课件42张PPT。【思考】【点拨】 数列的概念及分类
【名师指津】1.对数列概念的认识
（1）{an}与an是不同的概念.{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…,而an仅表示数列{an}的第n项.
(2)数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n),而项数是指这个数在这个数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.（3）次序对一个数列来说相当重要，有几个不同的数，由于它们的次序不相同，可构成不同的数列.显然，数列与数集有本质的区别.2.数列分类的判断
（1）若数列{an}满足an＜an+1，则是递增数列；
（2）若数列{an}满足an＞an+1，则是递减数列；
（3）若数列{an}满足an=an+1，则是常数列；
（4）若数列{an}从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，则是摆动数列.【特别提醒】集合中的数是无序的，元素又是互异的；而数列中的数是严格按顺序排列的，项与项可以是相同的.【例1】已知下列数列：
(1)2 003，2 006，2 009，2 012；
(2)1，
(3)1,0,-1,…, …;
(4)1, …, …；
(5)0, …, ….
其中，_______是有穷数列，_______是无穷数列，______
是递增数列,_______是递减数列，_______是摆动数列.【审题指导】题目中给出了各个数列的表达形式，注意观察数列的项的变化趋势与规律，注意省略号“…”及其位置，利用数列的通项公式，紧扣数列的有关概念完成判断.【规范解答】（1）是有穷递增数列；
（2）是无穷递减数列；
（3）是摆动数列，也是无穷数列；
（4）是摆动数列，也是无穷数列；
（5）是无穷递增数列（因为 ）.
答案：(1) (2)(3)(4)(5) (1)(5) (2) (3)(4)【变式训练】1.下列叙述正确的是（ ）
(A)数列1，3，5，7和数列3，1，5，7是同一数列
(B)同一个数在数列中可能重复出现
(C)数列的通项公式是定义域为正整数集N*的函数
(D)任何数列的通项公式都存在【解析】选B.根据数列的定义，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列，因此，A是错误的；数列的通项公式的定义域是正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，4,……,n}，因此C是错误的；有时一个数列不存在通项公式，故D是错误的；对于一个数列，可以有重复的数，故B正确.2.已知数列：
(1)0，1，2，3，…
(2)1, …
(3)-1,1,-1,1,-1,1,…
(4)5,5,5,5,5,…
其中，________是递增数列，________是递减数列，______
是摆动数列，_________是常数列（填序号）.
【解析】根据数列的定义，观察数列中的项随序号变化的情况.
答案：(1) (2) (3) (4) 用观察法求数列的通项公式
【名师指津】1.用观察法求数列的通项公式的一般规律.
（1）(2)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用
（-1）k处理符号问题.
(3)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等.2.“基本数列”的通项公式.
(1)数列-1，1，-1，1，…的通项公式是an=(-1)n；
(2)数列1，2，3，4，…的通项公式是an=n；
(3)数列3，5，7，9，…的通项公式是an=2n+1；
(4)数列2，4，6，8，…的通项公式是an=2n；
(5)数列1，2，4，8，…的通项公式是an=2n-1；(6)数列1，4，9，16，…的通项公式是an=n2.
(7)数列1，3，6，10，…的通项公式是an=
(8)数列 …的通项公式是an=
【特别提醒】有些数列的通项公式并不惟一.【例2】写出下列数列的一个通项公式：
（1） 2， 8， …；
（2）9，99，999，9 999，…；
（3） …；
（4）2， …
【审题指导】题目中给出了各数列的表达形式，经过观
察，分析寻找每一项与其项数的统一规律,结合“基本数列”
的通项公式来求解.【规范解答】(1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可
将各项都统一成分数再观察： …,所以，它的
一个通项公式为an= (n∈N*).
(2)各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，…此数列
的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为an=10n-1.（3）数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数
列，可用2n-1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的
平方，可用（n+1）2表示，分子的后一部分是减去一个自然
数，可用n表示，综上，原数列的通项公式为an=
(n∈N*).（4）数列的符号规律是（-1）n+1，使各项分子为4，变
为 …，再把分母分别加1，又变为
…，∴数列的通项公式为an= (n∈N*).【互动探究】若本例（4）中，数列变为-2，
…，又如何求其通项公式呢？
【解题提示】首先观察符号的规律，再观察分子的特点.
【解析】数列的符号规律是（-1）n,使各项分子为4，变为
…,再把分母分别加1,又变为 …,
∴数列的通项公式为an= (n∈N*). 数列的函数特性
【名师指津】数列与函数的关系
（1）数列中的对应.
对于任意数列如：1， …，每一项的序号与该
项都有对应关系，见下表： (2)从函数的观点看数列.
数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1,2,…,n}）的函数f（n），当它的自变量n从开始依次取正整数值时，对应的一列函数值为f（1），f（2），…，
f（n），….（3）数列的图象表示.
以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标描点画图，就可以得到数列的图象.因为它的定义域是正整数集N*（或它的有限子集{1,2,…,n}）所以其图象是一群孤立的点，这些点的个数可以是无限的，也可以是有限的.【例】已知函数f(x)=2x-2-x，数列{an}满足f(log2an)=-2n.求
数列{an}的通项公式.
【审题指导】题目中给出了函数的表达式以及数列满足的条
件，欲求数列的通项公式，可建立关于an的一元二次方程求解.
【规范解答】∵f(x)=2x-2-x,f(log2an)=-2n,
=-2n,an- =-2n,
∴ +2nan-1=0,解得an=-n±
∵an>0,∴an= -n，n∈N*.【变式备选】写出数列1， …的通项公式，并判断它的
增减性.
【解题提示】观察得到数列的通项公式，判断an与an+1之间的
关系，用作差法.
【解析】通过观察归纳得数列的通项公式为an= (n∈N*).
又∵an+1-an= ＜0,∴an+1＜an.
∴该数列是递减数列.【典例】(12分)数列{an}的通项公式是an=n2-8n+12.
（1）这个数列的第3项是多少？
（2）32是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
（3）求an的最小值，并求此时n的值.
【审题指导】题目中给出了数列{an}的通项公式，此通项公式是关于n的二次函数，可结合二次函数的性质及图象特点，利用方程求解即可.【规范解答】(1)∵an=n2-8n+12，
∴a3=32-8×3+12=-3. ……………………………3分
(2)令n2-8n+12=32，即n2-8n-20=0，
解得n=-2(舍去)或n=10.
∴n=10，即32是该数列的第10项 ……………………7分
(3)∵an=n2-8n+12=（n-4）2-4，∴当n=4时，an最小，故
（an）min=a4=-4. …………………………………… 12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】求数列{-2n2+9n+3}中的最大项.
【解析】已知-2n2+9n+3=-2（n- ）2+ 由于n为正整
数，故当n=2时，取得最大值为13，所以数列{-2n2+9n+3}
中的最大项为第二项，为13.1.下列说法错误的是（ ）
（A）数列4，7，3，4的第一项是4
（B）数列{an}中，若a1=3，则从第2项起，各项均不等于3
（C）数列-1，0，1，2与数列0，1，2，-1不相同
（D）-1,1,2,0,-3是摆动数列
【解析】选B.由数列的概念及表示来判断.2.数列{an}中，an=3n-1，则a2等于（ ）
（A）2 （B）3 （C）9 （D）32
【解析】选B.把n=2代入an=3n-1，得a2=32-1=3.3.已知数列{an}中，an+1=an+3,则数列{an}是( )
（A）递增数列 （B）递减数列
（C）常数列 （D）摆动数列
【解析】选A.∵an+1=an+3,∴an+1-an=3>0,即an+1>an.4.数列-1， …的一个通项公式是_______.
【解析】分母为正奇数，故分母为2n-1,分子为1，又奇数
项为负，偶数项为正，所以an=
答案：an=5.已知数列{an}的通项公式an= 则 a3+a4=________.
【解析】a3+a4=
答案：6.已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n,则-49是否是该数
列的一项？如果是，应是哪一项？
【解析】令3n2-28n=-49，解得n=7或n= （舍去）,
所以-49是该数列的第7项.课件34张PPT。【思考】【点拨】 由递推公式写出数列的项
【名师指津】由递推公式写出数列的项的方法.
(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可;
(2)解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；
(3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.【特别提醒】若递推公式涉及数列中相邻的两项，需知道一个具体的项；若递推公式涉及数列中相邻的三项，需知道两个具体的项.【例1】在数列{an}中，已知a1=2，a2=3，an+2=3an+1-2an（n≥1）写出此数列的前六项.
【审题指导】通过观察，此题的递推公式是数列中相邻三项的关系式，知道前两项就可以求出后一项.
【规范解答】a1=2，a2=3，
a3=3a2-2a1=3×3-2×2=5，
a4=3a3-2a2=3×5-2×3=9，
a5=3a4-2a3=3×9-2×5=17,
a6=3a5-2a4=3×17-2×9=33.【变式训练】已知数列{an}的第一项是1，以后各项由公式
an-1=2an-2给出，写出这个数列的前五项.
【解题提示】可先将公式变形为an=1+ an-1.根据递
推公式写出数列的前几项，可由a1=1及a2=1+ a1，求出a2
这一步是解题的关键.
【解析】∵an-1=2an-2,
∴an=1+ an-1.又a1=1,∴a2= a3= a4= a5= 由递推公式求通项公式
1.由递推公式写出通项公式的步骤：
（1）先根据递推公式写出数列的前几项（至少是前3项）;
（2）根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式；
（3）写出一个通项公式并证明.【名师指津】2．用“累加法”求数列的通项公式.
当an-an-1=f（n）（n≥2）满足一定条件时，常用an=
（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1累加来求通项an.
【特别提醒】求出通项公式后一定要验证首项是否满足此通项公式.【例2】已知数列{an}满足a1=1，an=an-1+ （n≥2,
n∈N*），写出该数列的前五项以及它的一个通项公式.
【审题指导】由a1=1以及递推公式写出前五项，再观察前
五项的特点，总结规律，猜想归纳出一个通项公式,可结合
裂项相消法与累加法来证明.【规范解答】a1=1，a2=a1+ =1+
a3=a2+ a4=a3+
a5=a4+
故数列的前5项分别为1，
由于1=
∴数列{an}的一个通项公式为an=证明：由an=an-1+ （n≥2）得
an-an-1= （n≥2）
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1
又当n=1时,a1=2- =1也成立.
故an=2- （n∈N*）【互动探究】若本例中“an=an-1+ （n≥2,n∈N*）”
改为“an=an-1+2（n≥2,n∈N*）”，其余条件不变，又如
何求解？
【解题提示】由a1=1以及an=an-1+2（n≥2,n∈N*）写
出前五项，再观察前五项的特点，总结规律，猜想归纳出
一个通项公式，再用累加法来证明.【解析】a1=1，a2=a1+2=1+2=3，
a3=a2+2=3+2=5，a4=a3+2=5+2=7，a5=a4+2=7+2=9，
故数列的前5项分别为1，3，5，7，9，是连续的奇数，故数列的一个通项公式是an=2n-1（n∈N*）.
证明:由an=an-1+2（n≥2）得an-an-1=2，
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+ （a2-a1）+a1
=2+2+2+…+2+1
上述式子中共有（n-1）个2，故an=2（n-1）+1（n≥2,n∈N*）,
又a1=1=2×（1-1）+1也成立，∴an=2n-1（n∈N*）. 用累乘法求数列的通项公式
【名师指津】累乘法的使用条件和方式.
（1）累乘法：当 =g（n）(n≥2)满足一定条件时，常
用an= 累乘.
（2）使用累乘法或迭代法要运用函数的运动变化的观点，不断地变换递推公式中的“下标”，直到可以用首项或前几项表示是解题的关键.【例】设{an}是首项为1的正项数列，且 求它的
通项公式.
【审题指导】由题目知 符合 =g（n）的形式
且a1=1，利用累乘法求通项即可.
【规范解答】
∵an=
∴an=【变式备选】已知数列{an}，a1=2，an+1=2an，写出数列的前五项，猜想an，并加以证明.
【解析】由a1=2，an+1=2an得
a2=2a1=2×2=4=22，
a3=2a2=2×4=8=23，
a4=2a3=2×8=16=24，
a5=2a4=2×16=32=25，
…
猜想an=2n（n∈N*）.证明如下：
由a1=2，an+1=2an得
∴an= =2×2×2×2×…×2×2
=2n(n∈N*). 【典例】（12分）已知数列{an}满足a1=2，an+1=an+
ln（1+ ），写出该数列的前四项并求数列的通项公式.
【审题指导】题目中给出a1=2以及递推公式，逐次写出前四
项即可，由an+1= an+ln（1+ ）可得an+1-an=ln（1+ ），
利用累加法求通项.【规范解答】∵a1=2，an+1=an+ln（1+ ），
∴a2=a1+ln（1+1）=2+ln2, ……………………2分
a3=a2+ln（1+ ）=2+ln2+ln =2+ln3, …………………3分
a4=a3+ln（1+ ）=2+ln3+ln =2+ln4. …………………4分
可猜想an=2+lnn（n∈N*）. ……………………5分由an+1=an+ln（1+ ）可得：
an+1-an=ln（1+ ）=ln（ ） ……………………7分
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+（an-2-an-3）+…+（a3-a2）
+（a2-a1）+a1=ln +ln +ln +…+ln
+ln +2 …………………………………………9分
=ln（ ）+2=lnn+2，………………11分
∴该数列的通项公式为an=lnn+2（n∈N*）. …………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】数列{an}中，a1=1,an+1= (n∈N*),则a10=__________.
【解析】由an+1= 得
∴
累加得 ∴a10=
答案： 1.数列{an}中，a1=-1，an+1=an-3，则a3等于（ ）
（A）-7 （B）-4 （C）-1 （D）2
【解析】选A.a2=a1-3=-1-3=-4,a3=a2-3=-4-3=-7.2.数列0，2，4，6，…的递推公式可以是（ ）
（A）an+1=an+2 （B）an+1=2an
（C）an+1=an,a1=0 （D）an+1=an+2,a1=0
【解析】选D.选项A、B中没有明确a1的大小，故选项A、B不是；选项C中，a2=0, a3=0,a4=0,则选项C不是；选项D中，a2=2,a3=4,a4=6,则选项D是.3.下列数列满足an+1= 的是（ ）
(A)1,1,1,1,… (B)2,2,2,2,…
(C)3,1,3,1,… (D)-1,1,-1,1,…
【解析】选A.因为选项A中, a1=1，an+1= 则能依次求出a2=a3=a4=1.4.已知数列{an}满足a1= an=(n-1) an-1（n≥2),则a4=_______.
【解析】a2=（2-1）a1= a3=（3-1）a2=1，
a4=（4-1）a3=3.
答案：35.已知f(1)=2,f(n+1)= (n∈N*),则f(4)=________.
【解析】∵f(1)=2,f(n+1)=
∴f(2)= f(3)= f(4)=
答案： 6.设数列{an}满足a1=2，an=2+ （n>1,n∈N*）,试写出这
个数列的前四项.
【解析】∵a1=2,an=2+ （n>1,n∈N*），
∴a2=2+
a3=2+
a4=2+课件33张PPT。【点拨】【思考】 等差数列的判定与证明
1.判断一个数列是等差数列的常用方法
(1)an+1-an=d（常数）（n∈N*）?{an}是等差数列.
(2) 2an+1=an+an+2（n∈N*）?{an}是等差数列.
(3)an=kn+b(k,b是常数，n∈N*)?{an}是等差数列.【名师指津】2．定义法判断或证明数列{an}是等差数列的步骤：
（1）作差an+1-an，将差变形；
（2）当an+1-an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an+1-an不是常数，而是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列.
【特别提醒】作差an+1-an,是指数列中的任意相邻两项，不是指数列中的特殊两项.若an-an-1，需强调n≥2.【例1】已知数列{an}满足a1=4，an=4- （n＞1, n∈N*），
记bn= 试判断数列{bn}是否为等差数列？说明理由.
【审题指导】题目中给出了数列{an}的递推关系式以及bn和an的关系，欲判断数列{bn}是否为等差数列，只需说明bn+1-bn为常数是否成立.【规范解答】∵bn+1-bn= =
又b1=
∴数列{bn}是以 为首项， 为公差的等差数列.【互动探究】在本例中若an= （n＞1,n∈N*），能否
判定数列{ }是等差数列？
【解题提示】利用等差数列的定义判断.
【解析】∵an= （n＞1,n∈N*）,
∴ 即
∴ （常数）.
又 ∴数列{ }是以 为首项，4为公差的等差数列.【变式训练】已知数列{an}满足an=3-2n，试判断其是否为
等差数列.
【解析】∵an+1-an=[3-2(n+1)]-(3-2n)=-2,
∴数列{an}是等差数列. 等差数列的通项公式及其应用
【名师指津】等差数列的通项公式及其应用.
（1）从函数的角度看等差数列的通项公式.由等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d可得an=dn+（a1-d），当d≠0时，an是关于n的一次函数.（2）由两点确定一条直线的性质可以得出，等差数列的任意两项可以确定这个等差数列.若已知等差数列的通项公式，可以写出数列中的任意一项.
（3）等差数列{an}的通项公式an=a1+（n-1）d中含有四个量，即an，a1，n，d，如果知道了其中的任意三个量，就可以由通项公式求出第四个，这一求未知量的过程我们通常称之为“知三求一”.【例2】在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，求通项公式an.
【审题指导】本题给出了等差数列{an}中的两项，可利用等差数列的通项公式，列出方程组，求解即可.
【规范解答】设公差为d,由题意a5=10，a12=31，可知，
∴an=-2+(n-1)×3=3n-5.【互动探究】若本例条件不变，求a20.
【解题提示】利用等差数列的通项公式列出方程组求得a1和d，然后求出a20.
【解析】由原题解析可知an=3n-5,
∴a20=3×20-5=55.【例】已知等差数列{an}的前三项分别为a，2a，2a+1.试写出此数列的通项公式，并判断此数列的增减性.
【审题指导】欲写出等差数列的通项公式，只需求出该数列的首项和公差，利用等差数列的定义求解.【规范解答】∵a，2a，2a+1为等差数列{an}的前三项，
∴2a-a=2a+1-2a.
解得a=1.∴公差d=2a-a=a=1.
∴an=a1+（n-1）d=1+（n-1）×1=n.
∴通项公式an=n.由于公差d=1＞0，所以该数列为递增数列.【变式备选】已知等差数列1，8，15，…，那么134是不是该数列的项？若是，是第几项？
【解析】因为a1=1，公差d=8-1=7，
所以an=1+（n-1）×7=7n-6.
令7n-6=134，得n=20，故134是这个数列的第20项.【典例】(12分)已知三个数成等差数列，它们的和为9，积为-21，求这三个数.
【审题指导】题目中已知三个数成等差数列，可采用对称的设法，设这三个数分别为a-d，a，a+d，利用和为定值，先求得a的值，再利用积为-21，依次求得三个数.【规范解答】设这三个数为a-d，a，a+d ……………3分
由题意得：
……………………6分
解得a=3，
d=4或d=-4 ………………………………………… 9分
当d=4时，三个数分别为-1，3，7.
当d=-4时，三个数分别为7，3，-1. ……………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数.
【解题提示】可充分利用等差中项的定义求解未知量.
【解析】方法一:设这三个数为a-d，a，a+d，由已知得：
由①得a=6，代入②得d=±2，∵该数列是递增的，
∴ d=-2(舍去)，
∴这三个数为4，6，8.方法二：设这三个数为a，b，c，
则由题意得
解得a=4，b=6，c=8.1.下列说法正确的是（ ）
(A)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列
(B)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列
(C)一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列(D)一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列
【解析】选D.等差数列的定义:一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列.2.等差数列1,-1,-3,…,则-89的项数是（ ）
（A）92 (B)47 (C)46 (D)45
【解析】选C.设an=-89，由an=a1+(n-1)d，得-89=1+(n-1) ×（-2）,解得n=46.3.已知等差数列{an}中，首项为4,公差d=-2,则通项公式an等
于（ ）
(A)4-2n (B)2n-4
(C)6-2n (D)2n-6
【解析】选C.通项公式an=a1+(n-1)d=4+(n-1)×(-2)=6-2n.4.等差数列{an}中, a2=9, a3=7,则公差d=________.
【解析】d=a3-a2=7-9=-2.
答案：-25.一个等差数列的第五项a5=10，且a1+a2+a3=3，则a1=______,
d=________.
【解析】∵a5=a1+4d=10, a1+（a1+d）+(a1+2d)=3,
∴a1=-2，d=3.
答案：-2 36.已知等差数列{an}中，a1=-a9=24,求a10.
【解析】设等差数列的公差为d.
由a9=a1+（9-1）d=24+8d=-24,得d=-6, a10=a1+9d=24+9 ×(-6)=-30.课件38张PPT。【思考】【点拨】 等差数列性质的应用
【名师指津】等差数列的“子数列”性质.若数列{an}是公差为d的等差数列，则
（1）{an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列；
（2）奇数项数列{a2n-1}是公差为2d的等差数列；偶数项数列{a2n}是公差为2d的等差数列；
（3）若{kn}成等差数列，则{ }也是等差数列.【特别提醒】数列{an}的子数列所具有以上性质的前提是：数列{an}是等差数列.【例1】在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，求a2+a8.
【审题指导】由题目可知3+7=4+6=2×5=2+8，结合等差数列的性质:m+n=p+q? am+an=ap+aq.可得a3+a7=a4+a6=2a5=a2+a8.
【规范解答】因为a3+a7=a4+a6=2a5，所以a3+a7+a4+a6+a5=5a5，所以5a5=450，即a5=90.
又因为a2+a8=2a5，所以a2+a8=180.【互动探究】在本题中，若改为a2+a8=180，又如何求a3+a4+a5+a6+a7的值呢？
【解题提示】利用等差数列的性质.
【解析】因为a2+a8=2a5=180，
所以a5=90.
又因为a3+a7=a4+a6=2a5.
所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=5×90=450.【变式训练】在等差数列{an}中，a2+a3+a10+a11=48，则a6+a7=_______.
【解题提示】利用等差数列的性质:m+n=p+q?am+an=ap+aq.
【解析】∵在等差数列{an}中，a2+a11=a3+a10=a6+a7，
∴a2+a3+a10+a11=2（a6+a7）=48，∴a6+a7=24.
答案：24 等差数列的有关运算
【名师指津】等差数列有关运算的技巧
（1）当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…;
（2）当等差数列{an}的项数为偶数项时，可设中间两项为a-d，a+d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a-3d,a-d,a+d, a+3d,…,这样可减少运算量.【例2】(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数.
（2）四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为-8，求这四个数.
【审题指导】由题目可知
（1）根据三个数的和为9，成等差数列，可设这三个数为a-d，a，a+d（d为公差）；（2）四个数成递增等差数列，且中间两数的和已知，可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d（公差为2d）;
也可以设出等差数列的首项和公差，建立基本量的方程组求解.
【规范解答】（1）方法一：设这三个数分别为a-d,a,a+d（d为公差）,则（a-d）+a+（a+d）=9，（a-d）·a=6（a+d），
解得：a=3,d=-1,故所求三个数为4，3，2.方法二：设数列的首项为a,公差为d,则这三个数分别为a,a+d,a+2d,由已知得：a+（a+d）+（a+2d）=9,
a（a+d）=6（a+2d）解得：a=4,d=-1,故这三个数分别为4,3,2.(2)方法一:设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d（公差为2d），
依题意，2a=2，且（a-3d）（a+3d）=-8，即a=1，a2-9d2=
-8，∴d2=1，∴d=1或d=-1.又四个数成递增等差数列，所以d
＞0，∴ d=1，故所求的四个数为-2，0，2，4.方法二：若设数列的首项为a，公差为d，则这四个数为a，a+d，a+2d，a+3d,依题意，2a+3d=2，且a（a+3d）=-8，把a=1- d代入a（a+3d）=-8，得（1- d）（1+ d）=-8，
即1- =-8，化简得d2=4，所以d=2或-2.又四个数成递增
等差数列，所以d＞0，所以d=2，所以a=-2,故所求的四个数为-2，0，2，4.【变式训练】已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方
和为 求这5个数.
【解题提示】等差数列{an}的项数5为奇数，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：a-2d，a-d，a，a+d，a+2d.【解析】设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a-2d,
a-d，a，a+d，a+2d.由已知有：
由①得，5a=5,∴a=1,代入②整理得10d2= ∴d2=
∴d=±
当d= 时，这5个数分别为
当d=- 时，这5个数分别为 等差数列的综合应用
【名师指津】
1.等差数列综合问题的类型：
等差数列是关于n的一次函数（d=0时为常数函数），常与单调性、参数的取值范围以及解三角形等问题相结合考查.2.解决数列综合问题的方法策略
（1）结合等差数列的性质或利用等差中项.
（2）利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式.
（3）利用函数或不等式的有关方法解决. 【例】在△ABC中，若lgsinA,lgsinB,lgsinC成等差数列，且三个内角A,B,C也成等差数列，试判断三角形的形状.
【审题指导】题目中的两个数列都是等差数列，并且都有三项，可充分利用等差中项构造出角的关系式，根据角的关系判断三角形的形状.【规范解答】由A,B,C成等差数列，得2B=A+C，
又A+B+C=π，∴3B=π，B=
∵lgsinA,lgsinB,lgsinC成等差数列，
∴2lgsinB=lgsinA+lgsinC，
即sin2B=sinAsinC,∴sinAsinC=又∵cos（A+C）=cosAcosC-sinAsinC，
cos（A-C）=cosAcosC+sinAsinC,
∴sinAsinC=- ［cos（A+C）-cos（A-C）］,
∴- ［cos -cos（A-C）］=
∴ cos（A-C）= ∴cos（A-C）=1.
∵（A-C）∈（ ）,∴A-C=0,即A=C= ∴A=B=C.
故△ABC为等边三角形.【变式备选】在△ABC中，a,b，c分别为A,B,C的对边，如果a,b，c成等差数列，B=30°，且△ABC的面积为 则b=________.
【解题提示】利用等差数列的性质以及余弦定理求解.
【解析】由a,b，c成等差数列，得a+c=2b，所以a2+2ac+c2=4b2.由余弦定理可得b2=a2+c2-2ac·cosB.
即a2+c2=b2+2accosB.由△ABC的面积为 B=30°，得 acsinB= 所以2ac=12.综
合以上式子可得b2+12×cos30°+12=4b2，整理得b2= +4，
又因为b＞0，所以解得b= +1.
答案： +1 【典例】（12分）已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a11=-26，a51=54，求a14的值.你能判断该数列从第几项开始为正数吗？
【审题指导】题目中给出了等差数列中的两项，列出方程组可先求出a1和d，再求a14.也可利用等差数列的性质求d，再求a14的值.要判断从第几项为正数，可令an＞0解不等式求解.【规范解答】方法一：由等差数列an=a1+（n-1）d列方程
组： …………………………………………3分
解得 …………………………………………6分
∴a14=-46+13×2=-20 …………………………………8分
∴an=-46+(n-1)×2=2n-48 ………………………10分
令an≥0，即2n-48≥0 n≥24.
∴从第25项开始，各项为正数 ………………………12分方法二：在等差数列{an}中，根据an=am+（n-m）d，
∴a51=a11+40d， …………………………………………3分
∴d= ×（54+26）=2 ……………………………6分
∴a14=a11+3d=-26+3×2=-20 ……………………8分
∴an=a11+（n-11）d=-26+2(n-11),∴an=2n-48 ………10分
由an≥0得：2n-48≥0,∴n≥24.
显然当n≥25时，an＞0.
即从第25项开始,各项为正数. ………………………12分 【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】已知等差数列{an}的首项a1= 第10项是第一个
大于1的项，求公差d的取值范围.
【解题提示】由第10项是第一个大于1的项,则a9≤1，a10＞1,列出不等式组，确定d的范围.
【解析】由a1= 则an= +（n-1）d.
由题意知 即 解得
即公差d的取值范围是 1.等差数列{an}的公差d=2,a1=2,则an等于（ ）
(A)2 (B)2n-2
(C)2n (D)2n+2
【解析】选C.an=a1+(n-1)d=2+(n-1)×2=2n.2.x+1与y-1的等差中项为10，则x+y等于（ ）
(A)0 (B)10 (C)20 (D)不确定
【解析】选C.(x+1)+(y-1)=2×10=20,所以x+y=20.3.等差数列{an}中,a2 010+a2 011=888,则a2 009+a2 012=________.
【解析】a2 009+a2 012=a2 010+ a2 011=888.
答案：8884.等差数列{an}中，a2=5,a4=a6+6,则a1=________.
【解析】∵2d=a6-a4=-6,∴d=-3.
∴a1=a2-d=5-(-3)=8.
答案：85.已知等差数列{an}中，a5+a8=18，求a2+a3+a10+a11.
【解析】∵{an}是等差数列，
∴a2+a3+a10+a11=(a2+a11)+(a3+a10)=2(a5+a8)=2×18=36.课件32张PPT。【思考】【点拨】 等差数列前n项和的有关计算
1.等差数列前n项和的应用
（1）等差数列前n项和公式，共涉及到五个量a1、n、d、an、Sn.若已知其中三个量，可求另外两个量，也就是我们说的“知三求二”，其方法一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程（组）求解.
（2）在利用等差数列前n项和公式解题时，常常要联系该公式的变形形式：Sn= 或Sn=An2+Bn.【名师指津】2.依据等差数列的性质得到的结论.
（1）当n为奇数时，Sn=
（2） =a1+（n-1）
【特别提醒】注意应用等差数列性质来简化计算过程，同时在解题过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用.【例1】已知等差数列{an}.
(1)a1= a15= Sn=-5,求n和d;(2)a1=4,S8=172,求a8和d.
【审题指导】根据等差数列前n项和公式解方程.
【规范解答】（1）∵a15= +(15-1)d= ∴d=
又Sn=na1+ ·d=-5,解得n=15,n=-4（舍）.
（2）由已知，得S8= 解得a8=39,
又∵a8=4+(8-1)d=39,∴d=5.【变式训练】在等差数列{an}中，已知a6=10，S5=5，求a8.
【解析】方法一：设公差为d,
∵a6=10，S5=5，
∴ 解得 ∴a8=a6+2d=16.
方法二：设公差为d,
∵S6=S5+a6=15，∴15= 即3（a1+10）=15.
∴a1=-5，d= =3.∴a8=a1+（8-1）d=16. 等差数列前n项和的性质的应用
等差数列前n项和的性质.
(1)项数（下标）的“等和”性质：
(2)项的个数的“奇偶”性质：
等差数列{an}中，公差为d：
①若共有2n项，则S2n=n（an+an+1）；
S偶-S奇=nd；S偶∶S奇= an+1∶an；【名师指津】②若共有2n+1项，则S2n+1=（2n+1）an+1；
S偶-S奇=-an+1；S偶∶S奇=n∶（n+1）；
③“片段和”性质：
等差数列{an}中，公差为d，前k项的和为Sk，则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Smk-S（m-1）k,…构成公差为k2d的等差数列.【例2】Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10=100，S100=10，
求S110.
【审题指导】题目给出等差数列{an}中的S10=100，S100=10，欲求S110，可由等差数列前n项和公式列出方程组，求出a1和d，然后求出S110.或由等差数列“片段和”性质Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Smk-S（m-1）k,…构成公差为k2d的等差数列求出公差，然后求出S110.【规范解答】方法一:设等差数列{an}的公差为d,前n项和
为Sn,则Sn=na1+
由已知得
①×10-②,整理得d= 代入①,得a1=
∴S110=110a1+ =-110.
故此数列的前110项之和为-110.方法二:数列S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差
数列,设其公差为D,前10项和为10S10+ ·D=S100=10
D=-22,∴S110-S100=S10+(11-1)D
=100+10×(-22)=-120.
∴S110=-120+S100=-110.【变式训练】等差数列{an}中，a2+a7+a12=24，求S13.
【解题提示】利用等差数列的性质
Sn=
【解析】因为a1+a13=a2+a12=2a7，又a2+a7+a12=24，所以
a7=8，所以S13= =13×8=104.【例】已知等差数列{an}的前4项和为25，后4项和为63，
前n项和为286，求项数n.
【审题指导】题目给出前4项和与后4项和，可利用等差数
列项数（下标）的“等和”性质：
Sn= 来求得.【规范解答】因为a1+a2+a3+a4=25，
an-3+an-2+an-1+an=63.
而a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3，
所以4（a1+an）=88，所以a1+an=22，
所以Sn= =11n=286，所以n=26.
故所求的项数为26.【变式备选】已知等差数列{an}的前n项和为377，项数n为奇
数，且前n项和中奇数项和与偶数项和之比为7∶6，求中间项.
【解题提示】在等差数列{an}中，若共有2n+1项，
则S2n+1=（2n+1）an+1；
S偶∶S奇=n∶（n+1）.
【解析】因为n为奇数，所以 所以n=13，所以
13·a7=S13=377，所以a7=29，
故所求的中间项为29. 【典例】（12分）在等差数列{an}中，a1=25，S17=S9，求Sn的最大值.
【审题指导】题目给出首项和S17=S9等条件，欲求Sn的最大值可转化为二次函数求最值，或利用通项公式an求n使得an≥0,an+1＜0或利用性质求出大于或等于零的项.【规范解答】方法一：设公差为d,由S17=S9得
25×17+ =25× …………………3分
解得d=-2，………………………………………………6分
∴Sn=25n+ ×（-2）=-（n-13）2+169， ………9分
由二次函数性质得，当n=13时，Sn有最大值169. ……12分方法二：先求出公差d=-2（同方法一）， ………………6分
∵a1=25＞0,故{an}为递减数列，由 得
解得 ……………………9分
即 又n∈N*
∴当n=13时，Sn有最大值S13=13×25+ ×（-2）
=169. …………………………………………12分方法三：先求出公差d=-2（同方法一）， ………………6分
由S17=S9，得a10+a11+…+a17=0，
而a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14，
故a13+a14=0 …………………………………………9分
∵d=-2＜0,a1＞0,∴a13＞0,a14＜0.
故n=13时，Sn有最大值169. ……………………12分【误区警示】对解答本题时易犯错误的具体分析如下：【即时训练】在等差数列{an}中，a1=50，d=-0.6.
（1）从第几项起以后各项均小于零？
（2）求此数列前n项和的最大值.
【解题提示】（１）实质上是解一个不等式，但要注意
ｎ为正整数；（２）转化为求二次函数的最大值的问题．
【解析】（1）∵a1=50，d=-0.6,
∴an=50-0.6（n-1）=-0.6n+50.6.
令-0.6n+50.6≤0，则n≥ ≈84.3.
由n∈N*,故当n≥85时，an＜0，即从第85项起以后各项均小于0.(2)方法一：∵a1=50＞0，d=-0.6＜0，
由（1）知a84＞0，a85＜0，
∴S1＜S2＜S3＜…＜S84，且S84＞S85＞S86＞….
∴（Sn）max=S84=50×84+ ×（-0.6）=2 108.4.
方法二：Sn=50n+ ×（-0.6）=-0.3n2+50.3n
=-0.3（n- ）2+
当n取最接近于 的自然数，即n=84时，Sn取得最大值
S84=2 108.4.1.在等差数列{an}中，已知a1=4，a6=6，则前6项和S6=（ ）
（A）70 （Ｂ）35 （Ｃ）30 （Ｄ）12
【解析】选Ｃ．S6＝ ＝30．2.等差数列{an}的前ｎ项和为Sn，若a3＋a17＝10，则
S19＝（ ）
（Ａ）55 （Ｂ）95
（Ｃ）100 （Ｄ）不能确定
【解析】选Ｂ．S19＝ ＝95．3.已知数列{an}的通项an＝-５n＋２，则其前ｎ项和
Sn＝_______．
【解析】an+1-an＝-５，∴{an}是等差数列．a1＝-３，
ｄ＝-５，∴Sn＝-３ｎ＋ ×（-５）＝
答案： 4.等差数列{an}的前ｎ项和为Sn，若a2＝１，a3＝３，则
S4＝___________．
【解析】∵a2=1，a3＝３，∴ｄ＝２，a1＝-１，
∴S4＝８．
答案：８5.已知{an}是等差数列，a1＋a3＋a5＝９，a6＝９，求此数列前６项的和．
【解析】设公差为d,
∵a1＋a3＋a5＝9，a6＝９，∴3a3=9,a3=3，
∴a6=a3+(6-3)d，∴d=2,解得a1=a6-5d=-1.
∴S6=6×(-1)+30=24.课件34张PPT。 已知Sn求通项公式an
【名师指津】数列前n项和Sn与通项公式an的关系.
已知数列{an}的通项公式an就可以求数列{an}的前n项和Sn；反过来，若已知数列{an}的前n项和Sn也可以求数列{an}的通项公式an.
∵Sn=a1+a2+a3+…+an,∴Sn-1=a1+a2+a3+…+an-1(n≥2),
在n≥2的条件下，把上面两式相减可得：
an=Sn-Sn-1(n≥2)，当n=1时，a1=S1，所以an=【特别提醒】an=Sn-Sn-1只对n≥2的正整数成立.由Sn求通项公式an时，要分n=1和n≥2两种情形，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示.【例1】已知数列{an}的前n项和为Sn，且当n∈N*时满足Sn=-3n2+6n，求数列{an}的通项公式an.
【审题指导】题目中给出了数列的前n项和Sn的表达式，欲求此数列{an}的通项公式an，可利用an=Sn-Sn-1（n≥2)，然后再验证当n=1时是否成立，可否用统一解析式表示，即可求解.【规范解答】当n=1时，a1=S1=3,
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(-3n2+6n)-[-3(n-1)2+6(n-1)]=9-6n，
a1=3符合此式.
∴an=9-6n(n∈N*).【互动探究】若本例中“Sn=-3n2+6n”改为“Sn=-3n2 +6n +1”,其他条件不变，又如何求通项公式an呢？
【解题提示】利用an与Sn的关系，即an=Sn-Sn-1(n≥2)求解即可,注意验证n=1时是否成立.
【解析】当n=1时，a1=S1=4.
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（-3n2+6n+1）-[-3（n-1）2+6(n-1) +1]=9-6n,a1=4不符合此式.
故an= 求数列{｜an｜}的前n项和
【名师指津】求数列{｜an｜}的前n项和的方法策略.
等差数列各项取绝对值后组成的数列{｜an｜}的前n项和，可分为以下情形：
(1)等差数列{an}的各项都为非负数，这种情形中数列{｜an｜}就等于数列{an}，可以直接求解.
(2)等差数列{an}中，a1>0,d<0，这种数列只有前边有限项为非负数，从某项开始其余所有项都为负数，可把数列{an}分成两段处理.(3)等差数列{an}中，a1<0,d>0,这种数列只有前边有限项为负数,其余都为非负数，同样可以把数列分成两段处理.
总之，解决此类问题的关键是找到数列{an}的正负界点.
【特别提醒】对于含有正、负项的等差数列{an}，一定要明确从哪项开始为正或从哪项开始为负.【例2】已知等差数列{an}中，S2=16，S4=24，求数列{｜an｜}的前n项和An.
【审题指导】题目中给出的数列{an}是等差数列，且S2=16，S4=24，由此可先求得首项和公差，即可得通项公式an，欲求数列{｜an｜}的前n项和An，关键是先判断出{an}中哪些项是负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和.【规范解答】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d,
由已知列方程组
解得a1=9，d=-2，∴an=11-2n.
令an<0，得11-2n<0，即n>5.5.
设Sn表示数列{an}的前n项和，
∴当n≤5时，an>0，An=Sn=-n2+10n；当n≥6时，an<0，
An=a1+a2+a3+a4+a5-a6-a7-…-an
=a1+a2+a3+a4+a5-(a6+a7+…+an)
=2(a1+a2+a3+a4+a5)-(a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+…+an)
=2S5-Sn=2×(-52+50)-(-n2+10n)=n2-10n+50
∴An=【变式训练】在等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|an|}
的前n项和.
【解题提示】由a1=-60，a17=-12，可先求得公差d，分
清哪些项是负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和.
【解析】设数列{an}的公差为d，则d= =3,
∴an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.
由an＜0,得3n-63＜0，即n＜21.当n=21时，a21=0.
∴数列{an}的前20项是负数，第20项以后的项都为非负数.设Sn,Sn′分别表示数列{an}和{|an|}的前n项之和，
当n≤20时，
Sn′=|a1|+|a2|+…+|an|=-a1-a2-…-an
=-Sn=-［-60n+ ×3］=
当n＞20时，
Sn′=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20
=-60n+ ×3-2×(-60×20+ ×3)∴数列{|an|}的前n项和
Sn′= 等差数列在实际问题中的应用
【名师指津】利用等差数列的知识解决实际问题的方法策略.
利用转化思想将实际应用题转化为等差数列求和问题.对于此类有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究建立数列的数学模型，最后求出实际答案，一般可从以下几步考虑： 【例】从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售.4月1日该款服装售出10件，第二天售出25件，第三天售出40件，以后每天售出的件数分别递增15件，直到4月12日日销售量达到最大，然后，每天售出的件数分别递减10件.
(1)记从4月1日起该款服装日销售量为an,销售天数为n,1≤n≤30,求an与n的关系；(2)求4月份该款服装的总销售量；
(3)按规律，当该商场销售此服装超过1 200件时，社会上就开始流行，当此服装的销售量连续下降，且日销售量低于100件时，则此服装在社会上不再流行.试问：该款服装在社会上流行的时间是否超过10天？说明理由.【审题指导】由题意分析可知，求总销售量问题可转化为等差数列求和问题，总体解题思路可归结为以下形式：【规范解答】(1)设从4月1日起该款服装的日销售量构成数列{an}.
由题意知，数列a1,a2,…,a12是首项为10，公差为15的等差数列，∴an=15n-5(1≤n≤12且n∈N*).
而a13,a14,a15，…,a30是首项为a13=a12-10=165,
公差为-10的等差数列，
∴an=165+(n-13)×(-10)=-10n+295(13≤n≤30且n∈N*).
∴an=(2)4月份该款服装的总销售量为
+18a13+
=2 550(件).
(3)4月1日至4月12日的销售总量为
=1 110<1 200,
∴4月12日前该款服装在社会上还没有流行.
由-10n+295<100,得n>
∴第20天该款服装在社会上不再流行.
∴该款服装在社会上流行没有超过10天.【变式备选】一名技术人员计划用下面的办法测试一种赛车：从时速10 km/h开始，每隔2 s速度提高20 km/h，如果测试时间是30 s，测试距离是多长？
【解析】由于每隔2 s速度提高20 km/h，所以该赛车在每个2 s内的速度构成等差数列{an}且a1=10,d=20.如果测试时间是30 s，则最后一个2 s内的速度是a15，测试
距离
S=(a1+a2+…+a15)× =(15×10+ ×20)×
=1.25(km).
答：若测试时间是30 s，则测试距离为1.25 km. 【典例】(12分)有两个等差数列{an}，{bn}，其前n项和分
别为Sn和Tn，若 求
【审题指导】由题目可知两个数列都为等差数列以及其前n
项和Sn和Tn的比值，欲求 的值，可充分利用等差数列前
n项和公式及等差中项的关系转化为 的关系.【规范解答】方法一：
…………………………………………3分
……………………………………6分
………………………………………… 9分
…………………………………………12分方法二：因为 …………………3分
所以设Sn=(7n+2)kn，Tn=(n+3)kn,k≠0, …………………6分
∴a5=S5-S4=65k,b5=T5-T4=12k, ………………… 9分
∴ ……………………………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】有两个等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别
为Sn和Tn，若 求
【解析】由等差数列的性质得1.设数列{an}的前n项和Sn=n2，则a8的值为( )
(A)15 (B)16 (C)49 (D)64
【解析】选A.a8=S8-S7=64-49=15.2.已知数列{an} 为等差数列，a1=35,d=-2,Sn=0,则n等于
( )
(A)33 (B)34 (C)35 (D)36
【解析】选D.Sn=na1+ =0,
∴35n-n(n-1)=0,得n=36.3.数列{an}为等差数列，an=11,d=2, Sn=35,则a1等于( )
(A)5或7 (B)3或5
(C)7或-1 (D)3或-1
【解析】选D.由已知得
从而a1=3或a1=-1.4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,a2+a4=6，则S5=_______.
【解析】S5= =15.
答案：155.两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，若
求 的值.
【解析】方法一：
方法二：因为 所以设Sn=(2n+3)kn，
Tn=(3n-1)kn，k≠0,∴a9=S9-S8=37k.
b9=T9-T8=50k.∴课件34张PPT。【思考】【点拨】【点拨】 等比数列的定义
【名师指津】有关等比数列定义的理解的四个注意点
(1)“从第2项起”这一条件有两层含义.其一，第一项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的比”相吻合；其二，等比数列的定义包括了首项这一基本量，且必须从第2项起使数列中各项均与其前面一项作商.(2)注意定义中“每一项与它的前一项的比”这一运算要求，它的含义也有两个:其一,强调作商的顺序，其二，强调这两项必须相邻.
(3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数列不能称为等比数列.
(4)利用定义 =q(q为常数且不为零) {an}为等比数列，这是判断一个数列是等比数列的常用的方法.【例1】已知数列{an}的前n项和Sn=2an+1，试判断数列{an}是否是等比数列？
【审题指导】要判断此数列是否是等比数列，关键是用等比数列的定义，看其能否满足an与an-1之比为一常数，已知Sn=2an+1，以此来寻找an与an-1的关系.【规范解答】∵Sn=2an+1,∴Sn+1=2an+1+1，
∴an+1=Sn+1-Sn=(2an+1+1)-(2an+1)，
∴an+1=2an， ①
又∵S1=a1=2a1+1,
∴a1=-1≠0，由①式可知，an≠0,
由 =2知{an}是等比数列.【变式训练】已知数列{an}的通项公式为an=3n，
求证:{an}是等比数列.
【解题提示】利用等比数列的定义.
【证明】∵an=3n,∴an+1=3n+1
∴ =3(为一个不为零的常数).
∴｛an｝是等比数列. 等比数列的通项公式的应用
【名师指津】巧用通项公式求等比数列的基本量
(1)在已知a1和q的前提下,可以利用通项公式,求出等比数列中的任意一项.
(2)在等比数列中,已知a1,n,q,an四个量中的三个,就可以求出另一个.(3)在已知等比数列中任意两项的前提下,使用an=amqn-m,可求出等比数列中的任何一项,这也是等比数列中任意两项之间的关系.
【特别提醒】要确定一等比数列的通项公式，求出a1，q是关键，而它们往往可用与之有关的式子来求出.【例2】在等比数列{an}中，
(1)a4=2，a7=8，求an；
(2)a2+a5=18，a3+a6=9，an=1，求n.
【审题指导】由题目可知等比数列中的某些量之间的关系，求其他量，可将条件转化为关于基本元素a1与q的方程组，求出a1与q，再表示其他量.【规范解答】(1)因为 所以
由 得q3=4，从而q= 而a1q3=2，
于是a1= 所以an=a1qn-1=
(2)因为
由 得q= 从而a1=32.
又an=1，所以32( )n-1=1，
即26-n=20，所以n=6.【互动探究】若在本例(2)中，去掉“an=1”，其他条件不变，又如何求等比数列{an}的通项公式呢？
【解题提示】由已知条件列出关于a1，q的方程组，求出a1与q，再写出an.
【解析】因为
由 得q= 从而a1=32.
∴an=a1qn-1=32×( )n-1=( )n-6.【例】数列{an}的前n项和为Sn，已知an=5Sn-3(n∈N*)，求数列{an}的通项公式.
【审题指导】本题给出了数列{an}的an与Sn的关系，可充分利用由Sn求an的方法，寻找数列{an}的递推关系，进一步求得通项公式.
【规范解答】∵Sn=a1+a2+…+an
∴an=又由an=5Sn-3，得an-1=5Sn-1-3(n≥2)，
于是an-an-1=5(Sn-Sn-1)=5an.
∴an= an-1，
由a1=5S1-3，得a1= 知an≠0，
∴
∴数列{an}是以a1= 为首项，q= 为公比的等比数列，
其通项公式为an=【变式备选】若数列{an}满足关系a1=2，an+1=3an+2，求数列{an}的通项公式.
【解题提示】利用递推公式变形，构造新数列.
【解析】∵an+1=3an+2,两边加1，∴an+1+1=3an+3,
即an+1+1=3(an+1).
又a1=2，∴an+1≠0,∴
∴数列{an+1}是以a1+1为首项，3为公比的等比数列.
∴１+an=(a1+1)·3n-1=3·3n-1.∴an=3n-1. 【典例】(12分)等比数列{an}的前三项的和为168，a2-a5 =42，求a5，a7的等比中项.
【审题指导】题目中给出了等比数列前三项的和以及a2-a5=42，由此列出方程组解得公比q和首项a1，利用定义求a5，a7的等比中项，注意解的个数.【规范解答】设该等比数列的公比为q，首项为a1，因为a2-a5=42，所以q≠1，由已知，得
……………………3分
因为1-q3=(1-q)(1+q+q2)，
所以由 ② 除以① ，得q(1-q)= 所以q= …………6分
所以a1= …………………………………………8分令G是a5，a7的等比中项，则应有G2=a5a7=a1q4·a1q6= =962×( )10=9， …………………………………………10分
所以a5，a7的等比中项是±3. ……………………12分 【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】若a,2a+2,3a+3成等比数列，求实数a的值.
【解题提示】利用等比中项的定义.
【解析】因为a,2a+2,3a+3成等比数列.
所以(2a+2)2=a(3a+3).解得a=-1或a=-4.
因为当a=-1时，2a+2,3a+3均为0，故应舍去.
故a的值为-4.1.下面有四个结论：
①由第一项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定为等比数列；
②常数列b, b, b，…,b一定为等比数列；
③等比数列{an}中，若公比q=1,则此数列各项相等；
④等比数列中，各项与公比都不为零.
正确说法的个数为（ ）
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【解析】选C.其中正确的为③，④；①，②中不能保证各项及公比不为0,所以错误.2.等比数列{an}中，２a4＝a6-a5，则公比是( )
(A)0 (B)１或2
(C)-1或2 (D)－1或-2
【解析】选C.由已知得２＝q2－q，所以q＝-1或2.3.设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则 的
值为( )
(A) (B) (C) (D)1
【解析】选A. 4.若等比数列的首项为１，末项为５12，公比为2，则这个数列的项数为__________.
【解析】512=1×2n-1，n=10.
答案：105.若 是b-1，b+1的等比中项，则b=________.
【解析】因为 是b-1，b+1的等比中项，
所以( )2=(b-1)(b+1),即8=b2-1，
故b2=9，b=±3.
答案：±36.等比数列{an}中，已知a2=3,a5=24，求a8的值.
【解析】设公比为q,a2=3，a5=24，∴q3=8,a8=a2q6, ∴a8=3×64=192.课件29张PPT。【思考】【点拨】 等比数列性质的应用
【名师指津】巧用等比数列的性质简化运算
在等比数列的有关运算中,常涉及到次数较高的指数运算,若按常规解法,往往是建立a1和q的方程(组),这样解起来较麻烦.而采用等比数列性质,进行整体变换,会起到化繁为简的效果.
【特别提醒】运用性质时要注意各项下标的关系.【例1】若{an}为等比数列，且a1·a9=64，a3+a7=20，求a11.
【审题指导】题目中给出了数列{an}为等比数列，欲求a11，可利用等比数列的性质.由a1·a9=64可知a3·a7=64，然后构造方程求解即可.【规范解答】∵{an}为等比数列，
∴a1·a9=a3·a7=64，又∵a3+a7=20，
∴
当a3=4，a7=16时，a3+a7=a3+a3q4=20,
∴1+q4=5，∴q4=4,
当a3=16，a7=4时，a3+a7=a3+a3q4=20,
∴1+q4= ∴q4= ∴a11=a1q10=a3q8=64或1.【互动探究】若在本例已知条件中去掉“a3+a7=20”，其他条件不变，又如何求a3a4a5a6a7的值呢？
【解题提示】利用等比数列的性质.在等比数列{an}中，若m+n=p+q=2k，则有aman=apaq=
【解析】∵a3a7=a4a6= =a1·a9=64,
∴a5=±8,∴a3a4a5a6a7=±32 768.
【误区警示】题中易忽略a5的正负两种情况而漏解.【例】已知{an}为等比数列，若an>0，且a2a4+2a3a5+a4a6 =36，求a3+a5的值.
【审题指导】由题目中an>0，可知此等比数列的公比q>0，应用等比数列的性质：a2a4= a4a6= 化简已知，可求解.
【规范解答】∵a2a4+2a3a5+a4a6=36，
∴ +2a3a5+ =36,∴(a3+a5)2=36，
又∵an>0，∴a3+a5=6.【变式备选】若a1+a2+a3=7，a1a2a3=8，求等比数列{an}的通项公式.
【解题提示】应用等比数列的性质，a1a3= 代换求得a2，再利用已知条件求a1,q.
【解析】∵a1a3= 代入已知，得 =8，∴a2=2.
设公比为q，则前三项为 2,2q，则有 +2+2q=7.整理，得2q2-5q+2=0，
∴q=2或q=
∴
故可得an=2n-1或an=23-n(n∈N*). 等比数列的判定
【名师指津】判断一个数列是等比数列的常用方法
(1)定义法
=q(q为常数且不为零) {an}为等比数列.
(2)等比中项法
=anan+2(n∈N*且an≠0) {an}为等比数列.
(3)通项公式法
an=a1qn-1(a1≠0且q≠0) {an}为等比数列.【特别提醒】判定一个数列是否为等比数列，首先要检验它是否满足等比数列的前提条件：每项均不为零.【例2】已知{an}是各项均为正数的等差数列，且lga1，lga2，lga4也成等差数列，又bn= n=1,2,3,……
求证：数列{bn}为等比数列.
【审题指导】由题目知首先明确数列{an}各项均为正数，利用lga1，lga2，lga4也成等差数列以及对数的有关运算，结合条件bn= 分情况讨论来判定.【规范解答】∵lga1，lga2，lga4成等差数列,
∴2lga2=lga1+lga4=lg(a1·a4),∴ =a1·a4.
设等差数列{an}的公差为d，则(a1+d)2=a1·(a1+3d)，∴d2=a1d,∴d(a1-d)=0.
(1)当d=0时，{an}为常数列，{bn}也为常数列，此时数列{bn}是首项为正数，公比为1的等比数列.(2)当d=a1≠0时， =a1+(2n-1)d=2nd，
∴bn=
∴ (n≥1,n∈N*),此时数列{bn}是首项为
b1= 公比为 的等比数列.
综上可知，数列{bn}为等比数列.【变式训练】已知等比数列{an}中，a1=1，公比为
q(q≠0)，且bn=an+1-an.试判断数列{bn}是否为等比数列.
【解题提示】先求得数列{an}的通项，再分公比q=1
和q≠1两种情况讨论判断.
【解析】∵等比数列{an}中，a1=1,公比为q，∴an=a1qn-1
(q≠0)，若q=1，则an=1，bn=an+1-an=0，
∴{bn}是各项为0的常数列，不是等比数列;
若q≠1，由于
∴{bn}是首项为b1=a2-a1=q-1，公比为q的等比数列. 【典例】(12分)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13，则成等差数列，求这四个数.
【审题指导】四个数成等比数列可设为a，aq，aq2，aq3.又这四个数分别减去1,1,4,13，则成等差数列，根据这些条件列出方程组，求出未知量，得出这四个数的值.【规范解答】设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3 ………3分
则a-1，aq-1，aq2-4，aq3-13成等差数列，据题意得：
……………………6分
整理得 解得 ……………………9分
因此这四个数分别为3,6,12,24. ……………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】有四个数，前三个数依次成等比数列，它们的积
是-8，后三个数依次成等差数列，它们的积为-80，求出这四个
数.
【解析】由题意设此四个数分别为 b,bq,a,
则有 解得
所以这四个数分别为1，-2,4,10或 -2，-5，-8.1.已知a,b,c,d成等比数列，且抛物线y=x2-2x+3的顶点为（b,c),则ad=( )
(A)3 (B)2 (C)1 (D)-2
【解析】选B.∵抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标为（1，2），
∴b=1,c=2,
又∵a，b,c,d成等比数列，∴ad=bc=2.2.在等比数列{an}中，a5＝３，则a2a8等于( )
(A)3 (B)6 (C)8 (D)9
【解析】选Ｄ.a2a8＝ =32＝９.3.在等比数列{an}中，a2 011=a2 013＝5，则a2 012＝( )
(A)5 (B)-5 (C)±5 (D)25
【解析】选Ｃ.∵ =a2 011a2 013,
∴ =25，故a2 012＝±5.4.公差不为０的等差数列第二、三、五项构成等比数
列，则公比为______.
【解析】设等差数列的首项为a1，公差为d，则 =a2a5，
即(a1+2d)2＝(a1+d)·(a1+4d)，得a1d=0，∵d≠0,
∴a1=0,则a2=d,a3=2d.所以q= ＝2.
答案：25.三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加
上1，3，9就成为等比数列，求此三个数.
【解析】设这三个数分别为a-d，a，a+d，则由题意得：
解此方程组，得
又∵a-d,a,a+d为正数，
∴ 不合题意,∴ ∴所求的三个数分别为3,5,7.课件42张PPT。【思考】【点拨】 等比数列的前n项和公式的基本运算
【名师指津】等比数列的前n项和公式的应用.
(1)已知a1,an,n或a1,q,n都可求得等比数列的前n项和Sn.
(2)在等比数列的前n项和公式中，共有a1，an，q，n，Sn这五个量，已知其中任何三个量，都可以求其余两个量.(3)关于等比数列的前n项和公式的基本运算，多运用方程的思想，解决两个最基本的量：首项a1和公比q，从而求出通项公式，此类问题中经常使用整体代换的思想.
【特别提醒】凡涉及等比数列的前n项和问题，必须注意公比q是否等于1，如果不确定，应分q=1或q≠1两种情况讨论.【例1】在等比数列{an}中，
（1）S2=30,S3=155,求Sn；
（2）a1+an=66，a2an-1=128，Sn=126，求q.
【审题指导】由题目可知（1）中S2=30,S3=155，可利用等比数列的前n项和公式列出方程组求出a1和q.对于（2），由a1+an =66，a2an-1=128，可利用等比数列的性质转换，列出方程组，求得a1和an，从而求得q.【规范解答】（1）由题意知
解得
从而Sn= ×5n+1- 或Sn= （2）因为a2an-1=a1an=128，所以a1，an是方程x2-66x+128=0
的两根.从而
又Sn= =126，所以
所以q为2或【互动探究】若本例（1）中的条件不变，如何求数列{an}
的通项公式呢？
【解题提示】由S2=30,S3=155，利用等比数列的前n
项和公式列出方程组，求出a1和q即可得出通项公式.
【解析】由题意知
解得
从而an=5n或an=180×（ ）n-1.【变式训练】在等比数列{an}中，已知a1=3，an=96，Sn=189，求n.
【解析】由a1=3,an=96,知q≠1,所以由Sn=
可得189= 解得q=2.又an=a1qn-1，
∴96=3·2n-1，即2n-1=32，∴n-1=5，即n=6. 等比数列前n项和的性质应用
【名师指津】等比数列前n项和的性质
(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为q.
①若共有2n项，则S偶∶S奇=q;
②若共有2n+1项，则S奇-S偶= (q≠1且q≠-1).（2）数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和（且Sn≠0），则：Sn，S2n-Sn,S3n-S2n,…仍构成等比数列，其公比为qn(q≠-1).
（3）若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn=Aqn-A（A≠0, q≠0且q≠1），则数列{an}是等比数列.【例2】各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2，S3n=14，求S4n的值.
【审题指导】题目中给出了等比数列中的Sn=2，S3n=14等已知量，欲求S4n的值，可充分利用等比数列前n项和的性质求解.【规范解答】方法一：设等比数列的公比为q，因为S3n=14
≠3Sn，所以q≠1，由题意得：
Sn= =2 （1）
S3n= =14 （2），
得q2n+qn+1=7，即q2n+qn-6=0，变形得
（qn+3）（qn-2）=0，由于数列各项均为正数，所以qn+3＞0，
所以qn-2=0，从而qn=2，解得q= 所以a1=
所以S4n= =2×15=30.方法二:由方法一知qn=2.又因为S4n= =
=Sn+qnS3n =2+2×14=30.
方法三：由于S3n=（a1+a2+a3+…+an）+(an+1+an+2+…+a2n)
+（a2n+1+a2n+2+…+a3n）=Sn+qnSn+q2nSn=Sn（1+qn+q2n）,
所以q2n+qn-6=0.因为an＞0，所以qn=2，所以S4n=Sn+qnS3n
=2+2×14=30.方法四：∵{an}为各项均为正数的等比数列，
∴Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，S4n-S3n仍成等比数列，
又Sn=2，S3n=14，∴（S2n-Sn）2=Sn·（S3n-S2n），即
（S2n-2）2 =2×（14-S2n），解得S2n=6，同理可解得S4n=30.【变式训练】已知等比数列{an}中，前10项和S10=10，前20项和S20=30，求S30.
【解题提示】利用等比数列前n项和的性质.
【解析】方法一:设等比数列的公比为q，易知q≠1,则
得1+q10=3，
∴q10=2，∴S30=
∴S30=10×（1+2+4）=70.方法二：∵数列{an}为等比数列，∴S10，S20-S10，S30-S20仍成等比数列，又S10=10，S20=30，
∴S30-S20=S30-30= 即S30=70. 等比数列前n项和公式的实际应用
1.“零存整取”的计算.
“零存整取”是单利计算，属于等差数列求和问题.其本利和为S=p（1+nr），其中p代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和，简称本利和.【名师指津】2.“定期自动转存”的问题.
“定期自动转存”是复利计算，属于等比数列求通项问题，到期后的本利和为S=p（1+r）n，其中p代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和.3.应用数列知识解决实际问题的步骤.
(1)根据实际问题提取数据；
(2)建立数据关系,对提取的数据进行分析、归纳，建立数列的通项公式或递推关系；
(3)检验关系是否符合实际，符合实际可以使用，不符合要修改关系；
(4)利用合理的结论对实际问题展开讨论.
【特别提醒】注意复利计算是求等比数列的第n项，而不是求和.【例】某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从2011年起，每年年初到银行存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2021年年初将所有存款和利息全部取出，共取出多少元？
【审题指导】由题目可知每年年初存入a元，年利率为p，应按复利计算，由此可先建立递推关系，再进一步求本利和.【规范解答】从2011年年初到2012年年初有本利和
b1=a(1+p)元，设第n年年初有本利和bn元，第n+1年年初有
bn+1元，则有bn+1=(bn+a)(1+p).将之变形为
bn+1+ =(1+p)［bn+ ］,其中b1+
∴ 是以 为首项，（1+p）为公比的等
比数列，于是bn＝ ［(1+p)n+1-(1+p)］.
即这个家庭到2021年年初本利可达
［(1+p)11-(1+p)］元.【变式备选】现在有某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元，两方案使用期都是10年，到期后一次性归还本息，若银行贷款利息均按利率10%的复利计算，试比较两种方案哪种获利更多？（精确到千元，数据1.110≈2.594,1.310≈13.79)【解析】甲方案10年中每年获利数组成首项为1，公比为
1+30%的等比数列，其和为
1+（1+30%）+(1+30%)2+…+(1+30%)9= ≈42.63(万元),
到期时银行贷款的本利和为
10（1+0.1）10≈10×2.594=25.94(万元)，
∴甲方案扣除贷款本息后，净获利约为
42.63-25.94≈16.7(万元).乙方案10年中逐年获利数组成等差数列，其和为
1+1.5+…+(1+9×0.5)= =32.50(万元)，
而贷款本利和为1.1×［1+(1+10%)+…+（1+10%）9］
=1.1× ≈17.53(万元).
∴乙方案扣除贷款本息后，净获利约为
32.50-17.53≈15.0(万元)，
比较得，甲方案净获利多于乙方案净获利. 【典例】（12分）求数列1,3a,5a2,7a3，…,(2n-1)an-1的前n项和（a≠0）.
【审题指导】由题目可知数列的通项公式an=(2n-1)an-1，每一项可分为两个因式，前一个因式可构成等差数列，后一个因式可构成等比数列，故可利用错位相减法求数列的和.【规范解答】当a=1时,数列变为1,3,5,7，…，2n-1，则
Sn= ………………………………………4分
当a≠1时，有
Sn=1+3a+5a2+7a3+…+ (2n-1)an-1， （1）
aSn=a+3a2+5a3+7a4+…+ (2n-1)an （2）
………………………………………………………………6分(1)-(2)得：
Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+2a4+…+ 2an-1-（2n-1）an， ……8分
即（1-a）Sn=1+ -（2n-1）an
∴Sn= ………………………10分
综上 ………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】求和：1+2x+3x2+4x3+…+nxn-1（x≠0）.
【解析】令Sn=1+2x+3x2+4x3+…+nxn-1(x≠0),
若x=1，则Sn=1+2+3+…+n=
若x≠1，则Sn=1+2x+3x2+4x3+…+nxn-1 （1）
两边同乘以x得：
xSn=x+2x2+3x3+…+（n-1）xn-1+nxn （2）（1）-（2）得（1-x）Sn= 1+x+x2+x3+…+xn-1-nxn=
-nxn.
∵x≠1，∴1-x≠0,∴Sn=
综上，Sn=1.等比数列{an}的公比q=2，首项a1=1，则Sn等于（ ）
（A）2n+1 （B）2n-1
（C）n2+n （D）n2
【解析】选B.Sn= =2n-1.2.在等比数列{an}中，公比q=-2，S5=22，则a1的值等于
（ ）
（A）-2 （B）-1 （C）1 （D）2
【解析】选D. ∵q=-2，S5=22,∴22= 解得a1=2.3.在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1=3，前三项和为21，则公比q等于（ ）
（A）2 （B）-2 （C）3 （D）-3
【解析】选A.由题意得S3=21≠3a1，所以公比q≠1,
∴ =21，解得q=2或q=-3，由于等比数列{an}的各项都为正数，∴q=2.4.等比数列{an}的前n项和为Sn，S2=4，S4=40，则S6=______.
【解析】∵数列{an}为等比数列，
∴S2，S4-S2，S6-S4成等比数列，
则（S4-S2）2=S2（S6-S4），
∴（40-4）2=4（S6-40），解得S6=364.
答案：3645.在等比数列{an}中，公比q是正整数，a1+a4=18，a2+a3=12，则S5=__________.
【解析】由题意得 解得q1=2,q2= （舍去）,
q3=-1（舍去），∴q=2，a1=2，
∴S5= =62.
答案：626.求x+x2+x3+…+xn(x≠0).
【解析】令S=x+x2+…+xn,当x=1时，S=nx=n;
当x≠1时，S=
∴S=课件37张PPT。 求数列的通项公式
【名师指津】累加法求数列的通项公式.
对于数列{an}，若an+1-an=f(n+1)，则
a2-a1=f（2）
a3-a2=f（3）
a4-a3=f（4）
… …
an-an-1=f（n）各等式相加得:
an-a1=f（2）+f（3）+f（4）+…+f（n）
∴an=f（2）+f（3）+f（4）+…+f（n）+a1.
此方法称为累加法.若f（n）是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和.
【特别提醒】应用累加法的最终目的是求an,因此要注意n的取值范围，防止出现累加相消后求an+1或an-1的情况.【例1】已知数列{an}中，a1=7，a2=9，前n项和Sn满足Sn+
Sn-2=2Sn-1+2n-1（n≥3），试求数列{an}的通项公式.
【审题指导】由题目中给出的Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1（n≥3），可得出an与an-1的关系式，再进一步求an即可.
【规范解答】由Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1（n≥3）得
Sn-Sn-1=Sn-1-Sn-2+2n-1（n≥3）.
∵an=Sn-Sn-1
∴an=an-1+2n-1（n≥3）.即an-an-1=2n-1（n≥3）.又a2-a1=9-7=2
∴an-an-1=2n-1（n≥2）.
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+（an-2-an-3）+…+（a2-a1）
+a1=2n-1+2n-2+…+21+7
= +7=2n+5.
故数列{an}的通项公式为an=2n+5.【互动探究】在本例中若条件改为a1=9，a2=11，其他条件不变，又该如何求通项公式呢？
【解题提示】由Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1（n≥3），得出an与an-1的关系式，再进一步求an.
【解析】由Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1（n≥3）得
Sn-Sn-1=Sn-1-Sn-2+2n-1（n≥3）.
∵an=Sn-Sn-1，
∴an=an-1+2n-1（n≥3）.即an-an-1=2n-1（n≥3）.又a2-a1=11-9=2,∴an-an-1=2n-1（n≥2）.
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1
=2n-1+2n-2+…+21+9
= +9=2n+7.
故数列{an}的通项公式为an=2n+7. 等比数列的证明
【名师指津】等比数列证明的常用方法.
（1）定义法
（2）等比数列的性质和常用结论
（3）构造新数列法【例2】若数列{an}首项为1，且2an+1-an=2，求证：数列{an-2}是等比数列.
【审题指导】题目中给出了a1的值以及2an+1-an=2这一关系式，欲证明数列{an-2}是等比数列，需利用2an+1-an=2进行适当变形，构造出an+1-2=k（an-2）的形式.【规范解答】由2an+1-an=2，得an+1= an+1，
∴an+1-2= （an-2），而a1=1，故an-2≠0，
∴ 又a1-2=-1，
∴数列{an-2}是首项为-1，公比为 的等比数列. 【变式训练】设数列{an}的前n项和为Sn，已知ban-2n=
（b-1）Sn.当b=2时，试证明数列{an-n·2n-1}是等比数列.
【证明】由题意得a1=2，且ban-2n=（b-1）Sn，ban+1-2n+1=
（b-1）Sn+1，两式相减得b（an+1-an）-2n=（b-1)·an+1,
即an+1=ban+2n ①
当b=2时，由①知an+1=2an+2n.于是an+1-（n+1)·2n
=2an+2n-（n+1）2n=2（an-n·2n-1），又因为a1-1×21-1 =1≠0，
即 所以数列{an-n·2n-1}是首项为1，公比为
2的等比数列. 有关分期付款问题
【名师指津】解决分期付款问题的两种处理办法.
（1）按照事件发生的先后顺序依次求出数列的前n项，并由此归纳出数列的通项的一般表达式；
（2）以贷款和存款的增值两条线索分别计算，并由它们的相对平衡（或大小）建立方程（或不等式）求解.【例】陈老师购买安居工程集资房一套需82 000元，一次性国家
财政补贴28 800元，学校补贴14 400元，陈老师已有现金28 800
元，尚缺10 000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷.陈老师
从借贷后第二个月开始以一定金额分6个月付清，试问每月应支付
多少元？
（不满百元凑足百元，lg1.01≈0.004 3,lg1.061≈0.025 7, lg1.07≈0.029 4)【审题指导】由题目知陈老师以复利借贷10 000元，且月利率为1%，可以以陈老师的欠款为主线计算，也可以假设陈老师是每个月将一固定数目的金额以相同的条件存入银行，最后一次还清贷款.
【规范解答】方法一：设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n+1个月还贷a元后，还剩下欠款an元（1≤n≤6)，则a0=10 000,a1=1.01a0-a,
a2=1.01a1-a=1.012a0-(1+1.01)a, ……
a6=1.01a5-a=1.016a0-(1+1.01+…+1.015)a.由题意可知a6=0,
即1.016a0-(1+1.01+…+1.015)a=0,
a= 又因为lg1.016=6lg1.01≈0.025 8,
所以1.016≈1.061,a= ≈1 800.
答：每月应支付1 800元.
方法二：一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件
存储6个月，则它的本利和为
S1=104(1+0.01)6=104×1.016(元）.另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清
时，其本利和为
S2=a(1+0.01)5+a(1+0.01)4+…+a
= =a(1.016-1)×102.
由S1=S2，得a=
以下解法同方法一，得a≈1 800.
答：每月应支付1 800元.【变式备选】某大学张教授年初向银行贷款2万元用于购车，银行贷款的年利息为10%，按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息）.若这笔款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且以贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？
【解题提示】由题目可知张教授以复利贷款2万元且年利率为10%，可以等额分10次存入银行，最后一次还清贷款；也可以以张教授的欠款为主线计算.【解析】方法一：设每年还款x元，需10年还清，那么各年还款利息情况如下：
第10年付款x元，这次还款后欠款全部还清；
第9年付款x元，过1年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1+10%)元；
第8年付款x元，过2年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1+10%)2元；
…第1年付款x元，过9年欠款全部还清时，所付款连同利息之和
为x(1+10%)9元.
依题意得：
x+x(1+10%)+x(1+10%)2+…+x(1+10%)9=20 000(1+10%)10
解得x= ≈3 255(元).
答：每年应还3 255元.方法二：第1次还款x元之后到第2次还款之日欠银行
20 000（1+10%）-x=20 000×1.1-x，
第2次还款x元后到第3次还款之日欠银行
［20 000（1+10%）-x］(1+10%)-x=20 000×1.12-1.1x-x，
…
第10次还款x元后，还欠银行
20 000×1.110-1.19x-1.18x-…-x，依题意得，第10次还款后，欠款全部还清，故可得
20 000×1.110-(1.19+1.18+…+1)x=0，
解得x= ≈3 255(元).
答：每年应还3 255元. 【典例】(12分)（2011·山东高考）等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足：bn=an+（-1）nlnan,求数列{bn}的前n项和Sn.
【审题指导】由题目表中的数据，可确定数列{an}的首项和公比，故可求数列{an}的通项公式；欲求数列{bn}的前n项和Sn，需从bn=an+（-1）nlnan入手，利用拆项分组求和的方法进行即可.【规范解答】（1）当a1=3时，不合题意；
当a1=2时，当且仅当a2=6，a3=18时，符合题意；
当a1=10时，不合题意； ……………………2分
因此a1=2，a2=6，a3=18.所以公比q=3.
故an=2·3n-1. ………………………………………4分（2）因为bn=an+（-1）nlnan=2·3n-1+（-1）nln（2·3n-1）
=2·3n-1+（-1）n[ln2+（n-1）ln3]
=2·3n-1+（-1）n（ln2-ln3）+（-1）nnln3, …………6分
所以Sn=2（1+3+…+3n-1）+[-1+1-1+…+（-1）n]
（ln2-ln3）+[-1+2-3+…+（-1）nn]ln3 ……………8分
所以当n为偶数时，Sn=2× + ln3=3n+ ln3-1；当n为奇数时，Sn=2× -（ln2-ln3）+（ -n）ln3
=3n- ln3-ln2-1. ……………………………………10分
综上所述，
Sn= ……………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】在本例条件不变的情况下，求数列{bn}的前
2n项和S2n.
【解析】由典例解答可知，bn=2·3n-1+（-1）n（ln2-ln3）
+（-1）nnln3,
所以S2n=b1+b2+…+b2n=2（1+3+…+32n-1）+［-1+1-1+…+
（-1）2n］（ln2-ln3）+［-1+2-3+…+（-1）2n2n］ln3
=2× +nln3=32n+nln3-1.1.设等比数列的前三项依次为 则它的第四项是
（ ）
（A）1 （B） （C） （D）
【解析】选A.a4=a3q=a3 =1.2.等比数列{an}中， a2=2, a5= 则公比q=（ ）
(A) (B)-2 (C)2 (D)
【解析】选D.∵a5=a2q3,∴ =2q3,∴q= 3.等比数列{an}中，已知前4项和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比为（ ）
（A）2 (B）-2 (C)2或-2 (D)2或-1
【解析】选C.由 得 =16，q=±2.4.设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn，则 =______.
【解析】
答案： 5.在1和128之间插入6个数，使它们与这两个数成等比数列，则这6个数的和为_________.
【解析】由a8=a1q7，得128=q7，
∵27=128，∴q=2，S6= =27-2=126.
答案：1266.设等比数列{an}的公比q＜1，前n项和为Sn，已知a3=2,
S4=5S2,求数列{an}的通项公式.
【解析】由题设知a1≠0且q≠1,Sn= 则
由②得1-q4=5（1-q2）,（q2-4）（q2-1）=0.(q-2)(q+2)(q-1)(q+1)=0,
因为q＜1，解得q=-1或q=-2.
当q=-1时，代入①得a1=2,通项公式an=2×（-1）n-1;
当q=-2时，代入①得a1=
通项公式an= ×（-2）n-1,
综上，当q=-1时，an=2×（-1）n-1,
当q=-2时，an= ×(-2)n-1.
