2022-2023学年北师大版八年级下册数学1.1 等腰三角形专题练习 培优练（含解析）

01-等腰三角形专题练习-北师大版八年级数学下册培优练
一、单选题
1．（2019秋·北京丰台·八年级校联考期末）如图①，三角形纸片ABC，AB＝AC，将其折叠，如图②，使点A与点B重合，折痕为ED，点E，D分别在AB，AC上，如果∠A＝40°，那么∠DBC的度数为（　　）
A．20° B．35° C．25° D．30°
2．（2018·北京丰台·八年级统考期末）如图，已知射线，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·北京朝阳·八年级统考期末）如图，O是射线上一点，，动点P从点C出发沿射线以的速度运动，动点Q从点O出发沿射线以的速度运动，点P，Q同时出发，设运动时间为，当是等腰三角形时，t的值为（ ）
A．2 B．2或6 C．4或6 D．2或4或6
4．（2022秋·北京海淀·八年级期末）如图，，点在线段上，，则的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
5．（2021秋·北京·八年级期末）如图甲，直角三角形的三边a，b，c，满足的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，是腰长为1的等腰直角三角形，，延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形，再延长至，使，以为底，在外侧作等腰直角三角形，……，按此规律作等腰直角三角形（，n为正整数），则的长及的面积分别是（ ）
A．2， B．4， C．， D．2，
6．（2022秋·北京怀柔·八年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，2)，点B的坐标为(，0)，点C在x轴上．若ABC为等腰三角形时，∠ABC=30°，则点C的坐标为（ ）
A．(-2，0)，(，0)，(-4，0) B．(-2，0)，(，0)，(4+，0)
C．(-2，0)，(，0)，(，0) D．(-2，0)，(1，0)，(4-，0)
7．（2022春·北京朝阳·八年级北京八十中校考期末）如图，动点P在边长为2的等边△ABC的边上．它从点A出发，沿A→C→B→A的方向以每秒1个单位长度的速度运动．如果点P的运动时间为t秒，点P与点C之间的距离记为y，那么y与t之间的函数关系用图像表示大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022秋·北京昌平·八年级统考期末）如图，和为直角三角形，，且，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022秋·北京平谷·八年级统考期末）如图，等边和等边中，A、B、C三点共线，和相交于点F，下列结论中正确的个数是（ ）
①；②平分；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
10．（2022秋·北京房山·八年级统考期末）如图，正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则______．
11．（2022秋·北京朝阳·八年级统考期末）如图，在中，平分，则_____________．
12．（2021秋·北京丰台·八年级统考期末）右图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为，点均在格点上，在网格中建立平面直角坐标系．如果点也在此的正方形网格的格点上，且是等腰三角形，请写出一个满足条件的点的坐标_______；满足条件的点一共有_______个．
13．（2021秋·北京东城·九年级统考期末）如图1，在△ABC中，AB>AC，D是边BC上的动点．设B，D两点之间的距离为x，A，D两点之间的距离为y， 表示 y与x的函数关系的图象如图2所示．线段AC的长为_________________，线段AB的长为____________．
14．（2022秋·北京门头沟·八年级统考期末）如图，在△AB1C1中，AC1＝B1C1，∠C1＝20°，在B1C1上取一点C2，延长AB1到点B2，使得B1B2＝B1C2，在B2C2上取一点C3，延长AB2到点B3，使得B2B3＝B2C3，在B3C3上取一点C4，延长AB3到点B4，使得B3B4＝B3C4，……，按此操作进行下去，那么第2个三角形的内角∠AB2C2＝________°；第n个三角形的内角∠ABnCn＝________°．
15．（2022秋·北京昌平·八年级统考期末）已知一张三角形纸片（如图甲），其中，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的E点处，折痕为（如图乙），再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为______．
16．（2022秋·北京密云·八年级统考期末）如图，中，，，是边上一点，将沿翻折后，点恰好落在边上的点处，再将沿翻折，点落在点处．
①若，则点到的距离是_________；
②若的度数为，的度数，则=___________．
17．（2022秋·北京海淀·八年级统考期末）如图，在中，，，点D．E分别在边上，若沿直线折叠，点A恰好与点B重合，且，则________°，________．
三、解答题
18．（2022秋·北京大兴·八年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，A，B为不重合的两个点，若点C到A，B两点的距离相等，则称点C是线段AB的“公正点”．特别地，当时，称点C是线段AB的“近公正点”．
(1)已知，，在点，，，中，线段AB的“公正点”为___________；
(2)已知点，作，射线MN交x轴负半轴于点N．
①若点P在y轴上，点P是线段MN的“公正点”，则点P的坐标是___________；
②若点是线段MN的“近公正点”，直接写出b的取值范围是___________．
19．（2022秋·北京房山·八年级统考期末）是等边三角形，点D是直线上一动点，点E在的延长线上，且，连接．
(1)如图1，若点D是线段的中点，则______；
(2)当点D在线段上运动时，依题意补全图2，用等式表示与的数量关系，并证明；
(3)当点D在线段的延长线上运动时，请直接用等式表示与的数量关系．
20．（2022秋·北京平谷·八年级统考期末）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图，在中，是边上的中线，是上一点，延长交于点，，求证：．
小明发现，延长AD到点H，使DH=AD，连结BH，构造，通过证明与全等，为等腰三角形，使问题得以解决（如图2）．请写出推导过程．
参考答案：
1．D
【分析】依据三角形内角和定理，求出∠ABC的度数，再证明∠DBA＝∠A＝40°，即可得到∠DBC的度数．
【详解】∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝（180° 40°）＝70°；
由折叠可得：DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝70° 40°＝30°．
故选D．
【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质，灵活运用等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等几何知识点是解题的关键．
2．B
【分析】由等边三角形的性质：三边相等，三个内角都是60°可作答．
【详解】解：连接，
根据题意得：，
是等边三角形，
．
故选：B．
【点睛】本题考查尺规作图和等边三角形的性质；掌握等边三角形的性质是解题关键．
3．B
【分析】根据等腰三角形的性质与判定，分两种情况：（1）当点P在线段上时；（2）当点P在的延长线上时．分别列式计算即可求．
【详解】解：分两种情况：（1）当点P在线段上时，
设t时后是等腰三角形，
∵
∴
∴，
即，
解得；
（2）当点P在的延长线上时，此时经过时的时间已用，
当是等腰三角形时，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
即，
解得，，
综上所述，当是等腰三角形时，t的值为2或6．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定；解题时把几何问题转化为方程求解，是常用的方法，注意要分类讨论，当点P在点O的左侧还是在右侧是解答本题的关键．
4．D
【分析】由全等三角形的性质可得，，可求得，，由三角形的内角和可求得，从而得解．
【详解】解：，
，，
，
即，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，解题的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
5．A
【分析】根据题意结合等腰直角三角形的性质，即可判断出的长，再进一步推出一般规律，利用规律求解的面积即可．
【详解】由题意可得：，，
∵为等腰直角三角形，且“直角三角形的三边a，b，c，满足的关系”，
∴根据题意可得：，
∴，
∴，
，
∴总结出，
∵，，，
∴归纳得出一般规律：，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，图形变化类的规律探究问题，立即题意并灵活运用等腰直角三角形的性质归纳一般规律是解题关键．
6．A
【分析】分别以AB为腰和底两种情况结合勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，
∵点A的坐标为(0，2)，点B的坐标为(，0)，
∴AO=2，BO=
在Rt中，由勾股定理得：
①当AB为的腰时，
∴;
∴
②当AB为底边时，
∵
∴
∴
由勾股定理得，
∴
∴
综上,点C的坐标为(-2，0)，(，0)，(-4，0)
故选A
【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的定义、勾股定理以及解直角三角形，熟练掌握线等腰三角形的性质是解题的关键．
7．D
【分析】分段求出函数表达式即可求解．
【详解】解：（1）当点P在AC上运动时，y＝2 t；
（2）当点P在BC上运动时，y＝t 2；
（3）当点P在AB上运动时，过点C作CH⊥AB于点H，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，边长为2，
∴AH＝1，
∴，
当点P在点H右侧时，
，
该函数为一条曲线，
当点P在点H左侧时，
，
该函数仍然为一条曲线，且当时，PC最小，即y的值最小；
综上分析可知，y与t之间的函数关系可以用D选项中的图来表示，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图像，解答本题的关键是分段讨论y与t的函数关系式．
8．B
【分析】根据等边对等角可证得，在利用同角的余角相等，可得，进而证明，便可判断其余选项．
【详解】解：∵
∴
故A正确，
∵和为直角三角形
∴，
∴，
又∵
∴
∴
∴（AAS）
∴，
∴
故B错误，C正确，
由可知：
∴，
故D正确，
故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质及全等三角形的证明，熟练掌握证明三角形全等的条件是解题的关键．
9．D
【分析】根据等边和等边可得，，，可得，从而得到与即可判断①④，过B作，，易得，即可判断②，根据三角形三边关系即可判断③，即可得到答案．
【详解】解：∵和是等边三角形，
∴，，，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故①④正确，
在与中，
过B作，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，故②正确，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∵，，
，
在线段上截取，
∵由②的证明可知，
∴是等边三角形，
∴,
又∵,
∴,
又∵,
∴,
∴
∴,
∴③正确，
故选D，
【点睛】本题考查等边三角形性质及三角形全等判定与性质，解题的关键是作辅助线结合等边三角形性质得到三角形全等的相关条件．
10．##45度
【分析】延长到D点，然后根据等腰直角三角形的性质和三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：延长到D点，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角形外角性质，等腰直角三角形的性质，网格中每个正方形边长都相等．熟练掌握三角形外角性质，是解决本题的关键．
11．36
【分析】设的度数为x，根据等腰三角形的性质得到由三角形外角性质得到，再由角平分线定义得出，再根据三角形内角和为，解出x即可．
【详解】解： 设的度数为x，
，
平分，
，
，
解得：，
．
故答案为：36．
【点睛】此题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和三角形外角性质，解题的关键是能根据位置关系将各角的的大小表示出来．
12． （答案不唯一，符合题意即可） 8
【分析】分别以A，B为圆心，AB为半径作圆弧，寻找在圆弧上的格点即可．
【详解】①如图，以A为圆心，AB为半径作圆弧，符合题意的格点有5个；
②如图，以B为圆心，AB为半径作圆弧，符合题意的格点有3个；
③如图，在AB的垂直平分线上时，无符合题意的格点；
综上，符合题意的格点共有8个，
故答案为：（答案不唯一，符合题意即可）；8．
【点睛】本题考查在网格中作等腰三角形，根据已知边可作为底边或者腰进行分类讨论，熟练掌握尺规作图方法是解题关键．
13．
【分析】从图象看，当x=1时，y=，即BD=1时，AD=，当x=7时，y=，即BD=7时，C、D重合，此时y=AD=AC=，则CD=6，即当BD=1时，△ADC为以点A为顶点腰长为的等腰三角形，进而求解．
【详解】解：从图象看，当x=1时，y=，
即BD=1时，AD=，
当x=7时，y=，即BD=7时，C、D重合，
此时y=AD=AC=，则CD=6，
即当BD=1时，△ADC为以点A为顶点腰长为的等腰三角形，如下图：
过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△ACH中，，
则，
在Rt△ABH中，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，解题的关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
14． 40
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠C1B1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠B1B2C2，∠C3B3B2及∠C4B3B2的度数，找出规律即可得出∠ABnCn的度数．
【详解】解：△AB1C1中，AC1＝B1C1，∠C1＝20°，
∴∠C1B1A＝ ，
∵B1B2＝B1C2，，∠C1B1A是△B1B2C2的外角，
∴∠B1B2C2＝ ；
同理可得，
∠C3B3B2＝20°，∠C4B3B2＝10°，
∴∠ABnCn＝．
故答案为：40，．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠B1B2C2，∠C3B3B2及∠C4B3B2的度数，找出规律是解答此题的关键．
15．##36度
【分析】由折叠的性质可得：，，，由等腰三角形的性质可得，，求解即可．
【详解】解：由等腰三角形的性质可得，，
由折叠的性质可得：，，，
则，，
，
∵，
∴，
解得，
故答案为：
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
16．
【分析】①根据折叠的性质得出，根据即可求解；
②根据折叠的性质得出，根据三角形内角和定理得出，代入可得，即可求解．
【详解】解：①依题意，，，
∴，
故答案为：；
②∵将沿翻折，点落在点处，
∴，
∵中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，综合运用以上知识是解题的关键．
17． 90 9
【分析】由等腰三角形的性质求出，，进而可得，再利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，即可求解．
【详解】∵，，
∴，．
由折叠的性质得，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：90，9．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，以及折叠的性质，求出是解答本题的关键．
18．(1)
(2)① ②
【分析】根据定义可以知道“公正点”在线段的垂直平分线上，即可解题；
①根据题意可得是等边三角形，由根据等边三角形的性质即可求出P的坐标；
②点是线段MN的“近公正点”，即形成的三角形是等边三角形，计算求出取值范围即可．
【详解】（1）由于垂直平分线上的点到线段两端距离相等，，，
所以垂直平分线为，即点和为线段的“公正点”．
故答案为：
（2）①如图，连接，则点P在的垂直平分线上，
，
，
是等边三角形，
，
，
即．
故答案为
②如图，由①可知点在点时的纵坐标b最小，
当点在时，点的纵坐标b最大，这时，
又，
，
，
，
故答案为：
【点睛】本题考查垂直平分线和等边三角形的性质，熟练运用性质是解题的关键．
19．(1)；
(2)，证明见解析；
(3)，证明见解析．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，，再根据已知条件得出，，推出，由三角形的外角得出，即可得出答案；
（2）过点D作交于F，得出， ，，可知是等边三角形，再证明，即可得出；
（3）过点D作交于F，得出， ，可知是等边三角形，再证明，进而证明，即可得出．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，，
∵点D是线段的中点，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
故答案为：120；
（2），
证明：过点D作交于F，
∴， ，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3），
证明：过点D作交于F，
∴， ，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质，等边三角形的判定与性质，等边对等角，正确作出辅助线是解题的关键．
20．见解析
【分析】由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可得．
【详解】证明：延长到点，使
∵为中点
∴
在和中
∴
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
试卷第1页，共3页
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