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初中数学同步训练必刷题（北师大版七年级下册1.6 完全平方公式）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·兰州）计算： （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：原式=
故答案为：A.
【分析】直接根据完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2进行计算.
2．（2022七下·东港期末）已知，则b的值为（ ）
A．4 B． C．12 D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴ ，解得或
∴b＝±12，
故答案为：D．
【分析】利用完全平方公式可得，再利用待定系数法可得，最后求出a、b的值即可。
3．（2022七下·于洪期末）将变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
即．
故答案为：C．
【分析】利用完全平方公式计算求解即可。
4．（2022七下·单县期末）对于等式中，△代表的是（ ）
A．3y B．9y C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
整理得，，
移项得，，
，．
，．
故答案为：C．
【分析】利用完全平方公式和待定系数法可得，，再求解即可。
5．（2022八上·苍南月考）设，则（ ）
A．24 B．25 C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：由，
可得：，
∴，
∴，
∴
.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件可得a+1=，则(a+1)2=a2+2a+1=7，化简可得a2+2a=6，则3a3+12a2-6a-12=3a(a2+2a)+6a2-6a-12=18a+6a2-6a-12=6(a2+2a)-12，然后代入计算即可.
6．（2022七上·长沙开学考）已知，且，则等于（ ）
A．105 B．100 C．75 D．50
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ，
故答案为：C.
【分析】由已知条件可得a-c=-5，待求式可变形为[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]，然后代入计算即可.
7．（2022七下·杭州期末）若 的值使得 成立，则 的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ，
的值为3.
故答案为：C.
【分析】根据完全平方公式可得(x+2)2-1=x2+4x+3，结合已知条件可得x2+4x+3=x2 +4x+a，据此可得a的值.
8．（2022八下·德阳期末）若 ，则代数式 的值是（ ）
A．2021 B．2022 C．－2021 D．－2022
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴
故答案为：B.
【分析】由已知条件可得x-1=，根据完全平方公式可得x2-2x+1=(x-1)2，据此计算.
9．（2022七下·攸县期末）已知，则 的值是 （ ）
A． B． C．62 D．60
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴===62，
故答案为：C．
【分析】根据完全平方公式可得x2+=-2，再整体代换即可求解.
10．（2022七下·濮阳期末）小明将一个大的正方形剪成如图所示的四个图形(两个正方形、两个长方形)，并发现该过程可以用一个等式来表示，则该等式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意可得.
故答案为：A.
【分析】由题意可知：大的正方形的边长为(a+b)，大的正方形的面积为(a+b)2，大正方形剪成的两个长方形和两个小正方形的面积之和为a2+2ab+b2，据此可得等式.
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（2022七下·历下期末）化简： ．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：．
故答案为：
【分析】利用完全平方公式计算即可。
12．（2022八上·广安月考）已知，则的值是 .
【答案】13
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
故答案为：13.
【分析】根据完全平方公式可得(a-b)2=(a+b)2-4ab，然后将已知条件代入进行计算.
13．（2022七上·普陀期中）计算： ．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】
．
故答案为：．
【分析】利用完全平方公式计算即可。
14．（2015八上·阿拉善左旗期末）如果4x2﹣mxy+9y2是一个完全平方式，则m= ．
【答案】±12
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵4x2﹣mxy+9y2是一个完全平方式，
∴﹣mxy=±2×2x×3y，
∴m=±12．
【分析】这里首末两项是2x和3y这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和3y积的2倍．
15．（2022九上·江油开学考）若成立，则的值为 ．
【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
.
故答案为：3.
【分析】根据完全平方公式将等式的右边展开并合并同类项化简，然后与左边比较可得a的值.
16．（2022七下·迁安期末）计算：
【答案】90000
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
故答案为：90000
【分析】根据完全平方公式将原式变形为，再计算即可.
17．（2022七下·商河期末）如果，那么的值是 ．
【答案】10
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，，
，
．
故答案为：10
【分析】利用完全平方公式将（2x+5）2展开，即可得到k的值。
18．（2022八下·纳溪期末）当时，代数式a2﹣2a+2的值是 ．
【答案】2022
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
∴ a2﹣2a+2=（a-1） 2+1=.
故答案为：2022.
【分析】由已知条件可求出a-1的值；再将代数式转化为（a-1） 2+1；然后整体代入求值.
19．（2022七下·湘东期中）计算的结果是 ．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式＝
故答案为：
【分析】先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式计算即可.
20．（2022八下·萍乡期末）如图是一个正方形，分成四部分，其面积分别为，，，，则原正方形的边长是 ．
【答案】a+b
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a2+2ab+b2=（a+b）2，
∴边长为a+b．
故答案为：a+b．
【分析】根据a2+2ab+b2=（a+b）2，结合图形求解即可。
三、解答题（共6题，共60分）
21．（2022七下·东港期末）要求：利用乘法公式计算
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=（2022+1）×（2022-1）-20222
=20222-1-20222
=-1．
（2）解：原式=（2x-y）2-9
=4x2-4xy+y2-9．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）先将原式变形，再利用平方差公式计算即可；
（2）利用完全平方公式计算即可。
22．（2022七下·余姚期中）先化简，再求值： ，其中 .
【答案】解：原式
当 时，
原式
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】 利用平方差公式，完全平方公式及单项式乘以多项式运算法则，化简原式=-x -16，再把x=6代入计算即可求解.
23．（2021七下·来宾期中）将多项式 加上一个整式后，使它能成为另一个整式的平方，你有哪些方法，请写出三类不同的解法.
【答案】解：（1）加整式
（2）加整式
（3）加整式
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用
【解析】【分析】根据整式的加法法则可得9x2+x+(-x)=9x2，而9x2为整式(±3x)2；给多项式加上整式5x+1可得9x2+x+5x+1=9x2+6x+1=(3x+1)2；给多项式加上整式1-7x可得9x2+x+1-7x=9x2-6x+1=(3x-1)2，据此解答.
24．（2022七下·化州期末）阅读：已知a - b＝ -4，ab＝3，求a2+b2的值．小明的解法如下：
解：因为a - b＝ -4，ab＝3，
所以a2 +b2＝（a - b）2+ 2ab＝（- 4）2+ 2×3＝22．
请你根据上述解题思路解答下面问题：
已知a - b＝ -5，ab＝2，求a2+ b2- ab的值．
【答案】解：∵a - b＝ -5，ab＝2，
∴a2+ b2-ab
＝a2+b2-2ab+ab
＝（a -b）2+ ab
＝（-5）2+ 2
＝27
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】利用完全平方公式，结合 a - b＝ -5，ab＝2， 计算求解即可。
25．（2022八上·广西壮族自治区期中）完全平方公式：，适当的变形，可以解决很多的数学问题.例如：若，，求的值.
解：因为，
所以，即：，又因为
所以
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，，求的值；
（2）若，求的值；
（3）如图，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积.
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴
；
（3）解：设， ，
∵，
∴，
又∵，
∴，
由完全平方公式可得，，
∴，
∴，
∴，
答：阴影部分的面积为.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）由完全平方公式可推出，然后整体代入计算即可；
（2）根据完全平方公式将原式转化为，再整体代入计算即可；
（3）设， ，可得m+n=6，， 由可求出mn的值， 继而求出阴影部分三角形的面积.
26．（2022八上·柯城开学考）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积.
例如，由图①，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2.
（1）如图②，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来.
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知a+b+c＝10，a2+b2+c2＝38，求ab+bc+ac的值.
（3）如图③，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一条直线上，连结BD和BF.若这两个正方形的边长满足a+b＝10，ab＝20，请求出阴影部分的面积.
【答案】（1）解：图2大正方形的面积＝（a+b+c）2，
图2大正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）解：由（1）可得：
ab+bc+ac＝[（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2）]
∵a+b+c＝10，a2+b2+c2＝38，
∴ab+bc+ac＝×（102﹣38）
＝×62
＝31；
（3）解：∵a+b＝10，ab＝20，
∴阴影部分的面积＝a2+b2﹣b（a+b）
＝a2+b2﹣ab﹣b2
＝a2+b2﹣ab
＝（a2+b2）﹣ab
＝[（a+b）2﹣2ab]﹣ab
＝×（102﹣2×20）﹣×20
＝×60﹣10
＝30﹣10
＝20.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）由图形可得图2大正方形的边长为(a+b+c)，根据正方形的面积公式可得其面积，然后根据各部分之和为正方形的面积表示出其面积，进而可得等式；
（2）由（1）可得：ab+bc+ac＝[(a+b+c)2-(a2+b2+c2)]，代入数据计算即可；
（3）根据面积间的和差关系可得阴影部分的面积＝a2+b2﹣b(a+b)=[(a+b)2-2ab]-ab，然后代入数据计算即可.
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初中数学同步训练必刷题（北师大版七年级下册1.6 完全平方公式）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·兰州）计算： （ ）
A． B． C． D．
2．（2022七下·东港期末）已知，则b的值为（ ）
A．4 B． C．12 D．
3．（2022七下·于洪期末）将变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022七下·单县期末）对于等式中，△代表的是（ ）
A．3y B．9y C． D．
5．（2022八上·苍南月考）设，则（ ）
A．24 B．25 C． D．
6．（2022七上·长沙开学考）已知，且，则等于（ ）
A．105 B．100 C．75 D．50
7．（2022七下·杭州期末）若 的值使得 成立，则 的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．（2022八下·德阳期末）若 ，则代数式 的值是（ ）
A．2021 B．2022 C．－2021 D．－2022
9．（2022七下·攸县期末）已知，则 的值是 （ ）
A． B． C．62 D．60
10．（2022七下·濮阳期末）小明将一个大的正方形剪成如图所示的四个图形(两个正方形、两个长方形)，并发现该过程可以用一个等式来表示，则该等式可以是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（2022七下·历下期末）化简： ．
12．（2022八上·广安月考）已知，则的值是 .
13．（2022七上·普陀期中）计算： ．
14．（2015八上·阿拉善左旗期末）如果4x2﹣mxy+9y2是一个完全平方式，则m= ．
15．（2022九上·江油开学考）若成立，则的值为 ．
16．（2022七下·迁安期末）计算：
17．（2022七下·商河期末）如果，那么的值是 ．
18．（2022八下·纳溪期末）当时，代数式a2﹣2a+2的值是 ．
19．（2022七下·湘东期中）计算的结果是 ．
20．（2022八下·萍乡期末）如图是一个正方形，分成四部分，其面积分别为，，，，则原正方形的边长是 ．
三、解答题（共6题，共60分）
21．（2022七下·东港期末）要求：利用乘法公式计算
（1）
（2）
22．（2022七下·余姚期中）先化简，再求值： ，其中 .
23．（2021七下·来宾期中）将多项式 加上一个整式后，使它能成为另一个整式的平方，你有哪些方法，请写出三类不同的解法.
24．（2022七下·化州期末）阅读：已知a - b＝ -4，ab＝3，求a2+b2的值．小明的解法如下：
解：因为a - b＝ -4，ab＝3，
所以a2 +b2＝（a - b）2+ 2ab＝（- 4）2+ 2×3＝22．
请你根据上述解题思路解答下面问题：
已知a - b＝ -5，ab＝2，求a2+ b2- ab的值．
25．（2022八上·广西壮族自治区期中）完全平方公式：，适当的变形，可以解决很多的数学问题.例如：若，，求的值.
解：因为，
所以，即：，又因为
所以
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，，求的值；
（2）若，求的值；
（3）如图，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积.
26．（2022八上·柯城开学考）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积.
例如，由图①，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2.
（1）如图②，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来.
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知a+b+c＝10，a2+b2+c2＝38，求ab+bc+ac的值.
（3）如图③，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一条直线上，连结BD和BF.若这两个正方形的边长满足a+b＝10，ab＝20，请求出阴影部分的面积.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：原式=
故答案为：A.
【分析】直接根据完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2进行计算.
2．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴ ，解得或
∴b＝±12，
故答案为：D．
【分析】利用完全平方公式可得，再利用待定系数法可得，最后求出a、b的值即可。
3．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
即．
故答案为：C．
【分析】利用完全平方公式计算求解即可。
4．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
整理得，，
移项得，，
，．
，．
故答案为：C．
【分析】利用完全平方公式和待定系数法可得，，再求解即可。
5．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：由，
可得：，
∴，
∴，
∴
.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件可得a+1=，则(a+1)2=a2+2a+1=7，化简可得a2+2a=6，则3a3+12a2-6a-12=3a(a2+2a)+6a2-6a-12=18a+6a2-6a-12=6(a2+2a)-12，然后代入计算即可.
6．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ，
故答案为：C.
【分析】由已知条件可得a-c=-5，待求式可变形为[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]，然后代入计算即可.
7．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ，
的值为3.
故答案为：C.
【分析】根据完全平方公式可得(x+2)2-1=x2+4x+3，结合已知条件可得x2+4x+3=x2 +4x+a，据此可得a的值.
8．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴
故答案为：B.
【分析】由已知条件可得x-1=，根据完全平方公式可得x2-2x+1=(x-1)2，据此计算.
9．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴===62，
故答案为：C．
【分析】根据完全平方公式可得x2+=-2，再整体代换即可求解.
10．【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意可得.
故答案为：A.
【分析】由题意可知：大的正方形的边长为(a+b)，大的正方形的面积为(a+b)2，大正方形剪成的两个长方形和两个小正方形的面积之和为a2+2ab+b2，据此可得等式.
11．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：．
故答案为：
【分析】利用完全平方公式计算即可。
12．【答案】13
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
故答案为：13.
【分析】根据完全平方公式可得(a-b)2=(a+b)2-4ab，然后将已知条件代入进行计算.
13．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】
．
故答案为：．
【分析】利用完全平方公式计算即可。
14．【答案】±12
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵4x2﹣mxy+9y2是一个完全平方式，
∴﹣mxy=±2×2x×3y，
∴m=±12．
【分析】这里首末两项是2x和3y这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和3y积的2倍．
15．【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
.
故答案为：3.
【分析】根据完全平方公式将等式的右边展开并合并同类项化简，然后与左边比较可得a的值.
16．【答案】90000
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
故答案为：90000
【分析】根据完全平方公式将原式变形为，再计算即可.
17．【答案】10
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，，
，
．
故答案为：10
【分析】利用完全平方公式将（2x+5）2展开，即可得到k的值。
18．【答案】2022
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
∴ a2﹣2a+2=（a-1） 2+1=.
故答案为：2022.
【分析】由已知条件可求出a-1的值；再将代数式转化为（a-1） 2+1；然后整体代入求值.
19．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式＝
故答案为：
【分析】先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式计算即可.
20．【答案】a+b
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a2+2ab+b2=（a+b）2，
∴边长为a+b．
故答案为：a+b．
【分析】根据a2+2ab+b2=（a+b）2，结合图形求解即可。
21．【答案】（1）解：原式=（2022+1）×（2022-1）-20222
=20222-1-20222
=-1．
（2）解：原式=（2x-y）2-9
=4x2-4xy+y2-9．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）先将原式变形，再利用平方差公式计算即可；
（2）利用完全平方公式计算即可。
22．【答案】解：原式
当 时，
原式
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】 利用平方差公式，完全平方公式及单项式乘以多项式运算法则，化简原式=-x -16，再把x=6代入计算即可求解.
23．【答案】解：（1）加整式
（2）加整式
（3）加整式
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用
【解析】【分析】根据整式的加法法则可得9x2+x+(-x)=9x2，而9x2为整式(±3x)2；给多项式加上整式5x+1可得9x2+x+5x+1=9x2+6x+1=(3x+1)2；给多项式加上整式1-7x可得9x2+x+1-7x=9x2-6x+1=(3x-1)2，据此解答.
24．【答案】解：∵a - b＝ -5，ab＝2，
∴a2+ b2-ab
＝a2+b2-2ab+ab
＝（a -b）2+ ab
＝（-5）2+ 2
＝27
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】利用完全平方公式，结合 a - b＝ -5，ab＝2， 计算求解即可。
25．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴
；
（3）解：设， ，
∵，
∴，
又∵，
∴，
由完全平方公式可得，，
∴，
∴，
∴，
答：阴影部分的面积为.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）由完全平方公式可推出，然后整体代入计算即可；
（2）根据完全平方公式将原式转化为，再整体代入计算即可；
（3）设， ，可得m+n=6，， 由可求出mn的值， 继而求出阴影部分三角形的面积.
26．【答案】（1）解：图2大正方形的面积＝（a+b+c）2，
图2大正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）解：由（1）可得：
ab+bc+ac＝[（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2）]
∵a+b+c＝10，a2+b2+c2＝38，
∴ab+bc+ac＝×（102﹣38）
＝×62
＝31；
（3）解：∵a+b＝10，ab＝20，
∴阴影部分的面积＝a2+b2﹣b（a+b）
＝a2+b2﹣ab﹣b2
＝a2+b2﹣ab
＝（a2+b2）﹣ab
＝[（a+b）2﹣2ab]﹣ab
＝×（102﹣2×20）﹣×20
＝×60﹣10
＝30﹣10
＝20.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）由图形可得图2大正方形的边长为(a+b+c)，根据正方形的面积公式可得其面积，然后根据各部分之和为正方形的面积表示出其面积，进而可得等式；
（2）由（1）可得：ab+bc+ac＝[(a+b+c)2-(a2+b2+c2)]，代入数据计算即可；
（3）根据面积间的和差关系可得阴影部分的面积＝a2+b2﹣b(a+b)=[(a+b)2-2ab]-ab，然后代入数据计算即可.
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