2022-2023学年初数北师大版八年级下册1.3 线段的垂直平分线同步训练必刷题
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022八上·南宁期中）如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝3cm，则线段PB的长为（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵直线CD是线段AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
∵PA＝3cm，
∴PB＝3cm.
故答案为：D.
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得PA=PB，据此解答.
2．（2022八上·杭州期中）如图，在中，，垂直平分，垂足为，交于，若，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： 垂直平分 ，
，
的周长 ，
又 ， ，
的周长 ．
故 的周长为 ．
故答案为：B．
【分析】根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得AD=BD，进而根据三角形周长的计算方法、等量代换及线段的和差可得△BCD的周长=AC+边长，据此就可得出答案.
3．（2022八上·曹县期中）如图，的周长为，垂直平分，交于点E，交于点D，连接，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
∵，
∴的周长为，
故答案为：A．
【分析】根据垂直平分线的性质可得，，再利用线段的和差及等量代换可得的周长。
4．（2022八上·南宁月考）如图，在△ABC中，∠C=85°，∠B=30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数为（ ）
A．50° B．45° C．35° D．30°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠B=30°，∠C=85°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=65°，
由作图可知MN为AB的中垂线，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=30°，
∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=35°.
故答案为：C.
【分析】根据内角和定理可得∠BAC=180°-∠B-∠C=65°，由作图可知MN为AB的中垂线，则DA=DB，根据等腰三角形的性质可得∠DAB=∠B=30°，然后根据∠CAD=∠BAC-∠DAB进行计算.
5．（2022八上·利辛月考）如图，中，的垂直平分线分别交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，
∴EA＝EB，则∠B＝∠EAG，
设∠B＝∠EAG＝x度，
∵FA＝FC，则∠C＝∠FAH，
设∠C＝∠FAH＝y，
∵∠BAC＝115°，
∴x+y+∠EAF＝115°，
根据三角形内角和定理，x+y+x+y+∠EAF＝180°，
解得∠EAF＝50°．
故答案为：B．
【分析】利用垂直平分线的性质及三角形的内角和求解即可。
6．（2022八上·南昌期中）如图，，，B点在的垂直平分线上，若，则为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵B点在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；
故答案为：C．
【分析】根据垂直平分线的性质可得，所以，再求出，最后利用含30°角的直角三角形的性质可得。
7．（2022八上·易县期中）如图，A，B，C三个村庄围成了一个三角形，想在的内部建一个超市，且超市到三个村庄的距离相等，则此超市应建在（ ）
A．三条高的交点处
B．三条角平分线的交点处
C．三条边垂直平分线的交点处
D．三条中线的交点处
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：根据线段垂直平分线的判定可知：和一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，
可知超市应建在三条边的垂直平分线的交点处．
故答案为：C．
【分析】利用垂直平分线的性质求解即可。
8．（2022八上·义乌期中）如图，在中，，分别以点，点为圆心以大于为半径画弧，两弧交于，，连接交于点，连接，以为圆心，长为半径作弧，交于点，则：（ ）
A．1： B．1：2 C．1： D．1：
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由题意得：EF是AB的垂直平分线，
∴D为AB的中点，
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝AB，
又∵CD＝CG，
∴CG：AB＝1：2.
故答案为：B．
【分析】由作图步骤可知EF是AB的垂直平分线，可得D为AB的中点，由直角三角形斜边上的中线的性质可得CD＝AB，又因为CD＝CG，进而可求解．
9．（2022八上·吴兴期中）如图，DE 是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则△EBC的周长为（ ）
A．16 B．18 C．26 D．28
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE 是△ABC中AC边的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴BE+EC=BE+EA=AB，
∵BC=8厘米，AB=10厘米，
△EBC的周长=BC+BE+EC=8+10=18厘米.
故答案为：B.
【分析】由DE 是△ABC中AC边的垂直平分线，可得EA=EC，从而得到BE+EC=AB，再由△EBC的周长=BC+BE+EC，代入数据计算即可求解.
10．（2022九上·西安月考）如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC= AC，OD= BD，AC=BD，CD=AB=2cm，
∴OA=OD=OC，
∵DE⊥AC，OE=CE，
∴OC=OD=CD=2cm，
∴BD=2OD=4cm，
∴ （cm）.
故答案为：A.
【分析】由矩形性质得OA=OD=OC，由线段垂直平分线性质得OD=CD，则OC=OD=CD=2cm，进而求出BD，然后利用勾股定理计算即可.
二、填空题（每题3分，共30分）
11．如图，在中，的中垂线交边于点，，，则 .
【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：的中垂线交边于点E，，
，
，，
，
故答案为：8.
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE=5，然后根据AC=AE+CE进行计算.
12．（2022八上·淮北月考）如图，是的边的垂直平分线，垂足为点E，交于点D，连接，，，，则的长为 .
【答案】9
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵是的边的垂直平分线，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：9．
【分析】先求出，再利用含30°角的直角三角形的性质可得，最后利用线段的和差求出即可。
13．（2022八上·利辛月考）如图，在锐角△ABC中，∠A＝75°，DE和DF分别垂直平分边AB、AC，则∠DBC的度数为 °．
【答案】15
【知识点】角的运算；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接DA、DC，
∵∠BAC=75°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=105°，
∵DE和DF分别垂直平分边AB、AC，
∴DA=DB，DA=DC，
∴DB=DC，∠DBA=∠DAB，∠DAC=∠DCA，
∴∠DBA+∠DCA=∠DAB+∠DAC=75°，
∴∠DBC=∠DBC=×（105°-75°）=15°，
故答案为：15．
【分析】连接DA、DC，根据垂直平分线的性质可得DA=DB，DA=DC，再利用等边对等角的性质可得∠DBA=∠DAB，∠DAC=∠DCA，最后利用角的运算和等量代换可得∠DBC=∠DBC=×（105°-75°）=15°。
14．（2022八上·惠东期中）如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8cm，AB＝10cm，则△EBC的周长为 cm．
【答案】18
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴CE+BE=AB=10cm．
∵BC=8cm，
∴△EBC的周长=BC+CE+BE=BC+AB=10+8=18cm．
故答案为：18．
【分析】根据垂直平分线的性质可得AE=CE，再利用三角形的周长公式及等量代换可得△EBC的周长=BC+CE+BE=BC+AB=10+8=18cm。
15．（2022八上·青田期中）如图，在△ABC中，AB的中垂线DE交AC于点D，已知BC＝10，△BDC的周长为25，则AC＝ .
【答案】15
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的中垂线，
∴DB＝DA，
∵△BDC的周长为25，
∴BC+BD+CD＝25，
∴BC+CD+DA＝25，
∴BC+CA＝25，
∵BC＝10，
∴AC＝25-10＝15.
故答案为：15.
【分析】由中垂线的性质可得DB＝DA，即得△BDC的周长=BC+BD+CD=BC+CD+DA=BC+CA＝25，从而求出AC的长.
16．（2022八上·江油月考）如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC＝84°，则∠BDC＝ .
【答案】96°
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE＝DF，
∵DP是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）.
∴∠BDE＝∠CDF，
∴∠BDC＝∠EDF，
∵∠DEB＝∠DFC＝90°，
∴∠EAF+∠EDF＝180°，
∵∠BAC＝84°，
∴∠BDC＝∠EDF＝96°，
故答案为：96°.
【分析】过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得DE=DF，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BD=CD，进而利用HL判断Rt△DEB≌Rt△DFC，根据全等三角形的性质得∠BDE＝∠CDF，根据四边形的内角和可得∠EAF+∠EDF＝180°，据此就不难算出答案了.
17．（2022八上·瑞安月考）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=10，点D为斜边AB的中点，点P是直角边BC上一动点，连结AP，DP，则AP+DP的最小值为 。
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点A关于BC的对称点A1，连接A1D，交BC于点P，
∴AP=A1P，AA1=2AC
∴∠B=∠BAP=30°，
∴AP+DP=A1P+DP=A1D，AP=BP，
∵两点之间线段最短，
∴此时AP+DP的最小值就是A1D的长；
∵AP=BP，点D为AB的中点，
∴PD垂直平分AB，
∴AD=AC=AB=5，∠ADP=90°，
∴AA1=10，
在Rt△AA1D中
故答案为：
【分析】作点A关于BC的对称点A1，连接A1D，交BC于点P，利用轴对称的性质可证得AP=A1P，AA1=2AC，利用等边对等角可求出∠BAP的度数，同时可证得AP+DP=A1P+DP=A1D，AP=BP，利用两点之间线段最短，可知此时AP+DP的最小值就是A1D的长；再证明PD垂直平分AB，可求出AD及AA1的长，然后利用勾股定理求出A1D的长.
18．（2022八上·海曙期中）在中，的垂直平分线分别交，于点、，的垂直平分线分别交，于点、，若，，且的周长为16，求 .
【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： ∵DE是AB的垂直平分线，FG是AC的垂直平分线，
， ，
的周长为16，
，
，
，
， ，
，
故答案为：4.
【分析】根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=BE，AG=CG，根据三角形周长计算方法及等量代换可得BE+EG+CG=16，进而根据线段的和差即可得出答案.
19．（2022八上·奎文期中）如图，已知三内角的角平分线交于点D，三边的垂直平分线交于点E，若，则 度．
【答案】160
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图1，连接，
∵在中，，
∴．
∵三内角的角平分线交于点D，
∴平分，
∴，
同理可得，，，
∵在中，
，
又∵，，，
∴，
∵，
∴．
如图2，连接，
∵三边的垂直平分线交于点E，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴在中，
．
故答案为：160．
【分析】利用角平分线的性质，垂直平分线的性质和三角形的内角和求解即可。
20．（2022八上·镇海区期中）如图，在直角三角形ABC中，，，点D是的中点，点P是斜边上的一个动点，是线段的垂直平分线，Q是上的一个动点，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接，，如图，
∵点P是斜边上的一个动点，是线段的垂直平分线，Q是上的一个动点，
∴，
∴，
∵，，点D是的中点，
∴.
∴的最小值为.
【分析】连接，，由垂直平分线的性质可得，当C、O、Q共线时，的值最小 ，最小值为CD的长，据此求解即可.
三、解答题（共6题，共60分）
21．（2022七下·泾阳期末）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC交BC于点F，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点D，∠B＝60°，∠C＝26°，求∠FAE的度数．
【答案】解：∠BAC =180°-∠B-∠C
=180°-60°-26°
=94°，
∵ AF平分∠BAC交BC于点F，
∴∠FAC=∠FAB=∠BAC=47°，
∵ED是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C=26°，
∴∠FAE=∠FAC-∠EAC=47°-26°=21°.
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】根据三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠FAC，再根据垂直平分线的性质求出EA=EC，则可求出∠EAC，然后根据角的和差求∠FAE的大小即可.
22．（2022八下·通道期末）已知在中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D， DM丄AB与M， DN丄AC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系？试证明你的发现.
【答案】解：，证明如下：
如图，连接BD，CD，
∵AD平分，，，
∴，
∵DE垂直平分BC，
∴，
在与中，，
∴，
∴.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】连接BD，CD，根据角平分线的性质可得DM=DN，根据垂直平分线的性质可得BD=CD，然后利用HL证明△BMD≌△CND，据此可得结论.
23．（2022八上·南宁期中）如图，在中，，.
（1）作线段的垂直平分线交于D（保留作图痕迹）.
（2）求证：.
【答案】（1）解：如图所示，MN为所求.
（2）解：连接，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
，
∴，
∴，
在中，，
，
.
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的作法作图即可；
（2）根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C=30°，利用内角和定理求出∠BAC的度数，由垂直平分线的性质可得AD=BD，由等腰三角形的性质可得∠BAD=∠B=30°，由角的和差关系求出∠CAD的度数，根据含30°角的直角三角形的性质可得CD=2AD，据此证明.
24．（2022八上·拱墅期中）如图，在中，的垂直平分线交于点D，E.
（1）求证：
（2）当时，求的面积
【答案】（1）证明：如图，连接
的垂直平分线分别交于点，
，
，
，
，
，
；
（2）解：∵的垂直平分线分别交于点，，
∴，
，
∴，
∴，
∴的面积为.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】（1）连接BE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=BE，根据三角形的内角和定理及等边对等角可得∠ABE=30°，∠ABC=60°，根据角的和差得∠EBC=30°，从而根据含30°角的直角三角形的性质即可得出结论；
（2）易得AB=2，根据含30°角直角三角形的性质得BC的长，根据勾股定理算出AC的长，进而根据三角形面积计算公式即可算出答案.
25．（2022八上·义乌期中）如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且．
（1）求证：
（2）求证：BD=DE
（3）若，，求的周长．
【答案】（1）证明：（1）∵EF垂直平分AC，AE=AB，
∴AB=AE=EC，
∴∠C＝∠CAE，∠B＝∠AEB，
∵∠AEB=∠C+∠CAE＝2∠C，
∴∠B＝2∠C．
（2）证明：∵AE=AB，AD⊥BC，
∴BD=DE.
（3）解：在直角三角形ACD中，∠ADC＝90°，AC=13，AD=5，
∴CD＝=12，
由（1）、（2）可知：AB＝AE＝EC，BD=DE，
∴AB+BC＝CE+CD+BD＝CE+CD+DE=2CD=24，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝24+13＝37．
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的性质及AE=AB，可得AB=AE=EC，从而得∠C＝∠CAE，∠B＝∠AEB，再通过三角形外角性质得∠AEB=2∠C，进而可证明结论；
（2）利用等腰三角形性质，“三线合一”，即可证明结论成立；
（3）利用勾股定理求得CD=12，由（1）、（2）可知：AB＝AE＝EC，BD=DE，再利用线段和差关系求得AB+BC＝2CD=24，再由△ABC的周长＝AB+BC+AC，代入数据计算即可求解.
26．（2022八下·青羊月考）已知：如图，在中，，为边的垂直平分线，以为边作等边三角形，与在直线的异侧，直线交的延长线于点，连接交于点.
（1）求证：.
（2）求的度数.
（3）猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的结论.
【答案】（1）证明：为边的垂直平分线，
，
为等边三角形，
，
，
；
（2）解：∵直AD垂直平分 BC，
，，
，
，
即，
，
，
，
，
等边三角形中，，
.
（3）解：，
证明：在上截取，使，连接，如图2，
由（2）得：，
，
是等边三角形，
，，
为等边三角形，
，，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
，
，，
，
，
，
，
.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得AB=AC，根据等边三角形的性质可得AC=AE，则AB=AE，然后根据等腰三角形的性质可得结论；
（2）根据垂直平分线的性质可得AB=AC，FB=FC，由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，∠FBC=∠FCB，推出∠ABE=∠ACF，由（1）可得∠ABE=∠AEF，则∠AEF=∠ACF，由对顶角的性质可得∠FME=∠CMA，则∠EFC=∠CAE，然后结合等边三角形的性质进行解答；
（3）在FC上截取FN，使FN=FE，连接EN，易得△EFN、△ACE是等边三角形，得到EN=EF，EA=EC，∠FEN=60°，∠AEC=60°，推出∠AEF=∠CEN，证明△EFA≌△ENC，得到FA=NC，则FE+FA=FC， 易得∠FCB=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得FC=2FD，据此解答.
1 / 12022-2023学年初数北师大版八年级下册1.3 线段的垂直平分线同步训练必刷题
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022八上·南宁期中）如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝3cm，则线段PB的长为（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
2．（2022八上·杭州期中）如图，在中，，垂直平分，垂足为，交于，若，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022八上·曹县期中）如图，的周长为，垂直平分，交于点E，交于点D，连接，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022八上·南宁月考）如图，在△ABC中，∠C=85°，∠B=30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数为（ ）
A．50° B．45° C．35° D．30°
5．（2022八上·利辛月考）如图，中，的垂直平分线分别交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022八上·南昌期中）如图，，，B点在的垂直平分线上，若，则为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
7．（2022八上·易县期中）如图，A，B，C三个村庄围成了一个三角形，想在的内部建一个超市，且超市到三个村庄的距离相等，则此超市应建在（ ）
A．三条高的交点处
B．三条角平分线的交点处
C．三条边垂直平分线的交点处
D．三条中线的交点处
8．（2022八上·义乌期中）如图，在中，，分别以点，点为圆心以大于为半径画弧，两弧交于，，连接交于点，连接，以为圆心，长为半径作弧，交于点，则：（ ）
A．1： B．1：2 C．1： D．1：
9．（2022八上·吴兴期中）如图，DE 是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则△EBC的周长为（ ）
A．16 B．18 C．26 D．28
10．（2022九上·西安月考）如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共30分）
11．如图，在中，的中垂线交边于点，，，则 .
12．（2022八上·淮北月考）如图，是的边的垂直平分线，垂足为点E，交于点D，连接，，，，则的长为 .
13．（2022八上·利辛月考）如图，在锐角△ABC中，∠A＝75°，DE和DF分别垂直平分边AB、AC，则∠DBC的度数为 °．
14．（2022八上·惠东期中）如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8cm，AB＝10cm，则△EBC的周长为 cm．
15．（2022八上·青田期中）如图，在△ABC中，AB的中垂线DE交AC于点D，已知BC＝10，△BDC的周长为25，则AC＝ .
16．（2022八上·江油月考）如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC＝84°，则∠BDC＝ .
17．（2022八上·瑞安月考）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=10，点D为斜边AB的中点，点P是直角边BC上一动点，连结AP，DP，则AP+DP的最小值为 。
18．（2022八上·海曙期中）在中，的垂直平分线分别交，于点、，的垂直平分线分别交，于点、，若，，且的周长为16，求 .
19．（2022八上·奎文期中）如图，已知三内角的角平分线交于点D，三边的垂直平分线交于点E，若，则 度．
20．（2022八上·镇海区期中）如图，在直角三角形ABC中，，，点D是的中点，点P是斜边上的一个动点，是线段的垂直平分线，Q是上的一个动点，则的最小值为 .
三、解答题（共6题，共60分）
21．（2022七下·泾阳期末）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC交BC于点F，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点D，∠B＝60°，∠C＝26°，求∠FAE的度数．
22．（2022八下·通道期末）已知在中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D， DM丄AB与M， DN丄AC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系？试证明你的发现.
23．（2022八上·南宁期中）如图，在中，，.
（1）作线段的垂直平分线交于D（保留作图痕迹）.
（2）求证：.
24．（2022八上·拱墅期中）如图，在中，的垂直平分线交于点D，E.
（1）求证：
（2）当时，求的面积
25．（2022八上·义乌期中）如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且．
（1）求证：
（2）求证：BD=DE
（3）若，，求的周长．
26．（2022八下·青羊月考）已知：如图，在中，，为边的垂直平分线，以为边作等边三角形，与在直线的异侧，直线交的延长线于点，连接交于点.
（1）求证：.
（2）求的度数.
（3）猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的结论.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵直线CD是线段AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
∵PA＝3cm，
∴PB＝3cm.
故答案为：D.
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得PA=PB，据此解答.
2．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： 垂直平分 ，
，
的周长 ，
又 ， ，
的周长 ．
故 的周长为 ．
故答案为：B．
【分析】根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得AD=BD，进而根据三角形周长的计算方法、等量代换及线段的和差可得△BCD的周长=AC+边长，据此就可得出答案.
3．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
∵，
∴的周长为，
故答案为：A．
【分析】根据垂直平分线的性质可得，，再利用线段的和差及等量代换可得的周长。
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠B=30°，∠C=85°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=65°，
由作图可知MN为AB的中垂线，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=30°，
∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=35°.
故答案为：C.
【分析】根据内角和定理可得∠BAC=180°-∠B-∠C=65°，由作图可知MN为AB的中垂线，则DA=DB，根据等腰三角形的性质可得∠DAB=∠B=30°，然后根据∠CAD=∠BAC-∠DAB进行计算.
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，
∴EA＝EB，则∠B＝∠EAG，
设∠B＝∠EAG＝x度，
∵FA＝FC，则∠C＝∠FAH，
设∠C＝∠FAH＝y，
∵∠BAC＝115°，
∴x+y+∠EAF＝115°，
根据三角形内角和定理，x+y+x+y+∠EAF＝180°，
解得∠EAF＝50°．
故答案为：B．
【分析】利用垂直平分线的性质及三角形的内角和求解即可。
6．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵B点在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；
故答案为：C．
【分析】根据垂直平分线的性质可得，所以，再求出，最后利用含30°角的直角三角形的性质可得。
7．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：根据线段垂直平分线的判定可知：和一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，
可知超市应建在三条边的垂直平分线的交点处．
故答案为：C．
【分析】利用垂直平分线的性质求解即可。
8．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由题意得：EF是AB的垂直平分线，
∴D为AB的中点，
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝AB，
又∵CD＝CG，
∴CG：AB＝1：2.
故答案为：B．
【分析】由作图步骤可知EF是AB的垂直平分线，可得D为AB的中点，由直角三角形斜边上的中线的性质可得CD＝AB，又因为CD＝CG，进而可求解．
9．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE 是△ABC中AC边的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴BE+EC=BE+EA=AB，
∵BC=8厘米，AB=10厘米，
△EBC的周长=BC+BE+EC=8+10=18厘米.
故答案为：B.
【分析】由DE 是△ABC中AC边的垂直平分线，可得EA=EC，从而得到BE+EC=AB，再由△EBC的周长=BC+BE+EC，代入数据计算即可求解.
10．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC= AC，OD= BD，AC=BD，CD=AB=2cm，
∴OA=OD=OC，
∵DE⊥AC，OE=CE，
∴OC=OD=CD=2cm，
∴BD=2OD=4cm，
∴ （cm）.
故答案为：A.
【分析】由矩形性质得OA=OD=OC，由线段垂直平分线性质得OD=CD，则OC=OD=CD=2cm，进而求出BD，然后利用勾股定理计算即可.
11．【答案】8
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：的中垂线交边于点E，，
，
，，
，
故答案为：8.
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE=5，然后根据AC=AE+CE进行计算.
12．【答案】9
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵是的边的垂直平分线，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：9．
【分析】先求出，再利用含30°角的直角三角形的性质可得，最后利用线段的和差求出即可。
13．【答案】15
【知识点】角的运算；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接DA、DC，
∵∠BAC=75°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=105°，
∵DE和DF分别垂直平分边AB、AC，
∴DA=DB，DA=DC，
∴DB=DC，∠DBA=∠DAB，∠DAC=∠DCA，
∴∠DBA+∠DCA=∠DAB+∠DAC=75°，
∴∠DBC=∠DBC=×（105°-75°）=15°，
故答案为：15．
【分析】连接DA、DC，根据垂直平分线的性质可得DA=DB，DA=DC，再利用等边对等角的性质可得∠DBA=∠DAB，∠DAC=∠DCA，最后利用角的运算和等量代换可得∠DBC=∠DBC=×（105°-75°）=15°。
14．【答案】18
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴CE+BE=AB=10cm．
∵BC=8cm，
∴△EBC的周长=BC+CE+BE=BC+AB=10+8=18cm．
故答案为：18．
【分析】根据垂直平分线的性质可得AE=CE，再利用三角形的周长公式及等量代换可得△EBC的周长=BC+CE+BE=BC+AB=10+8=18cm。
15．【答案】15
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的中垂线，
∴DB＝DA，
∵△BDC的周长为25，
∴BC+BD+CD＝25，
∴BC+CD+DA＝25，
∴BC+CA＝25，
∵BC＝10，
∴AC＝25-10＝15.
故答案为：15.
【分析】由中垂线的性质可得DB＝DA，即得△BDC的周长=BC+BD+CD=BC+CD+DA=BC+CA＝25，从而求出AC的长.
16．【答案】96°
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE＝DF，
∵DP是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）.
∴∠BDE＝∠CDF，
∴∠BDC＝∠EDF，
∵∠DEB＝∠DFC＝90°，
∴∠EAF+∠EDF＝180°，
∵∠BAC＝84°，
∴∠BDC＝∠EDF＝96°，
故答案为：96°.
【分析】过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得DE=DF，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BD=CD，进而利用HL判断Rt△DEB≌Rt△DFC，根据全等三角形的性质得∠BDE＝∠CDF，根据四边形的内角和可得∠EAF+∠EDF＝180°，据此就不难算出答案了.
17．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点A关于BC的对称点A1，连接A1D，交BC于点P，
∴AP=A1P，AA1=2AC
∴∠B=∠BAP=30°，
∴AP+DP=A1P+DP=A1D，AP=BP，
∵两点之间线段最短，
∴此时AP+DP的最小值就是A1D的长；
∵AP=BP，点D为AB的中点，
∴PD垂直平分AB，
∴AD=AC=AB=5，∠ADP=90°，
∴AA1=10，
在Rt△AA1D中
故答案为：
【分析】作点A关于BC的对称点A1，连接A1D，交BC于点P，利用轴对称的性质可证得AP=A1P，AA1=2AC，利用等边对等角可求出∠BAP的度数，同时可证得AP+DP=A1P+DP=A1D，AP=BP，利用两点之间线段最短，可知此时AP+DP的最小值就是A1D的长；再证明PD垂直平分AB，可求出AD及AA1的长，然后利用勾股定理求出A1D的长.
18．【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： ∵DE是AB的垂直平分线，FG是AC的垂直平分线，
， ，
的周长为16，
，
，
，
， ，
，
故答案为：4.
【分析】根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=BE，AG=CG，根据三角形周长计算方法及等量代换可得BE+EG+CG=16，进而根据线段的和差即可得出答案.
19．【答案】160
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图1，连接，
∵在中，，
∴．
∵三内角的角平分线交于点D，
∴平分，
∴，
同理可得，，，
∵在中，
，
又∵，，，
∴，
∵，
∴．
如图2，连接，
∵三边的垂直平分线交于点E，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴在中，
．
故答案为：160．
【分析】利用角平分线的性质，垂直平分线的性质和三角形的内角和求解即可。
20．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接，，如图，
∵点P是斜边上的一个动点，是线段的垂直平分线，Q是上的一个动点，
∴，
∴，
∵，，点D是的中点，
∴.
∴的最小值为.
【分析】连接，，由垂直平分线的性质可得，当C、O、Q共线时，的值最小 ，最小值为CD的长，据此求解即可.
21．【答案】解：∠BAC =180°-∠B-∠C
=180°-60°-26°
=94°，
∵ AF平分∠BAC交BC于点F，
∴∠FAC=∠FAB=∠BAC=47°，
∵ED是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C=26°，
∴∠FAE=∠FAC-∠EAC=47°-26°=21°.
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】根据三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠FAC，再根据垂直平分线的性质求出EA=EC，则可求出∠EAC，然后根据角的和差求∠FAE的大小即可.
22．【答案】解：，证明如下：
如图，连接BD，CD，
∵AD平分，，，
∴，
∵DE垂直平分BC，
∴，
在与中，，
∴，
∴.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】连接BD，CD，根据角平分线的性质可得DM=DN，根据垂直平分线的性质可得BD=CD，然后利用HL证明△BMD≌△CND，据此可得结论.
23．【答案】（1）解：如图所示，MN为所求.
（2）解：连接，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
，
∴，
∴，
在中，，
，
.
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的作法作图即可；
（2）根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C=30°，利用内角和定理求出∠BAC的度数，由垂直平分线的性质可得AD=BD，由等腰三角形的性质可得∠BAD=∠B=30°，由角的和差关系求出∠CAD的度数，根据含30°角的直角三角形的性质可得CD=2AD，据此证明.
24．【答案】（1）证明：如图，连接
的垂直平分线分别交于点，
，
，
，
，
，
；
（2）解：∵的垂直平分线分别交于点，，
∴，
，
∴，
∴，
∴的面积为.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】（1）连接BE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=BE，根据三角形的内角和定理及等边对等角可得∠ABE=30°，∠ABC=60°，根据角的和差得∠EBC=30°，从而根据含30°角的直角三角形的性质即可得出结论；
（2）易得AB=2，根据含30°角直角三角形的性质得BC的长，根据勾股定理算出AC的长，进而根据三角形面积计算公式即可算出答案.
25．【答案】（1）证明：（1）∵EF垂直平分AC，AE=AB，
∴AB=AE=EC，
∴∠C＝∠CAE，∠B＝∠AEB，
∵∠AEB=∠C+∠CAE＝2∠C，
∴∠B＝2∠C．
（2）证明：∵AE=AB，AD⊥BC，
∴BD=DE.
（3）解：在直角三角形ACD中，∠ADC＝90°，AC=13，AD=5，
∴CD＝=12，
由（1）、（2）可知：AB＝AE＝EC，BD=DE，
∴AB+BC＝CE+CD+BD＝CE+CD+DE=2CD=24，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝24+13＝37．
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的性质及AE=AB，可得AB=AE=EC，从而得∠C＝∠CAE，∠B＝∠AEB，再通过三角形外角性质得∠AEB=2∠C，进而可证明结论；
（2）利用等腰三角形性质，“三线合一”，即可证明结论成立；
（3）利用勾股定理求得CD=12，由（1）、（2）可知：AB＝AE＝EC，BD=DE，再利用线段和差关系求得AB+BC＝2CD=24，再由△ABC的周长＝AB+BC+AC，代入数据计算即可求解.
26．【答案】（1）证明：为边的垂直平分线，
，
为等边三角形，
，
，
；
（2）解：∵直AD垂直平分 BC，
，，
，
，
即，
，
，
，
，
等边三角形中，，
.
（3）解：，
证明：在上截取，使，连接，如图2，
由（2）得：，
，
是等边三角形，
，，
为等边三角形，
，，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
，
，，
，
，
，
，
.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得AB=AC，根据等边三角形的性质可得AC=AE，则AB=AE，然后根据等腰三角形的性质可得结论；
（2）根据垂直平分线的性质可得AB=AC，FB=FC，由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，∠FBC=∠FCB，推出∠ABE=∠ACF，由（1）可得∠ABE=∠AEF，则∠AEF=∠ACF，由对顶角的性质可得∠FME=∠CMA，则∠EFC=∠CAE，然后结合等边三角形的性质进行解答；
（3）在FC上截取FN，使FN=FE，连接EN，易得△EFN、△ACE是等边三角形，得到EN=EF，EA=EC，∠FEN=60°，∠AEC=60°，推出∠AEF=∠CEN，证明△EFA≌△ENC，得到FA=NC，则FE+FA=FC， 易得∠FCB=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得FC=2FD，据此解答.
1 / 1
