1.4 生活中的优化问题举例 同步课时训练—2022-2023学年高二数学人教A版选修2-2（含解析）

1.4 生活中的优化问题举例——2022-2023学年高二数学人教A版2-2同步课时训练
1.近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大方便某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每座城市至少要投资40万元.由前期市场调研可知：甲城市收益P(单位：万元与投入a(单位：万元满足，乙城市收益Q(单位：万元与投入A(单位：万元满足，则投资这两座城市收益的最大值为( )
A.26万元 B.44万元 C.48万元 D.72万元
2.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马：将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑，已知三棱锥为鳖臑，且内接于球O，球O的半径，三棱锥的底面ABC为等腰直角三角形，平面ABC，则三棱锥的体积V的最大值为( )
A. B. C. D.
3.某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为，则该生产厂家获取的最大年利润为( )
A.300万元 B.252万元 C.200万元 D.128万元
4.某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元.已知销售额函数是（x是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，a是常数），若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕( )
A.6万斤 B.8万斤 C.3万斤 D.5万斤
5.已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )
A.13万件 B.11万件 C.9万件 D.7万件
6.某厂生产x万件某产品的总成本为C（x）万元，且.已知产品单价（单位：元）的平方与x成反比，且生产100万件这样的产品时，单价为50元，则为使总利润y（单位：万元）最大，产量应定为( )
A.23万件 B.25万件 C.50万件 D.75万件
7.一家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社.在一个月（以30天计算）内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使销售点每月所获得的利润最大，则每天应该从报社买进报纸( )
A.215份 B.350份 C.400份 D.520份
8.在外接球半径为4的正三棱锥中，体积最大的正三棱锥的高等于( )
A. B. C. D.
9.内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为( )
A.R B.2R C. D.
10.用长为30 cm的钢条围成一个长方体形状的框架（即12条棱长的总和为30 cm），要求长方体的长与宽之比为，则该长方体的最大体积是( )
A.24 B.15 C.12 D.6
11.某公司租地建仓库,每月土地占用费与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用和分别为2万元和8万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站___________千米处.
12.日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用也不断增加.已知1 t水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为，那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是___________元/t.
13.已知正四棱锥内接于半径为1的球，则当此正四棱锥的体积最大时，其高为________________.
14.某小型玩具厂研发生产一种新型玩具，年固定成本为10万元，每生产千件需另投入3万元，设该厂年内共生产该新型玩具x千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且满足函数关系.
（1）写出年利润万元关于该新型玩具年产量x千件的函数解析式.
（2）年产量为多少千件时，该厂在此新型玩具的生产中所获年利润最大？最大利润为多少？
15.某知名保健品企业新研发了一种健康饮品.已知每天生产该种饮品不超过40千瓶，不低于1千瓶，经检测，在生产过程中该饮品的正品率P与日产量x（，单位：千瓶）间的关系为，每生产一瓶正品盈利4元，每出现一瓶次品亏损2元.（注：正品率=饮品的正品瓶数÷饮品总瓶数×100%）
（1）将日利润y（单位：元）表示成日产量x的函数；
（2）求该种饮品的最大日利润.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由题意可知：，
设投资这两座城市收益为y，
则有，
令，则有，
该二次函数的对称轴为，且开口向下，
所以，
故选：B
2.答案：B
解析：由题意，可将三棱锥还原为如图所示的长方体，则长方体对角线，即为球O的直径.不妨设，则，，，.
令，.，y在上单调递增，在上单调递减，三棱锥体积的最大值为，故选B.
3.答案：C
解析：由题意，函数，所以，当时，；当时，，所以当时，y有最大值，此时最大年利润为200万元.
4.答案：A
解析：设销售的利润为，则，即，当时，，解得，故，则，可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，利润最大.
5.答案：C
解析：令导数，解得；
令导数，解得，
所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，
所以在处取得极大值，也是最大值，故选C.
6.答案：B
解析：设产品单价为a元，，则，，，即，总利润，，令，得，则当时，；当时，.当产量定为25万件时，总利润最大.
7.答案：C
解析：设每天从报社买进份报纸，每月所获利润为y元，具体情况如表.
数量/份 单价/元 金额/元
买进 2
卖出 3
退回 0.8
由表可得.
因为在上是增函数，所以当时，y取得最大值8700，即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为8700元.故选C.
8.答案：D
解析：如图，设正三棱锥的外接球的球心为O，连接AO并延长交底面BCD于E，则平面BCD，连接DE并延长交BC于F，则.设正三棱锥的底面边长为a，高为h，
由题易得，
则在直角三角形OED中，，
即，
整理得，，
，.
又∵正三棱锥的体积，，
令，解得或（舍去），
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
∴当时，V取得最大值.
9.答案：C
解析：设圆锥的高为h，底面半径为r，体积为V，则，所以，所以，，令，得，当时，；当时，，所以当时，圆锥体积最大.
10.答案：B
解析：设该长方体的宽是x m，则由题意知，其长是，高是，其中，则该长方体的体积，，由，得，且当时，；当时，，即体积函数在处取得极大值，也是函数在定义域上的最大值，所以该长方体体积的最大值是15.
11.答案：5
解析：依题意可设每月土地占用费,每月库存货物的运费,其中是仓库到车站的距离.
于是,由,得;由,得.
因此两项费用之和为..令,得(舍去),且当时,;当时,,
故当仓库建在离车站5千米处时,两项费用之和最小.
12.答案：40.15
解析：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数，因为，所以.又因为，所以净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是40.15元/t.
13.答案：
解析：由球的几何性质可设四棱锥的高为h，从而，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，取得最大值，即体积最大.
14.答案：(1).
(2)当年产量为9千件时，该厂在此新型玩具的生产中所获年利润最大且最大利润为38.6万元.
解析：(1)依题意，.
(2)由(1)得，令，得(舍去).
当时，，单调递增，
当时，，单调递减.
当时，有.
即当年产量为9千件时，该厂在此新型玩具的生产中所获年利润最大且最大利润为38.6万元.
15.答案：（1）由题意，知每生产1千瓶正品盈利4000元，每出现1千瓶次品亏损2000元，
故.
所以日利润（，）.
（2）令，，
则，
令，解得（舍去）.
当时，；
当时，.
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，函数（，）取得极大值，也是最大值，最大值为，
所以该种饮品的最大日利润为72000元.