6.2 立方根 课件(共26张PPT)
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第六章 实数
6.2 立方根
学习目标
1.理解立方根的概念,会用根号表示一个数的立方根.
2.理解并掌握立方根的性质,知道开立方与立方互为逆运算,会用开立方运算求某数的立方根,并能运用立方根的性质解决实际问题.
3.能运用计算器求立方根.
4.理解被开方数的小数点与立方根的小数点的变化规律.
重点：立方根的概念及求法.
难点：理解被开方数的小数点与立方根的小数点的变化规律.
课前预习
阅读课本第P49-51页内容，学习本节主要内容.
立方根
正
开立方
立方
0
负
新课导入
二阶魔方由几个小立方体构成_______
若每个小立方体的边长为1,则小立方体的体积是多少______
你是怎么算的
8个
1
8
那么大的立方体的体积呢______
要制作一种容积为 27 cm3 的立方体模型，它的棱长应该是多少？
设立方体模型的棱长为 x cm，则
x3 = 27
这就是要求一个数，使它的立方等于 27.
因为 33 = 27，所以 x = 3.
因此这种立方体模型的棱长为 3 cm.
探究新知
因为3的立方等于27,那么3就叫做27的立方根.
立方根的概念与性质
(1)一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数就
叫做 a 的立方根或三次方根．
●如果 x3 = a，那么 x 叫做 a 的立方根．
(2)求一个数的立方根的运算，叫做开立方．
(3)开立方与立方互为逆运算.
知识归纳
探究
根据立方根的意义填空.你能发现正数、0 和负数的立方根各有什么特点吗？
∵ 23 = 8，∴ 8 的立方根是( )；
∵( )3 = 0.064，∴ 0.064 的立方根是( )；
∵( )3 = 0，∴ 0 的立方根是( )；
∵( )3 = －8，∴ －8 的立方根是( )；
∵( )3 = － ，∴ － 的立方根是( ).
2
0.4
0.4
0
0
－2
－2
－
－
小结
正数的立方根是正数；
负数的立方根是负数；
0 的立方根是 0.
类似于平方根，一个数 a 的立方根，用符号“ ”表示，读作“三次根号 a”，其中 a 是被开方数，3 是根指数.
表示 8 的立方根， = 2；
表示 8 的立方根， = －2.
注意：① 中的根指数 3 不能省略.
②算术平方根的符号 实际省略了 中的根
指数2，因此， 也可读作“二次根号 a”.
探究新知
平方根与立方根的区别和联系
两个，互为相反数
一个，为正数
0
0
没有平方根
一个，为负数
可以为任何数
非负数
探究
– 2
– 2
＝
– 3
– 3
∵ ＝ _____，－ ＝_____，
∴ _____ － ;
∵ ＝ _____，－ ＝_____，
∴ _____ － ;
＝
一般地， ＝ －
练一练
求下列各式的值.
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
＝ 10
＝ －0.1
＝ －1
＝ －
用计算器求一个数的立方根
a
按键顺序：
＝
实际上，有很多有理数的立方根是无限不循环小数，例如 ， 等都是无限不循环小数.我们可以用有理数近似地表示它们.
a
或：
＝
2nd F
探究新知
探究
用计算器计算…， ， ， ， ，
…，你能发现什么规律？用计算器计算 （精确到
0.001），并利用你发现的规律求 ， ,
的近似值.
＝ 0.06
＝ 0.6
＝ 6
＝ 60
≈ 4.642
≈ 0.4642
≈ 0.04642
≈ 46.42
小结
被开方数的小数点向左或向右移动 3n 位时立方根的小数点就相应的向左或向右移动 n 位（n 为正整数）.
例1 求下列各式的值：
（1） ； （2） ； （3） .
解:（1） ＝ 4 ；
（2）－ ＝ － ；
（3） ＝ － .
例题分析
解：(1)∵27x3－8＝0，
∴27x3＝8，x3＝ ，
∴x＝ ，
即x＝ ；
解：(2)∵ (2x＋3)3＝54，
∴(2x＋3)3＝216，
∴2x＋3＝ ＝6，
即x＝ .
例2 求下列各式中的x.
(1) 27x3－8＝0； (2) (2x＋3)3＝54.
例3 已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求x2＋y2的算术平方根．
解：∵x－2的平方根是±2，
∴x－2＝4，∴x＝6，
∵2x＋y＋7的立方根是3，
∴2x＋y＋7＝27，
把x＝6代入，解得y＝8，
∴x2＋y2＝62＋82＝100，
∴x2＋y2的算术平方根为10.
例4 用计算器求 的近似值（精确到0.001）.
显示：1.259 921 05
解：依次按键：
2
＝
所以 ≈ 1.260 .
1．下列说法中，不正确的是（ ）
A．0.064的立方根是0.4 B．－8的立方根是－2
C．0的立方根是0 D．216的立方根是±6
2．4 的立方根为______，－ 是______的立方根．
D
－
随堂练习
＝ －0.3
3．求下列各式的值.
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
＝ －
＝
＝
＝
＝ －
解：∵ = 9，
2.53 = 15.625，
∴ < 15.625，
∴ < 2.5 ；
解：∵ = 3，
= ，
∴ 3 < ，
∴ < .
4．比较下列各组数的大小.
（1） 与2.5 ； （2） 与 .
解：∵ =2， =4，
∴x = 23，y2 = 16，
∴x = 8，y = ±4，
∴x + 2y = 8 + 2×4 = 16 或 x + 2y = 8 – 2×4 = 0，
∴ = = 4 或 = = 0.
5．若 =2， =4，求 的值.
6．如果A＝ ，为a＋3b的算术平方根；B＝ ，为1－a2的立方根，求A－B的值．
解：根据题意，得a－2b＋3＝2，b＋1＝3，
∴b＝2，则a－2×2＋3＝2，a＝3.
∴A＝ ＝ ＝3，
B＝ ＝ ＝－2.
∴A－B＝3＋2＝5.
立方根
立方根的概念与性质
用计算器求一个数的立方根
课堂小结
1.教材P51~52习题6.2第1，2，3，5题；
2.完成对应课时练习.
作业布置
第六章 实数
6.2 立方根
学习目标
1.理解立方根的概念,会用根号表示一个数的立方根.
2.理解并掌握立方根的性质,知道开立方与立方互为逆运算,会用开立方运算求某数的立方根,并能运用立方根的性质解决实际问题.
3.能运用计算器求立方根.
4.理解被开方数的小数点与立方根的小数点的变化规律.
重点：立方根的概念及求法.
难点：理解被开方数的小数点与立方根的小数点的变化规律.
课前预习
阅读课本第P49-51页内容，学习本节主要内容.
立方根
正
开立方
立方
0
负
新课导入
二阶魔方由几个小立方体构成_______
若每个小立方体的边长为1,则小立方体的体积是多少______
你是怎么算的
8个
1
8
那么大的立方体的体积呢______
要制作一种容积为 27 cm3 的立方体模型，它的棱长应该是多少？
设立方体模型的棱长为 x cm，则
x3 = 27
这就是要求一个数，使它的立方等于 27.
因为 33 = 27，所以 x = 3.
因此这种立方体模型的棱长为 3 cm.
探究新知
因为3的立方等于27,那么3就叫做27的立方根.
立方根的概念与性质
(1)一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数就
叫做 a 的立方根或三次方根．
●如果 x3 = a，那么 x 叫做 a 的立方根．
(2)求一个数的立方根的运算，叫做开立方．
(3)开立方与立方互为逆运算.
知识归纳
探究
根据立方根的意义填空.你能发现正数、0 和负数的立方根各有什么特点吗？
∵ 23 = 8，∴ 8 的立方根是( )；
∵( )3 = 0.064，∴ 0.064 的立方根是( )；
∵( )3 = 0，∴ 0 的立方根是( )；
∵( )3 = －8，∴ －8 的立方根是( )；
∵( )3 = － ，∴ － 的立方根是( ).
2
0.4
0.4
0
0
－2
－2
－
－
小结
正数的立方根是正数；
负数的立方根是负数；
0 的立方根是 0.
类似于平方根，一个数 a 的立方根，用符号“ ”表示，读作“三次根号 a”，其中 a 是被开方数，3 是根指数.
表示 8 的立方根， = 2；
表示 8 的立方根， = －2.
注意：① 中的根指数 3 不能省略.
②算术平方根的符号 实际省略了 中的根
指数2，因此， 也可读作“二次根号 a”.
探究新知
平方根与立方根的区别和联系
两个，互为相反数
一个，为正数
0
0
没有平方根
一个，为负数
可以为任何数
非负数
探究
– 2
– 2
＝
– 3
– 3
∵ ＝ _____，－ ＝_____，
∴ _____ － ;
∵ ＝ _____，－ ＝_____，
∴ _____ － ;
＝
一般地， ＝ －
练一练
求下列各式的值.
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
＝ 10
＝ －0.1
＝ －1
＝ －
用计算器求一个数的立方根
a
按键顺序：
＝
实际上，有很多有理数的立方根是无限不循环小数，例如 ， 等都是无限不循环小数.我们可以用有理数近似地表示它们.
a
或：
＝
2nd F
探究新知
探究
用计算器计算…， ， ， ， ，
…，你能发现什么规律？用计算器计算 （精确到
0.001），并利用你发现的规律求 ， ,
的近似值.
＝ 0.06
＝ 0.6
＝ 6
＝ 60
≈ 4.642
≈ 0.4642
≈ 0.04642
≈ 46.42
小结
被开方数的小数点向左或向右移动 3n 位时立方根的小数点就相应的向左或向右移动 n 位（n 为正整数）.
例1 求下列各式的值：
（1） ； （2） ； （3） .
解:（1） ＝ 4 ；
（2）－ ＝ － ；
（3） ＝ － .
例题分析
解：(1)∵27x3－8＝0，
∴27x3＝8，x3＝ ，
∴x＝ ，
即x＝ ；
解：(2)∵ (2x＋3)3＝54，
∴(2x＋3)3＝216，
∴2x＋3＝ ＝6，
即x＝ .
例2 求下列各式中的x.
(1) 27x3－8＝0； (2) (2x＋3)3＝54.
例3 已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求x2＋y2的算术平方根．
解：∵x－2的平方根是±2，
∴x－2＝4，∴x＝6，
∵2x＋y＋7的立方根是3，
∴2x＋y＋7＝27，
把x＝6代入，解得y＝8，
∴x2＋y2＝62＋82＝100，
∴x2＋y2的算术平方根为10.
例4 用计算器求 的近似值（精确到0.001）.
显示：1.259 921 05
解：依次按键：
2
＝
所以 ≈ 1.260 .
1．下列说法中，不正确的是（ ）
A．0.064的立方根是0.4 B．－8的立方根是－2
C．0的立方根是0 D．216的立方根是±6
2．4 的立方根为______，－ 是______的立方根．
D
－
随堂练习
＝ －0.3
3．求下列各式的值.
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
＝ －
＝
＝
＝
＝ －
解：∵ = 9，
2.53 = 15.625，
∴ < 15.625，
∴ < 2.5 ；
解：∵ = 3，
= ，
∴ 3 < ，
∴ < .
4．比较下列各组数的大小.
（1） 与2.5 ； （2） 与 .
解：∵ =2， =4，
∴x = 23，y2 = 16，
∴x = 8，y = ±4，
∴x + 2y = 8 + 2×4 = 16 或 x + 2y = 8 – 2×4 = 0，
∴ = = 4 或 = = 0.
5．若 =2， =4，求 的值.
6．如果A＝ ，为a＋3b的算术平方根；B＝ ，为1－a2的立方根，求A－B的值．
解：根据题意，得a－2b＋3＝2，b＋1＝3，
∴b＝2，则a－2×2＋3＝2，a＝3.
∴A＝ ＝ ＝3，
B＝ ＝ ＝－2.
∴A－B＝3＋2＝5.
立方根
立方根的概念与性质
用计算器求一个数的立方根
课堂小结
1.教材P51~52习题6.2第1，2，3，5题；
2.完成对应课时练习.
作业布置