第三章 函数的概念与性质 期末练习题-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含解析）

第三章函数的概念与性质 期末练习题
一、单选题（12题）
1．函数的定义域是（ ）
A． B．
C．且 D．以上都不对
2．已知函数的定义域是，值域为，则值域也为的函数是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
4．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．已知，则的值域是（ ）
A． B． C． D．
6．已知命题p：函数是R上的减函数，命题q：对都成立.若命题p和命题q中有且只有一个真命题，则实数a的取值范围（ ）
A．（2，3） B． C．（2，4） D．（3，4）
7．若偶函数在上是增函数，则（ ）
A． B．
C． D．
8．下列函数既是奇函数又在上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，图中的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知取，四个值，则相应于，，，的依次为（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
11．已知幂函数过点，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
12．若函数为幂函数，则（ ）
A． B．函数的定义域为R
C．函数是奇函数 D．函数在区间上单调递减
二、填空题（4题）
13．若函数，则__________．
14．若函数的定义域是，则函数的定义域为_________.
15．若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则不等式解集为______．
16．已知，若幂函数奇函数，且在上为严格减函数，则__________.
三、解答题（6题）
17．设函数.
(1)求，；
(2)若，求的值.
18．（1）已知，求的解析式；
（2）已知是一次函数，且满足，求的解析式．
19．已知函数为定义在上的奇函数，且，
(1)求，的值，并证明为上的增函数，
(2)当时，函数在的最大值为，求实数的值.
20．函数，
(1)判断单调性并证明，
(2)求最大值和最小值
21．已知幂函数在上是减函数
(1)求的解析式
(2)若，求a的取值范围.
22．已知幂函数的图像关于y轴对称.
(1)求m的值;
(2)若函数求的单调递增区间.
参考答案：
1．D
【分析】要使函数有意义,列不等式求解即可.
【详解】由题意知, 且,即且,
解得且,故的定义域为且.
故选:.
2．C
【分析】根据的值域为，即，即可求出，，，以及的范围，从而可求解．
【详解】的定义域为，值域为，即；
对于A,，即的值域为，故A错误；
对于B,，即的值域为,故B错误；
对于C,，即的值域为，故C正确；
对于D,，即的值域为，故D错误．
故选：C．
3．B
【分析】依次将与代入即可求得结果.
【详解】因为，，
所以，
因为，
所以.
故选：B.
4．B
【分析】求出两个函数定义域以及化简对应关系.若两个函数定义域相同且对应关系相同，则这两个函数相同，进而判断答案.
【详解】对A，的定义域为R，的定义域为，则A错误；
对B，和的定义域均为R，且，则B正确；
对C，的定义域为，的定义域为R，则C错误；
对D，的定义域为，的定义域为R，则D错误.
故选：B.
5．B
【分析】先利用换元法求得函数解析式，再由二次函数的性质即可求得值域．
【详解】令，则，，
则，，
又的对称轴为，
则，
所以函数的值域为．
故选：B
6．B
【分析】分别求出命题成立的等价条件，结合复合命题之间的关系进行求解即可.
【详解】函数是上的减函数
，解得：
对都成立
,则，解得：，
当命题成立命题不成立时：，解得：不存在
当命题成立命题不成立时，，解得：
实数取值范围为：
故选：B
7．B
【分析】根据在上是增函数，且，可得，，的大小关系，再根据偶函数的性质可得，，的大小关系．
【详解】因为在上是增函数，且，
所以，
又为偶函数，所以，
则，
故选：B．
8．A
【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性即可.
【详解】因为是奇函数又在上是增函数，所以A正确.
因为定义域为，所以在和是增函数，所以B错误.
因为是偶函数不是奇函数，所以C错误.
因为定义域为不具备奇偶性，所以D错误.
故选：A
9．D
【分析】分与两种情况，结合函数单调性，奇偶性及，解不等式，求出解集.
【详解】偶函数在上单调递减，则在单调递增，
因为，
则当时，，即，
故或，解得：或，
或与取交集得：，
则当时，，即
故，解得：，
与取交集，解集为空集，
综上：不等式的解集为．
故选：D．
10．B
【分析】根据幂函数的图象在第一象限内的特征即可得答案.
【详解】解：根据幂函数的性质，在第一象限内的图象:
当时，越大，递增速度越快，故的，的；
当时，越大，曲线越陡峭，所以曲线的，曲线的.
故选:B
11．C
【分析】求出幂函数的解析式，再解不等式即可得解.
【详解】设，则，则，，
由可得，解得，
因此，不等式的解集为.
故选：C.
12．D
【分析】根据函数为幂函数求出，然后利用幂函数的性质逐一判断即可.
【详解】因为函数为幂函数，
，解得，A错误；
，其定义域为，B错误；
，函数是偶函数，C错误
函数在区间上单调递减，D正确.
故选: D.
13．
【分析】利用换元法求出的解析式，代入数字即可求解.
【详解】，
令，则，
，
即，
.
故答案为：.
14．
【分析】根据题意结合函数的表达式，列出x需满足的不等式组，即可求得答案.
【详解】由题意知函数的定义域是，
故函数需满足，
即函数的定义域为，
故答案为：
15．
【分析】结合函数的奇偶性和单调性求得正确答案.
【详解】是定义在上的奇函数，，
由于在上单调递减，且，
所以在上单调递减，且，
所以或时，；当或时，.
所以不等式的解集为.
故答案为：
16．-1
【分析】根据幂函数在上为严格减函数，可得，再由幂函数奇函数即可得答案.
【详解】解：因为幂函数在上为严格减函数，
所以，
所以，
又因为幂函数奇函数，且，
所以，
故答案为：-1
17．(1)，
(2)或
【分析】（1）根据函数的解析式，求得，，进而得到的值.
（2）根据函数的解析式，分，和三种情况讨论，即可求解.
【详解】（1）；
又，所以.
（2）①当时，，满足题意；
②当时，，满足题意；
③当时，，不满足题意.
综上①②③：的值为或.
18．（1）；（2）.
【分析】（1）令，利用换元法即可求解；
（2）利用待定系数法，根据已知条件列方程组求解即可.
【详解】（1）令，则，，
因为，
所以，
所以；
（2）由题可设，则
，，
所以
，
所以，
所以，
所以.
19．(1)，；证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意结合奇函数的性质求，的值，再根据单调性的定义证明函数的单调性；（2）根据（1）中的单调性求最值，运算求解.
【详解】（1）∵为定义在上的奇函数，
∴，解得，
由，则，
故，
∵，则为定义在上的奇函数，
故，符合题意.
对，且，
则，
∵，则，，，
∴，即，
故为上的增函数.
（2）由（1）知为的增函数，
∵，则在为增函数，
∴在上的最大值为，
由题意可得，解得，
故实数的值为.
20．(1)增函数，证明见解析
(2)最大值，最小值
【分析】（1）根据定义法判断函数单调性的一般步骤，逐步计算，即可判断出函数单调性；
（2）根据函数单调性，可直接写成最值.
【详解】（1）（1）任取，且．
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴在上为增函数．
（2）（2）由（1）知：在上为增函数，
所以，．
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义与单调性列式运算求解；
（2）根据幂函数的单调性列式运算求解，注意幂函数的定义域.
【详解】（1）由题意可得，解得，
故.
（2）由（1）可知：的定义域为，
由，则，解得，
∵幂函数在上是减函数，则，解得，
∴a的取值范围为.
22．(1)2；
(2).
【分析】（1）根据幂函数可知，又可推出函数为偶函数，即可求得；
（2）先解出，分情况去掉绝对值，结合二次函数的性质，即可得到结果.
【详解】（1）由题意知，解得，或．
又因为的图像关于y轴对称，所以为偶函数，从而．
所以，.
（2）由（1）知，，
当时，，对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增．
当时，，对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因此，的单调递增区间为．