高中数学 人教A版（2019）高一上学期 必修一 指数函数和对数函数
【问题查找】
1、.
2、计算的值为__________．
3、函数y =2+ (x-1) 的图象必过定点, 点的坐标为_________.
4、已知，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【要点精讲】
【精准突破一】
学习目标：指数运算和指数函数
目标分解：
理解分式指数幂的变换；
掌握三大指数运算法则；
熟悉指数函数的图象和性质；
【目标1：分式指数幂的变换】
分式指数幂：
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
一般情况下运算需要变换为指数幂形式，结果一般要写根式形式。
【目标2：三大指数运算法则】
指数运算法则：
（1）· ；
（2） ；
（3） ．
【目标3：指数函数图象和性质】
指数函数的图象和性质
a>1 0
定义域 R 定义域 R
值域y＞0 值域y＞0
在R上单调递增 在R上单调递减
非奇非偶函数 非奇非偶函数
函数图象都过定点（0，1） 函数图象都过定点（0，1）
（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论。
（2）当时，；当时。
当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快。
当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快。
（3）指数函数与的图象关于轴对称。
（4）底数的变化规律
② ③ ④
则：0＜b＜a＜1＜d＜c
可以归纳为一句话：同象限底数逆时针增大
【精准突破二】
学习目标：对数运算和对数函数
（1）牢记常见的对数变换公式；
（2）掌握对数的运算法则；
（3）熟悉对数函数图象的性质。
【目标1：常见的对数变换公式】
常见公式：、、、
【目标2：对数的运算法则】
判断一下哪些是正确的？
（1） 、（2）
（3） 、（4）
【目标3：对数函数图象的性质】
对数函数的图象和性质
a>1 0定义域x＞0 定义域x＞0
值域为R 值域为R
在R上递增 在R上递减
函数图象都过定点（1，0） 函数图象都过定点（1，0）
（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论。
（2）当时，；当时。
当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越慢。
当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越慢。
（3）指数函数与的图象关于轴对称。
（4）底数的变化规律
可以归纳为一句话：同象限底数顺时针增大
【精准突破三】
学习目标：指数和对数综合比较大小
目标分解：
（1）指数间或者对数间比较大小的方法
（2）指数和对数综合比较大小的方法
【目标1：指数间或对数间比较大小的方法】
同底比较大小的方法根据函数的单调性；
同指数比较大小根据函数的图象，依据函数底数逆时针增大原则画图；
同真数比较大小根据函数的图象，依据函数底数顺时针增大原则画图。
【目标二：指数和对数综合比较大小的方法】
指数和对数综合比较大小的方法是：一般利用中间值法，0或者1。
【查漏补缺】
1、计算_____________．
2、在平面直角坐标系中，若直线与函数的图像只有一个交点，则实数的取值范围是__________.
3、函数的单调递增区间是( )
A． B． C． D．
4、设，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．设,则( )
A. B. C. D.
【梳理优化】
【查漏补缺】
1、计算：=_________________
图中的曲线C1，C2，C3，C4是指数函数y＝ax的图象，
而a∈ ，则图象C1，C2，C3，C4对应
的函数的底数依次是___，_____，____，_____.
3、已知对数函数（，且）的图象经过点．
（）求实数的值；
（）如果，求实数的取值范围．
4、已知，，，则（）．
A． B． C． D．
【举一反三】
1、已知函数f(x)＝ ，则f(x)的单调递增区间是________．
2．已知函数在区间上的最大值与最小值的和为，则实数 .
【优化】
【方法总结】
学生总结：
1、归纳指数函数和对数函数的异同：
2、比较大小的方法
知识总结：
1、指数运算法则：
2、指数函数图象和性质：
3、对数公式
4、对数函数图象和性质
【强化巩固】
1、求下列各式的值：
（1）；
（2）.
2、已知实数a，b满足等式 ，给出下列五个关系式：①0A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3．已知函数（且）满足，则的解为（ ）
A． B． C． D．
4、已知，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【课后练习】
计算下列各式的值：
2、计算 ；
（2）已知，，试用表示.
3、已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图像上.
（1）求实数的值；（2）解不等式.
4．设 ， ， 则（ ）
A. B. C. D.
5、求不等式a4x＋5>a2x－1(a>0，且a≠1)中x的取值范围．
6、计算：
7、已知0 ＜a＜b＜1，给出以下结论：
① .则其中正确的结论个数是
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 高中数学 人教A版（2019）高一上学期 必修一 指数函数和对数函数
【问题查找】
1、.
【答案】
【解析】原式
答案：
2、计算的值为__________．
【答案】0
【解析】根据指数及对数的运算法则可知，，
故填0.
3、函数y =2+ (x-1) 的图象必过定点, 点的坐标为_________.
【答案】
【解析】函数 的图象可以看作把 的图象向右平移一个单位再向上平移2个单位而得到，
且一定过点 ，
则 应过点
故答案为
【点睛】本题考查的知识点是指数函数的图象与性质，其中根据函数的解析式，结合函数图象平移变换法则，求出平移量是解答本题的关键．
4、已知，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，，，所以，故选A。
【要点精讲】
【精准突破一】
学习目标：指数运算和指数函数
目标分解：
理解分式指数幂的变换；
掌握三大指数运算法则；
熟悉指数函数的图象和性质；
【目标1：分式指数幂的变换】
老师：你把根式变换为指数幂形式，把负指数幂变换为根式形式？
学生：，
老师：我们对此变换进行一些总结：
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
一般情况下运算需要变换为指数幂形式，结果一般要写根式形式。
【目标2：三大指数运算法则】
老师：指数有哪三大运算法则？
学生：（1）· ；
（2） ；
（3） ．
老师：三大运算法则不能只顺着记忆，同时逆方向我们也需要很清晰。现在我们回看一下问题定位1
【目标3：指数函数图象和性质】
老师：你根据记忆画一下指数函数图象。
学生：指数函数的图象和性质
a>1 0老师：观察一下函数图象有什么特点？
学生：
定义域 R 定义域 R
值域y＞0 值域y＞0
在R上单调递增 在R上单调递减
非奇非偶函数 非奇非偶函数
函数图象都过定点（0，1） 函数图象都过定点（0，1）
老师：指数函数的底数、值域、单调性、恒定点是其特殊的性质，一定要牢记。其实还有一些需要注意的地方：
（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论。
（2）当时，；当时。
当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快。
当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快。
（3）指数函数与的图象关于轴对称。
（4）底数的变化规律
② ③ ④
则：0＜b＜a＜1＜d＜c
可以归纳为一句话：同象限底数逆时针增大
根据指数函数图象的性质我们一起看看问题定位4学习其应用。
【精准突破二】
学习目标：对数运算和对数函数
（1）牢记常见的对数变换公式；
（2）掌握对数的运算法则；
（3）熟悉对数函数图象的性质。
【目标1：常见的对数变换公式】
老师：老师罗列一些公式，你补充完整。如常见对数值： 、 、
对数恒等式： 、 ；
学生：、、、。
【目标2：对数的运算法则】
老师：对数的运算法则是很多学生容易犯错误的地方，下面你来判断一下哪些是正确的？
（1） 、（2）
（3） 、（4）
学生：（1）（3）正确。
老师：学生经常在这里出现错误，容易想当然，没有对公式深刻理解清晰，所以我们一定要注意。
现在我们学习常见对数公式和运算就可以很好解决问题定位3了。
【目标3：对数函数图象的性质】
老师：画出对数的函数图象？
学生：
a>1 0老师：同样的，透过图象观察对数函数的性质和注意的地方.
学生：
a>1 0定义域x＞0 定义域x＞0
值域为R 值域为R
在R上递增 在R上递减
函数图象都过定点（1，0） 函数图象都过定点（1，0）
老师：同样的，对数函数在底数、单调性、定义域、定点性质比较重要。其实指数函数和对数函数有很多共同之处，所以你根据刚才指数函数的性质归纳一下对数需要注意的地方。
学生：（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论。
（2）当时，；当时。
当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越慢。
当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越慢。
（3）指数函数与的图象关于轴对称。
（4）底数的变化规律
可以归纳为一句话：同象限底数顺时针增大
根据指数函数图象的性质我们一起看看问题定位4学习其应用。
【精准突破三】
学习目标：指数和对数综合比较大小
目标分解：
（1）指数间或者对数间比较大小的方法
（2）指数和对数综合比较大小的方法
【目标1：指数间或对数间比较大小的方法】
老师：指数间或者对数间相同函数比较大小的方法有哪些？
学生：同底比较大小的方法根据函数的单调性；同指数比较大小根据函数的图象，依据函数底数逆时针增大原则画图；同真数比较大小根据函数的图象，依据函数底数顺时针增大原则画图。
【目标二：指数和对数综合比较大小的方法】
老师：指数和对数综合比较大小的方法是什么？
学生：一般利用中间值法，0或者1。
老师：利用以上方法基本可以解决大部分指数和对数比较大小的方法。但我们看一下这个例子：
比较和，我们采用什么方法？
学生：（学生可能用中间值法，但不能直接得出）用作商法，，所以就有。
【查漏补缺】
1、计算_____________．
【答案】
【解析】
。
答案：
2、在平面直角坐标系中，若直线与函数的图像只有一个交点，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】画出函数的图象，如图所示：
∴若直线与函数的图象只有个交点，则，
即实数的取值范围是：．
3、函数的单调递增区间是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由对数函数性质知，函数是一个减函数，当时，函数值小于0，函数的图象可由函数的图象轴下方的部分翻到轴上面，轴上面部分不变而得到，由此知，函数的单调递增区间是，故选D.
点睛：本题考查对数函数的单调性及函数图象的变化，解题的关键是理解绝对值函数与原来的函数图象间的关系，其关系是：与原函数轴上方的部分相同，轴下方的部分关于轴对称，简称为“上不动，下翻上”.
4、设，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵在x＞0时是增函数
∴a＞c
又∵在x＞0时是减函数，所以c＞b
故答案选A。
5．设,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【梳理优化】
巩固练习完成不好就回归到精准突破重新学习，然后进入【查漏补缺】；
巩固练习完成挺好就直接进入【举一反三】进行拓展学习。
【查漏补缺】
1、计算：=_________________
【答案】
【解析】
2、图中的曲线C1，C2，C3，C4是指数函数y＝ax的图象，而a∈ ，则图象C1，C2，C3，C4对应的函数的底数依次是________，________，________，________.
【答案】
【解析】由底数变化引起指数函数图象变化的规律，在y轴右侧，底大图高，在y轴左侧，底大图低．
则知C2的底数故C1，C2，C3，C4对应函数的底数依次是，，π，.
故答案为，，π，.
3、已知对数函数（，且）的图象经过点．
（）求实数的值；
（）如果，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）根据点在线上，代入已知点可以求得参数；（2）直接带入表达式，解对数不等式即可.
（）因为，所以，
因为，所以．
（2）因为，
也就是，
所以，
所以，
所以，
所以实数的取值范围是．
4、已知，，，则（）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由于，，，则，故选C.
【举一反三】
1、已知函数f(x)＝ ，则f(x)的单调递增区间是________．
【答案】(－∞，1]
【解析】法一：由指数函数的性质可知f(x)＝x在定义域上为减函数，故要求f(x)的单调递增区间，只需求y＝|x－1|的单调递减区间．
又因为y＝|x－1|的单调递减区间为(－∞，1]，
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，1]．
法二：f(x)＝
可画出f(x)的图象求其单调递增区间．
答案：(－∞，1].
点睛：形如的函数为,的复合函数，为内层函数,为外层函数.
当内层函数单增，外层函数单增时，函数也单增；
当内层函数单增，外层函数单减时，函数也单减；
当内层函数单减，外层函数单增时，函数也单减；
当内层函数单减，外层函数单减时，函数也单增.
简称为“同增异减”.
2．已知函数在区间上的最大值与最小值的和为，则实数___ ___.
【答案】
【方法总结】
学生总结：
1、归纳指数函数和对数函数的异同：
两者的异同
2、比较大小的方法
（1）同底不同指数或真数用函数单调性；
（2）同指数或者真数不同底数用函数图象；
（3）指数或者真数、底数都不相同用中间值法；
（4）指数和对数比较中间值法不能得出时用作商法。
知识总结：
1、指数运算法则：
（1）· ；
（2） ；
（3） ．
2、指数函数图象和性质：
a>1 0定义域 R 定义域 R
值域y＞0 值域y＞0
在R上单调递增 在R上单调递减
非奇非偶函数 非奇非偶函数
函数图象都过定点（0，1） 函数图象都过定点（0，1）
3、对数公式
如果，且，，，那么：
·＋；
－；
．
④、、、
4、对数函数图象和性质
a>1 0定义域x＞0 定义域x＞0
值域为R 值域为R
在R上递增 在R上递减
函数图象都过定点（1，0） 函数图象都过定点（1，0）
【强化巩固】
1、求下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】(1);(2)1.
【解析】试题分析：指数幂运算要严格按照幂运算定义和法则运算，法则包括同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方等于把积中每个因数乘方，再把所得的幂相乘；对数运算要注意利用对数运算法则，包括积、商、幂的对数运算法则，这些公式既要学会正用，还要学会反着用.
试题解析：
（1）原式= ==.
原式=
=
=.
【点精】指数幂运算要严格按照幂运算定义和法则运算，指数运算包括正整指数幂、负指数幂、零指数幂、分数指数幂的定义，法则包括同底数幂的惩罚和除法，幂的乘方、积的乘方；对数运算要注意利用对数运算法则，包括积、商、幂的对数运算法则，这些公式既要学会正用，还要学会反着用，指数对数运算还要灵活进行指、对互化.
2、已知实数a，b满足等式 ，给出下列五个关系式：①0A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】作y＝与y＝的图象．
当a＝b＝0时，；
当a当a>b>0时，也可以
故①②⑤都可能成立，不可能成立的关系式是③④.
故选B.
点睛：在函数与方程中，常常用到数形结合的思想，将代数问题转化为几何图形解决.对于指数函数的图象，要抓住一下几点进行研究：
（1）对于y＝而言，当时函数单调递增；当时函数单调递减，且恒过(0,1)；
（2）对于y＝和y＝，在第一象限内，底数越大图象越高
3．已知函数（且）满足，则的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
4、已知，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得：，，，
据此可得.
本题选择B选项.
点睛：实数比较大小：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．
在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
【课后练习】
计算下列各式的值：
【答案】(1) （2）4
【解析】试题分析：分别根据指数幂和对数的运算法则进行计算即可．
试题解析：
2、（1）计算 ；
（2）已知，，试用表示.
【答案】(1)4；(2).
【解析】试题分析：
(1)由题意结合分数指数幂的运算法则计算可得原式的值为4；
(2)由题意结合换底公式可得.
试题解析：
（1） .
（2） .
3、已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图像上。求实数的值；（2）解不等式.
【答案】;（2）不等式的解集为
【解析】试题分析：（1）根据指数的性质可知过，代入即可求解；（2）根据对数函数的增减性求解即可.
试题解析：（1）函数的图象恒过定点点的坐标为
又因为点在上，
则.
（2）
不等式的解集为.
4．设 ， ， 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
5、求不等式a4x＋5>a2x－1(a>0，且a≠1)中x的取值范围．
【答案】见解析
【解析】试题分析：根据指数函数单调性知，需根据底与1的大小分类讨论，对应解不等式
试题解析：解：对于a4x＋5>a2x－1(a>0，且a≠1)，
当a>1时，有4x＋5>2x－1，解得x>－3；
当0故当a>1时，x的取值范围为{x|x>－3}；
当0点睛：解指数不等式的思路方法，对于形如ax>ab的不等式，需借助函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，则需分a>1与0b的不等式，需先将b转化为以a为底的指数幂的形式，再借助函数y＝ax的单调性求解．
6、计算：
【答案】31
【解析】 试题分析：先将各数化成分数指数幂的形式,再根据指对数运算法则进行化简
试题解析：
原式＝ ＋ ＋－lg3－1＋(34) 0.5log35
＝2＋3＋(1－lg3)＋lg3＋32log35
＝6＋3log325＝6＋25＝31.
7、已知0 ＜a＜b＜1，给出以下结论：
① .则其中正确的结论个数是
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【解析】对于①，函数为减函数，所以，又函数为增函数，所以，因此，故①正确；
对于②，函数为增函数，所以，又函数为减函数，所以，所以，故②不正确；
对于③，函数为减函数，所以，又，因此，故③正确。
总上可得①③正确。选B。