第二章一元二次函数、方程和不等式 单元检测卷（含解析）

第二章单元检测卷
一．选择题（共8小题）
1．已知实数a，b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（　　）
A． B．a2＞b2 C．b﹣a＞0 D．|b|a＜|a|b
2．+3与+的大小关系是（　　）
A．+3＜+ B．+3＞+ C．+3＝+ D．不确定
3．已知a＜0＜b，下列不等式错误的是（　　）
A． B．a+c＜b+c C．a2＜ab D．ac2≤bc2
4．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．8
5．不等式﹣x2+1＜0的解集是（　　）
A．{x|x＞1} B．{x|x＞±1}
C．{x|x＜﹣1，或x＞1} D．{x|﹣1＜x＜1}
6．若0＜m＜1，则不等式（x﹣m）（x﹣）＜0的解集为（　　）
A．{x＜m} B．{x|x或x＞m} C．{x|x＞m或x＞} D．{x|m}
7．已知不等式x2+ax+b＜0的解集是{x|﹣2＜x＜4}，则a+b＝（　　）
A．﹣10 B．﹣6 C．0 D．2
8．已知函数f（x）＝4ax2+4x﹣1， x∈（﹣1，1），f（x）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．a＜﹣1 C． D．a≤﹣1
二．多选题（共2小题）
9．已知，则下列不等式错误的是（　　）
A． B． C．a3＞b3 D．
10．使不等式2x2﹣5x﹣3≥0成立的一个非充分而条件是（　　）
A．x＜0 B．x≥0 C．x∈{﹣1，3，5} D．x≤﹣或x≥3
三．填空题（共4小题）
11．已知x＞0，则x+﹣1的最小值是 　 　．
12．若不等式x2+mx+1＞0的解集为R，则m的取值范围是　 　．
13．设a＜－1，则关于x的不等式a(x－a)＜0的解集为________．
14．若x＞1，则的最小值为 　 　．
四．解答题（共2小题）
15．（Ⅰ）解关于x的不等式：；
（Ⅱ）已知正数x，y满足x+y＝2，求的最小值．
16. 已知函数在区间上最大值为4，求a的值。
17．某单位在国家科研部门的支持下，能够把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月的二氧化碳处理量最少为400 t，最多为600 t，月处理成本y(元)与月处理量x(t)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润：如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？
第二章单元检测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知实数a，b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（　　）
A． B．a2＞b2 C．b﹣a＞0 D．|b|a＜|a|b
【分析】根据不等式的性质进行判断即可．
【解答】解：由实数a，b在数轴上对应的点可知，b＜a＜0，
对于A，由b＜a＜0，可得＞，故A正确，
对于B，由b＜a＜0，可得a2＜b2，故B错误，
对于C，由b＜a，可得b﹣a＜0，故C错误，
对于D，由b＜a＜0，可得|b|a＝|a|b，故D错误．
故选：A．
2．+3与+的大小关系是（　　）
A．+3＜+ B．+3＞+ C．+3＝+ D．不确定
【分析】比较和的大小关系即可得出与的大小关系．
【解答】解：，，
∴，
∴．
故选：B．
3．已知a＜0＜b，下列不等式错误的是（　　）
A． B．a+c＜b+c C．a2＜ab D．ac2≤bc2
【分析】由不等式的性质可依次判断选项．
【解答】解：∵a＜0＜b，∴＜0＜，故A对，
∵a＜b，∴a+c＜b+c，故B对，
∵a＜b，且c2≥0，∴ac2≤bc2，故D对，
∵a2﹣ab＝a（a﹣b）＞0，故a2＞ab，故C错，
故选：C．
4．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．8
【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：＝＝，当且仅当，即a＝b＝时，等号成立，
故的最小值为4．
故选：C．
5．不等式﹣x2+1＜0的解集是（　　）
A．{x|x＞1} B．{x|x＞±1}
C．{x|x＜﹣1，或x＞1} D．{x|﹣1＜x＜1}
【分析】把不等式化为x2﹣1＞0，求出解集即可．
【解答】解：不等式﹣x2+1＜0可化为x2﹣1＞0，
即（x+1）（x﹣1）＞0，
解得x＜﹣1或x＞1，
所以该不等式的解集是{x|x＜﹣1或x＞1}．
故选：C．
6．若0＜m＜1，则不等式（x﹣m）（x﹣）＜0的解集为（　　）
A．{x＜m} B．{x|x或x＞m} C．{x|x＞m或x＞} D．{x|m}
【分析】由0＜m＜1可得m＜，从而即可确定不等式（x﹣m）（x﹣）＜0的解集．
【解答】解：由0＜m＜1，得m＜，所以（x﹣m）（x﹣）＜0，解得m＜x＜，
所以不等式（x﹣m）（x﹣）＜0的解集为{x|x＜x＜}．
故选：D．
7．已知不等式x2+ax+b＜0的解集是{x|﹣2＜x＜4}，则a+b＝（　　）
A．﹣10 B．﹣6 C．0 D．2
【分析】先得到方程x2+ax+b＝0的两根分别为﹣2、4，再利用根与系数的关系即可求解．
【解答】解：∵不等式x2+ax+b＜0的解集是{x|﹣2＜x＜4}，
∴方程x2+ax+b＝0的两根分别为﹣2、4，
∴，∴，
∴a+b＝﹣10，
故选：A．
8．已知函数f（x）＝4ax2+4x﹣1， x∈（﹣1，1），f（x）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．a＜﹣1 C． D．a≤﹣1
【分析】对二次项系数a的取值进行分类讨论，分a＝0，a＞0，a＜0三种情况分别求解，即可得到答案．
【解答】解：当a＝0时，f（x）＝4x﹣1＜0，解得，
故当x＝时，f（x）＞0，故不符合题意；
当a＞0时，则有，无解；
当a＜0时，则有①，或②，或△＝16+16a＜0③，
解得①无解，②无解，③a＜﹣1，
故a＜﹣1，
综上所述，实数a的取值范围是a＜﹣1．
故选：B．
二．多选题（共2小题）
9．已知，则下列不等式错误的是（　　）
A． B． C．a3＞b3 D．
【分析】先得到b＜a＜0，由指数函数的单调性判断A，举实例判断B，D，由幂函数的单调性判断C．
【解答】解：∵，∴b＜a＜0，
A项，∴a﹣b＞0，∴＜＝1，故A错误，
B项，不妨设b＝﹣2，a＝﹣1，∴，∴，故B错误，
C项，∵b＜a＜0，y＝x3在R上单调递增，∴a3＞b3，故C正确，
D项，不妨设b＝﹣2，a＝﹣1，∴，∴＞，故D错误．
故选：ABD．
10．使不等式2x2﹣5x﹣3≥0成立的一个非充分而条件是（　　）
A．x＜0 B．x≥0 C．x∈{﹣1，3，5} D．x≤﹣或x≥3
【分析】首先解不等式的解即2x2﹣5x﹣3≥0成立的一个充分必要条件，而所有不包含于这个解集的集合都是不充分条件，可按照排除法即可得到答案．
【解答】解：因为容易解得：2x2﹣5x﹣3≥0成立的充要条件是x≤﹣或x≥3
所以对于A当x＝﹣时不能推出2x2﹣5x﹣3≥0．非充分．
对于B当x＝2时不能推出2x2﹣5x﹣3≥0．非充分．
对于Dx≤﹣或x≥3是2x2﹣5x﹣3≥0成立的充要条件．
故选：AB．
三．填空题（共4小题）
11．已知x＞0，则x+﹣1的最小值是 　3　．
【分析】先检查知满足基本不等式求最值的要求，利用基本不等式求最值即可．
【解答】解：∵x＞0，
∴x+﹣1≥2﹣1＝3，
（当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立）
故答案为：3．
12．若不等式x2+mx+1＞0的解集为R，则m的取值范围是　（﹣2，2）　．
【分析】利用一元二次不等式的解集与△的关系即可得出．
【解答】解：∵不等式x2+mx+1＞0的解集为R，∴△＝m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2．
∴m的取值范围是（﹣2，2）．
故答案为（﹣2，2）．
13．已知函数f（x）＝﹣x2+2x+5在区间[0，m]上有最大值6，最小值5，则实数m的取值范围是 　[1，2]　．
【分析】先确定二次函数的开口方向以及对称轴，然后由f（0）＝5，f（1）＝6，分析即可得到答案．
【解答】解：因为函数f（x）＝﹣x2+2x+5＝﹣（x﹣1）2+4，
所以函数f（x）在[0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，
所以当x＝1时，f（x）取得最大值6，
又f（0）＝5，
所以1≤m≤2．
则实数m的取值范围是[1，2]．
故答案为：[1，2]．
14．若x＞1，则的最小值为 　7　．
【分析】直接利用关系式的恒等变换和基本不等式的应用求出结果．
【解答】解：由于x＞1，所以x﹣1＞0，
故＝（x﹣1）++1＝7，当且仅当x＝4时，等号成立，
故答案为：7．
四．解答题（共2小题）
15．（Ⅰ）解关于x的不等式：；
（Ⅱ）已知正数x，y满足x+y＝1，求的最小值．
【分析】（Ⅰ）问题转化为解二次不等式，求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．
【解答】解：（I）不等式可转化成（x﹣1）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜1，
故原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜1}．
（Ⅱ）∵正数x，y满足x+y＝1，
∴＝，
当且仅当时取等号，
∴的最小值为4．
16．某居民小区欲在一块空地上建一面积为1200m2的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m，东西的人行通道宽4m，如图所示（图中单位：m），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？
【分析】设矩形停车场南北侧边长为xm，则其东西侧边长为m，人行道占地面积为S＝（x+6）（8+）﹣1200＝8x++48，然后结合基本不等式即可求解．
【解答】解：设矩形停车场南北侧边长为xm，则其东西侧边长为m，
人行道占地面积为S＝（x+6）（8+）﹣1200＝8x++48+48＝528，
当且仅当8x＝，即x＝30（m）时取等号，Smin＝96（m2），此时＝40（m），
所以矩形停车场的南北侧边长为30m，则其东西侧边长为40m，才能使人行通道占地面积最小，
最小面积是528m2．