2022-2023学年初数北师大版八年级下册1.1 等腰三角形同步训练必刷题
一、单选题
1．（2022八下·丹东期末）等腰三角形的一个角是50°，则它的底角是（ ）
A．50° B．50°或65° C．80°或50° D．65°
2．（2022八下·丹东期末）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE 分别是∠ABC、∠ACB 的平分线，则图中的等腰三角形有（ ）
A．5 个 B．6 个 C．7 个 D．8 个
3．（2022八下·文山期末）若一个等腰三角形的周长是10，其中一边长为2，则这个等腰三角形底边的长度为（ ）
A．2或6 B．6 C．2或8 D．2
4．（2022八下·本溪期末）如图，在中，，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线，交于点F，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022八下·青岛期末）如图，是一钢架，，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管，，，…，添加的钢管长度都与的长度相等，则最多能添加的钢管根数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．无数
6．（2022八下·郑州期中）下列命题中，假命题的是（ ）
A．等腰三角形的两个底角相等
B．直角三角形的两个锐角互余
C．有两个内角是 60°的三角形是等边三角
D．等腰三角形的两个底角的平分线互相垂直
7．（2022八下·西安月考）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E的度数为（ ）
A．25° B．20° C．15° D．7.5°
8．（2017八下·下陆期中）如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
9．下列命题宜用反证法证明的是（ ）
A．等腰三角形两腰上的高相等
B．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形
C．在同一平面内，若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行
D．全等三角形的面积相等
10．（2021八下·曾都期末）如图，将矩形纸片ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，E，F分别在AB，CD上，下列结论；① ；② 为等腰三角形；③延长GF，则GF必经过点A；④若 为等边三角形，则 .其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．（2022八下·元阳期末）等腰三角形的顶角度数为，则它的底角度数为 ．
12．（2022八下·本溪期末）如图，一艘船从A处出发向正北航行50海里到达B处，分别从A，B望灯塔C，测得，，则B处到灯塔C的距离是 海里．
13．（2022八下·漳浦期中）如图，在中，，，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则 .
14．（2022八下·五华期末）等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为15和18两部分，则它的腰长为 ．
15．（2022八下·法库期末）如图，平面直角坐标系中，点A（0，3）和B（4，0），点M（8，m）为坐标平面内一动点，且ΔABM为等腰三角形，则点M的坐标为 ．
16．（2022八下·杭州期中）若实数a、b满足等式 ，且a，b恰好是等腰三角形ABC的边长，则这个等腰三角形的周长是 .
17．（2022八下·哈尔滨开学考）如图，已知△ABC是等边三角形， ∠BCD ＝90°，BC＝CD，则∠BAD＝
18．（2020八下·历下期中）如图，已知P、Q是 ABC的边BC上的两点，且BP=QC=PQ=AP=AQ，则∠BAC=
19．如图，等边△ABC中，AD是中线，AD=AE，则∠EDC= ．
20．（2022八下·抚州期末）如图，等腰△ABC的底边BC＝20，面积为160，点F是BC边上的一个动点，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则CD+DF的最小值为 ．
三、解答题
21．（2022八下·府谷期末）如图，在中，交于点交于点.求证：是等边三角形.
22．（2017八下·潍坊开学考）如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．
求证：BD=DE．
23．（2020八下·湛江开学考）如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60°．试探BM，MN，CN之间的数量关系，并给出证明．
24．（2022八下·洋县期末）如图，在中，点、分别是边、上的点，，连接、，与交于点，且．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，求的度数．
25．（2022八下·高州期中）已知，如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AP⊥BC，垂足为D，且AP=AB．
（1）求证：△ABP是等边三角形；
（2）若E是边AB上一点，∠EPF=60°，PF交AC于点F，试判断BE与AF的数量关系，并说明理由．
26．
（1）（操作发现）
如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．请接要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′，则∠AB′B＝ ．
（2）（问题解决）
如图2，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝ ，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长；
（3）（灵活运用）
如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝ ，BP＝ ，PC＝1，求∠BPC的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当底角为50°时，则底角为50°，
当顶角为50°时，底角为：，
所以底角为50°或65°．
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形的内角和求解即可。
2．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=，
∵BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=∠BCE=∠A=36°，
∴AE=CE，AD=BD，BO=CO，
∴△ABC，△ABD，△ACE，△BOC是等腰三角形，
∵∠BEC=180°-∠ABC-∠BCE=72°，∠CDB=180°-∠BCD-∠CBD=72°，
∠EOB=∠DOC=∠CBD+∠BCE=72°，
∴∠BEO=∠BOE=∠ABC=∠ACB=∠CDO=∠COD=72°，
∴BE=BO，CO=CD，BC=BD=CE，
∴△BEO，△CDO，△BCD，△CBE是等腰三角形．
∴图中的等腰三角形有8个．
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的判定方法求解即可。
3．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】①若等腰三角形的底为2，则腰为（10-2）÷2=4，因为2＋4＞4，所以能构成三角形；
②若等腰三角形的腰为2，则底为10-2-2=6，因为2+2＜6，不能构成三角形．
综上所述底边的长度为2．
故答案为D．
【分析】分类讨论，利用等腰三角形的性质和三角形三边关系求解即可。
4．【答案】D
【知识点】角的运算；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接，，，
由作图可得，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】连接，，，根据题意可得，，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和求出，然后根据等边对等角的性质可得，最后利用角的运算可得。
5．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】如图
∵△OEF中，OE＝EF，∠AOB＝18
∴ ∠EFO＝∠EOF＝18
∴ ∠FEG＝∠EFO＋∠EOF＝36
∵FE＝FG
∴ ∠FGO＝36
∴ ∠GFH＝∠GOF＋∠FGH＝54
∵GF＝GH
∴∠GHO＝54
∴∠HGM＝∠GOH＋∠GHO＝72
∵HG＝HM
∴∠HMO＝72
∴∠MHB＝∠MOH＋∠HMO＝90
此时，不能再添加了，
因此最多添加4根
【分析】由于每根钢管的长度相等，可推出图中5个三角形都为等腰三角形，再根据外角的性质推出最大的∠MHB的度数（必须＜90°），继而得解.
6．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；直角三角形的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、等腰三角形的性质，等腰三角形的底角相等，故此选项是真命题，不符合题意；
B、直角三角形的两个锐角互余，此选项为真命题，不符合题意；
C、有两个内角是60°的三角形是等边三角形，故此选项是真命题，不符合题意；
D、等腰三角形的两个底角的平分线不一定垂直，故此选项是假命题，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形的性质判断A；根据直角三角形的性质判断B；根据等边三角形的判定定理判断C；等腰三角形的两个底角的平分线不一定垂直，则可判断D.
7．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵DF=DE，CG=CD，
∴∠E=∠EFD，∠GDC=∠DGC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°
∵∠ACB=∠GDC+∠DGC=60°，
∴∠GDC=30°.
又∵∠GDC=∠E+∠EFD，
∴∠E=15°.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠E=∠EFD，∠GDC=∠DGC，由等边三角形的性质可得∠ACB=60°，由外角的性质可得∠ACB=∠GDC+∠DGC=60°，∠GDC=∠E+∠EFD，据此计算.
8．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，
∴∠DCE=∠CDE=60°，BC=CD=4．
∴∠BDC=∠CBD=30°．
∴∠BDE=90°．
∴BD= =4 ．
故选：D．
【分析】根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可以发现∠BDE=90°，再进一步根据勾股定理进行求解．
9．【答案】C
【知识点】平行公理及推论；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定；反证法
【解析】【解答】解：A、利用三角形面积公式即可证明，错误；
B、根据条件，利用等边三角形的判定定理即可证明，错误；
C、难以用直接的方法证明，只能用反证法证明，正确；
D、根据全等的定义即可直接证明，错误.
故答案为：C.
【分析】先判断能否用直接的方法证明，不能用直接法证明，则只能尝试用反证法证明，即可作答.
10．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】如图，在矩形ABCD中，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2.
根据折叠的性质，∠1=∠3，
∴∠2=∠3.
∴CE=CF， 为等腰三角形.
故②正确；
在矩形ABCD中，∠D=∠B=90°，AD=BC，
根据折叠的性质，∠D=∠G=90°， AD=CG， DF=GF，
∴∠B =∠G=90°，BC=CG.
在Rt△CEB和Rt△CFG中，
∵ ，
∴Rt△CEB≌Rt△CFG (HL) .
∴ .
∴ .
故①正确；
连接AF，根据折叠的性质，可知Rt△AFD≌Rt△CFG，
∴∠5=∠6.
∵∠2+∠4+∠6=180°，
∴∠2+∠4+∠5=180°，即∠AFG是平角.
∴D，F，A在一条直线上， 即若延长GF，则GF必经过点A.
故③正确；
若 为等边三角形，则∠3=60°.
∵∠1=∠3，
∴∠7=180°-∠1-∠3=60°.
∴∠8=30°.
∴ .
根据勾股定理， .
∴ ， .
根据折叠的性质，可知AE=CE，
∴ .
∴ .
故④不正确.
综上所述，正确的结论有3个.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质及折叠的性质求出∠2=∠3，从而判断为等腰三角形，据此判断②；证明Rt△CEB≌Rt△CFG (HL) ，可得，利用折叠的可得DF=FG=BE，据此判断①；连接AF，根据折叠的性质，可知Rt△AFD≌Rt△CFG，可求出∠AFG是平角，据此判断③；若为等边三角形，可求出∠8=30°，可得，由勾股定理可得 ， ，根据折叠的性质，可知AE=，从而求出，据此判断④.
11．【答案】55°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：根据已知条件，三角形的底角相等，
又因为三角形内角和为180度，
所以底角= ．
故答案为55°
【分析】利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求解即可。
12．【答案】50
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题可知： (海里)，
∵∠NAC=42°，∠NBC=84°，
∴∠C=∠NBC ∠NAC=84° 42°=42 ，
∴BC=AB=50(海里)，
即从B处到灯塔C的距离为50海里．
故答案为：50 ．
【分析】先利用三角形的外角求出∠C=∠NBC ∠NAC=84° 42°=42 ，再利用等角对等边的性质求出BC=AB=50，即可得到答案。
13．【答案】100°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠B=∠BAE=40°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=40°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，
故答案为：100°.
【分析】由垂直平分线性质得AE=BE，从而得∠B=∠BAE=40°，再由等腰三角形性质得∠C=∠B=40°，最后由三角形内角和性质，即可求得∠BAC的度数.
14．【答案】12或10
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，设等腰三角形的腰长AB=AC=2x，BC=y，BD是腰AC上的中线，
∴AD=CD=x，
①若AB十AD=18，则2x十x=18，解得：x=6，
则x+y=15，即6十y=15，解得y=9，
满足12+9＞12，∴腰长为12，
②若AB+AD=15，则2x+x=15，解得：x=5，
则x+y=18，即5+y=18，解得：y=13，
满足10+10＞13，∴腰长为10，
综上，该等腰三角形的腰长为12或10，
故答案为：12或10．
【分析】设等腰三角形的腰长AB=AC=2x，BC=y，BD是腰AC上的中线，分两种情况：①若AB十AD=18，则2x十x=18，②若AB+AD=15，则2x+x=15，再分别求解即可。
15．【答案】（8，3）或（8，）
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵点A（0，3）和B（4，0），
∴OA=3，OB=4，
∴AB==5，
设点M（8，m），
∵△ABM为等腰三角形，
∴可分三种情况，
①当BM=AB时，
∴=5，
∴m=3或m=-3（A、B、M三点共线舍去），
∴M（8，3）；
②当AM=BM时，
∴，
∴m=，
∴M（8，）；
③当AM=AB时，M点不在y=8上，
即：点M（8，3）或（8，）．
故答案为：（8，3）或（8，）．
【分析】设点M（8，m），分三种情况：①当BM=AB时，②当AM=BM时，③当AM=AB时，M点不在y=8上，分别画出图象并求解即可。
16．【答案】20
【知识点】二次根式的定义；三角形三边关系；等腰三角形的性质；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：根据题意得，a-4=0，8-b=0， 解得a=4，b=8，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，
∵4+4=8， ∴不能组成三角形，
②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8， 能组成三角形，周长=4+8+8=20，
所以，三角形的周长为20.
故答案为：20.
【分析】根据绝对值的非负性以及二次根式的定义可得a-4=0，8-b=0，求出a、b的值，接下来分a为腰长、a为底，利用等腰三角形的性质以及三角形的三边关系确定出三角形的三边长，进而可得周长.
17．【答案】135°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠BCA=60°，
∵∠BCD ＝90°
∴∠ACD=30°
∵AC＝BC＝CD，
∴∠CAD=
，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=135°.
故填：135°
【分析】先求出∠ACD=30°，再利用三角形的内角和及等腰三角形的性质可得∠CAD=75°，最后利用∠BAD=∠BAC+∠CAD计算即可。
18．【答案】120°
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】因为 PQ=AP=AQ
△APQ为等边三角形 ∠APQ=60°它互补角∠APB=120°
BP="AP"
△ APB为等腰三角形∠PAB=30°
同理 ∠CAQ=30°
所以 ∠BAC=∠CAQ+∠PAB+∠PAQ=30°+30°+60°=120°
【分析】利用等边三角形和等腰三角形的性质进行计算求解即可。
19．【答案】15°
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AD是等边△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD= ∠BAC= ×60°=30°，
∴∠ADC=90°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED= =75°，
∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣75°=15°．
故答案为：15°．
【分析】由AD是等边△ABC的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得AD⊥BC，∠CAD=30°，又由AD=AE，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ADE的度数，继而求得答案．
20．【答案】16
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，过A点作AM⊥BC于M，
∵等腰三角形的底边BC＝20，且△ABC的面积为160，
∴BC AM＝160，即20 AM＝160，
∴AM＝16，
∵EG是AC的垂直平分线，
∴A点与C点关于直线EG对称，直线EG上任意一点到点A与点C的距离都相等，即AD=CD，
由“垂线段最短”可知当AF丄BC交EG于点D时，AD+DF的值最小，最小值为AF的长，此时点F与点M重合，
∴AF＝AM＝16，即CD＋DF的最小值为16，
故答案为：16．
【分析】过A点作AM⊥BC于M，利用BC AM＝160，即20 AM＝160，求出AM＝16，再利用“垂线段最短”可知当AF丄BC交EG于点D时，AD+DF的值最小，最小值为AF的长，此时点F与点M重合，即可得到AF＝AM＝16，即CD＋DF的最小值为16。
21．【答案】证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵AD⊥AB，AE⊥AC，
∴∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠ADE=∠AED=60°，
∴∠DAE=∠ADE=∠AED=60°，
∴△ADE是等边三角形.
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C=30°，根据垂直的定义得出∠BAD=∠CAE=90°，从而得出得出∠DAE=∠ADE=∠AED=60°，即可证出△ADE是等边三角形.
22．【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC=∠ACB=60°．
∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED= ∠BCD=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角对等边）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根据角之间的关系求得∠DBC=∠CED，根据等角对等边即可得到DB=DE．
23．【答案】解：CN=MN+BM．证明：
如图，在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°．
又∵△BDC为等腰三角形，且∠BDC=120°，
∴BD=CD，∠DBC=∠BCD=30°．
∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°．
在△MBD和△ECD中，
∴△MBD≌△ECD（SAS）．
∴MD=ED，∠MDB=∠EDC．
又∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，
∴∠EDN=∠BDC-（∠BDN+∠EDC）=∠BDC-（∠BDN+∠MDB）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°．
∴∠MDN=∠EDN．
在△MND与△END中，
∴△MND≌△END（SAS）．
∴MN=NE．
∴CN=NE+CE=MN+BM．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定
【解析】【分析】 CN=MN+BM． 理由：如图，在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，先求证△MBD≌△ECD ，可得MD=ED，∠MDB=∠EDC．继而求证△MND≌△END，可得MN=NE，从而求出CN=NE+CE=MN+BM．
24．【答案】（1）证明：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）解：∵，，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用AAS证出△ABE≌△ACF，得出AB=AC，根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB，从而得出∠DBC=∠DCB，得出BD=CD，即可证出△BCD是等腰三角形；
（2）先求出∠ACB的度数，再证出△DBC是等边三角形，得出∠DBC的度数，再根据三角形内角和定理即可∠BEC的度数.
25．【答案】（1）证明：∵AB=AC，AP⊥BC，∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠DAC=∠BAC=60°．
∵AP=AB，
∴△ABP是等边三角形；
（2）解：BE=AF．理由如下：
由（1）得，△ABP是等边三角形，
∴∠ABP=∠APB=60°，BP=AP，
而∠PAC=60°，
∴∠ABP=∠PAC．
∵∠EPF=60°=∠APB，
∴∠APB-∠APE=∠EPF-∠APE，
即∠BPE=∠APF，
在△BPE与△APF中，
∠ABP=∠PAC，BP=AP，∠BPE=∠APF，
∴△BPE≌△APF（ASA），
∴BE=AF．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据等要三角形的性质证明 ∠BAD=60°，再根据AP=AB可证△ABP是等边三角形；
（2）根据等边三角形的性质证明△BPE≌△APF（ASA）即可得BE=AF。
26．【答案】（1）45°
（2）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
将△BPC绕点B顺时针旋转60°得出△ABP′，如图2，
∴AP′＝CP＝1，BP′＝BP＝ ，∠PBC＝∠P′BA，∠AP′B＝∠BPC，
∵∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，
∴∠ABP′+∠ABP＝∠ABC＝60°，
∴△BPP′是等边三角形，
∴PP′＝ ，∠BP′P＝60°，
∵AP′＝1，AP＝2，
∴AP′2+PP′2＝AP2，
∴∠AP′P＝90°，则△PP′A是 直角三角形；
∴∠BPC＝∠AP′B＝90°+60°＝150°；
过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，
∴∠MP′B＝30°，BM＝ ，
由勾股定理得：P′M＝ ，
∴AM＝1+ ＝ ，
由勾股定理得：AB＝ ＝
（3）解：如图3，将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，
与（1）类似：可得：AE＝PC＝1，BE＝BP＝ ，∠BPC＝∠AEB，∠ABE＝∠PBC，
∴∠EBP＝∠EBA+∠ABP＝∠ABC＝90°，
∴∠BEP＝ （180°﹣90°）＝45°，
由勾股定理得：EP＝2，
∵AE＝1，AP＝ ，EP＝2，
∴AE2+PE2＝AP2，
∴∠AEP＝90°，
∴∠BPC＝∠AEB＝90°+45°＝135°；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（1）如图1所示，连接BB′，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，
∴AB＝AB′，∠B′AB＝90°，
∴∠AB′B＝45°，
故答案为：45°
【分析】（1）由旋转的性质可知AB与AB'，旋转的角度为90度，所以三角形ABB'为等腰直角三角形，所以角AB'B等于45度；
（2）将三角形BPC绕点B顺时针旋转60度得到三角形ABP'，可知AP'为1，BP'为，而三角形BPP'是等边三角形，所以AP为2，则三角形APP'是直角三角形，则角AP'P为直角，从而求得角BPC的度数，再过点B做BM与AP'的延长线垂直，由角BPC的度数可求得MBP'的度数，再由勾股定理即可求得三角形ABC的边长。
（3）根据（1）的方法求得∠EBP的值，即可得∠BEP的值。根据勾股定理及勾股定理的逆定理可得 ∠AEP＝90° ，结合∠AEB=∠AEP+∠BEP可得∠AEB的值，即可得 ∠BPC的值。
1 / 12022-2023学年初数北师大版八年级下册1.1 等腰三角形同步训练必刷题
一、单选题
1．（2022八下·丹东期末）等腰三角形的一个角是50°，则它的底角是（ ）
A．50° B．50°或65° C．80°或50° D．65°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当底角为50°时，则底角为50°，
当顶角为50°时，底角为：，
所以底角为50°或65°．
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形的内角和求解即可。
2．（2022八下·丹东期末）如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE 分别是∠ABC、∠ACB 的平分线，则图中的等腰三角形有（ ）
A．5 个 B．6 个 C．7 个 D．8 个
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=，
∵BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=∠BCE=∠A=36°，
∴AE=CE，AD=BD，BO=CO，
∴△ABC，△ABD，△ACE，△BOC是等腰三角形，
∵∠BEC=180°-∠ABC-∠BCE=72°，∠CDB=180°-∠BCD-∠CBD=72°，
∠EOB=∠DOC=∠CBD+∠BCE=72°，
∴∠BEO=∠BOE=∠ABC=∠ACB=∠CDO=∠COD=72°，
∴BE=BO，CO=CD，BC=BD=CE，
∴△BEO，△CDO，△BCD，△CBE是等腰三角形．
∴图中的等腰三角形有8个．
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的判定方法求解即可。
3．（2022八下·文山期末）若一个等腰三角形的周长是10，其中一边长为2，则这个等腰三角形底边的长度为（ ）
A．2或6 B．6 C．2或8 D．2
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】①若等腰三角形的底为2，则腰为（10-2）÷2=4，因为2＋4＞4，所以能构成三角形；
②若等腰三角形的腰为2，则底为10-2-2=6，因为2+2＜6，不能构成三角形．
综上所述底边的长度为2．
故答案为D．
【分析】分类讨论，利用等腰三角形的性质和三角形三边关系求解即可。
4．（2022八下·本溪期末）如图，在中，，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线，交于点F，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接，，，
由作图可得，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】连接，，，根据题意可得，，再利用等腰三角形的性质和三角形的内角和求出，然后根据等边对等角的性质可得，最后利用角的运算可得。
5．（2022八下·青岛期末）如图，是一钢架，，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管，，，…，添加的钢管长度都与的长度相等，则最多能添加的钢管根数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．无数
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】如图
∵△OEF中，OE＝EF，∠AOB＝18
∴ ∠EFO＝∠EOF＝18
∴ ∠FEG＝∠EFO＋∠EOF＝36
∵FE＝FG
∴ ∠FGO＝36
∴ ∠GFH＝∠GOF＋∠FGH＝54
∵GF＝GH
∴∠GHO＝54
∴∠HGM＝∠GOH＋∠GHO＝72
∵HG＝HM
∴∠HMO＝72
∴∠MHB＝∠MOH＋∠HMO＝90
此时，不能再添加了，
因此最多添加4根
【分析】由于每根钢管的长度相等，可推出图中5个三角形都为等腰三角形，再根据外角的性质推出最大的∠MHB的度数（必须＜90°），继而得解.
6．（2022八下·郑州期中）下列命题中，假命题的是（ ）
A．等腰三角形的两个底角相等
B．直角三角形的两个锐角互余
C．有两个内角是 60°的三角形是等边三角
D．等腰三角形的两个底角的平分线互相垂直
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；直角三角形的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、等腰三角形的性质，等腰三角形的底角相等，故此选项是真命题，不符合题意；
B、直角三角形的两个锐角互余，此选项为真命题，不符合题意；
C、有两个内角是60°的三角形是等边三角形，故此选项是真命题，不符合题意；
D、等腰三角形的两个底角的平分线不一定垂直，故此选项是假命题，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形的性质判断A；根据直角三角形的性质判断B；根据等边三角形的判定定理判断C；等腰三角形的两个底角的平分线不一定垂直，则可判断D.
7．（2022八下·西安月考）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E的度数为（ ）
A．25° B．20° C．15° D．7.5°
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵DF=DE，CG=CD，
∴∠E=∠EFD，∠GDC=∠DGC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°
∵∠ACB=∠GDC+∠DGC=60°，
∴∠GDC=30°.
又∵∠GDC=∠E+∠EFD，
∴∠E=15°.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠E=∠EFD，∠GDC=∠DGC，由等边三角形的性质可得∠ACB=60°，由外角的性质可得∠ACB=∠GDC+∠DGC=60°，∠GDC=∠E+∠EFD，据此计算.
8．（2017八下·下陆期中）如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，
∴∠DCE=∠CDE=60°，BC=CD=4．
∴∠BDC=∠CBD=30°．
∴∠BDE=90°．
∴BD= =4 ．
故选：D．
【分析】根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可以发现∠BDE=90°，再进一步根据勾股定理进行求解．
9．下列命题宜用反证法证明的是（ ）
A．等腰三角形两腰上的高相等
B．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形
C．在同一平面内，若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行
D．全等三角形的面积相等
【答案】C
【知识点】平行公理及推论；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定；反证法
【解析】【解答】解：A、利用三角形面积公式即可证明，错误；
B、根据条件，利用等边三角形的判定定理即可证明，错误；
C、难以用直接的方法证明，只能用反证法证明，正确；
D、根据全等的定义即可直接证明，错误.
故答案为：C.
【分析】先判断能否用直接的方法证明，不能用直接法证明，则只能尝试用反证法证明，即可作答.
10．（2021八下·曾都期末）如图，将矩形纸片ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，E，F分别在AB，CD上，下列结论；① ；② 为等腰三角形；③延长GF，则GF必经过点A；④若 为等边三角形，则 .其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】如图，在矩形ABCD中，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2.
根据折叠的性质，∠1=∠3，
∴∠2=∠3.
∴CE=CF， 为等腰三角形.
故②正确；
在矩形ABCD中，∠D=∠B=90°，AD=BC，
根据折叠的性质，∠D=∠G=90°， AD=CG， DF=GF，
∴∠B =∠G=90°，BC=CG.
在Rt△CEB和Rt△CFG中，
∵ ，
∴Rt△CEB≌Rt△CFG (HL) .
∴ .
∴ .
故①正确；
连接AF，根据折叠的性质，可知Rt△AFD≌Rt△CFG，
∴∠5=∠6.
∵∠2+∠4+∠6=180°，
∴∠2+∠4+∠5=180°，即∠AFG是平角.
∴D，F，A在一条直线上， 即若延长GF，则GF必经过点A.
故③正确；
若 为等边三角形，则∠3=60°.
∵∠1=∠3，
∴∠7=180°-∠1-∠3=60°.
∴∠8=30°.
∴ .
根据勾股定理， .
∴ ， .
根据折叠的性质，可知AE=CE，
∴ .
∴ .
故④不正确.
综上所述，正确的结论有3个.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质及折叠的性质求出∠2=∠3，从而判断为等腰三角形，据此判断②；证明Rt△CEB≌Rt△CFG (HL) ，可得，利用折叠的可得DF=FG=BE，据此判断①；连接AF，根据折叠的性质，可知Rt△AFD≌Rt△CFG，可求出∠AFG是平角，据此判断③；若为等边三角形，可求出∠8=30°，可得，由勾股定理可得 ， ，根据折叠的性质，可知AE=，从而求出，据此判断④.
二、填空题
11．（2022八下·元阳期末）等腰三角形的顶角度数为，则它的底角度数为 ．
【答案】55°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：根据已知条件，三角形的底角相等，
又因为三角形内角和为180度，
所以底角= ．
故答案为55°
【分析】利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求解即可。
12．（2022八下·本溪期末）如图，一艘船从A处出发向正北航行50海里到达B处，分别从A，B望灯塔C，测得，，则B处到灯塔C的距离是 海里．
【答案】50
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题可知： (海里)，
∵∠NAC=42°，∠NBC=84°，
∴∠C=∠NBC ∠NAC=84° 42°=42 ，
∴BC=AB=50(海里)，
即从B处到灯塔C的距离为50海里．
故答案为：50 ．
【分析】先利用三角形的外角求出∠C=∠NBC ∠NAC=84° 42°=42 ，再利用等角对等边的性质求出BC=AB=50，即可得到答案。
13．（2022八下·漳浦期中）如图，在中，，，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则 .
【答案】100°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠B=∠BAE=40°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=40°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，
故答案为：100°.
【分析】由垂直平分线性质得AE=BE，从而得∠B=∠BAE=40°，再由等腰三角形性质得∠C=∠B=40°，最后由三角形内角和性质，即可求得∠BAC的度数.
14．（2022八下·五华期末）等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为15和18两部分，则它的腰长为 ．
【答案】12或10
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，设等腰三角形的腰长AB=AC=2x，BC=y，BD是腰AC上的中线，
∴AD=CD=x，
①若AB十AD=18，则2x十x=18，解得：x=6，
则x+y=15，即6十y=15，解得y=9，
满足12+9＞12，∴腰长为12，
②若AB+AD=15，则2x+x=15，解得：x=5，
则x+y=18，即5+y=18，解得：y=13，
满足10+10＞13，∴腰长为10，
综上，该等腰三角形的腰长为12或10，
故答案为：12或10．
【分析】设等腰三角形的腰长AB=AC=2x，BC=y，BD是腰AC上的中线，分两种情况：①若AB十AD=18，则2x十x=18，②若AB+AD=15，则2x+x=15，再分别求解即可。
15．（2022八下·法库期末）如图，平面直角坐标系中，点A（0，3）和B（4，0），点M（8，m）为坐标平面内一动点，且ΔABM为等腰三角形，则点M的坐标为 ．
【答案】（8，3）或（8，）
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵点A（0，3）和B（4，0），
∴OA=3，OB=4，
∴AB==5，
设点M（8，m），
∵△ABM为等腰三角形，
∴可分三种情况，
①当BM=AB时，
∴=5，
∴m=3或m=-3（A、B、M三点共线舍去），
∴M（8，3）；
②当AM=BM时，
∴，
∴m=，
∴M（8，）；
③当AM=AB时，M点不在y=8上，
即：点M（8，3）或（8，）．
故答案为：（8，3）或（8，）．
【分析】设点M（8，m），分三种情况：①当BM=AB时，②当AM=BM时，③当AM=AB时，M点不在y=8上，分别画出图象并求解即可。
16．（2022八下·杭州期中）若实数a、b满足等式 ，且a，b恰好是等腰三角形ABC的边长，则这个等腰三角形的周长是 .
【答案】20
【知识点】二次根式的定义；三角形三边关系；等腰三角形的性质；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：根据题意得，a-4=0，8-b=0， 解得a=4，b=8，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，
∵4+4=8， ∴不能组成三角形，
②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8， 能组成三角形，周长=4+8+8=20，
所以，三角形的周长为20.
故答案为：20.
【分析】根据绝对值的非负性以及二次根式的定义可得a-4=0，8-b=0，求出a、b的值，接下来分a为腰长、a为底，利用等腰三角形的性质以及三角形的三边关系确定出三角形的三边长，进而可得周长.
17．（2022八下·哈尔滨开学考）如图，已知△ABC是等边三角形， ∠BCD ＝90°，BC＝CD，则∠BAD＝
【答案】135°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠BCA=60°，
∵∠BCD ＝90°
∴∠ACD=30°
∵AC＝BC＝CD，
∴∠CAD=
，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=135°.
故填：135°
【分析】先求出∠ACD=30°，再利用三角形的内角和及等腰三角形的性质可得∠CAD=75°，最后利用∠BAD=∠BAC+∠CAD计算即可。
18．（2020八下·历下期中）如图，已知P、Q是 ABC的边BC上的两点，且BP=QC=PQ=AP=AQ，则∠BAC=
【答案】120°
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】因为 PQ=AP=AQ
△APQ为等边三角形 ∠APQ=60°它互补角∠APB=120°
BP="AP"
△ APB为等腰三角形∠PAB=30°
同理 ∠CAQ=30°
所以 ∠BAC=∠CAQ+∠PAB+∠PAQ=30°+30°+60°=120°
【分析】利用等边三角形和等腰三角形的性质进行计算求解即可。
19．如图，等边△ABC中，AD是中线，AD=AE，则∠EDC= ．
【答案】15°
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AD是等边△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD= ∠BAC= ×60°=30°，
∴∠ADC=90°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED= =75°，
∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣75°=15°．
故答案为：15°．
【分析】由AD是等边△ABC的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得AD⊥BC，∠CAD=30°，又由AD=AE，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ADE的度数，继而求得答案．
20．（2022八下·抚州期末）如图，等腰△ABC的底边BC＝20，面积为160，点F是BC边上的一个动点，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则CD+DF的最小值为 ．
【答案】16
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，过A点作AM⊥BC于M，
∵等腰三角形的底边BC＝20，且△ABC的面积为160，
∴BC AM＝160，即20 AM＝160，
∴AM＝16，
∵EG是AC的垂直平分线，
∴A点与C点关于直线EG对称，直线EG上任意一点到点A与点C的距离都相等，即AD=CD，
由“垂线段最短”可知当AF丄BC交EG于点D时，AD+DF的值最小，最小值为AF的长，此时点F与点M重合，
∴AF＝AM＝16，即CD＋DF的最小值为16，
故答案为：16．
【分析】过A点作AM⊥BC于M，利用BC AM＝160，即20 AM＝160，求出AM＝16，再利用“垂线段最短”可知当AF丄BC交EG于点D时，AD+DF的值最小，最小值为AF的长，此时点F与点M重合，即可得到AF＝AM＝16，即CD＋DF的最小值为16。
三、解答题
21．（2022八下·府谷期末）如图，在中，交于点交于点.求证：是等边三角形.
【答案】证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵AD⊥AB，AE⊥AC，
∴∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠ADE=∠AED=60°，
∴∠DAE=∠ADE=∠AED=60°，
∴△ADE是等边三角形.
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C=30°，根据垂直的定义得出∠BAD=∠CAE=90°，从而得出得出∠DAE=∠ADE=∠AED=60°，即可证出△ADE是等边三角形.
22．（2017八下·潍坊开学考）如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．
求证：BD=DE．
【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC=∠ACB=60°．
∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED= ∠BCD=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角对等边）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根据角之间的关系求得∠DBC=∠CED，根据等角对等边即可得到DB=DE．
23．（2020八下·湛江开学考）如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60°．试探BM，MN，CN之间的数量关系，并给出证明．
【答案】解：CN=MN+BM．证明：
如图，在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°．
又∵△BDC为等腰三角形，且∠BDC=120°，
∴BD=CD，∠DBC=∠BCD=30°．
∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°．
在△MBD和△ECD中，
∴△MBD≌△ECD（SAS）．
∴MD=ED，∠MDB=∠EDC．
又∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，
∴∠EDN=∠BDC-（∠BDN+∠EDC）=∠BDC-（∠BDN+∠MDB）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°．
∴∠MDN=∠EDN．
在△MND与△END中，
∴△MND≌△END（SAS）．
∴MN=NE．
∴CN=NE+CE=MN+BM．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定
【解析】【分析】 CN=MN+BM． 理由：如图，在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，先求证△MBD≌△ECD ，可得MD=ED，∠MDB=∠EDC．继而求证△MND≌△END，可得MN=NE，从而求出CN=NE+CE=MN+BM．
24．（2022八下·洋县期末）如图，在中，点、分别是边、上的点，，连接、，与交于点，且．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）解：∵，，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用AAS证出△ABE≌△ACF，得出AB=AC，根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB，从而得出∠DBC=∠DCB，得出BD=CD，即可证出△BCD是等腰三角形；
（2）先求出∠ACB的度数，再证出△DBC是等边三角形，得出∠DBC的度数，再根据三角形内角和定理即可∠BEC的度数.
25．（2022八下·高州期中）已知，如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AP⊥BC，垂足为D，且AP=AB．
（1）求证：△ABP是等边三角形；
（2）若E是边AB上一点，∠EPF=60°，PF交AC于点F，试判断BE与AF的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵AB=AC，AP⊥BC，∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠DAC=∠BAC=60°．
∵AP=AB，
∴△ABP是等边三角形；
（2）解：BE=AF．理由如下：
由（1）得，△ABP是等边三角形，
∴∠ABP=∠APB=60°，BP=AP，
而∠PAC=60°，
∴∠ABP=∠PAC．
∵∠EPF=60°=∠APB，
∴∠APB-∠APE=∠EPF-∠APE，
即∠BPE=∠APF，
在△BPE与△APF中，
∠ABP=∠PAC，BP=AP，∠BPE=∠APF，
∴△BPE≌△APF（ASA），
∴BE=AF．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据等要三角形的性质证明 ∠BAD=60°，再根据AP=AB可证△ABP是等边三角形；
（2）根据等边三角形的性质证明△BPE≌△APF（ASA）即可得BE=AF。
26．
（1）（操作发现）
如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．请接要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′，则∠AB′B＝ ．
（2）（问题解决）
如图2，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝ ，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长；
（3）（灵活运用）
如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝ ，BP＝ ，PC＝1，求∠BPC的度数．
【答案】（1）45°
（2）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
将△BPC绕点B顺时针旋转60°得出△ABP′，如图2，
∴AP′＝CP＝1，BP′＝BP＝ ，∠PBC＝∠P′BA，∠AP′B＝∠BPC，
∵∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，
∴∠ABP′+∠ABP＝∠ABC＝60°，
∴△BPP′是等边三角形，
∴PP′＝ ，∠BP′P＝60°，
∵AP′＝1，AP＝2，
∴AP′2+PP′2＝AP2，
∴∠AP′P＝90°，则△PP′A是 直角三角形；
∴∠BPC＝∠AP′B＝90°+60°＝150°；
过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，
∴∠MP′B＝30°，BM＝ ，
由勾股定理得：P′M＝ ，
∴AM＝1+ ＝ ，
由勾股定理得：AB＝ ＝
（3）解：如图3，将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，
与（1）类似：可得：AE＝PC＝1，BE＝BP＝ ，∠BPC＝∠AEB，∠ABE＝∠PBC，
∴∠EBP＝∠EBA+∠ABP＝∠ABC＝90°，
∴∠BEP＝ （180°﹣90°）＝45°，
由勾股定理得：EP＝2，
∵AE＝1，AP＝ ，EP＝2，
∴AE2+PE2＝AP2，
∴∠AEP＝90°，
∴∠BPC＝∠AEB＝90°+45°＝135°；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（1）如图1所示，连接BB′，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，
∴AB＝AB′，∠B′AB＝90°，
∴∠AB′B＝45°，
故答案为：45°
【分析】（1）由旋转的性质可知AB与AB'，旋转的角度为90度，所以三角形ABB'为等腰直角三角形，所以角AB'B等于45度；
（2）将三角形BPC绕点B顺时针旋转60度得到三角形ABP'，可知AP'为1，BP'为，而三角形BPP'是等边三角形，所以AP为2，则三角形APP'是直角三角形，则角AP'P为直角，从而求得角BPC的度数，再过点B做BM与AP'的延长线垂直，由角BPC的度数可求得MBP'的度数，再由勾股定理即可求得三角形ABC的边长。
（3）根据（1）的方法求得∠EBP的值，即可得∠BEP的值。根据勾股定理及勾股定理的逆定理可得 ∠AEP＝90° ，结合∠AEB=∠AEP+∠BEP可得∠AEB的值，即可得 ∠BPC的值。
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