初中数学同步训练必刷题（人教版七年级下册5.1.2 垂线）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022七下·宜春期末）点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上三点，PA＝4cm，PB=5cm，PC=3cm，则点P到直线l的距离为（ ）
A．4cm B．5cm C．小于3cm D．不大于3cm
2．（2022七下·江源期末）下列图形中，线段的长表示点A到直线的距离的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022七下·辛集期末）如图，河道的同侧有、两地，现要铺设一条引水管道，从地把河水引向、两地．下列四种方案中，最节省材料的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022七下·崇川期末）已知三条射线OA，OB，OC，OA⊥OC，∠AOB＝60°，则∠BOC等于（ ）
A．150° B．30° C．40°或140° D．30°或150°
5．（2022七下·迁安期末）如图，在测量跳远成绩的示意图中，直线是起跳线，则需要测量的线段是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022七下·梅河口期末）如图，在中，，，垂足为点D，那么点A到直线的距离是线段（ ）的长．
A． B． C． D．
7．（2022七下·延庆期末）如图，点O在直线CD上，OB⊥OA．若∠BOD＝110°，则∠AOC的度数为（ ）
A．10° B．20° C．60° D．70°
8．（2022七下·娄星期末）如图所示，点C到AB所在的直线的距离是指图中线段（ ）的长度．
A．AE B．CF C．BD D．BE
9．（2022七下·秦皇岛期中）如图，某同学在体育课上跳远后留下的脚印，在图中画出了他的跳远距离，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两点确定一条直线
D．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
10．（2022七下·仙居期末）小明在做一道数学题．直线AB，CD相交于点O，∠BOC＝25°，过点O作 ，求∠AOE的度数．小明得到 ，但老师说他少了一个答案．那么∠AOE的另一个值是（ ）
A．105° B．115° C．125° D．135°
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（2022七下·鞍山期末）如图，点P是直线l外一点，过点P作于点O，点A是直线l上任意一点，连接，若，则的长可能是 （写出一个即可）．
12．（2022七下·喀什期末）如图，农民伯伯若要将河里的水引到田地P处，需要从点P作河岸l的垂线，垂足是Q，则沿PQ挖的水沟最短，这样做的数学道理是 ．
13．（2022七下·双城期末）已知直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC：∠BOC＝2：1，射线OE⊥CD，则∠AOE的度数为 ．
14．（2022七下·东城期末）如图，在三角形中，，，，，则点A到的距离等于 .
15．（2022七下·南开期末）如图直线AB、CD、EF相交于点O，且AB⊥CD，∠1=40°，则∠2= ．
16．（2022七下·临海开学考）如图，为了方便人们从A点到道路l上，学校过A点作直线l垂线，垂足为B点，这样做的数学原理是 .
17．（2021七下·松江期末）如图，直线相交于O，平分，若，则的度数为 ．
18．（2021七下·花都期末）如图所示，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段 ，理由是 ．
19．（2021七上·长春期末）如图，运动会上，小明自踏板M处跳到沙坑P处，甲、乙、丙三名同学分别测得PM＝3.25米，PN＝3.15米，PF＝3.21米，则小明的成绩为 米．（填具体数值）
20．（2021七下·吉林月考）如图，AB⊥l1，AC⊥l2，若AB=4，BC=3，AC=5，则点A到直线l1的距离是 。
三、解答题（共8题，共62分）
21．（2022七下·白水期末）如图，直线EF和CD相交于点O，射线，且OC平分∠AOF，∠BOD＝20°．求∠BOE的度数．
22．（2022七下·如皋期中）如图，相交于点，，为垂足，若，求的度数.
23．（2021七下·曹县期中）如图，直线，相交于点，，若，，求的度数．
24．（2020七下·碑林期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD于点O，∠EOB=115°，求∠AOC的度数.请补全下面的解题过程（括号中填写推理的依据）.
解：∵OE⊥CD于点O（已知），
∴_▲_（ ）.
∵∠EOB=115°（已知），
∴∠DOB=_▲__=115°-90°=25°.
∵直线AB，CD相交于点O（已知），
∴∠AOC=_▲_=25°（ ）.
25．（2022七下·阳江期末）如图，已知线段，用三角板或量角器分别过P、D、F三点作线段的垂线．
26．（2022七下·海淀期末）如图，点在直线外，点在直线上，连接．选择适当的工具作图．
（1）在直线上作点，使，连接；
（2）在的延长线上任取一点，连接；
（3）在，，中，最短的线段是 ，依据是 ．
27．（2022七下·开封期中）如图，直线相交于点O，于点O.
（1）若，求的度数.
（2）若，请判断与关系，并说明理由.
28．（2022七下·崇阳期中）如图，点O在直线AB上，OC平分，．
（1）已知，求的大小；
（2）若，请判断OE是否平分，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，
∴点P到直线l的距离≤PC，
即点P到直线l的距离不大于3cm．
故答案为：D．
【分析】利用垂线段最短的性质可得答案。
2．【答案】B
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：A．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意；
B． AD⊥BC于D，则线段AD的长表示点A到直线BC的距离，符合题意；
C．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意；
D．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意．
故答案为：B．
【分析】根据点到直线的距离，对每个图形一一判断即可。
3．【答案】D
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【解答】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：
故答案为：D．
【分析】利用垂线段最短，以及两点之间线段最短求解即可。
4．【答案】D
【知识点】角的运算；垂线
【解析】【解答】解：分两种情况讨论，
如图1所示，
∵OA⊥OC，
∴，
∵∠AOB＝60°，
∴；
如图2所示，
∵OA⊥OC，
∴，
∵∠AOB＝60°，
∴．
综上所述，∠BOC等于30°或150°．
故答案为：D．
【分析】分OB在∠AOC内部和外部两种情况讨论，结合已知的角度，根据角的和差关系求∠BOC的度数即可.
5．【答案】C
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：根据垂线段最短可得，需要测量的线段是DC；
故答案为：C．
【分析】根据垂线段最短可得答案。
6．【答案】D
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，
∴，
∴，
∴A到CD的距离是线段AD的长度．
故答案为：D．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
7．【答案】B
【知识点】角的运算；垂线；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠BOD=110°，
∴∠BOC=180°-110°=70°，
∵OB⊥OA，
∴∠AOB=90°，
∴∠AOC=90°-∠BOC=90°-70°=20°，
故答案为：B．
【分析】由邻补角的定义可得∠BOC=180°-∠BOD=70°，由垂直的定义可得∠AOB=90°，根据∠AOC=∠AOB-∠BOC计算即可.
8．【答案】B
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：如图所示：
点A到BC所在直线的距离是线段AE的长度，
点C到AB所在直线的距离是线段CF的长度，
点B到AC所在直线的距离是线段BD的长度.
故答案为：B.
【分析】过直线外一点向一条直线引垂线，这点到垂足间的线段的长度就是这个点到这条直线的距离，据此即可一一判断得出答案.
9．【答案】B
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：能符合题意解释这一现象的数学知识是垂线段最短，
故答案为：B．
【分析】根据垂线段最短的性质求解即可。
10．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：依题意，另一情况画图如下：
∵OE⊥CD，
∴∠DOE＝90°，
∵∠AOD＝∠BOC＝25°，
∴∠AOE＝90°+25°＝115°，
∴∠AOE的另一个值为115°.
故答案为：B.
【分析】依题意，将另一情况图形画出，再根据垂线性质，角的互余关系及对顶角相等，可得∠AOE＝90°+25°＝115°，即可求解.
11．【答案】4
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵点P是直线l外一点，过点P作于点O，点A是直线l上任意一点，
∴3≤AP，
∴PA可以为4，
故答案为：4(答案不唯一)．
【分析】利用垂线段最短的性质求解即可。
12．【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：根据题意，将河里的水引到田地P处，需要从点P作河岸l的垂线，垂足是Q，可知理由是：垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【分析】从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短.
13．【答案】30°或150°
【知识点】角的运算；垂线；邻补角
【解析】【解答】如图，
∵∠AOC：∠BOC＝2：1，
∴∠BOC＝，
∵OE⊥CD，
∴∠COE＝，
∴∠BOE＝∠COE-∠BOC＝
∴∠AOE＝
当E'在EO的延长线上时，∠BOE'＝∠COE'+∠BOC＝
∴∠AOE'＝180°-∠BOE'
故答案为：30°或150°
【分析】由∠AOC+∠BOC＝180°且∠AOC：∠BOC＝2：1，可求出∠BOC=60°，由垂直的定义可得∠COE＝90°，从而求出∠BOE＝∠COE-∠BOC=30°，根据邻补角的定义求出∠AOE=150°，当E'在EO的延长线上时，可求出∠AOE'＝30°.
14．【答案】3
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵，
∴AC⊥BC，
∴线段AC的长度就是点A到BC的距离，
∵AC=3，
∴点A到BC的距离等于3．
故答案为：3．
【分析】根据题意先求出AC⊥BC，再求出线段AC的长度就是点A到BC的距离，最后计算求解即可。
15．【答案】50°或50度
【知识点】垂线；对顶角及其性质
【解析】【解答】∵直线AB、CD、EF相交于点O，
∴∠COF=∠1=40°
∵AB⊥CD，
∴∠BOC=90°
∴∠2=90°-∠COF=50°
故答案为：50°．
【分析】由对顶角相等可得∠COF=∠1=40°，由垂直的定义可得∠BOC=90°，利用∠2=90°-∠COF即可求解.
16．【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短；点到直线的距离
【解析】【解答】解：A点作直线l垂线，垂足为B点.这样做最节省道路长度，其数学道理是垂线段最短.
故答案为：垂线段最短.
【分析】根据点到直线的距离，垂线段最短，即可解释.
17．【答案】67
【知识点】角的运算；垂线；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴
．
故答案为：67．
【分析】由对顶角相等得，由角平分线的定义可得，由垂直的定义可得∠FOE=90°，利用平角的定义可得，从而得解.
18．【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵PN⊥MN，
∴由垂线段最短可知PN是最短的，
故答案为：垂线段最短．
【分析】根据垂线段最短得出答案。
19．【答案】3.15
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：由图形可知，小明的跳远成绩应该为PN的长度，即3.15米，
故答案为：3.15．
【分析】先求出小明的跳远成绩应该为PN的长度，再求解即可。
20．【答案】4
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵ AB⊥l1，AB=4，
∴ 点A到直线l1的距离是4.
【分析】根据点到直线的距离定义：自点向直线做垂线段，这条垂线段的长度叫做点到直线的距离，即可得出答案.
21．【答案】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∵OC平分∠AOF，
∴，
∴，
∴．
【知识点】垂线；对顶角及其性质；邻补角；角平分线的定义
【解析】【分析】根据垂直定义及邻补角性质，可求得∠AOC=70°，由角平分线定义得∠COF=∠AOC=70°，再由对顶角得∠DOE=70°，最后由角和差关系求得∠BOE度数即可.
22．【答案】解：设∠AOC=x，则∠BOC=2x，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴x+2x=180°，
解得：x=60°，
∴∠AOC=60°，
∴∠BOD=60°，
∵OE⊥AB，
∴∠EOB=90°，
∴∠EOD=∠EOB-∠BOD=90°-60°=30°.
【知识点】垂线；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【分析】设∠AOC=x，则∠BOC=2x，根据邻补角的性质可得x+2x=180°，求出x的值，据此可得∠AOC、∠BOD的度数，然后根据∠EOD=∠EOB-∠BOD进行计算.
23．【答案】解：
【知识点】角的运算；垂线；对顶角及其性质
【解析】【分析】根据对顶角的性质可得 ，因 ， ， ，
。
24．【答案】解：∵OE⊥CD于点O（已知），
∴∠EOD=90°（垂直的定义），
∵∠EOB=115°（已知），
∴∠DOB=∠EOB-∠EOD=115°-90°=25°.
∵直线AB，CD相交于点O（已知），
∴∠AOC=∠DOB=25°（对顶角相等）.
故答案为：∠EOD=90°；垂直的定义；∠EOB-∠EOD；∠DOB；对顶角相等.
【知识点】垂线；对顶角及其性质
【解析】【分析】根据垂直的定义可得∠EOD=90°，根据角的和差关系可得∠DOB=∠EOB-∠EOD=25°，再根据对顶角的性质解答即可.
25．【答案】解：用三角板直接过点P、D作线段的垂线，延长AB，用三角板直接过点F作线段延长线的垂线，则直线l、直线m、直线n即为所求，如图所示：
【知识点】作图-垂线
【解析】【分析】用三角板直接过点P、D作线段AB的垂线，延长AB，用三角板直接过点F作线段AB延长线的垂线，则直线l、直线m、直线n即为所求。
26．【答案】（1）解：利用直角三角板和直尺作图如下：
（2）解：利用直尺连接，作图如下：
（3）；垂线段最短
【知识点】垂线段最短；作图-垂线
【解析】【解答】（3）解：在，，中，最短的线段是，依据是垂线段最短，
故答案为：，垂线段最短．
【分析】（1）作AC垂直直线l即可；
（2）连接AD即可；
（3）根据垂线段最短即可。
27．【答案】（1）解：由邻补角的定义，得∠AOC+∠BOC＝180°，
∵∠BOC＝4∠AOC，
∴4∠AOC+∠AOC＝180°，
∴∠AOC＝36°，
由对顶角相等，得
∠BOD＝∠AOC＝36°；
（2）解：ON⊥CD，理由如下：
∵OM⊥AB，
∴∠AOM＝90°，
∴∠1+∠AOC＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠AOC＝90°，
即∠NOC＝90°，
∴ON⊥CD.
【知识点】垂线；邻补角
【解析】【分析】（1）利用邻补角的定义及∠BOC＝4∠AOC，建立方程求出∠AOC的度数，再利用对顶角相等可求出∠BOD的度数；
（2）利用垂直的定义可证得∠1+∠AOC＝90°，结合已知可证得∠2+∠AOC=90°，然后利用垂直的定义可证得ON与CD的关系.
28．【答案】（1）解：OC平分，，
，
，
，
又，
；
（2）解：OE平分，理由如下：
平分，，
，
又，
；
平分．
【知识点】角的运算；垂线；邻补角；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠BOC=∠DOC=26°，由垂直的概念可得∠EOC=90°，由平角的概念可得∠EOC+∠BOC+∠AOE=180°，据此计算；
（2）根据角平分线的概念可得∠BOD=2∠BOC=2α，由邻补角的性质可得∠AOD=180°-2α，由垂直的概念可得∠EOC=90°，由平角的概念可得∠EOC+∠BOC+∠AOE=180°，据此表示出∠AOE，进而判断.
1 / 1初中数学同步训练必刷题（人教版七年级下册5.1.2 垂线）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022七下·宜春期末）点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上三点，PA＝4cm，PB=5cm，PC=3cm，则点P到直线l的距离为（ ）
A．4cm B．5cm C．小于3cm D．不大于3cm
【答案】D
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，
∴点P到直线l的距离≤PC，
即点P到直线l的距离不大于3cm．
故答案为：D．
【分析】利用垂线段最短的性质可得答案。
2．（2022七下·江源期末）下列图形中，线段的长表示点A到直线的距离的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：A．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意；
B． AD⊥BC于D，则线段AD的长表示点A到直线BC的距离，符合题意；
C．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意；
D．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意．
故答案为：B．
【分析】根据点到直线的距离，对每个图形一一判断即可。
3．（2022七下·辛集期末）如图，河道的同侧有、两地，现要铺设一条引水管道，从地把河水引向、两地．下列四种方案中，最节省材料的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【解答】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：
故答案为：D．
【分析】利用垂线段最短，以及两点之间线段最短求解即可。
4．（2022七下·崇川期末）已知三条射线OA，OB，OC，OA⊥OC，∠AOB＝60°，则∠BOC等于（ ）
A．150° B．30° C．40°或140° D．30°或150°
【答案】D
【知识点】角的运算；垂线
【解析】【解答】解：分两种情况讨论，
如图1所示，
∵OA⊥OC，
∴，
∵∠AOB＝60°，
∴；
如图2所示，
∵OA⊥OC，
∴，
∵∠AOB＝60°，
∴．
综上所述，∠BOC等于30°或150°．
故答案为：D．
【分析】分OB在∠AOC内部和外部两种情况讨论，结合已知的角度，根据角的和差关系求∠BOC的度数即可.
5．（2022七下·迁安期末）如图，在测量跳远成绩的示意图中，直线是起跳线，则需要测量的线段是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：根据垂线段最短可得，需要测量的线段是DC；
故答案为：C．
【分析】根据垂线段最短可得答案。
6．（2022七下·梅河口期末）如图，在中，，，垂足为点D，那么点A到直线的距离是线段（ ）的长．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，
∴，
∴，
∴A到CD的距离是线段AD的长度．
故答案为：D．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
7．（2022七下·延庆期末）如图，点O在直线CD上，OB⊥OA．若∠BOD＝110°，则∠AOC的度数为（ ）
A．10° B．20° C．60° D．70°
【答案】B
【知识点】角的运算；垂线；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠BOD=110°，
∴∠BOC=180°-110°=70°，
∵OB⊥OA，
∴∠AOB=90°，
∴∠AOC=90°-∠BOC=90°-70°=20°，
故答案为：B．
【分析】由邻补角的定义可得∠BOC=180°-∠BOD=70°，由垂直的定义可得∠AOB=90°，根据∠AOC=∠AOB-∠BOC计算即可.
8．（2022七下·娄星期末）如图所示，点C到AB所在的直线的距离是指图中线段（ ）的长度．
A．AE B．CF C．BD D．BE
【答案】B
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：如图所示：
点A到BC所在直线的距离是线段AE的长度，
点C到AB所在直线的距离是线段CF的长度，
点B到AC所在直线的距离是线段BD的长度.
故答案为：B.
【分析】过直线外一点向一条直线引垂线，这点到垂足间的线段的长度就是这个点到这条直线的距离，据此即可一一判断得出答案.
9．（2022七下·秦皇岛期中）如图，某同学在体育课上跳远后留下的脚印，在图中画出了他的跳远距离，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两点确定一条直线
D．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】B
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：能符合题意解释这一现象的数学知识是垂线段最短，
故答案为：B．
【分析】根据垂线段最短的性质求解即可。
10．（2022七下·仙居期末）小明在做一道数学题．直线AB，CD相交于点O，∠BOC＝25°，过点O作 ，求∠AOE的度数．小明得到 ，但老师说他少了一个答案．那么∠AOE的另一个值是（ ）
A．105° B．115° C．125° D．135°
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：依题意，另一情况画图如下：
∵OE⊥CD，
∴∠DOE＝90°，
∵∠AOD＝∠BOC＝25°，
∴∠AOE＝90°+25°＝115°，
∴∠AOE的另一个值为115°.
故答案为：B.
【分析】依题意，将另一情况图形画出，再根据垂线性质，角的互余关系及对顶角相等，可得∠AOE＝90°+25°＝115°，即可求解.
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（2022七下·鞍山期末）如图，点P是直线l外一点，过点P作于点O，点A是直线l上任意一点，连接，若，则的长可能是 （写出一个即可）．
【答案】4
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵点P是直线l外一点，过点P作于点O，点A是直线l上任意一点，
∴3≤AP，
∴PA可以为4，
故答案为：4(答案不唯一)．
【分析】利用垂线段最短的性质求解即可。
12．（2022七下·喀什期末）如图，农民伯伯若要将河里的水引到田地P处，需要从点P作河岸l的垂线，垂足是Q，则沿PQ挖的水沟最短，这样做的数学道理是 ．
【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：根据题意，将河里的水引到田地P处，需要从点P作河岸l的垂线，垂足是Q，可知理由是：垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【分析】从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短.
13．（2022七下·双城期末）已知直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC：∠BOC＝2：1，射线OE⊥CD，则∠AOE的度数为 ．
【答案】30°或150°
【知识点】角的运算；垂线；邻补角
【解析】【解答】如图，
∵∠AOC：∠BOC＝2：1，
∴∠BOC＝，
∵OE⊥CD，
∴∠COE＝，
∴∠BOE＝∠COE-∠BOC＝
∴∠AOE＝
当E'在EO的延长线上时，∠BOE'＝∠COE'+∠BOC＝
∴∠AOE'＝180°-∠BOE'
故答案为：30°或150°
【分析】由∠AOC+∠BOC＝180°且∠AOC：∠BOC＝2：1，可求出∠BOC=60°，由垂直的定义可得∠COE＝90°，从而求出∠BOE＝∠COE-∠BOC=30°，根据邻补角的定义求出∠AOE=150°，当E'在EO的延长线上时，可求出∠AOE'＝30°.
14．（2022七下·东城期末）如图，在三角形中，，，，，则点A到的距离等于 .
【答案】3
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵，
∴AC⊥BC，
∴线段AC的长度就是点A到BC的距离，
∵AC=3，
∴点A到BC的距离等于3．
故答案为：3．
【分析】根据题意先求出AC⊥BC，再求出线段AC的长度就是点A到BC的距离，最后计算求解即可。
15．（2022七下·南开期末）如图直线AB、CD、EF相交于点O，且AB⊥CD，∠1=40°，则∠2= ．
【答案】50°或50度
【知识点】垂线；对顶角及其性质
【解析】【解答】∵直线AB、CD、EF相交于点O，
∴∠COF=∠1=40°
∵AB⊥CD，
∴∠BOC=90°
∴∠2=90°-∠COF=50°
故答案为：50°．
【分析】由对顶角相等可得∠COF=∠1=40°，由垂直的定义可得∠BOC=90°，利用∠2=90°-∠COF即可求解.
16．（2022七下·临海开学考）如图，为了方便人们从A点到道路l上，学校过A点作直线l垂线，垂足为B点，这样做的数学原理是 .
【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短；点到直线的距离
【解析】【解答】解：A点作直线l垂线，垂足为B点.这样做最节省道路长度，其数学道理是垂线段最短.
故答案为：垂线段最短.
【分析】根据点到直线的距离，垂线段最短，即可解释.
17．（2021七下·松江期末）如图，直线相交于O，平分，若，则的度数为 ．
【答案】67
【知识点】角的运算；垂线；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴
．
故答案为：67．
【分析】由对顶角相等得，由角平分线的定义可得，由垂直的定义可得∠FOE=90°，利用平角的定义可得，从而得解.
18．（2021七下·花都期末）如图所示，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段 ，理由是 ．
【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵PN⊥MN，
∴由垂线段最短可知PN是最短的，
故答案为：垂线段最短．
【分析】根据垂线段最短得出答案。
19．（2021七上·长春期末）如图，运动会上，小明自踏板M处跳到沙坑P处，甲、乙、丙三名同学分别测得PM＝3.25米，PN＝3.15米，PF＝3.21米，则小明的成绩为 米．（填具体数值）
【答案】3.15
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：由图形可知，小明的跳远成绩应该为PN的长度，即3.15米，
故答案为：3.15．
【分析】先求出小明的跳远成绩应该为PN的长度，再求解即可。
20．（2021七下·吉林月考）如图，AB⊥l1，AC⊥l2，若AB=4，BC=3，AC=5，则点A到直线l1的距离是 。
【答案】4
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵ AB⊥l1，AB=4，
∴ 点A到直线l1的距离是4.
【分析】根据点到直线的距离定义：自点向直线做垂线段，这条垂线段的长度叫做点到直线的距离，即可得出答案.
三、解答题（共8题，共62分）
21．（2022七下·白水期末）如图，直线EF和CD相交于点O，射线，且OC平分∠AOF，∠BOD＝20°．求∠BOE的度数．
【答案】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∵OC平分∠AOF，
∴，
∴，
∴．
【知识点】垂线；对顶角及其性质；邻补角；角平分线的定义
【解析】【分析】根据垂直定义及邻补角性质，可求得∠AOC=70°，由角平分线定义得∠COF=∠AOC=70°，再由对顶角得∠DOE=70°，最后由角和差关系求得∠BOE度数即可.
22．（2022七下·如皋期中）如图，相交于点，，为垂足，若，求的度数.
【答案】解：设∠AOC=x，则∠BOC=2x，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴x+2x=180°，
解得：x=60°，
∴∠AOC=60°，
∴∠BOD=60°，
∵OE⊥AB，
∴∠EOB=90°，
∴∠EOD=∠EOB-∠BOD=90°-60°=30°.
【知识点】垂线；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【分析】设∠AOC=x，则∠BOC=2x，根据邻补角的性质可得x+2x=180°，求出x的值，据此可得∠AOC、∠BOD的度数，然后根据∠EOD=∠EOB-∠BOD进行计算.
23．（2021七下·曹县期中）如图，直线，相交于点，，若，，求的度数．
【答案】解：
【知识点】角的运算；垂线；对顶角及其性质
【解析】【分析】根据对顶角的性质可得 ，因 ， ， ，
。
24．（2020七下·碑林期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD于点O，∠EOB=115°，求∠AOC的度数.请补全下面的解题过程（括号中填写推理的依据）.
解：∵OE⊥CD于点O（已知），
∴_▲_（ ）.
∵∠EOB=115°（已知），
∴∠DOB=_▲__=115°-90°=25°.
∵直线AB，CD相交于点O（已知），
∴∠AOC=_▲_=25°（ ）.
【答案】解：∵OE⊥CD于点O（已知），
∴∠EOD=90°（垂直的定义），
∵∠EOB=115°（已知），
∴∠DOB=∠EOB-∠EOD=115°-90°=25°.
∵直线AB，CD相交于点O（已知），
∴∠AOC=∠DOB=25°（对顶角相等）.
故答案为：∠EOD=90°；垂直的定义；∠EOB-∠EOD；∠DOB；对顶角相等.
【知识点】垂线；对顶角及其性质
【解析】【分析】根据垂直的定义可得∠EOD=90°，根据角的和差关系可得∠DOB=∠EOB-∠EOD=25°，再根据对顶角的性质解答即可.
25．（2022七下·阳江期末）如图，已知线段，用三角板或量角器分别过P、D、F三点作线段的垂线．
【答案】解：用三角板直接过点P、D作线段的垂线，延长AB，用三角板直接过点F作线段延长线的垂线，则直线l、直线m、直线n即为所求，如图所示：
【知识点】作图-垂线
【解析】【分析】用三角板直接过点P、D作线段AB的垂线，延长AB，用三角板直接过点F作线段AB延长线的垂线，则直线l、直线m、直线n即为所求。
26．（2022七下·海淀期末）如图，点在直线外，点在直线上，连接．选择适当的工具作图．
（1）在直线上作点，使，连接；
（2）在的延长线上任取一点，连接；
（3）在，，中，最短的线段是 ，依据是 ．
【答案】（1）解：利用直角三角板和直尺作图如下：
（2）解：利用直尺连接，作图如下：
（3）；垂线段最短
【知识点】垂线段最短；作图-垂线
【解析】【解答】（3）解：在，，中，最短的线段是，依据是垂线段最短，
故答案为：，垂线段最短．
【分析】（1）作AC垂直直线l即可；
（2）连接AD即可；
（3）根据垂线段最短即可。
27．（2022七下·开封期中）如图，直线相交于点O，于点O.
（1）若，求的度数.
（2）若，请判断与关系，并说明理由.
【答案】（1）解：由邻补角的定义，得∠AOC+∠BOC＝180°，
∵∠BOC＝4∠AOC，
∴4∠AOC+∠AOC＝180°，
∴∠AOC＝36°，
由对顶角相等，得
∠BOD＝∠AOC＝36°；
（2）解：ON⊥CD，理由如下：
∵OM⊥AB，
∴∠AOM＝90°，
∴∠1+∠AOC＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠AOC＝90°，
即∠NOC＝90°，
∴ON⊥CD.
【知识点】垂线；邻补角
【解析】【分析】（1）利用邻补角的定义及∠BOC＝4∠AOC，建立方程求出∠AOC的度数，再利用对顶角相等可求出∠BOD的度数；
（2）利用垂直的定义可证得∠1+∠AOC＝90°，结合已知可证得∠2+∠AOC=90°，然后利用垂直的定义可证得ON与CD的关系.
28．（2022七下·崇阳期中）如图，点O在直线AB上，OC平分，．
（1）已知，求的大小；
（2）若，请判断OE是否平分，并说明理由．
【答案】（1）解：OC平分，，
，
，
，
又，
；
（2）解：OE平分，理由如下：
平分，，
，
又，
；
平分．
【知识点】角的运算；垂线；邻补角；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠BOC=∠DOC=26°，由垂直的概念可得∠EOC=90°，由平角的概念可得∠EOC+∠BOC+∠AOE=180°，据此计算；
（2）根据角平分线的概念可得∠BOD=2∠BOC=2α，由邻补角的性质可得∠AOD=180°-2α，由垂直的概念可得∠EOC=90°，由平角的概念可得∠EOC+∠BOC+∠AOE=180°，据此表示出∠AOE，进而判断.
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