM=180°－45°－105°=30°.
由正弦定理得
速度 海里/小时.【例】在海岛A上有一座海拔
1 km的山峰，山顶设有一个观
察站P.有一艘轮船按一固定方
向做匀速直线航行，上午11:00时，测得此船在岛北偏东15°，俯角为30°的B处，到11:10时，又测得该船在岛北偏西45°，俯角为60°的C处.
(1)求船的航行速度；
(2)求船从B到C行驶过程中与观察站P的最短距离. 【审题指导】解决此题，可根据题目中的已知角，在△ABC中，求出BC的长度，从而求出船的航行速度；作AD⊥BC于点D，船从B到C行驶过程中与观察站P的最短距离为PD.
【规范解答】(1)如图所示，在Rt△PAB中，∠PBA=30°，
∴
同理，Rt△PCA中，
在△ACB中，∠CAB=15°＋45°＝60°，∴由余弦定理得
∴ (km/h)，
∴船的航行速度为 km/h.(2)方法一:作AD⊥BC于点D，∴当船行驶到点D时，AD最小，从而PD最小.
此时，
∴船在行驶过程中与观察站P的最短距离为 km.方法二:由(1)知在△ACB中，由正弦定理
作AD⊥BC于点D，∴当船行驶到点D时，AD最小，从而PD最小.
此时，
∴
∴船在行驶过程中与观察站P的最短距离为 km.【变式备选】为了测量两山顶M,N间
的距离,飞机沿水平方向在A,B两点
进行测量.A,B,M,N在同一个铅垂平
面内(如示意图)，飞机能够测量的
数据有俯角和A,B间的距离.请设计一个方案,包括：①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤. 【解析】方案一：
①需要测量的数据有：A点到M点，
N点的俯角α1，β1，B点到M点，N点
的俯角α2,β2；A，B的距离d（如图
所示）.
②第一步：计算AM.由正弦定理得
第二步：计算AN.由正弦定理得
第三步：计算MN.
由余弦定理得方案二：①需要测量的数据有：
A点到M，N点的俯角α1,β1;B点到M，N点的俯角α2,β2;A，B的距离d（如图所示）.
②第一步：计算BM.由正弦定理得
第二步：计算BN.由正弦定理得
第三步：计算MN.由余弦定理得【典例】（12分）某兴趣小组测
量电视塔AE的高度H(单位：m），
如示意图，垂直放置的标杆BC的
高度h=4 m，仰角∠ABE=α，
∠ADE=β.该小组已测得一组α，β的值，算出了tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值.
【审题指导】根据题中的直角三角形，利用正切三角函数的定义求解即可.【规范解答】 ………………2分
同理: …………………………4分
AD-AB=DB,故得 ………………… 6分
解得: ………………10分
因此，算出的电视塔的高度H是124 m.………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】已知D、C、B三点在地面
的同一直线上，DC=a，从C、D两点测
得A点的仰角分别为α、β（α＞β），
则A点离地面的高AB等于（ ）
(A) (B)
(C) (D)【解析】选A.在△ADC中，∠DAC=α-β,∠ADC=β，DC=a,
∴在Rt△ABC中,1.从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系是（ ）
(A)α>β (B)α=β
(C)α+β=90° (D)α+β=180°
【解析】选B.作出示意图知α=β.2.如图所示，为测一树的高度，
在地面上选取A，B两点，从A、
B两点分别测得树尖的仰角为
30°，45°,且A，B两点间的距
离为60 m，则树的高度为( )
(A) (B)
(C) (D)【解析】选A.设树的高度为h，由题意可知 在
△ABP中，由正弦定理得，3.如图所示，海平面上的甲船
位于中心O的南偏西30°，与O
相距10海里的C处，现甲船以
30海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向20海里的B处的乙船，甲船需要_______小时到达B处.【解析】在△OBC中，由余弦定理，得
CB2=CO2+OB2-2CO·OBcos120°
=100+400+200=700，
∴CB= (海里),
因此甲船到达B处需要的时间为 (小时).
答案：4.一艘轮船由海平面上的A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距______海里.
【解析】画出示意图可知△ABC为等边三角形，所以A、C两地相距40海里.
答案：405.如图所示，港口A北偏东30°方向的点C处有一观测站，港口正东方向的B处有一轮船，测得BC为31海里. 该轮船从B处沿正西方向航行20海里后到达D处，测得CD为21海里. 问此时轮船离港口A还有多少海里?【解析】由已知得∠CAD=60°，在△BCD中，由余弦定理
得
故
从而sin∠ACD=sin(∠BDC-60°)
=sin∠BDCcos60°-cos∠BDCsin60°=
在△ACD中，由正弦定理得
于是 (海里)，
即此时轮船离港口A还有15海里. 课件39张PPT。【思考】【点拨】 三角形的面积计算问题
【名师指津】运用三角形面积公式时的注意点：
(1)利用三角形面积公式解题时，常常要结合三角函数的有关公式；
(2)解与三角形面积有关的问题，常需要利用正弦定理、余弦定理，解题时要注意发现各元素之间的关系，灵活运用公式；
(3)对于求多边形的面积问题可通过分割转化为几个三角形面积的和.【特别提醒】特别要注意三个内角的取值范围，以避免由三角函数求角时出现增根错误.【例1】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c，已知
（1）求sinC的值；
（2）求△ABC的面积S.
【审题指导】(1)由三角形的内角和定理可知
再利用两角差的正弦公式解得；(2)△ABC的面积可由面积公式求得.【规范解答】(1)∵ ∴A＜B,
∴
由A+B+C=π，
(2)据正弦定理得【变式训练】在△ABC中，BC=5，AC=4，
cos∠CAD= 且AD=BD，求△ABC的
面积.
【解题提示】由∠CAD的余弦，
我们想到在△CAD中利用余弦定理，求出CD的长，然后再利用正弦定理求出角C的正弦值，根据三角形面积公式求出即可.【解析】设CD=x，则AD=BD=5-x,
在△CAD中，由余弦定理可知，
解得x=1.
∴CD=1，AD=BD=4.
在△CAD中，由正弦定理可知即△ABC的面积为【误区警示】在计算CD和sinC的值时，很容易出现计算错误. 证明三角恒等式
【名师指津】证明三角恒等式需要注意的问题：
解决本类问题，既要用到三角形中特有的恒等变形公式，又要用到任意角三角函数的恒等变形公式，两者要结合，灵活运用.三角形边和角的相互转换公式，主要是正弦定理、余弦定理这两个定理，因此这类题型都可用不同的途径求解.
【特别提醒】证明三角恒等式一定要正确利用变形公式，不能随便臆造.【例2】在△ABC中，求证：
【审题指导】从左边证右边，化角为边.
【规范解答】左边=
=
=右边，其中R为△ABC外接圆的半径.【互动探究】上述证明方法是化角为边，若证明方法改为化边为角该怎么证明？
【证明】左边= 三角形中的综合问题
【名师指津】解决三角形中的综合问题需要注意：
解三角形与三角函数结合的题目是最近几年高考的一个趋势，解决此类问题常以三角形为载体，以正、余弦定理和三角函数公式为工具来综合考查，因此掌握正、余弦定理、三角函数的公式和性质是解题关键.
【特别提醒】利用正弦定理求角时，要注意角的取值范围；要正确利用三角函数的公式和性质.【例3】在△ABC中， AC=3，sinC=2sinA，
（1）求AB的长；
（2）求sin(2A- )的值.
【审题指导】在△ABC中，运用正弦定理可直接求得AB的
长；再运用余弦定理求得cosA，进而求得sinA，sin2A，
cos2A，最后利用两角差的正弦公式求得【规范解答】（1）在△ABC中，根据正弦定理，得
（2）在△ABC中，根据余弦定理，得
于是
从而
cos2A=cos2A-sin2A=【变式训练】（2011·天津高考）在△ABC中，内角A，
B，C的对边分别为a,b,c，已知B=C，
（1）求cosA的值；
（2）求 的值.
【解题提示】运用余弦定理求得cosA，进而求得sinA，
sin2A，cos2A，最后利用两角和的余弦公式求得【解析】（1）由B=C， 可得
所以，由余弦定理，可得，
（2）∵cosA= A∈(0,π)，
∴
cos2A=2cos2A-1=【例】在△ABC中，AB=5，AC=4，D为BC的中点，且AD=4，求BC边的长.
【审题指导】此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC长为x后，建立关于x的方程. 【规范解答】设BC=x，则由D为BC的中点，可得
在△ADB中，
在△ADC中，
又∠ADB+∠ADC=180°，所以
cos∠ADB=cos(180°-∠ADC)=-cos∠ADC，
解得 即BC的边长为 【变式备选】在△ABC中，若c=4，b=7,BC边上的中线AD的
长为 求边长a.
【解析】∵AD是BC边上的中线，
∴可设CD=DB=x，则CB=a=2x，
∵c=4，b=7，AD=
∴在△ACD中，在△ABC中，
解得x= ∴a=2x=9. 【典例】（12分）在△ABC中，若B=30°， AC=2,
求△ABC的面积.
【审题指导】先由正弦定理求得C的度数，从而得到A的度数，利用三角形面积公式求得三角形面积.【规范解答】∵ AC=2，B=30°，
∴根据正弦定理，有 ……2分
又∵AB＞AC，∴C＞B，则C有两解，…………………… 3分
（1）当C为锐角时，C=60°，A=90°
………………………… 7分
（2）当C为钝角时，C=120°，A=30°
……………………………11分
综上可知，△ABC的面积为 …………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】设在△ABC中， b=1，A=60°，求角B，边c及△ABC的面积S△ABC.
【解析】在△ABC中， b=1，A=60°，
由正弦定理，得
∵0°＜B＜180°，且b∴C=90°.
由正弦定理，得
△ABC的面积1.在△ABC中， A=45°，则△ABC外接圆的半径R等
于（ ）
(A)1 (B)2 (C)4 (D)无法确定
【解析】选A.∵ ∴R=1.2.在△ABC中，若C=60°， 则BC边上的高等于( )
(A) (B) (C) (D)6
【解析】选D.BC边上的高等于bsinC=6.3.△ABC的周长为20，面积为 A=60°，则BC的边长等
于（ ）
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
【解析】选C.由题知a+b+c=20，
∴bc=40，
a2=b2+c2-2bccos60°=(b+c)2-3bc=(20-a)2-120,
解得a=7.4.在△ABC中，a=4，b=2，C=45°，则S△ABC=_______.
【解析】S△ABC=
=
答案：5.若△ABC的面积为 c=2，A=60°，求a，b的值.
【解析】∵
∴b=1，由余弦定理，得
a2=b2+c2-2bccosA
=12+22-2×1×2× =3，