第二章一元二次函数、方程和不等式 期末复习题（含解析）

第二章一元二次函数、方程和不等式 期末复习题
一、单选题（12题）
1．已知，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．设，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为（ ）
A． B．或
C． D．
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知函数，则此函数的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
6．设实数满足，则函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．若，则的最小值为（ ）
A．16 B．8 C．20 D．12
8．若对于一切实数不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．若关于的不等式（a，b，c为常数）的解集为，则不等式（a，b，c为常数）的解集为（ ）
A． B．或
C． D．或
10．命题“”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B．或
C．或 D．
11．已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（4题）
13．设，则与的大小关系为：______（用“”、“”、“”填写）.
14．已知（a，且），则的取值范围为___________．
15．函数的最小值是_______.
16．设a、b为常数，若关于x的不等式的解集为，则__________．
三、解答题（6题）
17．实数满足.
(1)求实数的取值范围；
(2)求的取值范围.
18．（1）已知，，求，取值范围；
（2）已知，，求的取值范围．
19．（1）已知.求证.
（2）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m.当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
20．（1）求函数的最大值；
（2）已知，求证：．
21．已知函数，不等式的解集为．
(1)求的值；
(2)若在上恒成立，求的取值范围．
22．已知函数．
(1)当时，求函数在上的最大值与最小值；
(2)若在上的最大值为4，求实数的值．
参考答案：
1．D
【分析】由不等式的性质判断，可举反例说明ABC错误,作差法判断D．
【详解】对于A，B：取，，此时，，∴A，B错；
对于C：当时，，∴C错；
对于D：∵
而，a,b不同时为零，所以，∴，D正确.
故选:D.
2．C
【分析】分别计算和，可得答案.
【详解】，；
，
又，
故，得到，，
综上，
故选：C
3．D
【分析】直接表示出另一段，列不等式组即可得到答案.
【详解】由题意,可知另一段绳子的长度为.
因为两段绳子长度之差不小于，所以，
化简得：.
故选：D
4．A
【分析】解不等式，即可根据集合的包含关系判断充分性及必要性
【详解】当，；当，，故.
故“”等价于或，故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
5．D
【分析】将函数配凑为，利用基本不等式可求得结果.
【详解】，，
（当且仅当，即时取等号），
的最小值为.
故选：D.
6．D
【分析】将函数解析式拼凑变形后使用基本不等式求最大值.
【详解】因为，所以，
所以
当且仅当时，等号成立，
故选：D.
7．A
【分析】利用均值不等式求解即可.
【详解】由题意得，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为16，
故选：A
8．A
【分析】，不等式恒成立无实数根，利用判别式小于零可得答案．
【详解】∵对于一切实数不等式恒成立，
∴二次函数的图象在轴上方，
∴无实数根，
∴，解得，
故选：A．
9．A
【分析】根据不等式的解集可得-1，6为对应方程的根，将和均用表示，代入所求不等式解出即可.
【详解】一元二次不等式的解集为，
所以，且-1，6是一元二次方程的两个实数根，
所以，，所以，，且；
所以不等式化为，即，
解得
因此不等式的解集为
故选：A.
10．B
【分析】先写出原命题的否定，然后结合判别式以及对分类讨论来求得的取值范围.
【详解】命题“”是假命题，
所以“”是真命题，
当时，不成立，不符合题意，所以，
所以或，
所以或.
故选：B
11．C
【分析】先求出二次函数对称轴，由函数单调区间和对称轴关系即可求解.
【详解】因为的图象开口向上，且关于直线对称，所以在上单调递增，所以.
故选：C
12．B
【分析】画出二次函数图象，结合对称轴和值域可判断取值范围.
【详解】的对称轴为，当时，，时，
故当时，设另一根为，解得，要使定义域为时，值域为，故.
故选：B
13．
【分析】利用作差法与配方法即可得解.
【详解】因为，
所以，
所以.
故答案为：.
14．
【分析】化简得到，的等式关系，再根据基本不等式求解,注意等号的取得.
【详解】
又
根据基本不等式得
，又因为，所以
故答案为：
15．1
【分析】先用配凑法将化简为，再用基本不等式即可得出结论.
【详解】,
,
当且仅当 , 即 时取等号,
函数 的最小值是1.
故答案为：1.
16．
【分析】分别讨论、，其中时，根据解集为得，均为的根，即可列式求解.
【详解】当，不等式的解集为，与题意不符；
当，不等式的解集为，则，∴为的根，且，则，解得.
故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】（1）由，根据不等式的性质计算可得；
（2）求出，再利用不等式的性质得解.
【详解】（1），
由，，则，
所以，即，
故实数的取值范围为．
（2）设，
则，解得，
∴，
∵，．
∴，，
∴，
即的取值范围为．
18．（1），；（2）.
【分析】（1）根据不等式的性质，求出和的范围，即可根据性质求得；
（2）令，求出的值，根据不等式的性质即可得到结果.
【详解】（1）因为，所以，由不等式的性质可得，
，，
则，即，
，即.
（2）令，，
则，
所以有，解得，
因为，，
所以，，
所以，，
即，.
19．（1）证明见解析；（2）当矩形菜园平行于墙的一边长为，与之相邻的边长为时，菜园的面积最大，最大面积是
【分析】（1）利用不等式的性质证明即可；
（2）利用基本不等式求最值即可.
【详解】（1），，又，，，
又，．
（2）设矩形菜园平行于墙的一边的长为，与之相邻的边的长为，菜园的面积为，则，.
因为，所以，即，
由基本不等式得.
当，即，时，菜园的面积最大，最大面积是.
因此，当矩形菜园平行于墙的一边长为，与之相邻的边长为时，菜园的面积最大，最大面积是.
20．（1）；（2）证明过程见解析.
【分析】（1）运用换元法，结合基本不等式进行求解即可；
（2）运用基本不等式进行证明即可.
【详解】（1）令，
由，
因为，所以由，
当且仅当时取等号，即时，函数有最大值；
（2）因为，
所以，
即，当且仅当时取等号.
21．(1)
(2)．
【分析】（1）结合一元二次不等式与一元二次方程的根的关系解决.（2）原不等式等价于，然后考虑二次函数，的对称轴分别在三种情况来讨论.
【详解】（1）的解集为，
即的解集为，
，解得；
（2）由Ⅰ可得，
在上恒成立，
即恒成立，
令，
则在上恒成立，
有或或，
解得或或，
综上可得的范围为．
22．(1)最小值为0，最大值为9
(2)或﹣1
【分析】（1）得到的单调性，从而确定最小值为0，最大值为9；
（2）是开口向上的抛物线，分与两种情况，根据最大值列出方程，求出的值.
【详解】（1）当时，，对称轴为，
故当时，单调递减，当时，单调递增，
故当时，取得最小值，最小值为，
又，故的最大值为9；
（2）因为是开口向上的抛物线，，
对称轴为，
①当，即时，
，解得：，满足要求，
②当，即时，
，解得：,满足要求，
综上：或.