课件32张PPT。【思考】【点拨】 用不等式(组)表示不等关系
【名师指津】1.从数学意义上看,不等关系体现在以下几个方
面:
（1）常量与常量之间的不等关系,如50 g砝码的质量大于10 g砝码的质量;
（2）变量与常量之间的不等关系，如某儿童的身高hm小于或等于1.4m；（3）变量与变量之间的不等关系，如当x＞a时，销售收入f(x)大于销售成本g(x)；
（4）一组变量之间的不等关系，如购置课桌的费用60x与购置椅子的费用30y的和不超过2 000元.2.用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题.
在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个（或几个）量之间不能用不等式（组）来表示.
【特别提醒】在用不等式（组）表示实际问题时一定要注意单位统一.【例1】某厂使用两种零件A、B，装配两种产品甲、乙，该厂的生产能力是月产甲最多2 500件，月产乙最多1 200件，而组装一件甲需要4个A、2个B；组装一件乙需要6个A、8个B.某个月，该厂能用的A最多有14 000个，B最多有12 000个.写出满足上述所有不等关系的不等式组.
【审题指导】解答本题可先设出甲、乙两种产品产量分别为x件，y件，然后由不等关系列出不等式组.【规范解答】设甲、乙两种产品产量分别为x件、y件，由
题意列不等式组如下:
即【变式训练】某人有一幢楼房，室内面积共180 m2,拟分隔成两类房间作为旅客客房.大房间每间面积为18 m2,可住游客5人,每名游客每天住宿费40元;小房间每间面积为15 m2,可住游客3人,每名游客每天住宿费50元;装修大房间每间需1 000元,装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8 000元用于装修.写出满足上述所有不等关系的不等式组.【解析】设装修大、小客房分别有x间、y间，则
即 比较两数(式)的大小
1.实数的两个特征:
（1）任意实数的平方不小于0，即任意a∈R,则a2≥0;
（2）任意两个实数都可以比较大小.
2.实数比较大小的依据：
在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大.【名师指津】3.两实数(式子)比较大小的常用方法
(1)作差法（作商法），其主要步骤是:
作差(作商)——变形——判断差的符号（商与1的大小关系）——得出结论，其中变形是关键，通常用配方、因式分解等办法处理，同时注意每一步变形必须是等价变形.作商法适用于要比较的两个数是同号的.
(2)利用函数单调性比较大小,通常要先构造一个函数,再利用单调性.【例2】已知x＞1,比较x3+6x与x2+6的大小.
【审题指导】解答本题可先作差,然后再因式分解进行变形,最后得出结论.
【规范解答】∵(x3+6x)-(x2+6)=x3-x2+6x-6
=x2(x-1)+6(x-1)=(x-1)(x2+6).
又∵x＞1,∴x-1＞0,
又∵x2+6＞0,∴(x-1)(x2+6)＞0.
∴x3+6x＞x2+6.【互动探究】将题目中“x＞1”改为“x∈R”，比较x3+6x与x2+6的大小.
【解题提示】应对x-1的符号进行讨论.
【解析】(x3+6x)-(x2+6)=x3-x2+6x-6
=x2(x-1)+6(x-1)=(x-1)(x2+6)
∵x2+6＞0.∴当x＞1时,(x-1)(x2+6)＞0,即x3+6x＞x2+6.
当x=1时，(x-1)(x2+6)=0,即x3+6x=x2+6.
当x＜1时，(x-1)(x2+6)＜0,即x3+6x＜x2+6.【例】已知a＞0,b＞0且a≠b,试比较aabb与abba的大小.
【审题指导】因为a＞0,b＞0,而且都是以幂的形式给出，故可考虑利用作商法比较大小.
【规范解答】
①当a＞b＞0时， ＞1，a-b＞0,∴ ＞1;
②当0＜a＜b时，
0＜ ＜1，a-b＜0,∴ ＞1.
综上可得 ＞1,∴aabb＞abba.【变式备选】已知a、b∈(0,+∞),
比较aabb与 的大小.
【解析】∵a、b∈(0,+∞).∴aabb, ∈(0,+∞).
又∵
∴当a＞b＞0时，有 ＞1， ＞0，∴ ＞1.
当0＜a＜b时,有0＜ ＜1, ＜0,∴ ＞1.
当a=b＞0时,有 =1, =0,∴ =1.
故有 ≥1，∴aabb≥ 【典例】（12分）设x＞0,a＞0且a≠1，试比较
|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小.
【审题指导】这里涉及的字母a为对数的底数，是否一定要
讨论，可选择换底公式回避讨论，可作差，也可作商比较.
【规范解答】由于对数的真数应大于0,则x的范围为
0＜x＜1. ……………………………………… 2分
方法一:|loga(1-x)|-|loga(1+x)|
……………………………………4分∵0＜x＜1,∴1＜1+x＜2,0＜1-x＜1.
∴lg(1+x)＞0，lg(1-x)＜0. ……………………………6分
∴ …8分
∵0＜1-x2＜1,∴lg(1-x2)＜0,
∵|lga|＞0,∴ ＞0. …………………10分
∴|loga(1-x)|＞|loga(1+x)|. ……………………12分方法二:由于|loga(1-x)|＞0，|loga(1+x)|＞0.
∴ =|log(1+x)(1-x)| ……………………4分
=-log(1+x)(1-x)=log(1+x) . …………………6分
∵0＜1-x2=(1-x)(1+x)＜1.
∴ ＞1+x,且1+x＞1. ……………………8分
∴log(1+x) ＞log(1+x)(1+x)=1. ……………………10分
∴|loga(1-x)|＞|loga(1+x)|. ……………………12分 【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】设f(x)=1+logx3，g(x)=2logx2，其中x>0且
x≠1,试比较f(x)与g(x)的大小.
【解析】f(x)-g(x)=logx( x),
logx( x)的正负取决于x、 x与1的大小关系，故需分以
下三种情况讨论.
（1）当 x=1时,即x= 时,logx( x)=0,∴f(x)=g(x).
（2）当0
1且 x>1,
即0 时,logx( x)>0,∴f(x)>g(x).
（3）当1120 km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于
10 m，用不等式表示为（ ）
（A）v≤120 km/h且d≥10 m
（B）v≤120 km/h或d≥10 m
（C）v≤120 km/h
（D）d＞10 m
【解析】选A.选项A同时满足题目给出的两个条件，故选A.2.已知0关系是( )
(A)M>N (B)M(C)M=N (D)不能确定
【解析】选A.∵00,1+b>0,1-ab>0,∴M-N=
>0,故选A.3.若a≠2,则M=a2+b2-4a+2b的值与-5的大小关系是（ ）
（A）M>-5 （B）M<-5
（C）M=-5 （D）不能确定
【解析】选A.因为M-(-5)=a2+b2-4a+2b+5
=a2-4a+4+b2+2b+1=(a-2)2+(b+1)2.
又因为a≠2,所以(a-2)2>0,
而(b+1)2≥0,所以(a-2)2+(b+1)2>0,所以M>-5.故选A.4.b克糖水中有a克糖(b>a>0),若再添上m克糖(m>0),则糖水
就变甜了,试根据这个事实提炼一个不等式___________.
【解析】由题意 的比值越大，糖水越甜，若再添上m克糖
(m>0),则糖水就变甜了，说明
答案： (b>a>0,m>0)5.已知x≤1,f(x)=3x3,g(x)=3x2-x+1,则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)________ g(x).
【解析】f(x)-g(x)=3x3-(3x2-x+1)
=3x3-3x2+x-1=3x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(3x2+1).
∵x≤1,∴x-1≤0.
又∵3x2+1>0,∴(x-1)(3x2+1)≤0,∴f(x)≤g(x).
答案：≤ 6.比较x2-2ax与2a-2a2-3的大小(a,x∈R).
【解析】(x2-2ax)-(2a-2a2-3)
=(x2-2ax+a2)+(a2-2a+1)+2=(x-a)2+(a-1)2+2.
∵(x-a)2≥0,(a-1)2≥0,∴(x-a)2+(a-1)2+2>0,
∴(x2-2ax)-(2a-2a2-3)>0,
∴x2-2ax>2a-2a2-3.课件49张PPT。【思考】【点拨】 利用不等式性质判断命题真假
【名师指津】对不等式性质的一般理解：
（1）性质1和2，分别称为“对称性”与“传递性”，在它们的证明中，要用到比较大小的“定义”等知识.
（2）性质3（即可加性）是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”的依据.（3）性质4（即可乘性）在使用中要特别注意研究“乘数的符号”.
（4）性质5（即加法法则），即“同向不等式只能相加，不能相减”.
（5）性质6、7（即乘法法则与乘方法则），即均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除式.（6）性质7、8可并为函数y=xn（n＞0）在（0,+∞）上递增.
【特别提醒】运用不等式的性质处理问题时，应注意每一个不等式性质成立的条件，不能有丝毫的疏忽.【例1】判断下列命题是否正确，并说明理由.
（1）若a＜b＜0,则ac＜bc;
（2）若 c≠0,则a＞b;
（3）若a＞b,则
（4）若a＞b,c＞d,则ac＞bd.
【审题指导】解决这类问题，主要是根据不等式的性质进
行判断，其实质就是看是否满足性质所需要的条件.【规范解答】（1）错误.当c≤0时，此命题不成立.
（2）正确.∵c2＞0,在 两边同乘c2,
不等号方向不变，∴a＞b.
（3）错误.a＞b? 成立的条件是ab＞0.
（4）错误.如果当a＞0＞b,0＞c＞d时，此命题就不成立.【变式训练】对于实数a,b,c，下列命题中的真命题是____.
①若a＞b,则ac2＞bc2
②若a＞b＞0,则
③若 ＜0,则a2＜b2
【解析】当c=0时，ac2=bc2,故①为假命题；由a＞b＞0得
ab＞0，故 故②为假命题；∵
∴a＜0,b＜0, ＜0,∴b＜a＜0,
∴a2＜b2,故③为真命题.
答案：③ 利用不等式性质证明不等式
【名师指津】利用不等式的性质证明不等式应注意的问题：
（1）利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的八条性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.
（2）应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.【例2】已知a＞b＞0,c＜d＜0.
求证：
【审题指导】本题是考查不等式性质的应用，首先要看证
明不等式需要用到哪几条性质，其次要注意性质成立的条
件是否具备.【规范解答】∵c＜d＜0,∴-c＞-d＞0.
∴ 又a＞b＞0,∴
∴ 即 两边同乘以-1，得【互动探究】若把条件c＜d＜0改为c＞d＞0，结论改为
其他条件不变，应该怎样证明？
【证明】∵a＞b＞0,∴0＜ 即 ＞0.
又c＞d＞0,∴ ＞0,∴【变式训练】已知a＜b＜0,求证：
【证明】∵a＜b＜0,
∴-a＞-b＞0,且ab＞0.∴ ＞0.
∴（-a）·（ ）＞（-b）·（ ）.即 利用不等式性质求取值范围
【名师指津】利用不等式性质求范围
利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的问题，对于这类问题要注意：同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.所以我们在解题时务必小心谨慎，先建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围，这是避免犯错误的一条有效途径.【特别提醒】解决此类问题，一是要注意题设中的条件；二是要紧扣不等式的性质，合理正确地使用不等式的性质，特别是要注意题目中易忽略的条件.【例3】已知-6＜a＜8,2＜b＜3,分别求2a+b,a-b, 的取值
范围.
【审题指导】欲求a-b的取值范围，应先求-b的取值范围，
欲求 的取值范围，应先求 的取值范围.
【规范解答】∵-6＜a＜8,2＜b＜3,
∴-12＜2a＜16,∴-10＜2a+b＜19,
又∵-3＜-b＜-2,∴-9＜a-b＜6,又（1）当0≤a＜8时，0≤ ＜4;
（2）当-6＜a＜0时，-3＜ ＜0,
由（1）（2）得-3＜ ＜4.
综上可知所求的范围分别为-10＜2a+b＜19,
-9＜a-b＜6,-3＜ ＜4.【变式训练】已知a＞b＞c,a+b+c=0,求 的取值范围.
【解析】∵b=-a-c,∴由a＞b及b＞c得【例】已知 求 的取值范围.
【审题指导】由已知可求出 的范围，再利用性质5来求.
注意是否取等号及条件α＜β的作用.
【规范解答】∵
∴
上面两式相加,得∵ ∴
∴
又知α＜β,∴ ＜0,∴ ＜0.【变式备选】若α,β满足 则2α-β的取值范
围是________.
【解析】∵
∴
∴-π＜α-β＜π.
又∵α＜β,∴α-β＜0,∴-π＜α-β＜0,
又∵ ∴
答案： 利用不等式的性质解决实际应用题
【名师指津】
1.利用不等式的性质来解决应用题的“题眼”是：题目往往是方案决策型的应用题，即有需要比较的几个量，我们只要用字母来表示相关的量，再通过作差法（或作商法）来解决问题即可.2.利用不等式的性质解应用题的步骤是：
（1）仔细阅读题目，准确理解题意；
（2）建立数学模型，并用字母代替题目中的相关量；
（3）利用作差法或作商法来比较大小；
（4）下结论.【例】一个农机服务队有技术员工和辅助员工共15人，技术员工人数是辅助员工人数的2倍.服务队计划对员工发放奖金共计20 000元，按“技术员工个人奖金”A（元）和“辅助员工个人奖金”B（元）两种标准发放，其中A≥B≥800，并且A，B都是100的整数倍.
注：农机服务队是一种农业机械化服务组织，为农民提供耕种、收割等有偿服务.（1）求该农机服务队中技术员工和辅助员工的人数；
（2）求本次奖金发放的具体方案.
【审题指导】本题事实上是不定方程问题，根据A，B的范
围与关系，分类讨论，可以确定方案.
【规范解答】（1）设该农机服务队有技术员工x人、辅助
员工y人，
则 解得
∴该农机服务队有技术员工10人，辅助员工5人.（2）由10A+5B=20 000，得2A+B=4 000.
∵A≥B≥800,∴800≤B≤ ≤A≤1 600,
并且A，B都是100的整数倍，
∴∴本次奖金发放的具体方案有3种：
方案一：技术员工每人1 600元、辅助员工每人800元；
方案二：技术员工每人1 500元、辅助员工每人1 000元；
方案三：技术员工每人1 400元、辅助员工每人1 200元；【变式备选】为了更好地治理东湖水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备.现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如下表：
经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元.（1）求a,b的值；
（2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案？
（3）在（2）问的条件下，若每月要求处理东湖的污水量不低于2 040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案.
【解析】（1）（2）设购买污水处理设备A型设备x台，则B型设备为（10-x）台，则12x+10（10-x）≤105,
∴x≤2.5,∵x取非负整数，
∴x=0,1,2.∴有三种购买方案：①A型设备0台，B型设备10台；②A型设备1台，B型设备9台；③A型设备2台，B型设备8台.（3）由题意：240x+200（10-x）≥2 040,∴x≥1.
又∵x≤2.5,∴x为1，2.
当x=1时，购买资金为：12×1+10×9=102（万元）；
当x=2时，购买资金为：12×2+10×8=104（万元）.
∴为了节约资金，应选购A型设备1台，B型设备9台. 【典例】（12分）已知f（x）=ax2-c,且-4≤f（1）≤-1,
-1≤f（2）≤5,求f（3）的取值范围.
【审题指导】在求解与字母有关的代数式的范围时，可以利用整体代换的方法，把要求范围的代数式用已知代数式表示，再利用不等式性质求解.【规范解答】方法一：∵
解得 ……………………2分
∴f（3）=9a-c= f（2）- f（1） …………………4分
∵-1≤f（2）≤5,∴ ……………………6分
又∵-4≤f（1）≤-1.∴ …………………8分
∴ ……………………10分
即-1≤f（3）≤20 ……………………………………12分方法二：设f（3）=mf（1）+nf（2）
=m（a-c）+n（4a-c）=（m+4n）a-（m+n）c …………2分
又f（3）=9a-c ……………………………………4分
由f（3）值的唯一性，比较系数得：
……………………………………6分∵ ……………………………………8分
∴-1≤- f（1）+ f（2）≤20 ………………10分
即-1≤f（3）≤20 ………………………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】设f（x）=ax2+bx，且1≤f（-1）≤2,
2≤f（1）≤4，求f（-2）的取值范围.
【解析】设f（-2）=4a-2b=mf(-1)+nf(1)=m（a-b）+n（a+b）=（m+n）a+(-m+n)b,
∴
∴f（-2）=3（a-b）+（a+b）.
又∵1≤f（-1）≤2,∴1≤a-b≤2,∴3≤3（a-b）≤6.
同理得：2≤a+b≤4,∴5≤3（a-b）+（a+b）≤10.
即5≤f（-2）≤10. 1.已知a+b＞0,b＜0,那么a,b,-a,-b的大小关系是（ ）
（A）a＞b＞-b＞-a （B）a＞-b＞-a＞b
（C）a＞-b＞b＞-a （D）a＞b＞-a＞-b
【解析】选C.由a+b＞0知a＞-b,∴-a＜b,又b＜0,
∴-b＞0,∴a＞-b＞b＞-a,故选C.2.设x＜a＜0,则下列不等式一定成立的是（ ）
（A）x2＜ax＜a2 （B）x2＞ax＞a2
（C）x2＜a2＜ax （D）x2＞a2＞ax
【解析】选B.∵x＜a＜0,∴x2＞a2 .
∵x2-ax=x（x-a）＞0,∴x2＞ax.
ax-a2=a（x-a）＞0,∴ax＞a2,
∴x2＞ax＞a2，故选B.3.如果实数a＞b＞0，那么，下列不等式中不正确的是（ ）
（A）a2＞b2 （B）
（C） （D）
【解析】选D.因为y=( )x是减函数，a＞b＞0，∴( )a＜
( )b，故选D. 4.设a＜0,-1＜b＜0,则a,ab,ab2三者的大小关系为_____.
【解析】∵-1＜b＜0,∴b＜b2＜1,
又∵a＜0,∴ab＞ab2＞a.
答案：ab＞ab2＞a5.给出下列命题：①a＞｜b｜?a2＞b2;②a＞b? a3＞b3;
③｜a｜＞b? a2＞b2.其中正确命题的序号是________.
【解析】对于①，a＞｜b｜≥0? a2＞b2成立；对于②，
a＞b时，a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）=（a-b）［（a+ ）2
+ ］＞0成立；对于③，当b＜0时，不一定成立，如
｜2｜＞-3,但｜2｜2＜（-3）2.
答案：①②6.已知a＞b＞0,c＜d＜0,判断 与 的大小.
【解析】∵a＞b＞0,c＜d＜0,∴-c＞-d＞0,
∴a-c＞b-d＞0,∴0＜
又∵a＞b＞0,∴课件43张PPT。【思考】【点拨】 一元二次不等式的解法
【名师指津】解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：
（1）通过对不等式的变形，变为ax2+bx+c≥0（≤0）
（a＞0）的形式.
（2）对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.（3）求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.
（4）根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
（5）根据图象写出不等式的解集.【例1】解下列不等式：
（1）-x2+2x- ＞0;
（2） +3x-5＞0;
（3）4x2-18x+ ≤0.
【审题指导】本题考查一元二次不等式的解法，一看a（二次项系数），二算Δ，三写解集.【规范解答】（1）两边都乘以-3得3x2-6x+2＜0.
∵3＞0,Δ=36-24=12＞0.
又方程3x2-6x+2=0的解是x1=1- x2=1+
∴原不等式的解集是{x｜1- ＜x＜1+ }.（2）不等式可化为x2-6x+10＜0,
Δ=（-6）2-4×10=-4＜0,∴原不等式的解集为?.
（3）不等式可化为16x2-72x+81≤0,即（4x-9）2≤0,
∴4x-9=0,x= ∴原不等式的解集为{x｜x= }.【互动探究】若把例1（2）中的“＞”改为“＜”,例1（3）中的“≤”改为“≥”,那么，解集是怎样的？
【解析】（2）不等式可化为x2-6x+10＞0,
Δ=（-6）2-4×10=-4＜0.∴原不等式的解集为R.
（3）不等式可化为16x2-72x+81≥0.
即（4x-9）2≥0.∴原不等式的解集为R.【变式训练】解下列不等式：
（1）x2+2x-15＞0;（2）x2＞2x-1;（3）x2＜2x-2.
【解析】（1）x2+2x-15＞0?（x+5）（x-3）＞0?
x＜-5或x＞3.
∴原不等式的解集是{x｜x＜-5或x＞3}.（2）x2＞2x-1?x2-2x+1＞0?（x-1）2＞0? x≠1,
∴原不等式的解集是{x｜x≠1}.
（3）x2＜2x-2? x2-2x+2＜0.
∵Δ=（-2）2-4×2=-4＜0.∴方程x2-2x+2=0无解.
∴原不等式的解集是 ?. 解含参数的一元二次不等式
1.引起讨论的原因
（1）二次项系数的正负.
（2）方程ax2+bx+c=0中Δ与0的关系.
（3）方程ax2+bx+c=0两根的大小.【名师指津】2.分类讨论时应注意的问题
（1）对参数分类时要目标明确，讨论时不重不漏.
（2）最后结果要分类回答，切不可取并集，解集为?时，也
是其中一类，不要随便丢掉.
（3）弄清分类原因，合理对参数分类.
（4）并不是所有含参数的问题都需分类讨论.
【特别提醒】解题时应先看二次项系数的正负，其次考虑Δ，最后分析两根大小.【例2】解关于x的不等式x2+（1-a）x-a＜0.
【审题指导】此题考查含参数的不等式的解法，显然x2+（1-a）x-a=（x+1）（x-a）=0的两根为-1和a,所以只要讨论两根的大小关系即可.
【规范解答】方程x2+（1-a）x-a=0的解为x1=-1,x2=a,
函数y=x2+（1-a）x-a的图象开口向上，则
当a＜-1时，原不等式解集为{x|a＜x＜-1};
当a=-1时，原不等式解集为?;
当a＞-1时，原不等式解集为{x|-1＜x＜a}.【变式训练】解关于x的不等式:ax2-（a-1）x-1＜0（a∈R）.
【解题提示】首先对a分类讨论，然后求解.
【解析】（1）当a=0时，原不等式化为：x-1＜0,∴x＜1.
（2）当a≠0时，原不等式化为a（x+ ）（x-1）＜0.
①当a＞0时，原不等式等价于（x+ ）（x-1）＜0.
∴- ＜x＜1.②当a＜0时，原不等式等价于（x+ ）（x-1）＞0.
当a＜-1，即- ＜1时，x＜- 或x＞1.
当a=-1，即- =1时，x≠1.
当-1＜a＜0，即- ＞1时，x＜1或x＞- 综上所述：原不等式的解集是：
当a=0时，{x｜x＜1};
当a＞0时，{x｜- ＜x＜1};
当a＜-1时，{x｜x＜- 或x＞1};
当a=-1时，{x｜x≠1};
当-1＜a＜0时，{x｜x＜1或x＞- }.【例】已知不等式ax2-bx+2＜0的解集为
{x｜1＜x＜2}，求a,b的值.
【审题指导】充分利用“三个二次”的联系，结合解集的形式来分析，由解集的形式可知a＞0.
【规范解答】由题设条件知a＞0,且1，2是方程ax2-bx+2=0的两实根，
由根与系数的关系知【变式备选】已知不等式ax2-3x+2＞0的解集为{x｜x＜1或x
＞b},求a,b的值.
【解析】∵不等式ax2-3x+2＞0的解集为{x｜x＜1或x＞b},
∴a＞0，且1,b是方程ax2-3x+2=0的两个根，由根与系数的关
系知 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式
关系的应用
【名师指津】二次项系数是正数的“三个二次”之间的关系：
（1）从函数观点来看，一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集就是二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）在x轴上方部分的点的横坐标x的集合；ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集就是二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）在x轴下方部分的点的横坐标x的集合.（2）从方程观点来看，一元二次方程的根是二次函数与x轴交点的横坐标，一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集就是大于大根或小于小根的实数的集合；ax2+bx+c＜0（a＞0）的解集就是大于小根且小于大根的实数的集合.【例3】若不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x｜-3＜x＜4}，求不等式bx2+2ax-c-3b＜0的解集.
【审题指导】解答本题可先判断二次项系数的符号，然后根据“三个二次”之间的关系求字母的取值，再进一步求解.【规范解答】∵ax2+bx+c＞0的解集为{x｜-3＜x＜4},
∴a＜0且-3和4是方程ax2+bx+c=0的两根，由根与系数的关系可得
∴不等式bx2+2ax-c-3b＜0.
可化为-ax2+2ax+15a＜0,即x2-2x-15＜0
故所求的不等式的解集为{x｜-3＜x＜5}.【变式训练】已知关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x｜x
＜-2或x＞ }，求不等式ax2-bx+c＞0的解集.
【解析】∵不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x｜x＜-2或x＞ }.
∴a＜0且-2, 是方程ax2+bx+c=0的两根，由根与系数的关
系可得∴不等式ax2-bx+c＞0即为ax2- ax+a＞0,
即x2- x+1＜0,2x2-5x+2＜0.
故所求的不等式的解集为{x｜ ＜x＜2}.
【误区警示】此题易漏判a的符号，导致解集错误.【典例】（12分）已知方程x2+2mx-m+12=0的两个实根都大于2，
求实数m的取值范围.
【审题指导】解答此题可以使用根与系数的关系及判别式来解.
【规范解答】设方程x2+2mx-m+12=0的两根为x1,x2 ……2分
由题意知 ……………………5分即 …………………………………………7分
解得 ………………………………………10分
所以 ＜m≤-4,即实数m的取值范围是（ -4］. …12分 【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】m为何值时， 关于x的方程8x2-（m-1）x+m-7=0的
两根满足下列条件：（1）均为正；（2）均大于1.
【解析】设f（x）=8x2-（m-1）x+m-7，则f（x）的图象是开口
向上的抛物线，对称轴为直线
（1）要使方程8x2-（m-1）x+m-7=0的两根均为正根，则满
足条件
解得7＜m≤9或m≥25.（2）要使方程8x2-（m-1）x+m-7=0的两根均大于1，则
解得m≥25.1.下列不等式：①x2＞0;②-x2-x≤5;③ax2＞2;④x3+5x-6
＞0;⑤mx2-5y＜0;⑥ax2+bx+c＞0.其中是一元二次不等式
的有（ ）
（A）5个 （B）4个 （C）3个 （D）2个
【解析】选D.当a=0时，③、⑥就不是一元二次不等式，④是一元三次不等式，⑤m=0时，是一元一次不等式，m≠0时是二元二次不等式，故只有①②是一元二次不等式.2.不等式2x2-x-1＞0的解集是（ ）
（A）( 1) （B）(1,+∞)
（C）(-∞,1)∪(2,+∞) （D）(-∞, )∪(1,+∞)
【解析】选D.由2x2-x-1＞0得(x-1)(2x+1)＞0，解得x＞1或
x＜ 从而得原不等式的解集为
（-∞, ）∪(1,+∞),故选D.3.若0＜t＜1，则不等式（x-t）（x- ）＜0的解集为（ ）
（A）{x｜ ＜x＜t} （B）{x｜x＞ 或x＜t}
（C）{x｜x＜ 或x＞t} （D）{x｜t＜x＜ }
【解析】选D.∵0＜t＜1,∴ ＞1,∴t＜
∴（x-t）（x- ）＜0,∴t＜x＜ ,故选D.4.不等式ax2+5x+c＞0的解集为{x｜ ＜x＜ },则a,c的值
为（ ）
（A）a=6,c=1 （B）a=-6,c=-1
（C）a=1,c=1 （D）a=-1,c=-6
【解析】选B.由已知得a＜0且 为方程ax2+5x+c=0的两
根,故 解得：a=-6,c=-1,故选B.5.设集合A＝{x|(x-1)2＜3x+7,x∈R}，则集合A∩Z中有
_________个元素.
【解析】由（x-1）2＜3x+7得x2-5x-6＜0,
∴-1＜x＜6,∴A={x|-1＜x＜6}.
∴A∩Z={0,1,2,3,4,5}.
答案:66.已知x=1是不等式k2x2-6kx+8≥0（k≠0）的解，则k的取值范
围是________.
【解析】由已知得k2-6k+8≥0?（k-2）（k-4）≥0? k≤2或
k≥4.又k≠0,∴k＜0或0＜k≤2或k≥4.
答案：（-∞,0）∪(0,2］∪［4,+∞)7.解下列不等式：
（1）-x2+8x-3＞0;
（2）(5-x)(x+1)≥0;
（3）-2x2+3x-2＜0.
【解析】（1）原不等式可化为x2-8x+3＜0,
∵Δ=（-8）2-4×3=52＞0,
∴方程x2-8x+3=0有两个实根，x1=4- x2=4+
∴原不等式的解集为{x｜4- ＜x＜4+ }.（2）原不等式可化为（x-5）（x+1）≤0,
所以原不等式的解集为{x｜-1≤x≤5}.
（3）原不等式可化为2x2-3x+2＞0,
∵Δ=9-4×2×2=-7＜0,
∴原不等式的解集为R.课件40张PPT。 不等式中的恒成立问题
1.不等式的解集为R的条件
（1）不等式ax2+bx+c>0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：
当a=0时，b=0,c>0;
当a≠0时，【名师指津】（2）不等式ax2+bx+c<0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：
当a=0时，b=0,c<0;当a≠0时，
2.有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法
(1)f(x)≤a恒成立?［f(x)］max≤a;
(2)f(x)≥a恒成立?［f(x)］min≥a.
【特别提醒】解题时对参数的讨论要做到不重不漏.【例1】当a为何值时，不等式（a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解是全体实数？
【审题指导】解答本题应先考虑a2-1=0的情形，然后当a2-1
≠0时按 求解.
【规范解答】（1）当a2-1=0，即a=±1时，
若a=1，则原不等式为-1<0,恒成立.
若a=-1，则原不等式为2x-1<0,
即x< 不符合题目要求，舍去.（2）当a2-1≠0,即a≠±1时，原不等式的解集为R的条件是
解得 综上所述，当 0”怎样求a的取值范围.
【解析】（1）当a2-1=0,即a=±1时，
若a=1，则原不等式化为1>0,恒成立.
若a=-1，则原不等式化为2x+1>0,
即x> 不符合题意，舍去.（2）当a2-1≠0时，即a≠±1时，原不等式解集为R的条件是
解得a< 或a>1.
综上所述，当a< 或a≥1时，原不等式解集为R.【误区警示】此题易出现a>1或a< 的错误.原因是忽略了
二次项系数为零的情况.【例】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c且f(-1)=0，是否存在常数a,b,c,使得不等式x≤f(x)≤ (x2+1)对一切实数x都成立，并求出a,b,c的值.
【审题指导】由已知条件列出a、b、c的关系式，用一个参数表示其他参数，然后利用不等式求解.【规范解答】已知f(-1)=a-b+c=0 ①
若存在常数a,b,c使得x≤f(x)≤ (x2+1),
则1≤f(1)≤1,∴f(1)=a+b+c=1 ②
由①②得b= a+c= 则f(x)=ax2+ x+ -a,
∵x≤f(x)≤ (x2+1)对一切实数x都成立，
∴ 恒成立.即
对于不等式ax2- x+ -a≥0恒成立，则
对于不等式（a- ）x2+ x-a≤0恒成立，则∴a= 时，x≤f(x)≤ (x2+1)对一切实数x都成立.
∴存在常数 使得不等式x≤f(x)≤ (x2+1)
对一切实数x都成立.【变式备选】设不等式mx2-2x-m+1＜0对于满足-2≤m≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围.
【解析】以m为自变量构造函数
f(m)=(x2-1)m-(2x-1),
问题转化为f(m)在［-2,2］内恒为负值.
故有
故x的取值范围为（ ）. 一元二次不等式的实际应用
【名师指津】解不等式应用题，一般可按如下四步进行：
（1）阅读理解、认真审题、把握问题中的关键量、找准不等关系；
（2）引入数学符号，用不等式表示不等关系（或表示成函数关系）；
（3）解不等式（或求函数最值）；
（4）回扣实际问题.【特别提醒】解答应用题一定要注意问题的实际意义和单位统一. 【例2】政府收购某种农产品的原价是100元/担，其中征税标准为每100元征10元（叫做税率为10个百分点，即10%），计划收购a万担，为了减轻农民负担，现决定将税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点，要使此项税收在税率调节后不低于原计划的83.2%，试确定x的取值范围.
【审题指导】税收=征税总额×税率，建立税收随税率降低的百分点x变化的函数关系，然后用不等式表示不等关系即可.【规范解答】∵税率降低x个百分点，
∴预计收购量可增加为a( )万担，
税率变为 由题意得
100×a( )× ≥100×a×10%×83.2%，
即x2+40x-84≤0,解得-42≤x≤2,∴0即x的取值范围是（0，2］.【变式训练】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件，问他将销售价每件定为多少元时，才能使得每天所赚的利润最大？销售价定为多少元时，才能保证每天所赚的利润在300元以上？【解析】设每件提高x元（0＜x≤10且x∈N*），
即每件获利润（2+x）元，则每天可销售（100-10x）件，每天获总利润为y元，由题意得：y=(2+x)(100-10x)=-10x2 +80x+200.
∵0＜x≤10,∴当x=4时，y取得最大值360元.
∴当售价定为14元时，每天所赚利润最大为360元.要使每天所赚的利润在300元以上，则有-10x2+80x+200>
300,
即x2-8x+10<0,解得
故每件定价在（14- ）元到（14+ ）元之间即定价取12元、13元、14元、15元、16元时，能确保每天的利润在300元以上.【误区警示】解答本题容易出现未考虑“0＜x≤10”的情况,这有时会得出错误的结论.因此解答这类问题，必须考虑到未知数x要有实际意义. 与参数有关的分式不等式
【名师指津】将分式不等式转化为整式不等式应注意的问题
（1）在将分式不等式化为整式不等式的过程中应注意分母的符号，不能冒然将其乘到另一边，正确的方法是移项通分.
（2）化为含参数的一元二次不等式后，先讨论二次项系数的符号，再讨论根的大小，解题过程有条不紊，顺理成章. 【例】解不等式 ＞1(a≠1)
【审题指导】先将其转化为整式不等式，再利用解一元二次
不等式的知识解答，注意分类讨论.
【规范解答】原不等式可化为 -1＞0,
即（a-1）(x- )(x-2)＞0.①
(1)当a＞1时，①即为 (x-2)＞0,
而 = ＜0.
∴ ＜2,此时x＞2或x＜ (2)当a＜1时，①即为(x- ) (x-2)＜0,
而
(ⅰ)若0＜a＜1,则 ＞2,此时2＜x＜
(ⅱ)若a=0,则（x-2）2＜0,此时无解；
(ⅲ)若a＜0，则 ＜2，此时 ＜x＜2.综上所述：
当a＞1时，不等式的解集为{x|x＜ 或x＞2};
当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|2＜x＜ };
当a＝0时，不等式的解集为?；
当a＜0时，不等式的解集为{x| ＜x＜2}.【变式备选】关于x的不等式ax+b＞0的解集是{x|x＞2}，求
关于x的不等式 的解集.
【解析】因为不等式ax+b＞0的解集为{x|x＞2},所以a＞0且
方程ax+b=0的根为2，即b＝-2a,
故不等式 可转化为
又a＞0,所以它等价于 ①
或 ②，
解不等式组①，得x＞3,
解不等式组②，得-1＜x＜2,
所以原不等式的解集为{x|x＞3或-1＜x＜2}. 【典例】（12分）已知函数y=(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+3的图象都在x轴上方，求实数k的取值范围.
【审题指导】函数图象在x轴上方，由图象的不同情况去分析.
【规范解答】（1）当k2+4k-5=0时，k=-5或1.
若k=-5，则y=24x+3的图象不可能都在x轴上方，故k≠-5.
……………………………………………………………………3分
若k=1，则y=3的图象都在x轴上方. ………………………5分(2)若k2+4k-5≠0则所给函数为二次函数，应有
……………………8分
解得1由（1）、（2）得1≤k<19. ………………………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】已知函数f(x)=(m-2)x2-4mx+2m-6的图象与x轴
的负半轴有交点，求实数m的范围.
【解析】（1）当m=2时，f(x)=-8x-2与x轴交于（ 0），
符合题意；
（2）当m≠2时，
①f(x)=0有一正根、一负根等价于（m-2)(2m-6)<0,解得
2 解得1≤m<2.
③f(x)=0有一零根，一负根等价于
不等式组无解.
由（1）、（2）知1≤m＜3.1.若不等式x2+mx+ >0的解集为R，则实数m的取值范围是
（ ）
(A)m>2 (B)m<2
(C)m<0或m>2 (D)0【解析】选D.x2+mx+ >0恒成立等价于Δ<0,即m2-4× <0,
∴0（A）[1,+∞) （B）(1,+∞)
（C）{0}∪(1,+∞) （D）[0,1]
【解析】选D.当k=0时，成立.
当k≠0时，若定义域为R,即kx2-6kx+(k+8)≥0的解集为R，
则 ? 0＜k≤1.
综上k∈[0,1].3.对于任意实数x,不等式（a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
(A)(-∞,2) (B)(-∞,2］
(C)(-2,2) (D)(-2,2］
【解析】选D.当a-2≠0时
-2当a-2=0时，-4<0恒成立.
综上所述，-2【解析】当k=0时, <0对一切实数x都成立.
当k≠0时，等价于
∴-3答案：(-3,0］5.某大学在对一个长800米、宽600米
的空地进行绿化时，是这样设想的：
中间为矩形草坪，四周是等宽的花坛，
若要保证草坪的面积不小于空地面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围.【解析】设花坛宽度为x米，则矩形草坪的长为(800-2x)
米，宽为(600-2x)米，根据题意，得（800-2x)(600-2x)
≥ ×800×600.整理得x2-700x+60 000≥0,解得x≥600(舍
去）或x≤100，由题意知x>0,所以0答：当花坛宽度在（0，100］米的范围内取值时，草坪的
面积不小于空地面积的二分之一.课件36张PPT。【点拨】【思考】 画二元一次不等式表示的平面区域
二元一次不等式表示的平面区域
画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定区域”的方法.
(1)直线定界，即若不等式不含等号，应把直线画成虚线；含有等号，把直线画成实线.【名师指津】(2)特殊点定区域，即在直线ax+by+c=0的某一侧取一个特殊点（x0，y0）作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的区域就是包括这个点的这一侧，否则就表示直线的另一侧.特别地，当c≠0时，常把原点作为测试点.当c=0时，常把点（1,0）或点（0,1）作为测试点.
【特别提醒】解题时一定要注意实线与虚线的画法.【例1】画出下列二元一次不等式表示的平面区域.
（1）x+4y≤4;（2）y＞x.
【审题指导】本题考查二元一次不等式表示的平面区域问题，可先画直线，再取点分析.【规范解答】（1）先画出直线l:x+4y-4=0，取原点（0，0），把（0，0）代入x+4y-4,得0+0-4＜0.原点在x+4y≤4表示的区域内，不等式x+4y≤4表示的平面区域在直线x+4y-4=0的左下方，且包含该直线.如图所示.（2）画出直线y=x,因为y=x经过（0，0），选点（0，1）,把（0，1）代入y-x得1＞0，所以点（0，1）在y＞x表示的区域内，不等式y＞x表示的平面区域在直线y=x的左上方，且不包含该直线，如图所示.【变式训练】画出下列不等式表示的平面区域：
（1）x+2y-4＞0;（2）y≥x+3.
【解析】（1）先画出直线x+2y-4=0，∵这条直线上的点都不满足x+2y-4＞0,∴画成虚线.取原点（0，0），代入x+2y-4，得0+2×0-4=-4＜0,
∴原点（0，0）不在x+2y-4＞0表示的平面区域内，则不等式x+2y-4＞0表示的平面区域如图①.（2）先画出直线y=x+3，
∵这条直线上的点满足y≥x+3,
∴画成实线.取原点（0，0），代入y-x-3，得0-0-3＜0,
∴原点（0，0）不在y≥x+3表示的平面区域内，则不等式y≥x+3表示的平面区域如图②.【误区警示】解答本题易出现审题不仔细，实、虚线画错的情况.【例】画出满足下列条件的点的集合：
{（x,y）｜x-2＞0,y∈R}.
【审题指导】直线x-2=0，表示过点（2，0）与x轴垂直的直线.不等式x-2＞0表示此直线右侧的平面区域（不包括边界）.【规范解答】表示平面内点的集合，如图所示.【变式备选】画出满足集合{（x,y）｜y≥1,x∈R}的点的集合.
【解析】表示平面内点的集合，如图所示. 二元一次不等式的应用
【名师指津】对二元一次不等式表示平面区域的深入理解
一般地，二元一次不等式Ax+By+C＞0或Ax+By+C＜0在平面直角坐标系内表示直线l:Ax+By+C=0某一侧的所有点组成的平面区域，在直线l外任取两点P（x1,y1）,Q（x2,y2）,若P、Q在l的同一侧，则Ax1+By1+C与Ax2+By2+C同号；若P、Q在l异侧，则Ax1+By1+C与Ax2+By2+C异号，这个规律可概括为：“同侧同号，异侧异号”.【例2】点（3，1）和（-4，6）在直线3x-2y+a=0的两侧，则a的取值范围是( )
（A）a＜-7或a＞24 （B）-7＜a＜24
（C）a=-7或a=24 （D）以上都不对
【审题指导】把点代入3x-2y+a，根据几何意义构造不等式解得a的范围.【规范解答】选B.∵点（3，1）和（-4，6）在直线的两侧，
∴（9-2+a）（-12-12+a）＜0，
∴(a+7)(a-24)＜0，
∴-7＜a＜24.【互动探究】本例中两点若在直线3x-2y+a=0的同侧，则a的取值范围是_______.
【解析】∵点（3，1），（-4，6）在直线的同侧，
∴（3×3-2×1+a）(-4×3-2×6+a)＞0,
(a+7)(a-24)＞0，∴a＞24或a＜-7.
答案：a＞24或a＜-7【变式训练】点（1，2）与点（-3，4）在直线x+y+a=0的两侧，则实数a的取值范围是_________.
【解题提示】由题意知1+2+a与-3+4+a异号，可据此列不等式求出a的范围.
【解析】由题意得（1+2+a）（-3+4+a）＜0,解不等式得-3＜a＜-1.
答案：（-3,-1）【典例】（12分）画出二元一次不等式2y-5x-10＞0表示的区域.
【审题指导】先画出直线2y-5x-10=0,再利用特殊点判断区域.
【规范解答】设F（x,y）=2y-5x-10，……………………2分
作出直线2y-5x-10=0,因为不等式2y-5x-10＞0中不含等号，所以将它画成虚线. …………………………………………… 4分∵F（0,0）=2×0-5×0-10=-10＜0. …………………6分
∴所求区域为不含（0，0）的一侧. ……………………8分
如图所示.
………………………………………………………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】画出不等式x+2y＜0表示的平面区域.
【解析】先画出直线x+2y=0.因为不等式x+2y＜0中不含等号，所以将它画成虚线.取直线右上方区域内的点（1，0），代入x+2y中，因为1+2×0=1＞0,所以不等式x+2y＜0表示的平面区域是直线x+2y=0的左下方区域，如图.1.不等式x-2y+6＜0表示的区域在直线x-2y+6=0的（ ）
（A）右上方 （B）右下方
（C）左上方 （D）左下方
【解析】选C.作出直线可利用特殊点判断.2.不在3x-2y＜6表示的平面区域内的点是( )
（A）(0，0) （B）(1，1)
（C）(0，2) （D）(2，0)
【解析】选D.利用代入法可逐一验证点（2，0）在直线3x-2y-6=0上不在3x-2y＜6表示的平面区域内.3.不等式3x+2y-6＜0表示的平面区域是( )
【解析】选D.将(0,0)代入，满足不等式，表明不等式3x+2y-6＜0表示的平面区域在直线3x+2y-6=0左下方(不包括直线上的点).故选D.4.直线x+2y-1=0右上方的平面区域可用不等式_____表示.
【解析】先作出直线x+2y-1=0,然后取点（0，0）验证，应在直线的另一侧，故为x+2y-1＞0.
答案：x+2y-1＞05.点A（0，0），B（2，1），C（3，0），D（0，4）在不等式x+2y-3＞0表示的平面区域内的有_______.
【解析】可利用代入法逐一验证，点B（2，1），D（0，4）在x+2y-3＞0表示的平面区域内.
答案：B(2,1)，D（0，4）6.画出不等式3x-y+3＞0表示的平面区域.
【解析】①画出直线3x-y+3=0，
∵这条直线上的点不满足3x-y+3＞0，∴画成虚线.
②取原点（0，0），代入3x-y+3.
∵3×0-0+3=3＞0,
∴原点在不等式3x-y+3＞0表示的区域内，
则不等式3x-y+3＞0表示的区域如图所示.课件53张PPT。【思考】【点拨】 二元一次不等式组表示的平面区域
【名师指津】二元一次不等式组表示的平面区域
（1）不等式组的解集是各个不等式解集的交集，所以不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.（2）在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域再取它们的公共部分即可，其步骤为：
①画线；②定侧；③求“交”；④表示.
【特别提醒】解题中不包括的线一定要用虚线，包括的线一定要用实线.【例1】画出不等式组 表示的平面区域.
【审题指导】审题时要注意有一个不等式不含等号，直线
x=3与y轴平行，所求平面区域是三个平面区域的公共部分.【规范解答】不等式x-y+5≥0表
示直线x-y+5=0上及其右下方的
点的集合，不等式x+y+1＞0表示
直线x+y+1=0右上方的点的集合
（不含边界），不等式x≤3表示
直线x=3上及其左方的点的集合，所以不等式组表示的平面区域的公共部分如图所示（阴影部分）.【变式训练】画出不等式组 所表示的区域.
【解题提示】先作出直线2x-y+1=0,2x+y-1=0，x=1,
然后用特殊点（0，0）分别定侧，最后画所表示的平面区域.
【解析】在坐标系中画出直线2x-y+1=0,
2x+y-1=0,x-1=0,如图①所示.
特殊点可以选为（0，0），将x=0,
y=0代入，则得2×0-0+1=1＞0,
2×0+0-1=-1＜0,0-1=-1＜0,从而（0，0）在2x-y+1≥0,x≤1所表示的区域内，不在2x+y-1≥0所表示的区域内.
所以它们所表示的区域的公共部分如图②所示.【例】画出不等式（x+2y+1）（x-y+4）＜0表示的平面区域.
【审题指导】根据两实数相乘的符号法则，可以将原不等式等价转化为两个不等式组解集的并集.
【规范解答】原不等式等价于
（1）
画出直线l1:x+2y+1=0和直线l2:x-y+4=0（画成虚线）.不等式组（1）表示直线l1右上方和直线l2左上方的平面区域.不等式组（2）表示直线l1左下方和直线l2右下方的平面区域.
故原不等式表示的平面区域为如图所示的阴影部分.【变式备选】画出不等式（x+y-2）（x-y+2）＞0所表示的平面区域.
【解析】原不等式等价于
①所表示的区域为在直线x+y-2=0的右上方平面与x-y+2=0的右下方平面的公共部分.
②所表示的区域为在直线x+y-2=0的左下方平面与x-y+2=0的左上方平面的公共部分.并且上面的公共部分均不含直线.所以，原不等式所表示的平面区域如图所示. 求二元一次不等式组表示的平面区域的面积
【名师指津】求平面区域面积的方法
求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积.若图形为规则的，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，可采取分割的方法，将平面区域分为几个规则图形求解.
【特别提醒】一定要准确确定所求区域的形状.【例2】求不等式组 表示的平面区域的面积.
【审题指导】审题时注意直线x-y+6=0与直线x+y=0垂直，
直线x=3与x轴垂直，所构成的三角形为等腰直角三角形.
【规范解答】不等式x-y+6≥0表示直线x-y+6=0上及其右下方的点的集合;x+y≥0表示直线x+y=0上及其右上方的点的集合；x≤3表示直线x=3上及其左方的点的集合.所以原不等式组表示的平面区域如下图所示.因此所求区域面积也就是△ABC的面积.显然，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°,
所以S△ABC= =36.
∴原不等式组表示的平面区域的面积等于36.【互动探究】若把不等式组中的x+y≥0改为x+y≤0,x≤3改为y≥0,其他条件不变，那么不等式组表示的平面区域的面积为多少？
【解析】不等式x-y+6≥0表示直线x-y+6=0上及其右下方的点的集合；x+y≤0表示直线x+y=0上及其左下方的点的集合；y≥0表示直线y=0上及其上方的点的集合，所以，原不等式组表示的平面区域，如图所示，因此所求区域面积也就是△ABC的面积.显然△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°,
∴S△ABC= =9.
故原不等式组表示的平面区域的面积等于9.【变式训练】求不等式组 表示的平面区域的
面积.
【解析】不等式x+2y≤20表示直线x+2y=20上及其左下方的
点的集合，不等式2x+y-16≤0表示直线2x+y-16=0上及其左
下方的点的集合，x≥0表示y轴及其右方的点的集合，y≥0
表示x轴及其上方的点的集合，所以不等式组
所表示的平面区域如图所示.可求得两直线x+2y=20与2x+y=16交于点（4，8）.
∴S= ×8×（8-4）=52. 用二元一次不等式组表示实际问题
【名师指津】用二元一次不等式组表示实际问题的方法
用二元一次不等式组表示的平面区域来表示实际问题时，
(1)先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的两个量用字母表示，
(2)将问题中所有的量都用这两个字母表示出来，(3)由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量均有实际意义写出所有的不等式，
(4)把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来.
【特别提醒】解题时容易忽视所设量的实际意义.【例3】某人准备投资1 200万兴办一所班数应限制在20 30之间的完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）：
分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件.【审题指导】审题时应分别考虑班数，资金，教师等各个因素，并注意它们的制约性.
【规范解答】设开设初中班x个，开设高中班y个，根据题意，总共招生班数应限制在20～30之间，所以有20≤x+y
≤30；考虑到所投资金的限制，得到
26x+54y+2×2x+2×3y≤1 200;即x+2y≤40;
另外，开设的班数不能为负，则x≥0,y≥0.把上面的不等式合在一起，得到
用图形表示这个限制条件，得到
如图所示的平面区域. 【变式训练】某厂用甲、乙两种原料生产A，B两种产品，已知生产1 t A产品、1 t B产品分别需要的甲、乙原料数，及该厂现有原料数如表所示.在现有原料下，分别用数学关系式和图形表示表中的限制条件.【解析】设生产A，B两种产品分别为x t,y t,
根据题意，可得不等式组
用图形表示这个限制条件，得到如图所示的平面区域（阴影
部分）.【误区警示】本题易漏掉x≥0,y≥0这一隐含条件，错误的原因是忽视实际含义. 二元一次不等式组中的整数解问题
【名师指津】求二元一次不等式组中的整数解的方法
（1）方法一：通过打出网格求整点，关键是作图要准确；
（2）方法二：先确定区域内点的横坐标的范围，确定x的所有整数值，再代回原不等式组，得出y的一元一次不等式组，再确定y的所有相应整数值，即先固定x，再用x制约y. 【例】求不等式组 表示的平面区域内的整点
（坐标均为整数的点）.
【审题指导】不等式组的实数解集为直线x=0,x=7,y=0,y=4, x+y=9,48x+60y=360所围成的四边形区域，然后再从这个区域内找出所有整点. 【规范解答】由不等式组画出平面区域如图，并分别求得四
边形区域的各顶点的坐标A（ 4），B（7，），C（7，2），
D（5，4）.所以 ≤x≤7,又x为整数，即x=3,4,5,6,7,
将x=3,4,5,6,7代入原不等式组得平面区域内的整点是（3，4），（4，3），（4，4），（5，2），（5，3），（5，4），（6，2），（6，3），（7，1），（7，2），共十个.【变式备选】画出不等式组 表示的平面区域，
并求出平面区域内有多少个整点.
【解析】不等式y-2x≤0表示直线y-2x=0的右下方区域（含边
界），x+2y+3＞0表示直线x+2y+3=0右上方区域（不含边
界）,5x+3y-5＜0表示直线5x+3y-5=0左下方区域（不含边
界），所以不等式组表示的平面区域是上述三区域的公共部分，如图所示的△ABC区域.可求得A（ ），B（ ），
C（ ），所以△ABC区域内的点（x,y）满足 ＜x＜
因为x,y∈Z.
所以0≤x≤2,-2≤y≤0,且x,y∈Z.经检验，共有四个整点
（0,0）,（0,-1）,（1,-1）,（2,-2）.【典例】（12分）已知点M（a,b）在由不等式组
确定的平面区域内，求点N（a+b,a-b）所在平面区域的面
积.
【审题指导】本题考查二元一次不等式组表示平面区域和三角形面积公式等.审题时一定分清所求的是什么.本题所求的是点N（a+b,a-b）所对应的区域，而不是点M（a,b）所对应的区域，最后求出面积.【规范解答】∵点M（a,b）在由 确定的平面区域
内，
∴ ………………………………………2分
设X＝a+b,Y=a-b,
……………………4分则 ………………………………6分
∴点N（a+b,a-b）即点N（X,Y）所在的平面区域为如图所
示的阴影部分. ………………………………………10分
易求得其面积为S= ×4×2＝4. …………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】在平面直角坐标系中，若不等式组
(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为( )
(A)-5 (B)1 (C)2 (D)3
【解题提示】明确不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域，利用面积构造a的方程，求得a.【解析】选D.由题意知不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域，设为△ABC，
则A(1,0)，B(0,1)，C(1,1+a),且a>-1.
∵S△ABC=2，∴ (1+a)×1=2,∴a=3.1.下面四个点中，在平面区域 内的点是（ ）
（A）（0，0） （B）（0，2）
（C）（-3，2） （D）（-2，0）
【解析】选B.可以验证仅有点（0，2）的坐标是不等式组的解，则点（0，2）在该不等式组表示的平面区域内，故选B.2.如图，不等式（x-2y+1）（x+y-3）＜0表示的平面区域是（ ）【解析】选A.∵（x-2y+1）（x+y-3）＜0,
∴ 且不含边界，故选A.3.已知平面区域Ω={(x,y)| },
M={(x,y)| },向区域Ω内随机投一点P，点P落在
区域M内的概率为( )
(A) (B) (C) (D)【解析】选C.如图，阴影部分大的等腰直角三角形区域为
Ω，小的等腰直角三角形为区域M(双重阴影部分)，由面积
比知P= 故选C.4.阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【解析】选A.先求出直线方程，然后选取特殊点判断方向，
故选A.5.不等式组 表示的平面区域的面积为___________.
【解析】平面区域如图阴影部分
所示，在△ABC中，A（1，2），
B（2，2），C（3，0）.
∴S△ABC= ×1×2=1.
答案：16.由直线x+y+2=0，x+2y+1=0和2x+y+1=0围成的三角形区域
（含有边界），用不等式组表示为_________.
【解析】画出三角形区域，判断好区域在直线的哪一个方
向，然后写出不等式组，
即
答案：7.画出不等式组 表示的平面区域.
【解析】不等式2x-3y+2＞0表示直线2x-3y+2=0右下方的平
面区域，2y+1≥0表示直线2y+1=0上及其上方的平面区域，
x-3≤0表示直线x-3=0上及其
左方的平面区域，所以不等式
组
表示的平面区域如图所示.课件50张PPT。【思考】【点拨】 求线性目标函数的最值
解决简单的线性规划问题的方法和步骤
解决这类问题最常用、最重要的一种方法就是图解法，其步骤为：
①画：画出可行域；
②变：把目标函数变形为斜截式方程；从纵截距的角度寻找最优解；【名师指津】③求：解方程组求出最优解；
④答：写出目标函数的最值.
【特别提醒】最优解一般在可行域的边界上取得，但有时在区域内取得，尤其是整点为最优解时.【例1】若变量x,y满足 则z=3x+2y的最大值是
（ ）
（A）90 （B）80 （C）70 （D）40
【审题指导】由题目可获得以下主要信息：①可行域已知；
②目标函数已知.【规范解答】选C.由题意，满足二元一次不等式组的解的可行域，如图所示.由z=3x+2y得y= 要求z的最大值，可求 的最大
值，即求斜率为 的直线在可行域内在y轴上截距的最大
值，如图，显然直线过A点时，在y轴上截距最大.
联立 ∴A（10,20）.
∴z=3x+2y的最大值为zmax=3×10+2×20=70.故选C.【互动探究】若本题条件不变，则z=3x+y的最大值是多
少？
【解析】如图，可行域与例题相同.
把z=3x+y变形为y=-3x+z得到斜率为
-3，在y轴上截距为z的一组平行直
线，由图可知，当直线z=3x+y过可
行域上B点时，截距最大，易知B（20，0）.
∴zmax=3×20+0=60.【变式训练】设z=2x+y，变量x、y满足条件
求z的最大值和最小值.
【解析】作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图
所示.把z=2x+y变形为y=-2x+z，则得到斜率为-2，在y轴上
的截距为z,且随z变化的一组平行直线.由图可以看出，当
直线z=2x+y经过可行域上的点A时，截距z最大，经过点B时，截距z最小.解方程组 得A点坐标为
（5，2），解方程组 得B点坐标为（1，1），
∴zmax=2×5+2=12,zmin=2×1+1=3. 求非线性目标函数的最值
非线性目标函数的最值的求法
（1）对于形如z=（x-a）2+（y-b）2型的目标函数均可化
为求可行域内的点（x,y）与点（a,b）间的距离的平方的
最值问题.
（2）对形如z= （ac≠0）型的目标函数，可先变形为
z= 的形式，将问题转化为可行域内的点
（x,y）与点（ ）连线斜率的 倍的范围、最值等.【名师指津】【特别提醒】解题中要注意斜率不存在的情况.【例2】已知 求：
（1）z=x2+y2-10y+25的最小值；
（2）z= 的范围.
【审题指导】审题时，要把z=x2+y2-10y+25化为z=x2+
（y-5）2;把z= 化为z=2· 联系其几何意义，思路就清晰了.【规范解答】作出可行域，如图所示.
A（1，3），B（3，1），C（7，9）.
（1）z=x2+（y-5）2表示可行域内任一点（x,y）到点
M（0,5）的距离的平方，过M作AC的垂线，易知垂足在AC
上，故MN=MN2= 故z的最小值为
（2） 表示可行域内点（x,y）与定点Q（-1，
）连线斜率的2倍，
∵KQA= KQB=
∴z的范围是［ ］.【变式训练】已知 求（x+1）2+（y+1）2的
最大值、最小值.
【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由
得 A（1，3）；
由 得B（3，4）；
由 得C（2，1）.设d=（x+1）2+（y+1）2，则它表示可行域内的点到点（-1,
-1）的距离的平方，以点（-1，-1）为圆心， 为半径画
圆，当圆经过点B时，d最大；当圆经过点C时，d最小.
所以当x=3,y=4时，dmax=（3+1）2+（4+1）2=41;当x=2,y=1
时，dmin=（2+1）2+（1+1）2=13,
即（x+1）2+（y+1）2的最大值为41，最小值为13.
【误区警示】此题易出现 与 的错误，原因是漏掉了平方. 已知目标函数的最值求参数
求约束条件或目标函数中的参数的取值范围问
题.
解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行
域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想、方法求解.同时
要搞清目标函数的几何意义.
【特别提醒】解题时要注意边界直线斜率与目标函数斜率的关系.【名师指津】【例3】若实数x,y满足 且x2+y2的最大值为
34，求正实数a的值.
【审题指导】此题的关键是找到取得最大值的点，然后确定a的值即可.
【规范解答】在平面直角坐标系中
画出约束条件所表示的可行域如图
（形状不定）其中直线ax-y-a=0的位置不确定，但它经过定点A（1，0），
斜率为a.
又由于x2+y2= 且x2+y2的最大值等于34，所以可行
域中的点与原点距离的最大值等于解方程组 得M的坐标为（ ）,
解方程组 得P的坐标为( +1,3)
又OM= ∴点P（ +1,3）到原点距离最大
∴（ +1）2+9=34，又a＞0，故解得a=【变式训练】已知变量x,y满足约束条件 若目标
函数z=ax+y(其中a>0)仅在点（3，0）处取得最大值，则a的
取值范围为_____________.
【解题提示】目标函数可化为y=-ax+z,可看作斜率为-a,在y轴上的截距为z的直线，为使目标函数仅在点（3，0）处取得最大值，可分析斜率-a的取值范围进而求a的范围.【解析】由约束条件画出可行域如图所示.
要使z仅在点（3，0）处取最大值，
则y=-ax+z的斜率-a应满
足-a＜ 所以a>
答案：a> 简单线性规划整数解问题
整点坐标的求法
求不等式组表示的平面区域内的整点坐标,常有两种方法:
(1)先确定区域内横坐标的取值范围,确定x的所有整数值;通过x的值再确定相应y的整数值;
(2)画出网格求整点,关键是作图要准确.【名师指津】【例】设z=600x+300y，变量x,y满足约束条件
且x,y为整数，求z的最大值.
【审题指导】该题可行解（x,y）是不等式组确定的平面区域内的整点.【规范解答】如图，可行域为四边形
AOBC内的区域，由题意得A（0，126），
B（100，0）.
由方程组
∴C点坐标为（ ）.因为题设要求整点（x，y）使z=600x+300y取得最大值，
又整点（69,91）,（70,90）都在可行域内，
将两点坐标代入z=600x+300y可知当 时，z取得最大值.
即zmax=600×70+300×90=69 000.【变式备选】设变量x,y满足条件 求S=5x+4y的
最大值.
【解析】依约束条件画出可行域如图所示，若暂不考虑
x,y为正整数的条件，则当直线5x+4y=S过点A（ ）
时， S=5x+4y取最大值，Smax=
∵x,y为正整数，∴当直线5x+4y=
S平行移动时，从点A起第一个通过
的可行域内的整点是（2，2），此
时Smax=18.【典例】（12分）已知1≤x+y≤5,-1≤x-y≤3，求2x-3y的取值范围.
【审题指导】本题考查线性规划应用问题.把1≤x+y≤5,
-1≤x-y≤3看作变量x,y满足的线性约束条件，把求2x-3y的取值范围看作求z=2x-3y的取值范围，就成了一个线性规划问题.【规范解答】作出二元一次不等式组 所表示
的平面区域（如图）即为可行域. ……………………2分
设z=2x-3y，变形得
则得到斜率为 且随z变化的一组平行直线.
是直线在y轴上的截距，当直线截距最大时，z的值最
小，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时，目
标函数z=2x-3y取得最小值. ………………………………4分由图可见，当直线z=2x-3y经过可行域上的点A时，截距最大，即z最小.
解方程组 得A的坐标为（2，3），
∴zmin=2x-3y=2×2-3×3=-5. ……………………………7分
当直线z=2x-3y经过可行域上的点B时，截距最小，即z最大.
解方程组 得B的坐标为（2，-1）.∴zmax=2x-3y=2×2-3×（-1）=7. ……………………10分
∴-5≤2x-3y≤7,
即2x-3y的取值范围是［-5,7］. ……………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤
x-y≤2.若目标函数z=ax+y（a＞0）仅在点（3，1）处取得最大值，则a的取值范围为___________.【解析】由约束条件画出可
行域（如图所示），为矩形
ABCD（包括边界），点C的
坐标为（3，1），平移y=
-ax,当直线在y轴上的截距最
大时，z取最大值.
∴-a＜-1,
∴a＞1.
答案：（1,+∞）1.z=x-y在 的线性约束条件下，取得最大值的
可行解为（ ）
（A）（0，1） （B）（-1，-1）
（C）（1，0） （D）（ ）
【解析】选C.可以验证这四个点均是可行解，当x=0,y=1
时，z=-1;当x=-1,y=-1时，z=0;当x=1,y=0时，z=1;当
x= y= 时，z=0，排除选项A，B，D，故选C.2.若实数x,y满足不等式组 则3x+4y的最小值
是( )
(A)13 (B)15 (C)20 (D)28
【解析】选A.可行域如图阴影部
分所示，令z=3x+4y,联立
解之得
∴当z=3x+4y过点(3,1)时，有最
小值13.故选A.3.设x,y满足 则z=x+y（ ）
（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值
（C）有最大值3，无最小值 （D）既无最大值，也无最小值
【解析】选B.作出可行域如图所示，
作直线l0:x+y=0,平移l0,当l0过点
A（2，0）时，z有最小值2，无最大
值，故选B.4.若实数x,y满足 则 的取值范围是（ ）
（A）（0，1） （B）（0，1］
（C）（1，+∞） （D）［1,+∞)
【解析】选C.实数x,y满足
的相关区域如图所示的阴影部分， 表
示阴影部分内的任意一点与坐标原点
（0，0）连线的斜率，由图可知，
的范围为（1，+∞）,故选C.5.若x,y满足 则z=2x-10y的最大值等于_____.
【解析】画出可行域，找出最优解，求出最大值，当直线
2x-10y=t（t为参数）过原点（0，0）时，zmax=2×0-10×0=0.
答案：06.已知变量x,y满足约束条件 若目标函数z=y-ax
仅在点（5，3）处取得最小值，则实数a的取值范围为____.【解析】画出可行域，如图所示.
由z=y-ax，得y=ax+z，则z为直
线y=ax+z在y轴上的截距，由于
函数z=y-ax仅在点（5，3）处取
得最小值，直线y=ax+z过点P（5，3）时截距最小，所以直线y=ax+z的斜率a大于直线x-y=2的斜率，所以a＞1.
答案：（1,+∞） 7.已知x,y满足约束条件 求z=x+2y的最小值.
【解析】作出不等式组 的可行域，如图所示.
画出直线l0:x+2y=0，平移直线l0到直线l的位置，使l过可行域内某点，且可行域内其他点都
在l的不包含直线l0的另外一侧，
该点到直线l0的距离最小，则这
一点使z=x+2y取最小值.显然，点A满足上述条件，
解 得点A（ ），
∴zmin=课件58张PPT。【思考】【点拨】 求最大值的实际应用问题
【名师指津】解答线性规划应用题的一般步骤
（1）审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些，由于线性规划应用题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺.（2）转化——设元.写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题.
（3）求解——解这个纯数学的线性规划问题.
（4）作答——就应用题提出的问题作出回答.
【特别提醒】解线性规划应用题的关键是将实际问题转化为简单的线性规划问题.【例1】某公司计划2013年在甲,乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元,甲,乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟,已知甲,乙两个电视台为该公司所做的广告每分钟能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲,乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元?【审题指导】解答本题的关键是设出分配给两个电视台的
广告时间，根据时间和费用限制条件列出约束条件，建立
目标函数求解.
【规范解答】设公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分
别为x分钟和y分钟,总收益为z元,由题意得
目标函数为z=3 000x+2 000y.
二元一次不等式组等价于作出可行域,如图所示.
作直线l:3 000x+2 000y=0,即3x+2y=0.
平移直线l,从图中可知,当直线l过点M时,目标函数取得最大值.联立 解得
∴点M的坐标为(100,200).
∴zmax=3 000×100+2 000×200=700 000(元).
因此该公司在甲电视台做100分钟广告,在乙电视台做200分钟广告,公司的收益最大,最大收益是70万元.【变式训练】某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？【解析】设投资人分别用x万元，y万元投资甲、乙两个项目，由题意知
目标函数z=x+0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边
界），即可行域.作直线l0:x+0.5y=0.并作平行于
直线l0的一组直线x+0.5y=z,z∈R，
与可行域相交，从图中可知，直线
过点M时，目标函数取最大值.这里
M点是直线x+y=10和0.3x+0.1y=1.8
的交点.解方程组
得x=4,y=6.
此时zmax=1×4+0.5×6=7（万元）.
∴投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大. 求最小值的实际应用问题
【名师指津】解答线性规划应用题应注意的问题
（1）在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要；
（2）线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断；
（3）结合实际问题，分析未知数x,y等是否有限制，如x,y为正整数、非负数等；
（4）分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件一般是不等式，而线性目标函数却是一个等式；（5）图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上都是在图上完成的，所以作图应尽可能地准确，图上操作尽可能规范.但作图中必然会有误差，假如图上的最优点不容易看出时，需将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一检查，以确定最优解.
【特别提醒】解答实际应用题时一定不要忽视了x，y的实际意义，特别当x,y∈N时.【例2】医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐.甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元.若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质.试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？
【审题指导】审题时可将已知数据列成下表，题意就清楚了.【规范解答】设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g，总
费用为z,那么
目标函数为z=3x+2y,作出可行域如图.把z=3x+2y变形为y= 得到斜率为 在y轴上的截
距为 随z变化的一组平行直线.
由图可知，当直线y= 经过可行域上的点A时，截距
最小，即z最小.
由 得A（ 3），
∴zmin=3× +2×3=14.4,
∴当使用甲种原料 ×10=28（g），
乙种原料3×10=30（g）时，费用最省.【变式训练】某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与
55个，所用原料为A，B两种规格金属板，每张面积分别为2 m2与
3 m2.用A种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B种
规格金属板可造甲、乙两种产品各6个.问A，B两种规格金属板各
取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？【解析】设A，B两种金属板分别取x张，y张，用料面积为
z，则约束条件为
目标函数z=2x+3y.
作出以上不等式组表示的可行域，如图所示.作直线l:2x+3y=0，把直线向右上方平移，
当直线经过可行域上的点M时，
此时z=2x+3y取得最小值，
由 得M点坐标为（5，5）.
因M为整点，
故zmin=2×5+3×5=25.
答：两种金属板各取5张时，用料面积最省. 简单线性规划整数解问题
【名师指津】求线性规划问题的最优整数解的调整方法.
（1）局部微调法
（2）小范围搜索法 【例】热心支持教育事业的李先生虽然并不富裕，但每年都要为山区小学捐款.今年打算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望桌椅的数量之和尽可能多，但椅子数不能少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍.问桌子、椅子各买多少才合适？【审题指导】由题目可获取以下主要信息：
①投入总费用≤2 000元；
②桌子50元/张，椅子20元/把；
③桌子数≤椅子数≤桌子数的1.5倍.
解答本题可转化为线性规划问题求解.【规范解答】设桌子、椅子分别买x张和y把，
则所买桌椅的总数为z=x+y.
依题意得不等式组 其中x,y∈N*.
由 解得
由设点A的坐标为( )，点B的坐标为(25, ),
则前面的不等式组所表示的平面区域是以A( ),
B(25, ),O(0,0)为顶点的△AOB的边界及其内部（如图中阴
影所示）.令z=0,得x+y=0,
即y=-x,作直线l0 :y=-x.
由图形可知，把直线l0平移至过点B(25, )时，亦即x=25,
y= 时，z取最大值.
因为x,y∈N*，所以x=25,y=37时，z取最大值.
故买桌子25张，椅子37把较为合适.【变式备选】某工厂生产甲、乙两种产品，需要经过金工和装配两个车间加工，有关数据如表所示：
试问加工这两种产品各多少件，才能使工厂获利最大？【解析】设加工甲、乙两种产品分别为x件、y件，工厂获利
为z元，则z=300x+520y，由题意得
作出可行域如图所示.考虑z=300x+520y，将它变形为y= 这是斜率为
且随z变化的一组平行直线. 是直线在y轴上的截
距，当直线截距最大时，z的值最大.由图可知，当直线
z=300x+520y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大.由
得M的坐标为（ ），不满足x∈N,y∈N.
平移直线并验证知点（64，74）是最优可行解.
故加工甲产品64件，乙产品74件，才能使工厂获利最大.【典例】（12分）有一批钢管，长度都是4 000 mm,要截成
长为500 mm和600 mm的两种钢管，且这两种钢管的数量之
比按大于 配套，怎样截合理？
【审题指导】根据题意可以列出约束条件和目标函数，但解题时要注意最优解有时不止一个.【规范解答】设每根截500 mm的x根和600 mm的y根，则
……………………2分
作出可行域如图所示.
………………………………………………………………4分目标函数为z=x+y,作一组平行直线x+y=t,经过可行域中的点且和原点距离最远的直线为过B（8，0）点的直线，
…………………………………………………………………6分
这时x+y=8,由x,y∈N*知（8，0）不是最优解，
…………………………………………………………………8分
因此，在可行域内找整点，得到点（2，5），（3，4），
（4，3），（5，2），（6，1）均为最优解， 此时x+y=7.
………………………………………………………………10分∴按照每根钢管来截，
截500 mm的2根、600 mm的5根
或截500 mm的3根、600 mm的4根
或截500 mm的4根、600 mm的3根
或截500 mm的5根、600 mm的2根
或截500 mm的6根、600 mm的1根. ……………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】两类药片有效成分如表：
若要求至少提供12 mg阿司匹林、70 mg小苏打、28 mg可卡因，两类药片的最小总数是多少？怎样搭配价格最低？【解析】设需用A和B两种药品分别为x片和y片，药品总数为z片，价格为L元.
由题意，得约束条件
线性目标函数为：药品总数z=x+y.价格L=0.1x+0.2y.由不等式组作可行域如图所示.
作直线l0:x+y=0,平移直线l0到l位置，l经过点A时z有最小值.由 解得点A坐标为（ ）.
而点A不是整数点，故不能作为最优解.
此时，过点A的直线为lA:x+y= 可行域内与直线lA距离最
近的整点有（1，10），（2，9），（3，8），使zmin=11，
即药品总数为11片，而相应价格为
L1=0.1×1+0.2×10=2.1,L2=0.1×2+0.2×9=2.0,
L3=0.1×3+0.2×8=1.9,其中的L3最小，所以Lmin=1.9元.
所以药品最小总数为11片，其中3片A种药、8片B种药搭配
的价格最低.1.车间有男工25人，女工20人，要组织甲、乙两种工作小组，甲组有5名男工，3名女工，乙组有4名男工，5名女工，并且要求甲种组数不少于乙种，乙种组数不少于1，则各自最多组成的工作小组数为（ ）
(A)甲4组，乙2组 (B)甲2组，乙4组
(C)甲、乙各3组 (D)甲3组，乙2组【解析】选D.解答选择题可用排除法.
设甲种组数为x,乙种组数为y，则
将选项A，B，C，D代入检验可得答案为D.2.实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元，在满足需要的条件下，最少要花费（ ）
(A)400元 (B)500元
(C)600元 (D)800元【解析】选B.设需要每袋35千克的原料为x袋，每袋24千克
的原料为y袋，由题意得 求z=140x+120y的最
小值,把实际问题转化为数学问题，在可行域内求出zmin
=500，即当x=1,y=3时，花费最少.故选B.3.某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为a1 kg，
b1 kg,生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为a2 kg,
b2 kg，甲、乙产品每千克可获得的利润分别为d1元，d2元，
月初一次性购进原料A，B各c1 kg,c2 kg，本月要生产甲产
品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大；在这
个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x kg,y kg,
月利润总额为z元，那么，用于求使总利润最大的数学模型
中，约束条件为（ ）(A) (B)
(C) (D)【解析】选C.由题设条件列表如下，约束条件应为C.4.某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资是由每份金融投资20万元，房地产投资30万元组成；进取型组合投资是由每份金融投资40万元，房地产投资30万元组成.已知每份稳健型组合投资每年可获利10万元，每份进取型组合投资每年可获利15万元.若可作投资用的资金中，金融投资不超过160万元，房地产投资不超过180万元，为使一年获利总额最多，稳健型、进取型组合投资应分别注入__________份、______份.【解析】设稳健型组合投资注入x份，进取型组合投资注入y份，则获利总额为z=10x+15y,
依题意
作出可行域，如图.由 即A（4，2），
由图可知当x=4,y=2时，z取最大值.
答案：4 25.某工厂库存A、B、C三种原料，可用来生产Z、Y两种产品，市场调查显示各种数据如表：
问：若市场调查情况如（Ⅰ），则怎样安排生产获利最大？若市场调查情况如（Ⅱ），则怎样安排生产获利最大？【解析】设生产Z产品m件、Y产品n件，依题意，约束条件
为：
(Ⅰ)目标函数：s1=2 000m+1 000n.(Ⅱ)目标函数：s2=1 000m+3 000n.
作出约束条件所表示的平面区域，如图.（Ⅰ）考虑：s1=2 000m+1 000n将它变形为n=-
这是斜率为-2、随s1变化的一组平行直线. 是直线在y
轴上的截距，当直线截距最大时，s1的值最大.当然直线要
与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数s1=2 000m+
1 000n取得最大值.
由图可见，当直线s1=2 000m+1 000n经过可行域上的点A时，截距最大，即s1最大.解方程组 得A的坐标为（49，9）.
即生产Z产品49件，Y产品9件，获利最大.
（Ⅱ）考虑s2=1 000m+3 000n，过点B（40，15）时取得最大值.
即生产Z产品40件，Y产品15件，获利最大.课件33张PPT。【点拨】【思考】 利用基本不等式比较大小
利用基本不等式比较实数大小
(1)在应用基本不等式时，一定要注意是否满足条件，即a>0,b>0.
(2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”，这便是
应用基本不等式的“题眼”，不妨运用基本不等式.
【特别提醒】在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用.【名师指津】【例1】已知a、b是正数，试比较 与 的大小.
【审题指导】由题目可获取以下主要信息：（1）a,b是正数；（2）一个“和式”与一个“积式”比较大小，可以利用基本不等式解答.【规范解答】∵a>0,b>0,∴ ≥ >0.
∴ ≤ = .
即 ≤ .【变式训练】若02ab,a2+b2中最大的一个是( )
（A）a2+b2 （B）
（C）2ab （D）a+b【解析】选D.∵0∴a+b> ,a2+b2>2ab.
∴四个数中最大的应从a+b,a2+b2中选择.
而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1)
又∵0∴a2+b2-(a+b)<0,即a2+b2∴a+b最大，故选D. 利用基本不等式证明不等式
不等式的证明
（1）多次使用a+b≥ 时，要注意等号能否成立，累加法
是不等式性质的应用，也是证明不等式的一种常用方法.
(2)对不能直接使用基本不等式的证明，要重新组合，构造运
用基本不等式的条件，若条件中有一个多项式的和为1，要注
意“1”的代换.
【特别提醒】证题过程中不要漏掉等号成立的说明.【名师指津】【例2】已知a,b,c为不全相等的正实数.
求证:a+b+c＞ + + .
【审题指导】由题目可获取以下主要信息：（1）a,b,c为不全相等的正数；（2）所证不等式的结构与基本不等式相符，故可用基本不等式给出证明.【规范解答】∵a＞0,b＞0,c＞0,
∴a+b≥2 ,b+c≥2 ,c+a≥2 .
∴2(a+b+c)≥2( + + ),
即a+b+c≥ + + .
由于a,b,c为不全相等的正实数,故等号不成立.
∴a+b+c＞ + + .【互动探究】若条件不变，结论改为a2+b2+c2>ab+bc+ac,怎样证明.
【证明】∵a>0,b>0,c>0,
∴a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca.
∴2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca).
即a2+b2+c2≥ab+bc+ca，
由于a,b,c为不全相等的正实数，故等号不成立.
∴a2+b2+c2>ab+bc+ca.【变式训练】求证：
【证明】∵
同理
三式相加，得
当且仅当a=b=c时，等号成立.
∴
【误区警示】证明此类题要注意等号成立的条件.【例】已知a,b,c为正实数，且a+b+c=1,求证:
【审题指导】知a+b+c=1,证 可考虑“1”的代换，转化出可用基本不等式的情况.【规范解答】∵a,b,c为正实数,a+b+c=1,
∴
≥3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c= 时，等号成立.
∴ ≥9.【变式备选】已知a>0,b>0,a+b=1.
求证： .
【证明】∵a>0,b>0,a+b=1.
∴1=a+b≥2 ,∴ ≤ ,∴ ≥4.
∵ ≤ ,∴ ≥ .
∴
当且仅当a=b= 时等号成立.
∴【典例】（12分）已知x>0,y>0，且2x+5y=20,求 的
最小值.
【审题指导】由2x+5y=20可得 =1.注意到
，可由“1”的灵活运用解答本题.【规范解答】∵x>0,y>0, =1,
∴ ………………… 2分
= ………………… 4分
≥ ………………… 6分
当且仅当 时，等号成立. ………………… 8分由 解得 . ……………10分
∴ 的最小值为 . ……………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】已知a>0,b>0,且 ,求a+2b的最小值.
【解析】将常数1换成 ,则
a+2b=1×(a+2b)=( )(a+2b)
=1+ +2≥3+2 ,当且仅当
且 ,即 时，上式取等号,此时a+2b
的最小值是 .1.不等式m2+1≥2m中等号成立的条件是( )
(A)m=1 (B)m=±1 (C)m=-1 (D)m=0
【解析】选A.m2+1=2m时，m=1，故选A.2.设x,y满足x+y=40,且x,y都是正数，则xy的最大值为( )
(A)400 (B)100 (C)40 (D)20
【解析】选A.xy≤ =400,当且仅当x=y=20时，等号成立，
故选A.3.下列结论中，不正确的是( )
(A)x>0,y>0,则 (B)a>0,则（1+a）(a+ )≥4
(C)lgx+logx10≥2,其中x>1 (D) ≥2
【解析】选B.对于A，
当x=y时取等号，正确;对于B，当a= 时，有
（1+ ）·( +2)= <4，不正确；对于C，lgx+logx10
=lgx+ ≥2,当x=10时，取等号，正确；对于D，
当x=0时取等号，正确；故选B.4.已知x＞0，y＞0,lg2x+lg8y=lg2,则 的最小值是
_________.
【解析】∵lg2x+lg8y=lg2
∴x+3y=1
∴
当且仅当 时取等号.
答案：45.若a>b>1,P= Q= (lga+lgb)，R=lg 则P，
Q，R的大小关系是______.
【解析】∵a>b>1,∴lga>lgb>0,
∴ (lga+lgb)> ∴Q>P.
∵ ∴R>Q,∴R>Q>P.
答案：P0,y>0,且x+2y=1,求证： ≥3+
【证明】∵x>0,y>0,且x+2y=1,
∴
当且仅当 时，等号成立.
又x+2y=1，故此时
∴课件44张PPT。【思考】【点拨】 利用基本不等式求最值
【名师指津】利用基本不等式求函数的最值时，定值条件
的构造技巧
（1）用基本不等式求函数的最值是高中数学的重点，也是
近几年高考的一个热点.三个必要条件：即一正、二定、三
相等更是相关考题瞄准的焦点.在具体的题目中，“正数”
条件往往易从题设中获得解决，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧.因此，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，这是解题成败的关键.
（2）常用构造定值条件的技巧变换：
①加项变换；②拆项变换；③统一变元；④平方后利用基本不等式.
【特别提醒】利用基本不等式求最值时，强调三要素：
（1）正数；（2）定值；（3）等号成立的条件.【例1】已知x<2,求函数f(x)=x+ 的最大值.
【审题指导】通过题目的条件x<2与分母x-2可得x-2<0，不符合基本不等式的条件要求，那么怎样变换可使题目符合基本不等式的条件要求呢？这就是解这个题的关键点.【规范解答】∵x<2,∴2-x>0
∴f(x)=x+ =-［(2-x)+ ］+2
≤ +2=-2，
当且仅当2-x= 即x=0时，等号成立.
∴x+ 取得最大值-2.【互动探究】若把条件“x<2”改为“x>2”，怎样求函数
f(x)=x+ 的最小值.
【解析】∵x>2,∴x-2>0.
∴f(x)=x+ =x-2+ +2
≥ +2=6，
当且仅当x-2= ，即x=4时，等号成立.
∴x+ 的最小值为6.【变式训练】已知0【解析】∵00,
则y= ×4x(1-4x)
≤
当且仅当4x=1-4x，即x= 时，ymax=【例2】已知x>1，求函数y= 的最小值.
【审题指导】由题目可获取以下主要信息：（1）函数解析式为分式且分子的次数高于分母的次数；（2）由x>1得x-1 >0.解答本题可先对分子添项凑出因式x-1，将分子中变量分离出来，再添项凑出乘积为定值的形式，用基本不等式求最值.【规范解答】y=
≥2+2=4(x-1＞0),
当且仅当 =x-1,即(x-1)2=1时,等式成立，
∵x>1，∴当x=2时ymin=4.【互动探究】将条件“x>1”改为“x≥3”，y= 的最小值
还是4吗？若不是，应该是多少？
【解析】由原题知x=2时取等号，故x≥3时，y= 的最小值
不是4.
y= =x-1+ +2.
令t=x-1，则x≥3时，t≥2.
y=t+ +2，
任取t1>t2≥2，则y1-y2=(t1+ +2)-(t2+ +2)
=(t1-t2)+( - )=(t1-t2)+
=(t1-t2)(1- )=(t1-t2)·
∵t1>t2≥2,∴t1-t2>0,t1t2>4>1,
∴y1-y2>0,即y1>y2.
∴y=t+ +2在［２,+∞)上单调递增.
∴当t=2时ymin= 此时x=3.【误区警示】在利用基本不等式求函数最值时，一定要注意函数取得最值时等号是否成立，否则就会出错.【变式训练】求函数f(x)= (x>0)的值域.
【解析】∵x>0,∴f(x)=
∵x+ ≥2，∴0< ∴0当且仅当x= 即x=1时取等号.
∴函数f(x)= (x>0)的值域为(0,1］.【例】已知x>0,y>0,且xy=4x+y+12,求xy的最小值.
【审题指导】解答本题可以利用基本不等式构造出关于
的一元二次不等式；也可以利用已知条件将y用x表示出来.
减少变元后利用基本不等式.【规范解答】方法一：∵x>0,y>0,
∴xy=4x+y+12≥4 +12.
∴( )2-4 -12≥0,∴( -6)( +2)≥0,
∴ ≥6，当且仅当4x=y时， =6.
由4x=y且xy=4x+y+12得x=3,y=12.
此时xy有最小值36.方法二：由xy=4x+y+12得（x-1）y=12+4x,
∵x＞0,y＞0,∴x>1，∴y=
将y= 代入xy得
xy= (x>1)，令t=x-1>0，得
xy=
≥ +20=36.
当且仅当 =4t,即t=2时取等号，即x=3，
y=12时，xy有最小值36.【变式备选】设x,y∈R,a＞1,b＞1,若ax=by=2,2a+b=8,则
的最大值为_________.
【解析】由ax=by=2得x=loga2,y=logb2,
∴ =log2a+log2b=log2ab,
又a＞1,b＞1,∴8=2a+b≥ 即ab≤8,当且仅当2a=b,即
a=2,b=4时取等号,所以 =log2ab≤log28=3,故
（ ）max =3.
答案：3 利用基本不等式解应用题
【名师指津】利用基本不等式解决实际问题的步骤.
解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识（函数及不等式性质等）解决问题，用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数;
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值;
(4)正确写出答案.
【特别提醒】在解题过程中，一定要注意自变量的取值范围. 【例3】如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.
(1)现有可围36 m长的钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最短？【审题指导】本题考查利用基本不等式解应用题问题，解答此类题，一定要分清哪是定值，哪是要求的最值，以及怎样利用基本不等式解决这个最值问题.【规范解答】(1)设每间虎笼长x m，宽为y m，则由条件得4x+6y=36，即2x+3y=18，
设每间虎笼面积为S，则S=xy.
方法一：∵2x+3y≥
∴ ≤18,则xy≤
即S≤ 当且仅当2x=3y时，等号成立，
由
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大.方法二：∵2x+3y=18,∴x=9-
∵x>0,∴0S=xy=(9- )y= (6-y)y,
∵00，
∴S≤
当且仅当6-y=y，即y=3时，等号成立，此时x=4.5，故每间
虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使每间虎笼面积最大.(2)由条件知S=xy=24，
设钢筋网总长为l，则l=4x+6y.
方法一：∵2x+3y≥ = =24,
∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,
当且仅当2x=3y时，等号成立，
由
故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最短.方法二：由xy=24得x=
∴l=4x+6y= =48,
当且仅当 =y，即y=4时，等号成立，此时x=6.
故每间虎笼长6 m,宽4 m时，可使钢筋网总长最短.【变式训练】某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块
地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房.经测算，如
果将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为
560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最
少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地
费用= ）.【解题提示】楼房每平方米的平均综合费用包括两个方
面：
（1）每平方米的平均建筑费用；
（2）每平方米的平均购地费用.
【解析】设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，
则f(x)＝（560+48x）+
=560+48x+ (x≥10,x∈N*)
∵48x+ ≥ =1 440(当且仅当x=15时取“＝”)∴f(x)=560+48x+ ≥560+1 440=2 000,
∴当x=15时，f(x)取最小值2 000.
答:为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层. 【典例】（12分）已知x∈(0,π)，求函数y=sinx+ 的最小
值.
【审题指导】本题直接利用基本不等式，等号不成立，故应利用
函数单调性求最小值.
【规范解答】令t=sinx，由x∈(0,π)得t∈(0,1］.
………………………………………………………………………2分
故原题实际转化为求函数y=t+ 在(0,1］上的最小值问题.
任取t1,t2，且0则f(t1)-f(t2)=t1+
=(t1-t2)· ………………………………………6分
∵t1-t2<0,t1t2-2<0,t1t2>0,∴f(t1)>f(t2).
即函数y=f(t)在（0,1］上单调递减. …………………8分
故当t=1时，函数y=f(t)有最小值，
ymin=f(1)=3. ………………………………………………10分
即函数y=sinx+ x∈(0,π)的最小值为3. ………12分 【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下： 【即时训练】求函数y= 的最小值.
【解析】y=
令t= 则y=f(t)=t+ t∈［2,+∞).
易证f(t)=t+ 在［2,+∞)上为增函数.
∴ymin=f(2)=2+ 此时x=0，
∴当x=0时，ymin=1.已知p,q∈R,pq=100，则p2+q2的最小值是( )
(A)200 (B)100 (C)50 (D)20
【解析】选A.p2+q2≥2pq=200,当且仅当p=q=10或p=q=-10时等号成立.2.当x>0时，f(x)= +4x的最小值为( )
(A)4 (B)8 (C)8 (D)16
【解析】选C.∵x>0,∴ >0,4x>0,
∴f(x)=
当且仅当 =4x,即x= 时，f(x)取最小值
∴当x>0时，f(x)的最小值为 故选C.3.若x>1,y>1，且lgx+lgy=4，则lgx·lgy的最大值是( )
(A)4 (B)2 (C)1 (D)
【解析】选A.∵x>1,y>1,∴lgx>0,lgy>0.
∴lgx·lgy≤ =4,当且仅当lgx=lgy，即x=y=100时，取等号，故选A.4.已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是_____.
【解析】∵2xy≤
∴8-(x+2y)≤
即(x+2y)2+4(x+2y)-32≥0.∴x+2y≥4或x+2y≤-8（舍）,
当且仅当x=2，y=1时符号成立,∴x+2y的最小值为4.
答案：45.求函数y=x+ 的最小值.
【解析】设t=2x-1，∵x> ∴2x-1>0,即t>0,
∴
≥
当且仅当 即t=4,也即x= 时，取等号.
∴函数的最小值为