【精品解析】2022-2023学年初数北师大版八年级下册1.4 角平分线同步必刷题

2022-2023学年初数北师大版八年级下册1.4 角平分线同步必刷题
一、单选题
1．（2022八上·柳城期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD＝4cm，则点D到AB的距离DE是（　　）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，
∴DE＝CD，
∵CD＝4cm，
∴点D到AB的距离DE是4cm．
故答案为：B.
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝CD，据此解答.
2．（2022八上·温州期中）如图，平分，于点，若，点是边上一动点，关于线段叙述正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂线段最短；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过P点作PH⊥AB于H ，如图，
平分 ， ， ，
，
点E是边AB上一动点，
.
故答案为：D.
【分析】过P点作PH⊥AB于H，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得PH=PD=6，进而根据垂线段最短即可得出PE的取值范围.
3．（2022八上·武清期中）如图，在中，已知，，，的平分线与边交于点D，于点E，则的周长为（　　）
A． B．2 C． D．无法计算
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，，是的平分线，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴的周长，
故答案为：A．
【分析】由角平分线的性质可得DC=DE，从而得出，根据HL证明Rt△ADC≌Rt△ADE，可得AE=AC=1，从而得出，由于的周长，代入数据即可求解.
4．（2022八上·海曙期中）如图，在中，，，垂足为，平分，交于点，交于点若，，则的长为（　　）
A．4 B． C． D．5
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G ，
， ，
，
， ，
平分 ，
，
，
，
平分 ， ，
，
， ， ，
，
在 和 中，
，
≌ ，
，
设 ，则 ， ， ，
，即 ，
解得 ，
即 ，
故答案为：B.
【分析】过点F作FG⊥AB于点G ，根据角平分线的定义得∠CAF=∠FAD，结合等角的余角相等及对顶角相等得∠CFA=∠AED=∠CEF，根据等角对等边得FC=CE，根据角平分线的性质定理得FC=FG，利用勾股定理算出BC，用HL判断Rt△ACF≌Rt△AGF，根据全等三角形对应边相等得AC=AG=9，设CE=x，则FC=FG=x，BF=12-x，BG=6，在Rt△BFG中，利用勾股定理建立方程，求解即可得出答案.
5．（2022八上·北京市期中）点P在的角平分线上，点P到边的距离为10，点Q是边上任意一点，则的最小值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵P在的角平分线上，点P到边的距离为10，
∴点P到边的距离为10，
∴的最小值为10．
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的性质和垂线段最短的性质可得的最小值为10。
6．（2022七下·东港期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠1=∠2，BC=16cm，点D到AB的距离为6cm，则BD的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵DE⊥AB，
∴DE=6cm，
∵∠1=∠2，
∴AD是∠CAB的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=6cm，
∵BC=16cm，
∴BD=10cm．
故答案为：D．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质可得DE=CD=6cm，再利用线段的和差可得BD=10cm。
7．（2022八上·洪泽月考）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，M为OP上任意一点，连接CM，DM，则CM和DM的大小关系是（　　）
A．CM>DM B．CM=DM C．CM【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD，∠OCP=∠ODP=90°，
在△CPO和△DPO中，
，
∴△CPO≌△DPO（HL），
∴∠OPC=∠OPD，
在△CPM和△DPM中，
，
∴△CPM≌△DPM（SAS），
∴CM=DM.
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的性质可得PC=PD，根据垂直的概念可得∠OCP=∠ODP=90°，利用HL证明△CPO≌△DPO， 得到∠OPC=∠OPD，然后利用SAS证明△CPM≌△DPM，进而可得结论.
8．（2022八上·安定期中）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AC－AB＝2BE中，正确的是（　　）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，故①正确；
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC，故②正确；
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∴AB+BE＝AC-FC，
∴AC-AB＝BE+FC＝2BE，
即AC-AB＝2BE，故④正确；
由垂线段最短可得AE＜AD，故③错误，
综上所述，正确的是①②④.
故答案为：C.
【分析】首先利用HL判断出Rt△BDE≌Rt△CDF，根据全等三角形对应边相等得DE=DF，据此可判断①；根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可判断出AD平分∠BAC，据此判断②；根据HL判断出Rt△ADE≌Rt△ADF，根据全等三角形的对应边相等得AE=AF，然后根据线段的和差即可得出AC-AB＝2BE，据此可判断④；根据垂线段最短即可判断③.
9．（2022八下·平远期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分ABC，DE⊥AB于点D，如果AC＝7cm，DE＝3cm，那么AE等于（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，∠ACB=90°，
∴ED=EC=3cm，
∴AE=AC－EC=AC－ED=7－3= 4 （cm）．
故答案为：C．
【分析】利用角平分线的性质可得ED=EC=3cm，再利用线段的和差可得AE=AC－EC=AC－ED=7－3= 4 cm。
10．（2022·舟山九上月考）如图，在矩形ABCD中，连接AC，以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AD，AC于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠DAC内交于点G，作射线AG，交DC于点H．若AD＝6，AB＝8，则△AHC的面积为（　　）
A．24 B．30 C．15 D．9
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：过H点作HM⊥AC于点M，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD＝AB＝8，∠ADC=90°即BD⊥AD，
由作法可知AH平分∠DAC，
∴DH＝MH，
在Rt△ADC中，
；
在Rt△ADH和Rt△AMH中，
，
∴Rt△ADH≌Rt△AMH（HL），
∴AM＝AD＝6，
∴CM＝AC AM＝10 6＝4，
设CH＝x，
∴DH＝HM＝8 x，
在Rt△CHM中，
（8 x）2＋42＝x2，
解之：x＝5，
∴△AHC的面积＝CH AD＝×5×6＝15.
故答案为：C.
【分析】过H点作HM⊥AC于点M，利用矩形的性质可证得CD＝AB＝8，∠ADC=90°，由作图可知AH平分∠DAC，利用角平分线的性质可证得DH＝MH；利用勾股定理求出AC的长；再利用HL证明Rt△ADH≌Rt△AMH，利用全等三角形的性质可求出AM的长，同时可求出CM的长；设CH＝x，可表示出HM的长，在Rt△CHM中，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，然后利用三角形的面积公式求出△AHC的面积.
二、填空题
11．（2022七上·高青期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC＝6，AB＝8，则AE+DE等于 　 　．
【答案】6
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴EC⊥BC，
∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，
∴ED＝EC，
∴AE+DE＝AE+EC＝AC＝6，
故答案为：6．
【分析】根据角平分线的性质可得ED＝EC，再利用线段的和差及等量代换可得答案。
12．（2022八上·郑州开学考）直线、、表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有　 　处．
【答案】4
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：中转站要到三条公路的距离都相等，
货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，
而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，
货物中转站可以供选择的地址有4个．
故答案为：4.
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，故货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，据此解答.
13．（2022八上·温州期中）如图，在中，平分交于点，，垂足为若，，则的面积为　 　.
【答案】2
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D点作DF⊥AC于F，如图，
平分，，，
，
的面积.
故答案为：2.
【分析】过D点作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得DF=DE=1，进而根据三角形面积计算方法算出答案.
14．（2022八上·锦江开学考）如图，，是的平分线，过作交于，作，垂足为，，则　 　 ．
【答案】5cm
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过M作MF⊥AC于F，
是的角平分线，
，，
，
，
，
是的外角，
，
在中，，
，
．
故答案为：．
【分析】过M作MF⊥AC于F，由角平分线的性质可得，，由平行线的性质可得，从而求出，根据三角形外角的性质可得，再利用含30°角的直角三角形的性质可得=5cm，即得MD的长.
15．（2022八下·昌图期末）如图，AD∥BC，BP平分∠ABC，AP平分∠BAD，PE⊥AB，PE=2，则两平行线AD、BC之间的距离为　 　
【答案】4
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作MN⊥AD，交AD于M，交BC于N，
∵AD∥BC，
∴MN⊥BC，
∵∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E，
∴PM=PE=2，PE=PN=2，
∴MN=2+2=4．
故答案为4．
【分析】过点P作MN⊥AD，交AD于M，交BC于N，根据角平分线的性质可得PM=PE=2，PE=PN=2，即可得到MN=2+2=4。
16．（2022七下·嵊州期末）如图，，点E在AB上方，点F在AB，CD之间，AB平分∠EAF，CF平分∠ECD，EC交线段AB于点G．若，则∠EAF的度数为　 　．
【答案】96°
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点F作FH∥AB，如图所示：
∵，
∴FH∥AB∥CD，
∴，
∵AB平分∠EAF，CF平分∠ECD，
∴，
∴，
∵，，
∴，
整理得：，
∴；
故答案为：96°．
【分析】过点F作FH∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，得FH∥AB∥CD，结合角平分线的定义可得，进而可得，最后问题可求解.
17．（2022七下·萍乡期末）如图，BD是的平分线，交AC于D，于点E，于点F，，，，则DE的长为　 　cm．
【答案】4
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解∶∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB， DF⊥BC，
∴DE=DF，
∵S△ABC=36cm2， ，
又∵S△ABC=S△ABD+S△BCD， AB= 10cm， BC=8cm，
∴，
∴5DE+4DF=36 ．
又∵DE=DF，
∴5DE+4DE=36，
∴DE=4cm，
故答案为4．
【分析】角平分线的性质定理。
18．（2022·郴州）如图.在 中， ， .以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于 长为半径作弧，在 内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作 ，垂足用G.若 ，则 的周长等于　 　cm.
【答案】8
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：根据题意，
在 中， ， ，
由角平分线的性质，得 ，
∴ 的周长为：
；
故答案为：8.
【分析】根据作图步骤可得AF为∠CAB的平分线，根据角平分线的性质可得CF=GF，由已知条件可知AC=BC，则△BFG的周长为BG+BF+FG=(AB-AG)+BF+CF=(AB-AG)+BC=AB-BC+BC=AB，据此解答.
19．（2022八下·三明期末）如图，在 中， ，BD平分 ，E是AB上一点，且 ，连接DE，过E作 ，垂足为F，延长EF交BC于点G.现给出以下结论：① ；② ；③ ；④ .其中正确的是　 　.（写出所有正确结论的序号）
【答案】①③④
【知识点】角平分线的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵BD平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴
又∵ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
过D作DM⊥AB，
∵ ，
∴ ，
又∵BD平分 ，
∴ ，
在 中： ，
∴ ，故②说法错误；
∵ ，
∴ ，
在四边形CDFG中 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，故③正确；
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故④正确.
故答案为：①③④.
【分析】①由角平分线定义可得∠1=∠2，结合已知用角边角可证△BEF≌△BEG，然后根据全等三角形的对应边相等可得EF=FG；
②过D作DM⊥AB，由角平分线上的点到角两边的距离相等可得DC=DM，在直角三角形EMD中，由斜边大于直角边可得ED＞MD，于是可得CD≠DE；
③由①中的全等三角形可得∠6=∠5，由四边形CDFG的内角和等于360°可得∠8+∠7=180°，由邻补角定义可得∠6+∠7=180°，则∠6=∠8=∠5，即∠BEG=∠BDC；
④设∠1=∠2=x，则∠A=90°-2x，由等边对等角和三角形内角和定理可得∠AED=∠ADE=45°+x，在Rt△BDE中，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和∠AED=∠1+∠EDB可得关于x的方程，解之可求解.
20．（2021八上·交城期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD为△ABC的角平分线，过点D作直线lAB，点P为直线l上的一个动点，若△BCD的面积为16，BC＝8，则AP最小值为 　 　．
【答案】4
【知识点】垂线段最短；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，△BCD的面积为16，BC＝8，
∴，即，
作DE⊥AB，
∵BD为△ABC的角平分线，
∴，
∵直线lAB，
∴AP最小值与DE相等为4，
故答案为：4．
【分析】根据三角形的面积公式求出CD，根据角平分线的性质求出DE，根据垂线段最短解答即可。
三、解答题
21．（2022八下·宝鸡期末）如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且AB＝AC，DE＝DF，连接BD、CD．求证：BD＝CD．
【答案】证明：如图，连接AD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，∴∠BAD＝∠CAD，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】连接AD，利用到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，可证得∠BAD＝∠CAD，再利用SAS证明△ABD≌△ACD，然后利用全等三角形的性质可证得结论.
22．（2021八上·海珠期末）已知：如图，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分别是边PA和PB上的点，且CD＝CE．求证：∠APB+∠DCE＝180°．
【答案】证明：∵PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，
∴CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，
∴∠MPN+∠MCN=360°-∠PMC-∠PNC=360°-90°-90°=180°，
在Rt△MCD和Rt△NCE中，
，
∴Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），
∴∠MCD=∠NCE，
∴∠APB+∠DCE=∠APB+∠DCN+∠NCE=∠APB+∠DCN+∠MCD=∠APB+∠MCN=180°．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线的性质和全等三角形的判定与性质求解即可。
23．（2021八上·孝义期中）如图，CE是 ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，AF是△ABC的高，∠B＝30°，∠E＝40°，求∠ECD和∠FAC的度数．
【答案】解：∠ECD=∠B＋∠E=30°＋40°=70°，
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ACD=2∠ECD=140°，
∴∠ACF=180°-∠ACD=40°，
∵AF是△ABC的高，
∴∠AFC=90°，
∴∠FAC=90°-∠ACF=50°．
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【分析】根据三角形的外角以及角平分线的性质，计算得到答案即可。
24．（2019八上·江宁月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°.
（1）作∠BAC的平分线，交BC于点D；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BD＝5，CD＝3，求AC的长.
【答案】（1）解：如图：
（2）解：过点D作DE⊥AB，垂足为E.则∠AED=∠BED=90°
∵AD平分∠BAC
∴CD=DE
在RtACD和RtAED中
CD=DE，AD=AD
∴ △CDE≌△AED（HL）
∴AC=AE，CD=DE=3
在Rt△BDE中，
由勾股定理得：DE2+BE2=BD2
∴BE2=BD2-DE2=52-32=16.
∴BE=4
在Rt△ABC中，设AC=x，则AB=AE+BE=x+4.
由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，即x2+82=（x+4）2
解得：x=6,即AC=6.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC，AB运用H、F；再分别以H、F为圆心，大于 HF长为半径画弧，两弧交于点M，最后画射线AM交CB于D；（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，先证明△ACD≌△AED得到AC=AE，CD=DE=3，再由勾股定理得求的BE长，然后在Rt△ABC中，设AC=x，则AB=AE+BE=x+4，最后再次运用勾股定理求解即可.
25．（2022八上·大兴期中）在四边形中，，平分．
（1）如图，若．
直接写出与的数量关系：　 　；
请你写出图中一个与不同的正确结论：　 　；
（2）如图，若，猜想与的数量关系，并证明．
【答案】（1）；
（2）解： ，证明如下：
如图 ，作 交 的延长线于点 ， 于点 ，
，
， ，
，
平分 ， ， ，
，
在 和 中，
，
≌ （AAS），
．
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】（1）解： ，
理由：如图 ， ， ，
，
，
平分 ，
，
在 和 中，
，
≌ （AAS），
，
故答案为： ．
，
理由：由 得 ≌ ，
，
故答案为： ．
【分析】（1）①利用“AAS”证明△ABD≌△CBD，再利用全等三角形的性质可得AD=CD；
②利用全等三角形的性质求解即可；
（2）作交的延长线于点，于点，再利用“AAS”证明△ADF≌△CDE，最后利用全等三角形的性质可得AD=CD。
26．（2022八下·大田期中）在中，，是的角平分线
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，若，且，求的长；
（3）如图3，当时，求证：.
【答案】（1）证明：∵，
∴
∵是的角平分线
∴
∴
∴
∴
（2）解：过D作DE⊥BC于E
∵，
∴
∴
∴
∵是的角平分线
∴
∴
∵
∴
∴
（3）证明：以BC为边作等边三角形A'BC，在A'C上截取CD'=BD，连接A'A延长交BC于H，
∵A'B=A'C，AB=AC，
∴A'H是BC垂直平分线，∠D'A'A=30°，
∵AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠ACA′=∠ABD=20°，
在△ABD和△ACD'中，
，
∴△ABD≌△ACD'（SAS），
∴AD=AD'，∠BAC=∠CAD′=100°，
∴∠AD′C=60°，连接AA′，
∴∠D'A'A=∠A'AD'=30°，
∴A'D'=AD'，
∴BC=A'C=A'D'+CD'=AD+BD，
即BC=BD+AD.
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据∠A=36°，结合等腰三角形的性质可得，根据角平分线的定义可得，从而得∠A=∠CBD，∠BDC=∠C=72°，进而得AD=BD，BD=BC，即可证明AD=BC；
（2） 过D作DE⊥BC于E，由等腰三角形性质得，从而得，再由角平分线性质得，进而得，又，代入数据即可求得AD的长；
（3）以BC为边作等边三角形A'BC，在A'C上截取CD'=BD，连接A'A延长交BC于H，由A'B=A'C，AB=AC，推出A'H是BC垂直平分线，∠D'A'A=30°，由等腰三角形性质可求得∠ACA′=∠ABD=20°，从而证得△ABD≌△ACD'，由全等三角形的性质可得AD=AD'，∠BAC=∠CAD′=100°，从而得到∠AD′C=60°，进而求得∠D'A'A=∠A'AD'=30°，即得A'D'=AD'，进而推出BC=A'C=A'D'+CD'=AD+BD，即可求证结论成立.
1 / 12022-2023学年初数北师大版八年级下册1.4 角平分线同步必刷题
一、单选题
1．（2022八上·柳城期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD＝4cm，则点D到AB的距离DE是（　　）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
2．（2022八上·温州期中）如图，平分，于点，若，点是边上一动点，关于线段叙述正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2022八上·武清期中）如图，在中，已知，，，的平分线与边交于点D，于点E，则的周长为（　　）
A． B．2 C． D．无法计算
4．（2022八上·海曙期中）如图，在中，，，垂足为，平分，交于点，交于点若，，则的长为（　　）
A．4 B． C． D．5
5．（2022八上·北京市期中）点P在的角平分线上，点P到边的距离为10，点Q是边上任意一点，则的最小值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．（2022七下·东港期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠1=∠2，BC=16cm，点D到AB的距离为6cm，则BD的长为（　　）
A． B． C． D．
7．（2022八上·洪泽月考）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，M为OP上任意一点，连接CM，DM，则CM和DM的大小关系是（　　）
A．CM>DM B．CM=DM C．CM8．（2022八上·安定期中）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AC－AB＝2BE中，正确的是（　　）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．②③④
9．（2022八下·平远期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分ABC，DE⊥AB于点D，如果AC＝7cm，DE＝3cm，那么AE等于（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
10．（2022·舟山九上月考）如图，在矩形ABCD中，连接AC，以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AD，AC于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠DAC内交于点G，作射线AG，交DC于点H．若AD＝6，AB＝8，则△AHC的面积为（　　）
A．24 B．30 C．15 D．9
二、填空题
11．（2022七上·高青期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC＝6，AB＝8，则AE+DE等于 　 　．
12．（2022八上·郑州开学考）直线、、表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有　 　处．
13．（2022八上·温州期中）如图，在中，平分交于点，，垂足为若，，则的面积为　 　.
14．（2022八上·锦江开学考）如图，，是的平分线，过作交于，作，垂足为，，则　 　 ．
15．（2022八下·昌图期末）如图，AD∥BC，BP平分∠ABC，AP平分∠BAD，PE⊥AB，PE=2，则两平行线AD、BC之间的距离为　 　
16．（2022七下·嵊州期末）如图，，点E在AB上方，点F在AB，CD之间，AB平分∠EAF，CF平分∠ECD，EC交线段AB于点G．若，则∠EAF的度数为　 　．
17．（2022七下·萍乡期末）如图，BD是的平分线，交AC于D，于点E，于点F，，，，则DE的长为　 　cm．
18．（2022·郴州）如图.在 中， ， .以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于 长为半径作弧，在 内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作 ，垂足用G.若 ，则 的周长等于　 　cm.
19．（2022八下·三明期末）如图，在 中， ，BD平分 ，E是AB上一点，且 ，连接DE，过E作 ，垂足为F，延长EF交BC于点G.现给出以下结论：① ；② ；③ ；④ .其中正确的是　 　.（写出所有正确结论的序号）
20．（2021八上·交城期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD为△ABC的角平分线，过点D作直线lAB，点P为直线l上的一个动点，若△BCD的面积为16，BC＝8，则AP最小值为 　 　．
三、解答题
21．（2022八下·宝鸡期末）如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且AB＝AC，DE＝DF，连接BD、CD．求证：BD＝CD．
22．（2021八上·海珠期末）已知：如图，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分别是边PA和PB上的点，且CD＝CE．求证：∠APB+∠DCE＝180°．
23．（2021八上·孝义期中）如图，CE是 ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，AF是△ABC的高，∠B＝30°，∠E＝40°，求∠ECD和∠FAC的度数．
24．（2019八上·江宁月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°.
（1）作∠BAC的平分线，交BC于点D；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BD＝5，CD＝3，求AC的长.
25．（2022八上·大兴期中）在四边形中，，平分．
（1）如图，若．
直接写出与的数量关系：　 　；
请你写出图中一个与不同的正确结论：　 　；
（2）如图，若，猜想与的数量关系，并证明．
26．（2022八下·大田期中）在中，，是的角平分线
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，若，且，求的长；
（3）如图3，当时，求证：.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，
∴DE＝CD，
∵CD＝4cm，
∴点D到AB的距离DE是4cm．
故答案为：B.
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝CD，据此解答.
2．【答案】D
【知识点】垂线段最短；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过P点作PH⊥AB于H ，如图，
平分 ， ， ，
，
点E是边AB上一动点，
.
故答案为：D.
【分析】过P点作PH⊥AB于H，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得PH=PD=6，进而根据垂线段最短即可得出PE的取值范围.
3．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，，是的平分线，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴的周长，
故答案为：A．
【分析】由角平分线的性质可得DC=DE，从而得出，根据HL证明Rt△ADC≌Rt△ADE，可得AE=AC=1，从而得出，由于的周长，代入数据即可求解.
4．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G ，
， ，
，
， ，
平分 ，
，
，
，
平分 ， ，
，
， ， ，
，
在 和 中，
，
≌ ，
，
设 ，则 ， ， ，
，即 ，
解得 ，
即 ，
故答案为：B.
【分析】过点F作FG⊥AB于点G ，根据角平分线的定义得∠CAF=∠FAD，结合等角的余角相等及对顶角相等得∠CFA=∠AED=∠CEF，根据等角对等边得FC=CE，根据角平分线的性质定理得FC=FG，利用勾股定理算出BC，用HL判断Rt△ACF≌Rt△AGF，根据全等三角形对应边相等得AC=AG=9，设CE=x，则FC=FG=x，BF=12-x，BG=6，在Rt△BFG中，利用勾股定理建立方程，求解即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵P在的角平分线上，点P到边的距离为10，
∴点P到边的距离为10，
∴的最小值为10．
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的性质和垂线段最短的性质可得的最小值为10。
6．【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵DE⊥AB，
∴DE=6cm，
∵∠1=∠2，
∴AD是∠CAB的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=6cm，
∵BC=16cm，
∴BD=10cm．
故答案为：D．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质可得DE=CD=6cm，再利用线段的和差可得BD=10cm。
7．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD，∠OCP=∠ODP=90°，
在△CPO和△DPO中，
，
∴△CPO≌△DPO（HL），
∴∠OPC=∠OPD，
在△CPM和△DPM中，
，
∴△CPM≌△DPM（SAS），
∴CM=DM.
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的性质可得PC=PD，根据垂直的概念可得∠OCP=∠ODP=90°，利用HL证明△CPO≌△DPO， 得到∠OPC=∠OPD，然后利用SAS证明△CPM≌△DPM，进而可得结论.
8．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，故①正确；
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC，故②正确；
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∴AB+BE＝AC-FC，
∴AC-AB＝BE+FC＝2BE，
即AC-AB＝2BE，故④正确；
由垂线段最短可得AE＜AD，故③错误，
综上所述，正确的是①②④.
故答案为：C.
【分析】首先利用HL判断出Rt△BDE≌Rt△CDF，根据全等三角形对应边相等得DE=DF，据此可判断①；根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可判断出AD平分∠BAC，据此判断②；根据HL判断出Rt△ADE≌Rt△ADF，根据全等三角形的对应边相等得AE=AF，然后根据线段的和差即可得出AC-AB＝2BE，据此可判断④；根据垂线段最短即可判断③.
9．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，∠ACB=90°，
∴ED=EC=3cm，
∴AE=AC－EC=AC－ED=7－3= 4 （cm）．
故答案为：C．
【分析】利用角平分线的性质可得ED=EC=3cm，再利用线段的和差可得AE=AC－EC=AC－ED=7－3= 4 cm。
10．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：过H点作HM⊥AC于点M，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD＝AB＝8，∠ADC=90°即BD⊥AD，
由作法可知AH平分∠DAC，
∴DH＝MH，
在Rt△ADC中，
；
在Rt△ADH和Rt△AMH中，
，
∴Rt△ADH≌Rt△AMH（HL），
∴AM＝AD＝6，
∴CM＝AC AM＝10 6＝4，
设CH＝x，
∴DH＝HM＝8 x，
在Rt△CHM中，
（8 x）2＋42＝x2，
解之：x＝5，
∴△AHC的面积＝CH AD＝×5×6＝15.
故答案为：C.
【分析】过H点作HM⊥AC于点M，利用矩形的性质可证得CD＝AB＝8，∠ADC=90°，由作图可知AH平分∠DAC，利用角平分线的性质可证得DH＝MH；利用勾股定理求出AC的长；再利用HL证明Rt△ADH≌Rt△AMH，利用全等三角形的性质可求出AM的长，同时可求出CM的长；设CH＝x，可表示出HM的长，在Rt△CHM中，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，然后利用三角形的面积公式求出△AHC的面积.
11．【答案】6
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴EC⊥BC，
∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，
∴ED＝EC，
∴AE+DE＝AE+EC＝AC＝6，
故答案为：6．
【分析】根据角平分线的性质可得ED＝EC，再利用线段的和差及等量代换可得答案。
12．【答案】4
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：中转站要到三条公路的距离都相等，
货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，
而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，
货物中转站可以供选择的地址有4个．
故答案为：4.
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，故货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，据此解答.
13．【答案】2
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D点作DF⊥AC于F，如图，
平分，，，
，
的面积.
故答案为：2.
【分析】过D点作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得DF=DE=1，进而根据三角形面积计算方法算出答案.
14．【答案】5cm
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过M作MF⊥AC于F，
是的角平分线，
，，
，
，
，
是的外角，
，
在中，，
，
．
故答案为：．
【分析】过M作MF⊥AC于F，由角平分线的性质可得，，由平行线的性质可得，从而求出，根据三角形外角的性质可得，再利用含30°角的直角三角形的性质可得=5cm，即得MD的长.
15．【答案】4
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作MN⊥AD，交AD于M，交BC于N，
∵AD∥BC，
∴MN⊥BC，
∵∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E，
∴PM=PE=2，PE=PN=2，
∴MN=2+2=4．
故答案为4．
【分析】过点P作MN⊥AD，交AD于M，交BC于N，根据角平分线的性质可得PM=PE=2，PE=PN=2，即可得到MN=2+2=4。
16．【答案】96°
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点F作FH∥AB，如图所示：
∵，
∴FH∥AB∥CD，
∴，
∵AB平分∠EAF，CF平分∠ECD，
∴，
∴，
∵，，
∴，
整理得：，
∴；
故答案为：96°．
【分析】过点F作FH∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，得FH∥AB∥CD，结合角平分线的定义可得，进而可得，最后问题可求解.
17．【答案】4
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解∶∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB， DF⊥BC，
∴DE=DF，
∵S△ABC=36cm2， ，
又∵S△ABC=S△ABD+S△BCD， AB= 10cm， BC=8cm，
∴，
∴5DE+4DF=36 ．
又∵DE=DF，
∴5DE+4DE=36，
∴DE=4cm，
故答案为4．
【分析】角平分线的性质定理。
18．【答案】8
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：根据题意，
在 中， ， ，
由角平分线的性质，得 ，
∴ 的周长为：
；
故答案为：8.
【分析】根据作图步骤可得AF为∠CAB的平分线，根据角平分线的性质可得CF=GF，由已知条件可知AC=BC，则△BFG的周长为BG+BF+FG=(AB-AG)+BF+CF=(AB-AG)+BC=AB-BC+BC=AB，据此解答.
19．【答案】①③④
【知识点】角平分线的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵BD平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴
又∵ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
过D作DM⊥AB，
∵ ，
∴ ，
又∵BD平分 ，
∴ ，
在 中： ，
∴ ，故②说法错误；
∵ ，
∴ ，
在四边形CDFG中 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，故③正确；
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故④正确.
故答案为：①③④.
【分析】①由角平分线定义可得∠1=∠2，结合已知用角边角可证△BEF≌△BEG，然后根据全等三角形的对应边相等可得EF=FG；
②过D作DM⊥AB，由角平分线上的点到角两边的距离相等可得DC=DM，在直角三角形EMD中，由斜边大于直角边可得ED＞MD，于是可得CD≠DE；
③由①中的全等三角形可得∠6=∠5，由四边形CDFG的内角和等于360°可得∠8+∠7=180°，由邻补角定义可得∠6+∠7=180°，则∠6=∠8=∠5，即∠BEG=∠BDC；
④设∠1=∠2=x，则∠A=90°-2x，由等边对等角和三角形内角和定理可得∠AED=∠ADE=45°+x，在Rt△BDE中，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和∠AED=∠1+∠EDB可得关于x的方程，解之可求解.
20．【答案】4
【知识点】垂线段最短；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，△BCD的面积为16，BC＝8，
∴，即，
作DE⊥AB，
∵BD为△ABC的角平分线，
∴，
∵直线lAB，
∴AP最小值与DE相等为4，
故答案为：4．
【分析】根据三角形的面积公式求出CD，根据角平分线的性质求出DE，根据垂线段最短解答即可。
21．【答案】证明：如图，连接AD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，∴∠BAD＝∠CAD，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】连接AD，利用到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，可证得∠BAD＝∠CAD，再利用SAS证明△ABD≌△ACD，然后利用全等三角形的性质可证得结论.
22．【答案】证明：∵PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，
∴CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，
∴∠MPN+∠MCN=360°-∠PMC-∠PNC=360°-90°-90°=180°，
在Rt△MCD和Rt△NCE中，
，
∴Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），
∴∠MCD=∠NCE，
∴∠APB+∠DCE=∠APB+∠DCN+∠NCE=∠APB+∠DCN+∠MCD=∠APB+∠MCN=180°．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线的性质和全等三角形的判定与性质求解即可。
23．【答案】解：∠ECD=∠B＋∠E=30°＋40°=70°，
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ACD=2∠ECD=140°，
∴∠ACF=180°-∠ACD=40°，
∵AF是△ABC的高，
∴∠AFC=90°，
∴∠FAC=90°-∠ACF=50°．
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【分析】根据三角形的外角以及角平分线的性质，计算得到答案即可。
24．【答案】（1）解：如图：
（2）解：过点D作DE⊥AB，垂足为E.则∠AED=∠BED=90°
∵AD平分∠BAC
∴CD=DE
在RtACD和RtAED中
CD=DE，AD=AD
∴ △CDE≌△AED（HL）
∴AC=AE，CD=DE=3
在Rt△BDE中，
由勾股定理得：DE2+BE2=BD2
∴BE2=BD2-DE2=52-32=16.
∴BE=4
在Rt△ABC中，设AC=x，则AB=AE+BE=x+4.
由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，即x2+82=（x+4）2
解得：x=6,即AC=6.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC，AB运用H、F；再分别以H、F为圆心，大于 HF长为半径画弧，两弧交于点M，最后画射线AM交CB于D；（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，先证明△ACD≌△AED得到AC=AE，CD=DE=3，再由勾股定理得求的BE长，然后在Rt△ABC中，设AC=x，则AB=AE+BE=x+4，最后再次运用勾股定理求解即可.
25．【答案】（1）；
（2）解： ，证明如下：
如图 ，作 交 的延长线于点 ， 于点 ，
，
， ，
，
平分 ， ， ，
，
在 和 中，
，
≌ （AAS），
．
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】（1）解： ，
理由：如图 ， ， ，
，
，
平分 ，
，
在 和 中，
，
≌ （AAS），
，
故答案为： ．
，
理由：由 得 ≌ ，
，
故答案为： ．
【分析】（1）①利用“AAS”证明△ABD≌△CBD，再利用全等三角形的性质可得AD=CD；
②利用全等三角形的性质求解即可；
（2）作交的延长线于点，于点，再利用“AAS”证明△ADF≌△CDE，最后利用全等三角形的性质可得AD=CD。
26．【答案】（1）证明：∵，
∴
∵是的角平分线
∴
∴
∴
∴
（2）解：过D作DE⊥BC于E
∵，
∴
∴
∴
∵是的角平分线
∴
∴
∵
∴
∴
（3）证明：以BC为边作等边三角形A'BC，在A'C上截取CD'=BD，连接A'A延长交BC于H，
∵A'B=A'C，AB=AC，
∴A'H是BC垂直平分线，∠D'A'A=30°，
∵AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠ACA′=∠ABD=20°，
在△ABD和△ACD'中，
，
∴△ABD≌△ACD'（SAS），
∴AD=AD'，∠BAC=∠CAD′=100°，
∴∠AD′C=60°，连接AA′，
∴∠D'A'A=∠A'AD'=30°，
∴A'D'=AD'，
∴BC=A'C=A'D'+CD'=AD+BD，
即BC=BD+AD.
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据∠A=36°，结合等腰三角形的性质可得，根据角平分线的定义可得，从而得∠A=∠CBD，∠BDC=∠C=72°，进而得AD=BD，BD=BC，即可证明AD=BC；
（2） 过D作DE⊥BC于E，由等腰三角形性质得，从而得，再由角平分线性质得，进而得，又，代入数据即可求得AD的长；
（3）以BC为边作等边三角形A'BC，在A'C上截取CD'=BD，连接A'A延长交BC于H，由A'B=A'C，AB=AC，推出A'H是BC垂直平分线，∠D'A'A=30°，由等腰三角形性质可求得∠ACA′=∠ABD=20°，从而证得△ABD≌△ACD'，由全等三角形的性质可得AD=AD'，∠BAC=∠CAD′=100°，从而得到∠AD′C=60°，进而求得∠D'A'A=∠A'AD'=30°，即得A'D'=AD'，进而推出BC=A'C=A'D'+CD'=AD+BD，即可求证结论成立.
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