《名师学典·数学》人教版八年级下册第十六章 二次根式本章复习

《名题学典·数学》人教版八年级系列第十六章
第7课时 二次根式 本章复习

1.二次根式的概念：
.
二次根式有意义的条件： .
要使，则需要满足什么条件？ .

5.代数式： .
6.二次根式的乘法法则：
(1) （）；
（2） （）.
7.二次根式的除法法则：
（1） （）
（2） （）.
8.最简二次根式的两个特点：
（1） ；
（2） .
9.二次根式的加减法则：
.
10.整式的混合运算规律适用于二次根式的混合运算规律.
考点之一：混合运算
【例1】计算：
（1）；
.
分析：二次根式的混合运算的难点： （1）是正确的去根号；（2）分母有理化.
解：（1）
=
=
=
=
练习1 计算：
(1)；
.
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考点之二：化简再求值
【例2】 先化简再求值：
，其中.
分析：化简代数式时，先算括号内的，
能因式分解的就先因式分解，以便于化简.
化简后，再代入求值，结果要为最简二次根式.
解：原式=
=，当时，原式==
.
练习2 先化简再求值：
，
其中，.
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考点三：二次根式的性质
【例3】 （1）代数式有意义的条件是 .
，则= ；
+（a≤1）= .
分析：（1）题利用二次根式，≥0的条件直接解题；（2）题就利用了任何实数的平方都大于或等于零的结论和二次根式的非负性，即；（2）题后一问去根号时，要注意x的取值范围.
解：（1）∵，∴，∴.
（2）∵，，∴，，∴；
+
=
=
=.
练习3
（1）已知，则的取值范围是 .
（2）已知l＜x≤，则
= .
（3）把化成最简二次根式的结果是 .
考点4：规律题和构造新运算
【例4】
在实数范围内定义一种新的运算，其规则是：a * b=a2-b2，则
= ．
（2）观察下列等式：，，
，…请你从上述等式中找出规律，并利用这一规律计算：
…+×
= .
分析：（1）题中构造新的运算“*”，要注意它不是代表乘法，在计算要按照新的运算法则计算；（2）题为找规律题，也可以用分母有理化的方法轻松找到规律.
解：（1）=
=12+2(
122)=4.
（2）由题可得到规律：n为正整数，，
∴…+×=
=
=2012.

练习4
若[x]表示不超过x的最大整数（如，[-π]= -4等），根据定义计算下面算式：++…+= .
定义运算“@”的运算法则为：x@y=，请你计算：（49@8）@27的值．
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1.（2012?西藏）若式子有意义，则x的取值范围为（　　）
A．x≤2 B．x≤2且x≠1
C．x≥2 D．x≥1
2.（2011?巴中）下列各式：①，②，③，④(x＞0)中，最简二次根式有 （　　）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
（2012?大庆）计算：=
.
（2006?宿迁）如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是 ．（结果保留根号）
（2011?德州）当x＝时，则= ．
（2013?黔西南州）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2=(1+)2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=(m+n)2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=(m+n)2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + =( +
)2；
若a+4=(m+n)2，且a、m、n均为正整数，求a的值.
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用时 分数
选择题（每题4分，共32分）
1.（2009?鄂州）使代数式有意义的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥3 B．x＞3且x≠4
C．x≥3且x≠4 D．x＞3
（2013?佛山）化简的结果是（　　）
A. B.
C. D.
（2009?长沙）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ）

A．1 B．-1
C．1-2a D．2a -1
4.（2002?岳阳）下列二次根式中最简二次根式是（　　）
A. B.
C. D.
（2003?天津）若x=，则的值为（ ）
A．-2 B．0
C．2 D．
若等腰三角形的两边长分别为1和，则这个三角形的周长为（　　）
A. B.
C.或 D.
小华和小明计算时，得出两种不同的答案．小华正确审题，得到的答案是“2a-2”，小明忽略了算式后面括号中的条件，得到的结果是“2”，请你判断，括号中的条件是（　　）
A. a＜2 B．a≥2
C．a≤2 D．a≠2
8.（2013?台湾）k、m、n为三整数，若=，=，
，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确？（　　）
A．k＜m=n B．m=n＜k
C．m＜n＜k D．m＜k＜n
二、填空题（每题3分，共18分）
9.已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 ．
10.（2010?杭州市拱墅区一模）已知a，b是正整数，且满足2 (+)也是整数：（1）写出一对符合条件的数对是 ；
（2）所有满足条件的有序数对（a，b）共有 对．
11.已知：y＝，则 .
12.点P（3-a，5-a）是第二象限的点，则= .
13.（1997?内江）已知1＜x＜2，x+
=7，则 .
（2012?蕲春县模拟）若矩形长为(5+
）cm，宽为(5）cm，则此矩形的面积为 .
解答题（每题10分，共40分）
15.计算：
（1）；
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16.（1998?绍兴）当a=3，b=2，求的值.
17.设M=
+…+，N=1-2+3-4+5-6+…+2013-2014.试求的值.
（2012?蕲春县模拟）观察与思考：形如的根式叫做复合二次根式，把变成=
叫做复合二次根式的化简，请将下列复合二次根式进行化简．
；
.

课时自测分析
在下面的表格填上每课时自测所用的时间，和所得的分数：
课时
1
2
3
4
5
6
7
用时
分数
做的最好的一次 ；做的最差的一次 ；平均：用时 ，得分 .






参考答案
基础为本、掌握新知
把形如（）的式子叫做二次根式.



用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子
（1） （2）
（1） （2）
（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
练习4 （1）2013 【解析】取为正整数且大于1，由题可得==
，∵，∴，即
，∴++…+=1+1+…+1=2013.
（2）由新运算x@y=，得（49@8）@27===6.
全真考题、能力拓展
B 【解析】∵，∴x≤2且x≠1.
A 【解析】②，③，④(x＞0)都不是最简二次根式.
3.2 【解析】考查分母有理化.==.
课时自测、认清自我
C 【解析】，∴x≥3且x≠4.
D 【解析】.
D 【解析】∵，∴==.
C 【解析】A.；B.；D..
D 【解析】∵x=，∴.
B 【解析】当等腰三角形的三边长分别1、、时，，则周长为；当等腰三角形的三边长分别1、1、时，，此种情况不存在.
C 【解析】=，当a≥2时，；
当a≤2时，；∵为正确答案，∴a≤2.
8.D 【解析】，，，∴.
14.7cm2 【解析】面积为：(5+）(5）=(cm2).
三、15.解：（1）=；（2）=2.
解：=，当a=3，b=2时，.
解：M=+…+=+
+…+=，N=1-2+3-4+5-6+…+2013-2014=- 1007
，∴=.
解：（1）=
（2）