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初中数学同步训练必刷题（北师大版七年级下册1.7 整式的除法）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022八上·长春期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022八上·路南期中）长方形的面积是3a2－3ab＋6a，一边长为3a，则它的另一条边长为（ ）
A．2a－b＋2 B．a－b＋2 C．3a－b＋2 D．4a－b＋2
3．（2022八上·西安开学考）下列计算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（ ） ，则括号内应填的单项式是（ ）
A．2 B．2a C．2b D．4b
5．（2022·台湾）计算多项式除以后，得到的余式为何？（ ）
A．2 B．4 C． D．
6．（2022七下·雅安期末）计算（3x2y﹣xy2+ xy）÷（ xy）的结果为（ ）
A．﹣6x+2y﹣1 B．﹣6x+2y C．6x﹣2y D．6x﹣2y+1
7．若 与 的积为 ，则 为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·科尔沁左翼中旗模拟）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
9．某天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：- 的地方被钢笔水弄污了，你认为 内应填写（ ）
A．3xy B． C．-1 D．1
10．（2022·宁海模拟）将7张如图1的两边长分别为a和b（，a与b都为正整数）的矩形纸片按图2的方式不重叠地放在矩形内，矩形中未被覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积相等.设.若，k为整数，则a可取的值的个数为（ ）
A．0个 B．4个 C．5个 D．无数个
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（2022七下·化州期末）计算（-2a2）3÷a3的结果是 ．
12．（2022八上·乐山期中） .
13．（2022八上·游仙期中）已知一个长方形的面积是，宽为，那么它的长为 ．
14．（2022七下·浑南期末）任意给一个非零数m，按下列程序进行计算，则输出结果为 ；
15．（2022七下·平谷期末）利用图1中边长分别为a，b的正方形，以及长为a，宽为b的长方形卡片若干张拼成图2（卡片间不重叠、无缝隙），那么图2这个几何图形表示的可以等式是 ．
16．（2022六下·龙口期末）若n是正整数，且x2n=6，则（2x3n）3÷（6x5n）= ．
17．（2022七下·嘉兴期末）如图，一个长、宽、高分别为a，b， 的长方体纸盒装满了一层半径为r的小球，则纸盒的空间利用率（小球总体积与纸箱容积的比）为 （结果保留 ，球体积公式 ）．
18．（2022七下·西安期中）若关于x的多项式 除以 ，所得商恰好为 ，则 .
19．（2022八上·赣州期末）下列运算：①；②；③；④．其中正确的是 ．
20．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：
则当 时，所捂多项式的值是
三、解答题（共6题，共60分）
21．（2022七下·东阳月考）化简：
（1）（12x2y3﹣8x3y2z）÷4x2y2
（2）4（x+1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）
22．（2022七下·神木期末）化简：．
23．小明在做一个多项式除以a的题时，由于粗心误认为乘a，结果是8a4b-4a3+2a2，那么你能知道正确的结果是多少吗？
24．某天数学课上，小明学习了整式的除法运算，放学后，小明回到家拿出课堂笔记，认真地复习课上学习的内容.他突然发现一道三项式除法运算题：（21x4y3-+7x2y2）÷（-7x2y）=+5xy-y，被除式的第二项被墨水弄污了，商的第一项也被墨水弄污了，你能算出两处被污染的内容是什么吗
25．（2021七上·淮北月考）发现：一个三位数的百位上数字为a，十位上数字为(a+1)，个位上数字为(a＋2)；把这个三位数的百位上数字与个位上的数字交换得到一个新三位数，新三位数与原三位数的差是9的倍数．
验证：
（1）①765—567=9× ；
②通过列式计算，说明新三位数与原三位数的差是9的倍数；
（2）延伸：新三位数与原三位数的和是正整数m的倍数，则m=____________，并说明理由．
26．（2021六下·福山期末）数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学，同学们，下面我们就用数形结合思想来解决下面问题吧！
（1）将图①甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是 ．
（2）将图②甲中阴影部分的一个小长方形变换到图乙位置，你根据两个图形的面积关系写出一个等式：（a﹣b）（ ）＝a2+ab﹣ ．
（3）若把（2）中你写出的等式当做公式用，计算：（x﹣y）[（x+2y）4÷（x+2y）3]；
（4）图③甲是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图③乙那样拼成一个正方形，则图③乙中间空余的部分的面积是 ．
（5）观察图③乙，请你写出三个代数式（a+b）2（a﹣b）2，ab之间的等量关系是 ．根据（5）中等量关系解决如下问题：若m+n＝﹣7，mn＝3.25，求m﹣n的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、 ，不符合题意；
B、 ，不符合题意；
C、 ，不符合题意；
D、 ，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用同底数幂的乘法、合并同类项、单项式除以单项式和幂的乘方逐项判断即可。
2．【答案】B
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】∵长方形面积是3a2-3ab+6a，一边长为3a，
∴它的另一边长是：（3a2-3ab+6a）÷3a=a-b+2，
故答案为：B.
【分析】利用长方形的面积公式可得（3a2-3ab+6a）÷3a，再利用多项式除以单项式的计算方法求解即可。
3．【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、，故选项A计算正确；
B、，故选项B计算正确；
C、，故选项C计算正确；
D、，故选项D计算不正确．
故答案为：D．
【分析】A、利用单项式除以单项式法则进行计算，再判断即可；
B、利用单项式乘单项式法则进行计算，再判断即可；
C、利用积的乘方法则进行计算，再判断即可；
D、利用积的乘方与幂的乘方法则进行计算，再判断即可.
4．【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式
【解析】【解答】解： 括号内的单项式=2ab2÷ab
= 2b.
故答案为：C.
【分析】 单项式除以单项式，把被除式与除式的系数和相同变数字母的幂分别相除，其结果作为商的因式，将只含于被除式的变数字母的幂也作为商的因式。 根据单项式除以单项式的列式计算，即可解答.
5．【答案】D
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：，
余式为，
故答案为：D.
【分析】利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可得解.
6．【答案】D
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解： （3x2y﹣xy2+ xy）÷（ xy）= 6x﹣2y+1 .
故答案为：D.
【分析】利用多项式除以单项式的法则，进行计算.
7．【答案】C
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：由题意得：
= .
故答案为：C.
【分析】根据题意列出一个多项式除以单项式的运算，然后进行计算即可.
8．【答案】B
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】解：原式．
故答案为：B．
【分析】利用幂的乘方、积的乘方和单项式除以单项式的计算方法求解即可。
9．【答案】A
【知识点】单项式乘多项式；整式的混合运算
【解析】【解答】解 ： ，
=
=
=.
故答案为：A.
【分析】先移项，求出的表达式，再进行整式的混合运算，将原式化简即可.
10．【答案】A
【知识点】整式的混合运算；矩形的性质
【解析】【解答】解：因为左上角与右下角的阴影部分的面积相等，
所以，
所以，
因为 ，
所以，
因为，
所以a=kb，
所以，
所以，
因为k为整数，
所以b+3取1，2，3，4，6，12，
因为b为正整数
所以b取1，3，9，
当b=1时，k=3，此时a=3，
当b=3时，k=2，此时a=6，
当b=9时，k=1，此时a=9，
因为，
∴a＜3，
∴a可取的值的个数为0.
故答案为：A.
【分析】根据左上角与右下角的阴影部分的面积相等可得4b·AB-4ab=a·AB-3ab，结合AB的值以及=k可得k=，然后根据k为整数可得正整数b的值，然后求出对应的a的值，结合a<3对求出的值进行取舍即可.
11．【答案】-8a3
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】解：原式＝．
故答案为：-8a3．
【分析】利用单项式除以单项式法则计算求解即可。
12．【答案】b-2a+1
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：（ab2-2a2b+ab）÷ab=b-2a+1.
故答案为：b-2a+1
【分析】利用多项式除以单项式的法则，进行计算，可求出结果.
13．【答案】2x+1
【知识点】矩形的性质；多项式除以单项式
【解析】【解答】解：根据题意，得
长为： ，
故答案为：2x+1.
【分析】根据矩形的面积=长×宽可得长为(4x2+2x)÷2x，然后根据多项式与单项式的除法法则进行计算.
14．【答案】m
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：由题意可知：（m2+m）÷m-1=m+1-1=m，
故答案为：m
【分析】根据流程图列出算式求解即可。
15．【答案】
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：从整体看，；
从局部看，；
∴
故答案为：
【分析】根据图形，利用直接和间接两种方法表示图2的几何图形的面积，再列等式即可。
16．【答案】48
【知识点】单项式除以单项式；积的乘方
【解析】【解答】解：∵x2n=6，n是正整数，
∴（2x3n）3÷（6x5n）
故答案为：
【分析】根据单项式法则进行化简，然后代入计算即可。
17．【答案】
【知识点】列式表示数量关系；单项式乘多项式；单项式除以单项式
【解析】【解答】解：∵小球的半径为r，
∴一个小球的体积=，沿长方体长摆放小球个数=个，沿长方体宽摆放小球个数=个，
∴摆放小球的总数=·=，
∴摆放小球的总体积=·=，
∵长方体体积=2abr，
∴纸盒的空间利用率==.
故答案为：.
【分析】根据球体体积公式求出一个小球的体积，再表示出沿长方体长摆放小球个数=个，沿长方体宽摆放小球个数=个，即得摆放小球的总数，从而得摆放小球的总体积，再求出长方体体积，最后根据纸盒的空间利用率=小球的总体积÷纸箱的容积，代入数据化简求值即可.
18．【答案】
【知识点】有理数的加减混合运算；多项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：由题意可知：
，
∴ ，
∴ ， ， ，
解之得： ， ， ，
∴ .
故答案为：3.
【分析】根据已知条件可得[(17x2-3x+4)-(ax2+bx+c)]÷5x=2x+1，化简可得(17-a)x2-(3+b)x+(4-c)=10x2+5x，根据系数分别相等可得a、b、c的值，然后根据有理数的加减法法则进行计算.
19．【答案】①②或②①
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：①符合题意；
②符合题意；
③不符合题意；
④不符合题意．
∴正确的是①②．
故答案为①②．
【分析】利用合并同类项、积的乘方、幂的乘方、单项式除以单项式的计算方法逐项判断即可。
20．【答案】-4
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：由题意得： 所捂多项式的值=
=-6x+2y-1
=-6×+2×-1
=-4.
故答案为：-4.
【分析】根据题意得出一个多项式除以单项式的运算式，然后进行计算化简，再代值计算即可.
21．【答案】（1）解：原式= 12x2y3÷4x2y2 ﹣8x3y2z÷4x2y2
=3y-2xz；
（2）解：原式＝4（x2+2x+1）﹣（4x2﹣25）
＝4x2+8x+4﹣4x2+25
=（4-4）x2+8x+(25+4)
＝8x+29．
【知识点】整式的混合运算；多项式除以单项式
【解析】【分析】(1)多项式除以单项式的法则的法则是多项式除以单项式就是用多项式中的每一项分别除以单项式，再把结果相加；依此计算即可；
(2)先去括号，再合并同类项，即可求出结果.
22．【答案】解：
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】根据平方差公式、完全平方公式以及合并同类项法则可对括号中的式子进行化简，然后根据多项式与单项式的除法法则进行计算.
23．【答案】解：原多项式为（8a4b-4a3+2a2）÷（a）=16a3b-8a2+4a，正确结果为（16a3b-8a2+4a）÷（a）=32a2b-16a+8.
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【分析】先根据错误的结果除以 a 求出原来的多项式，所得的结果除以 a ，即可得出结果.
24．【答案】解：商的第一项=21x4y3÷（-7x2y）=-3x2y2；
被除式的第二项=-（-7x2y）×5xy=35x3y2
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式
【解析】【分析】利用已知条件列式可得到21x4y3÷（-7x2y），利用单项式除以单项式的法则，可求出 商的第一项，由此可求出被除式的第二项.
25．【答案】解：①22②由题意得：新三位数为，原三位数为，则新三位数与原三位数的差为，因为，所以新三位数与原三位数的差是9的倍数；延伸：（2）新三位数与原三位数的和是正整数m的倍数，则m=____________，并说明理由．【答案】解：222由（1）②可知，新三位数为，原三位数为，则新三位数与原三位数的和为，所以正整数，故答案为：222．
（1）①22②由题意得：新三位数为，
原三位数为，
则新三位数与原三位数的差为，
因为，
所以新三位数与原三位数的差是9的倍数；
（2）解：222
由（1）②可知，新三位数为，原三位数为，
则新三位数与原三位数的和为，
所以正整数，
故答案为：222．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算；整式的混合运算
【解析】【解答】解：(1)①，
，
，
即，
故答案为：22；
【分析】（1）①计算即可得到答案；
②列出代数式可得新三位数，再利用新三位数与原三位数的差为，故新三位数与原三位数的差是9的倍数；
（2）列出代数式新三位数，再利用新三位数与原三位数的差为，即可得到答案。
26．【答案】（1）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
（2）a+2b；2b2
（3）解：（x﹣y）[（x+2y）4÷（x+2y）3]
＝（x﹣y）（x+2y）
＝x2+xy﹣2y2
（4）（a﹣b）2
（5）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
【知识点】平方差公式的几何背景；整式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）图甲：大矩形的面积可表示为：
①（a﹣b）（a+b）；
②a（a﹣b）+b（a﹣b）＝a2﹣ab+ab﹣b2＝a2﹣b2；
故（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；
图乙：大正方形的面积可表示为：
①a（a﹣b+b）＝a2；
②a（a﹣b）+b（a﹣b）+b2＝（a+b）（a﹣b）+b2；
故a2＝b2+（a+b）（a﹣b），即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
所以根据两个图形的面积关系，可得出的公式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）图甲的面积可表示为：①（a﹣b）（a+2b），
②a（a﹣b）+2b（a﹣b）＝a2﹣ab+2ab﹣2b2＝a2+ab﹣2b2；
故（a﹣b）（a+2b）＝a2+ab﹣2b2；
图乙的面积可表示为：①a2+ab﹣2b2，
②a（a﹣b）+b（a﹣b）+b（a﹣b）＝（a﹣b）（a+2b）；
故（a﹣b）（a+2b）＝a2+ab﹣2b2，
所以根据两个图形的面积关系，可得出的公式是（a﹣b）（a+2b）＝a2+ab﹣2b2，
故答案为：a+2b，2b2；
（4）中间部分的四边形是正方形，边长是a+b﹣2b＝a﹣b，
则面积是（a﹣b）2．
故答案为：（a﹣b）2；
（5）根据阴影部分面积可得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
∵m+n＝﹣7，mn＝3.25，
∴（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn，
∴49﹣（m﹣n）2＝13，
∴m﹣n＝6或﹣6．
故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．
【分析】（1）图甲可直接根据大矩形的面积不同表示方法来得出所求的公式，图乙将图形补成正方形，在仿照图甲的方法进行求解即可；
（2）分别表示出图甲、图乙的面积即可；
（3）先计算括号里的除法运算，再利用（2）中的等式计算即可；
（4）中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积即可求得；
（5）根据阴影部分面积可得关于a、b的等式。
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初中数学同步训练必刷题（北师大版七年级下册1.7 整式的除法）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022八上·长春期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、 ，不符合题意；
B、 ，不符合题意；
C、 ，不符合题意；
D、 ，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用同底数幂的乘法、合并同类项、单项式除以单项式和幂的乘方逐项判断即可。
2．（2022八上·路南期中）长方形的面积是3a2－3ab＋6a，一边长为3a，则它的另一条边长为（ ）
A．2a－b＋2 B．a－b＋2 C．3a－b＋2 D．4a－b＋2
【答案】B
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】∵长方形面积是3a2-3ab+6a，一边长为3a，
∴它的另一边长是：（3a2-3ab+6a）÷3a=a-b+2，
故答案为：B.
【分析】利用长方形的面积公式可得（3a2-3ab+6a）÷3a，再利用多项式除以单项式的计算方法求解即可。
3．（2022八上·西安开学考）下列计算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、，故选项A计算正确；
B、，故选项B计算正确；
C、，故选项C计算正确；
D、，故选项D计算不正确．
故答案为：D．
【分析】A、利用单项式除以单项式法则进行计算，再判断即可；
B、利用单项式乘单项式法则进行计算，再判断即可；
C、利用积的乘方法则进行计算，再判断即可；
D、利用积的乘方与幂的乘方法则进行计算，再判断即可.
4．（ ） ，则括号内应填的单项式是（ ）
A．2 B．2a C．2b D．4b
【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式
【解析】【解答】解： 括号内的单项式=2ab2÷ab
= 2b.
故答案为：C.
【分析】 单项式除以单项式，把被除式与除式的系数和相同变数字母的幂分别相除，其结果作为商的因式，将只含于被除式的变数字母的幂也作为商的因式。 根据单项式除以单项式的列式计算，即可解答.
5．（2022·台湾）计算多项式除以后，得到的余式为何？（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：，
余式为，
故答案为：D.
【分析】利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可得解.
6．（2022七下·雅安期末）计算（3x2y﹣xy2+ xy）÷（ xy）的结果为（ ）
A．﹣6x+2y﹣1 B．﹣6x+2y C．6x﹣2y D．6x﹣2y+1
【答案】D
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解： （3x2y﹣xy2+ xy）÷（ xy）= 6x﹣2y+1 .
故答案为：D.
【分析】利用多项式除以单项式的法则，进行计算.
7．若 与 的积为 ，则 为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：由题意得：
= .
故答案为：C.
【分析】根据题意列出一个多项式除以单项式的运算，然后进行计算即可.
8．（2022·科尔沁左翼中旗模拟）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】解：原式．
故答案为：B．
【分析】利用幂的乘方、积的乘方和单项式除以单项式的计算方法求解即可。
9．某天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：- 的地方被钢笔水弄污了，你认为 内应填写（ ）
A．3xy B． C．-1 D．1
【答案】A
【知识点】单项式乘多项式；整式的混合运算
【解析】【解答】解 ： ，
=
=
=.
故答案为：A.
【分析】先移项，求出的表达式，再进行整式的混合运算，将原式化简即可.
10．（2022·宁海模拟）将7张如图1的两边长分别为a和b（，a与b都为正整数）的矩形纸片按图2的方式不重叠地放在矩形内，矩形中未被覆盖的部分用阴影表示，设左上角与右下角的阴影部分的面积相等.设.若，k为整数，则a可取的值的个数为（ ）
A．0个 B．4个 C．5个 D．无数个
【答案】A
【知识点】整式的混合运算；矩形的性质
【解析】【解答】解：因为左上角与右下角的阴影部分的面积相等，
所以，
所以，
因为 ，
所以，
因为，
所以a=kb，
所以，
所以，
因为k为整数，
所以b+3取1，2，3，4，6，12，
因为b为正整数
所以b取1，3，9，
当b=1时，k=3，此时a=3，
当b=3时，k=2，此时a=6，
当b=9时，k=1，此时a=9，
因为，
∴a＜3，
∴a可取的值的个数为0.
故答案为：A.
【分析】根据左上角与右下角的阴影部分的面积相等可得4b·AB-4ab=a·AB-3ab，结合AB的值以及=k可得k=，然后根据k为整数可得正整数b的值，然后求出对应的a的值，结合a<3对求出的值进行取舍即可.
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（2022七下·化州期末）计算（-2a2）3÷a3的结果是 ．
【答案】-8a3
【知识点】单项式除以单项式
【解析】【解答】解：原式＝．
故答案为：-8a3．
【分析】利用单项式除以单项式法则计算求解即可。
12．（2022八上·乐山期中） .
【答案】b-2a+1
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：（ab2-2a2b+ab）÷ab=b-2a+1.
故答案为：b-2a+1
【分析】利用多项式除以单项式的法则，进行计算，可求出结果.
13．（2022八上·游仙期中）已知一个长方形的面积是，宽为，那么它的长为 ．
【答案】2x+1
【知识点】矩形的性质；多项式除以单项式
【解析】【解答】解：根据题意，得
长为： ，
故答案为：2x+1.
【分析】根据矩形的面积=长×宽可得长为(4x2+2x)÷2x，然后根据多项式与单项式的除法法则进行计算.
14．（2022七下·浑南期末）任意给一个非零数m，按下列程序进行计算，则输出结果为 ；
【答案】m
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：由题意可知：（m2+m）÷m-1=m+1-1=m，
故答案为：m
【分析】根据流程图列出算式求解即可。
15．（2022七下·平谷期末）利用图1中边长分别为a，b的正方形，以及长为a，宽为b的长方形卡片若干张拼成图2（卡片间不重叠、无缝隙），那么图2这个几何图形表示的可以等式是 ．
【答案】
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：从整体看，；
从局部看，；
∴
故答案为：
【分析】根据图形，利用直接和间接两种方法表示图2的几何图形的面积，再列等式即可。
16．（2022六下·龙口期末）若n是正整数，且x2n=6，则（2x3n）3÷（6x5n）= ．
【答案】48
【知识点】单项式除以单项式；积的乘方
【解析】【解答】解：∵x2n=6，n是正整数，
∴（2x3n）3÷（6x5n）
故答案为：
【分析】根据单项式法则进行化简，然后代入计算即可。
17．（2022七下·嘉兴期末）如图，一个长、宽、高分别为a，b， 的长方体纸盒装满了一层半径为r的小球，则纸盒的空间利用率（小球总体积与纸箱容积的比）为 （结果保留 ，球体积公式 ）．
【答案】
【知识点】列式表示数量关系；单项式乘多项式；单项式除以单项式
【解析】【解答】解：∵小球的半径为r，
∴一个小球的体积=，沿长方体长摆放小球个数=个，沿长方体宽摆放小球个数=个，
∴摆放小球的总数=·=，
∴摆放小球的总体积=·=，
∵长方体体积=2abr，
∴纸盒的空间利用率==.
故答案为：.
【分析】根据球体体积公式求出一个小球的体积，再表示出沿长方体长摆放小球个数=个，沿长方体宽摆放小球个数=个，即得摆放小球的总数，从而得摆放小球的总体积，再求出长方体体积，最后根据纸盒的空间利用率=小球的总体积÷纸箱的容积，代入数据化简求值即可.
18．（2022七下·西安期中）若关于x的多项式 除以 ，所得商恰好为 ，则 .
【答案】
【知识点】有理数的加减混合运算；多项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：由题意可知：
，
∴ ，
∴ ， ， ，
解之得： ， ， ，
∴ .
故答案为：3.
【分析】根据已知条件可得[(17x2-3x+4)-(ax2+bx+c)]÷5x=2x+1，化简可得(17-a)x2-(3+b)x+(4-c)=10x2+5x，根据系数分别相等可得a、b、c的值，然后根据有理数的加减法法则进行计算.
19．（2022八上·赣州期末）下列运算：①；②；③；④．其中正确的是 ．
【答案】①②或②①
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：①符合题意；
②符合题意；
③不符合题意；
④不符合题意．
∴正确的是①②．
故答案为①②．
【分析】利用合并同类项、积的乘方、幂的乘方、单项式除以单项式的计算方法逐项判断即可。
20．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：
则当 时，所捂多项式的值是
【答案】-4
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：由题意得： 所捂多项式的值=
=-6x+2y-1
=-6×+2×-1
=-4.
故答案为：-4.
【分析】根据题意得出一个多项式除以单项式的运算式，然后进行计算化简，再代值计算即可.
三、解答题（共6题，共60分）
21．（2022七下·东阳月考）化简：
（1）（12x2y3﹣8x3y2z）÷4x2y2
（2）4（x+1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）
【答案】（1）解：原式= 12x2y3÷4x2y2 ﹣8x3y2z÷4x2y2
=3y-2xz；
（2）解：原式＝4（x2+2x+1）﹣（4x2﹣25）
＝4x2+8x+4﹣4x2+25
=（4-4）x2+8x+(25+4)
＝8x+29．
【知识点】整式的混合运算；多项式除以单项式
【解析】【分析】(1)多项式除以单项式的法则的法则是多项式除以单项式就是用多项式中的每一项分别除以单项式，再把结果相加；依此计算即可；
(2)先去括号，再合并同类项，即可求出结果.
22．（2022七下·神木期末）化简：．
【答案】解：
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】根据平方差公式、完全平方公式以及合并同类项法则可对括号中的式子进行化简，然后根据多项式与单项式的除法法则进行计算.
23．小明在做一个多项式除以a的题时，由于粗心误认为乘a，结果是8a4b-4a3+2a2，那么你能知道正确的结果是多少吗？
【答案】解：原多项式为（8a4b-4a3+2a2）÷（a）=16a3b-8a2+4a，正确结果为（16a3b-8a2+4a）÷（a）=32a2b-16a+8.
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【分析】先根据错误的结果除以 a 求出原来的多项式，所得的结果除以 a ，即可得出结果.
24．某天数学课上，小明学习了整式的除法运算，放学后，小明回到家拿出课堂笔记，认真地复习课上学习的内容.他突然发现一道三项式除法运算题：（21x4y3-+7x2y2）÷（-7x2y）=+5xy-y，被除式的第二项被墨水弄污了，商的第一项也被墨水弄污了，你能算出两处被污染的内容是什么吗
【答案】解：商的第一项=21x4y3÷（-7x2y）=-3x2y2；
被除式的第二项=-（-7x2y）×5xy=35x3y2
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式
【解析】【分析】利用已知条件列式可得到21x4y3÷（-7x2y），利用单项式除以单项式的法则，可求出 商的第一项，由此可求出被除式的第二项.
25．（2021七上·淮北月考）发现：一个三位数的百位上数字为a，十位上数字为(a+1)，个位上数字为(a＋2)；把这个三位数的百位上数字与个位上的数字交换得到一个新三位数，新三位数与原三位数的差是9的倍数．
验证：
（1）①765—567=9× ；
②通过列式计算，说明新三位数与原三位数的差是9的倍数；
（2）延伸：新三位数与原三位数的和是正整数m的倍数，则m=____________，并说明理由．
【答案】解：①22②由题意得：新三位数为，原三位数为，则新三位数与原三位数的差为，因为，所以新三位数与原三位数的差是9的倍数；延伸：（2）新三位数与原三位数的和是正整数m的倍数，则m=____________，并说明理由．【答案】解：222由（1）②可知，新三位数为，原三位数为，则新三位数与原三位数的和为，所以正整数，故答案为：222．
（1）①22②由题意得：新三位数为，
原三位数为，
则新三位数与原三位数的差为，
因为，
所以新三位数与原三位数的差是9的倍数；
（2）解：222
由（1）②可知，新三位数为，原三位数为，
则新三位数与原三位数的和为，
所以正整数，
故答案为：222．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算；整式的混合运算
【解析】【解答】解：(1)①，
，
，
即，
故答案为：22；
【分析】（1）①计算即可得到答案；
②列出代数式可得新三位数，再利用新三位数与原三位数的差为，故新三位数与原三位数的差是9的倍数；
（2）列出代数式新三位数，再利用新三位数与原三位数的差为，即可得到答案。
26．（2021六下·福山期末）数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学，同学们，下面我们就用数形结合思想来解决下面问题吧！
（1）将图①甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是 ．
（2）将图②甲中阴影部分的一个小长方形变换到图乙位置，你根据两个图形的面积关系写出一个等式：（a﹣b）（ ）＝a2+ab﹣ ．
（3）若把（2）中你写出的等式当做公式用，计算：（x﹣y）[（x+2y）4÷（x+2y）3]；
（4）图③甲是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图③乙那样拼成一个正方形，则图③乙中间空余的部分的面积是 ．
（5）观察图③乙，请你写出三个代数式（a+b）2（a﹣b）2，ab之间的等量关系是 ．根据（5）中等量关系解决如下问题：若m+n＝﹣7，mn＝3.25，求m﹣n的值．
【答案】（1）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
（2）a+2b；2b2
（3）解：（x﹣y）[（x+2y）4÷（x+2y）3]
＝（x﹣y）（x+2y）
＝x2+xy﹣2y2
（4）（a﹣b）2
（5）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
【知识点】平方差公式的几何背景；整式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）图甲：大矩形的面积可表示为：
①（a﹣b）（a+b）；
②a（a﹣b）+b（a﹣b）＝a2﹣ab+ab﹣b2＝a2﹣b2；
故（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；
图乙：大正方形的面积可表示为：
①a（a﹣b+b）＝a2；
②a（a﹣b）+b（a﹣b）+b2＝（a+b）（a﹣b）+b2；
故a2＝b2+（a+b）（a﹣b），即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
所以根据两个图形的面积关系，可得出的公式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）图甲的面积可表示为：①（a﹣b）（a+2b），
②a（a﹣b）+2b（a﹣b）＝a2﹣ab+2ab﹣2b2＝a2+ab﹣2b2；
故（a﹣b）（a+2b）＝a2+ab﹣2b2；
图乙的面积可表示为：①a2+ab﹣2b2，
②a（a﹣b）+b（a﹣b）+b（a﹣b）＝（a﹣b）（a+2b）；
故（a﹣b）（a+2b）＝a2+ab﹣2b2，
所以根据两个图形的面积关系，可得出的公式是（a﹣b）（a+2b）＝a2+ab﹣2b2，
故答案为：a+2b，2b2；
（4）中间部分的四边形是正方形，边长是a+b﹣2b＝a﹣b，
则面积是（a﹣b）2．
故答案为：（a﹣b）2；
（5）根据阴影部分面积可得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
∵m+n＝﹣7，mn＝3.25，
∴（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn，
∴49﹣（m﹣n）2＝13，
∴m﹣n＝6或﹣6．
故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．
【分析】（1）图甲可直接根据大矩形的面积不同表示方法来得出所求的公式，图乙将图形补成正方形，在仿照图甲的方法进行求解即可；
（2）分别表示出图甲、图乙的面积即可；
（3）先计算括号里的除法运算，再利用（2）中的等式计算即可；
（4）中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积即可求得；
（5）根据阴影部分面积可得关于a、b的等式。
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