3.5 确定圆的条件 教案
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3.5 确定圆的条件 教学设计
课题 3.5 确定圆的条件 单元 第3 单元 学科 数学 年级 九年级（下）
教材分析 了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．
核心素养分析 通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略．形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．
学习目标 1.了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法.2.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.3.经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力.
重点 1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论.2.掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法．
难点 经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题构成圆的基本要素有哪些 试一试：车间工人要将一个如图所示的破损的圆盘复原，确定它的尺寸（圆盘的大小），你有办法吗？探究1 过一点作圆我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线，那么经过一点A能作几个圆？请动手作图试一试．探究2 过两点作圆作圆，使它经过已知点A，B.你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？探究3 过三点作圆作一个圆，使它经过已知点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上)．你是如何作的 你能作出几个这样的圆 （学生自己动手尝试画图）（课堂上，可能有好多同学不知如何下手）从而引发以下的探究：1、要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点A、B、C的距离有何关系？[生]相等．2、以前我们学过：“到三角形三个顶点距离相等的点”是它们三边什么线的交点？[生] 三边的垂直平分线的交点，它就是圆心． 3、这个交点就是圆心的理由是什么？[生] 这个交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心． 4、究竟应该怎样找圆心呢 [生] 我会做了．我先作线段AB的垂直平分线，找到过A、B两点的圆的圆心；再作线段CB的垂直平分线找到过C、B两点的圆的圆心，它们的交点就是要找的圆心．作法图示1．连接AB、BC2．分别作AB、BC的垂直平分线DE和FG，DE和FG相交于点O3．以O为圆心，OA为半径作圆⊙O就是所要求作的圆归纳：不在同一条直线上的三点确定一个圆讨论：如果三个点在同一直线时可以作圆吗？为什么？当A，B，C三点在同一条直线上时，因为到A，B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B，C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，两条直线垂直于同一条直线，所以线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线平行，没有交点，故没有一点到A，B，C三点的距离相等，不存在圆心，从而经过同一直线上的三点不能作圆， 当A，B，C三点不在同一条直线上时，这两条垂直平分线的交点满足到A，B，C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．OA或OB或OC是半径．因为这两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，半径也唯一确定，所以只能作出一个满足条件的圆。试一试：已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆. 思考自议教师提出问题，引导学生回答，师生共同回顾、交流，适时做好总结． 创设情境，激发学生学习的兴趣和探究欲望，学生回想圆的定义，得出作圆的关键是确定圆心和半径，为本节课“确定圆的条件”的探究做好铺垫.
讲授新课 提炼概念归纳：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．这个三角形叫这个圆的内接三角形.外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆，并说明它们外心的位置情况.锐角三角形的外心位于三角形内，直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点，钝角三角形的外心位于三角形外.典例精讲例：如图所示，点A，B，C 在同一条直线上，点D 在直线AB 外，过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4解析：过不在同一条直线上的三点确定一个圆，在点A，B，C，D 四个点中取三个点的方法有：点A，B，C；点A，B，D；点B，C，D；点A，C，D，共四组. 又因A，B，C 三点在同一条直线上，故过这四个点中的任意三个点能画圆的个数为3.∴选D 教师组织学生分组作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆，并实物投影，根据图形说明它们外心的位置情况．学生通过探究得出结论： 通过三角形外接圆、三角形外心的概念等问题，从而实现本节课的教学目标，突破重点、难点，使学生巩固过三点作圆的方法．通过合作交流，了解三种三角形外心的位置．巩固找三角形外心的方法，进一步体验“不在同一直线上的三点确定一个圆”的事实．另外也体会到三角形的形状对它的外心位置带来的影响.
课堂练习 四、巩固训练 1.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）A、第①块 B、第②块 C、第③块 D、第④块B2.下面有关圆的一些结论，其中错误的结论有( )①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑤任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个C3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则△ABC的外心在△ABC的______（填“内部”、“外部”或“边上”）；其外接圆的半径为______． 边上 2.54.如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，求⊙O的半径．解：如图，连接OA，OB，设⊙O的半径为r，∵∠C＝45°，∴∠AOB＝2∠C＝90°.∴OA2＋OB2＝AB2，即r2＋r2＝42.解得r1＝2 ，r2＝－2 (不符合题意，舍去)．∴⊙O的半径为2 . .5．如图，已知正△ABC．(1)请用直尺与圆规作正△ABC的外接圆，并保留作图痕迹；(2)若点P是正△ABC的外接圆上的一点（不与点B，C重合），求∠BPC的度数．（1）解：如图，（2）如图，∠BPC=120°或60°（2）分点P当在优弧BAC上时，当P在弧BC上时，分别讨论即可求解．
课堂小结
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课题 3.5 确定圆的条件 单元 第3 单元 学科 数学 年级 九年级（下）
教材分析 了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．
核心素养分析 通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略．形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．
学习目标 1.了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法.2.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.3.经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力.
重点 1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论.2.掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法．
难点 经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题构成圆的基本要素有哪些 试一试：车间工人要将一个如图所示的破损的圆盘复原，确定它的尺寸（圆盘的大小），你有办法吗？探究1 过一点作圆我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线，那么经过一点A能作几个圆？请动手作图试一试．探究2 过两点作圆作圆，使它经过已知点A，B.你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？探究3 过三点作圆作一个圆，使它经过已知点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上)．你是如何作的 你能作出几个这样的圆 （学生自己动手尝试画图）（课堂上，可能有好多同学不知如何下手）从而引发以下的探究：1、要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点A、B、C的距离有何关系？[生]相等．2、以前我们学过：“到三角形三个顶点距离相等的点”是它们三边什么线的交点？[生] 三边的垂直平分线的交点，它就是圆心． 3、这个交点就是圆心的理由是什么？[生] 这个交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心． 4、究竟应该怎样找圆心呢 [生] 我会做了．我先作线段AB的垂直平分线，找到过A、B两点的圆的圆心；再作线段CB的垂直平分线找到过C、B两点的圆的圆心，它们的交点就是要找的圆心．作法图示1．连接AB、BC2．分别作AB、BC的垂直平分线DE和FG，DE和FG相交于点O3．以O为圆心，OA为半径作圆⊙O就是所要求作的圆归纳：不在同一条直线上的三点确定一个圆讨论：如果三个点在同一直线时可以作圆吗？为什么？当A，B，C三点在同一条直线上时，因为到A，B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B，C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，两条直线垂直于同一条直线，所以线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线平行，没有交点，故没有一点到A，B，C三点的距离相等，不存在圆心，从而经过同一直线上的三点不能作圆， 当A，B，C三点不在同一条直线上时，这两条垂直平分线的交点满足到A，B，C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．OA或OB或OC是半径．因为这两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，半径也唯一确定，所以只能作出一个满足条件的圆。试一试：已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆. 思考自议教师提出问题，引导学生回答，师生共同回顾、交流，适时做好总结． 创设情境，激发学生学习的兴趣和探究欲望，学生回想圆的定义，得出作圆的关键是确定圆心和半径，为本节课“确定圆的条件”的探究做好铺垫.
讲授新课 提炼概念归纳：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．这个三角形叫这个圆的内接三角形.外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆，并说明它们外心的位置情况.锐角三角形的外心位于三角形内，直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点，钝角三角形的外心位于三角形外.典例精讲例：如图所示，点A，B，C 在同一条直线上，点D 在直线AB 外，过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4解析：过不在同一条直线上的三点确定一个圆，在点A，B，C，D 四个点中取三个点的方法有：点A，B，C；点A，B，D；点B，C，D；点A，C，D，共四组. 又因A，B，C 三点在同一条直线上，故过这四个点中的任意三个点能画圆的个数为3.∴选D 教师组织学生分组作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆，并实物投影，根据图形说明它们外心的位置情况．学生通过探究得出结论： 通过三角形外接圆、三角形外心的概念等问题，从而实现本节课的教学目标，突破重点、难点，使学生巩固过三点作圆的方法．通过合作交流，了解三种三角形外心的位置．巩固找三角形外心的方法，进一步体验“不在同一直线上的三点确定一个圆”的事实．另外也体会到三角形的形状对它的外心位置带来的影响.
课堂练习 四、巩固训练 1.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）A、第①块 B、第②块 C、第③块 D、第④块B2.下面有关圆的一些结论，其中错误的结论有( )①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑤任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个C3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则△ABC的外心在△ABC的______（填“内部”、“外部”或“边上”）；其外接圆的半径为______． 边上 2.54.如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，求⊙O的半径．解：如图，连接OA，OB，设⊙O的半径为r，∵∠C＝45°，∴∠AOB＝2∠C＝90°.∴OA2＋OB2＝AB2，即r2＋r2＝42.解得r1＝2 ，r2＝－2 (不符合题意，舍去)．∴⊙O的半径为2 . .5．如图，已知正△ABC．(1)请用直尺与圆规作正△ABC的外接圆，并保留作图痕迹；(2)若点P是正△ABC的外接圆上的一点（不与点B，C重合），求∠BPC的度数．（1）解：如图，（2）如图，∠BPC=120°或60°（2）分点P当在优弧BAC上时，当P在弧BC上时，分别讨论即可求解．
课堂小结
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