第六章平面向量及其应用单元测试卷-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含解析）

第六章 平面向量
一．选择题（共6小题）
1．已知向量，，若，则k＝（　　）
A．1 B．3 C．﹣3 D．
2．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，，b＝6，下面使得三角形有两组解的a的值可以为（　　）
A． B． C．6 D．
3．在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于点G，则＝（　　）
A． B． C． D．
4．已知向量，，m＞0且n＞0，若，则的最小值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．已知向量＝（1，2），＝（2，2），则向量在向量上的投影向量为（　　）
A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）
6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA＝﹣，则＝（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
二．多选题（共2小题）
（多选）7．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则（　　）
A． B．
C． D．
（多选）8．已知向量，，函数，下列说法正确的是（　　）
A．y＝f（x）的最小正周期是2π
B．y＝f（x）的图象关于点对称
C．y＝f（x）图象关于直线对称
D．y＝f（x）的单调增区间为，k∈Z
三．填空题（共2小题）
9．如图，四边形ABCD为平行四边形，，若，则λ﹣μ的值为 　 　．
10．已知向量，，若，的夹角为钝角，则λ的取值范围为 　 　．
四．解答题（共3小题）
11．已知，，且与的夹角为，求：
（1）；
（2）与的夹角．
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，atanC＝（2b﹣a）tanA．
（1）求角C的大小；
（2）若c＝2，求△ABC周长的最大值，并求出此时对应a，b的值．
13．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝120°，半径OA＝OB＝1，P为弧上一点．
（1）若OA⊥OP，求的值； （2）求的最小值；
第六章 平面向量
一．选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
二．填空题
9. 10.
三．解答题
11.
12.
13.
第六章 平面向量
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．【解答】解：根据题意，向量，，
若，则 ＝4（k﹣3）＝0，解可得k＝3；
故选：B．
2．【解答】解：由题意，根据正弦定理有，
所以，
要使三角形有两组解，则，且a＜b，即bsinA＜a＜b，
所以，
所以a的值可以为．
故选：A．
3．【解答】解：如图，过点F作OF∥BC交DE于O，
则O是DE的中点，且OF＝EC＝AD，
∵OF∥AD，∴＝＝4，
∴AG＝4GF，∴＝，
又＝+＝+，
∴＝＝（+）＝+．
故选：B．
4．【解答】解：∵，，，
∴，即2m+n＝1，
∴＝＝≥，当且仅当，即m＝，n＝时，等号成立，
故的最小值为8．
故选：D．
5．【解答】解：∵＝（1，2），＝（2，2），
∴向量在向量上的投影向量为
＝ （2，2）＝（，），
故选：A．
6．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA＝﹣，
∴由正弦定理得：
，
解得3c2＝，
∴＝6．
故选：A．
二．多选题（共2小题）
7．【解答】解：根据题意，作出如图所示图形，
由题意知，＝，
＝﹣＝+﹣＝+﹣＝﹣+，即选项A正确；
＝＝（+）＝+ ＝+（﹣+）＝+，即选项B正确；
＝（+）＝﹣+ （﹣+）＝﹣+，即选项C正确；
＝﹣＝+﹣（+）＝﹣﹣，即选项D错误．
故选：ABC．
8．【解答】解：由题意得，
∴最小正周期，∴A错误；
又，∴y＝f（x）的图象关于点对称，∴B正确；
又，∴y＝f（x）图象不关于直线对称，∴C错误；
令，得，k∈Z，
∴y＝f（x）的单调增区间为，k∈Z，∴D正确．
故选：BD．
三．填空题（共2小题）
9．【解答】解：由图以及平行四边形的性质可得，，，
所以由可得：＝＝（），
则λ﹣μ＝1，
故答案为：1．
10．【解答】解：，，若，的夹角为钝角，
则，且4λ≠6，
解得且，
∴λ的取值范围为：．
故答案为：．
四．解答题（共3小题）
11．【解答】解：（1）∵，，且与的夹角为，
∴；
（2）由（1）知，又，，
∴＝＝16﹣（﹣4）﹣2×4＝12；
（3）∵，
又＝，
∴cos＝＝，又，
∴．
12．【解答】解：（1）因为atanC＝（2b﹣a）tanA，
所以asinCcosA＝sinAcosC（2b﹣a），
由正弦定理得sinAsinCcosA＝2sinBsinAcosC﹣sinAsinAcosC，
因为sinA＞0，
所以sinCcosA+sinAcosC＝2sinBcosC，
所以sin（A+C）＝2sinBcosC＝sinB，
因为sinB＞0，
所以cosC＝，
由C为三角形内角得C＝60°；
（2）由余弦定理得4＝c2＝a2+b2﹣2abcos60°＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣3×，
当且仅当a＝b时取等号，
解得a+b≤4，此时a＝b＝2，
所以三角形周长a+b+c的最大值为6．
13．【解答】解：（1）建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可得：O（0，0）、A（1，0）、B（﹣，），P（cosθ，sinθ），其中0°≤θ≤120°，
又OA⊥OP，
则，
即1×cosθ+0×sinθ＝0，
则cosθ＝0，
即P（0，1），
则＝（1，﹣1） （）＝；
（2），，
则＝＝，
又0°≤θ≤120°，
则30°≤θ+30°≤150°，
即当θ+30°＝90°，即θ＝60°时，取最小值．