2022-2023学年北师大版八年级数学下册培优练 1.2直角三角形专题练习（含解析）

02-直角三角形专题练习-北师大版八年级数学下册培优练
一、单选题(共0分)
1．（2022秋·北京门头沟·八年级统考期末）如图，在正方形网格内，A、B、C、D四点都在小方格的格点上，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·北京房山·八年级统考期末）如图，中，，为边的中线，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022春·北京西城·八年级统考期末）在△ABC中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A． B．，，
C． D．
4．（2022秋·北京西城·八年级北京市第三十五中学校考期末）如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022春·北京丰台·八年级统考期末）在中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C．，， D．，，
6．（2022秋·北京平谷·八年级统考期末）如图，五根小木棒，其长度分别为5，9，12，13，15，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022秋·北京海淀·八年级北京育英中学校考期末）如图，直线ab，点B在a上，且AB⊥BC．若∠1＝35°，则∠2等于（　　）
A．35° B．50 C．55° D．65°
8．（2022秋·北京大兴·八年级校考期末）下列四组线段中，能作为直角三角形三条边的是（　　）
A．5、12、14 B．6、8、9 C．1、2、3 D．3、4、5
二、填空题(共0分)
9．（2022秋·北京石景山·八年级统考期末）如图，在中，，，点为延长线上一点，点为边上一点，若，则的度数为 __．
10．（2022秋·北京房山·八年级统考期末）已知中，，则____________．
11．（2022秋·北京房山·八年级统考期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．判断是______三角形；计算的面积______．
12．（2022春·北京石景山·七年级统考期末）如图，ABCD，直线交于点，过作，交于点，，则______°．
13．（2022秋·北京通州·八年级统考期末）如图，线段AF⊥AE，垂足为点A，线段GD分别交AF、AE于点C，B，连接GF，ED，则∠D+∠G+∠AFG+∠AED的度数为__________.
14．（2022秋·北京朝阳·八年级统考期末）如图，中，，，D，E为边上的两个动点，且，连接，，若，则的最小值为_____________．
三、解答题(共0分)
15．（2022秋·北京延庆·八年级统考期末）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C均落在格点上．
(1)计算线段AB的长度 ；
(2)判断△ABC的形状 ；
(3)写出△ABC的面积 ；
(4)画出△ABC关于直线l的轴对称图形△A1B1C1．
16．（2022春·北京西城·七年级统考期末）已知，点A在射线OX上，点P在∠XOY外部，，以P为顶点，PA为一边，大小为α的角的另一边交射线OX于点M．
(1)如图1，当点M与点O位于PA所在直线异侧时，∠XOY的平分线与射线PA的交点为点N．补全图形并直接写出直线ON与直线PM的位置关系；
(2)当点M与点O位于PA所在直线同侧时，射线PM与射线OY交于点B，点C在线段BA的延长线上．
①如图2，若AP平分∠OAC，求证：BP平分∠OBC；
②当PM⊥OA时，直接写出α的度数并画出符合题意的图形．
17．（2022春·北京·七年级统考期末）如图，点A，B分别为∠MON的边OM，ON上的定点，点C为射线ON上的动点(不与点O，B重合)．连接AC，过点C作CD⊥AC，过点B作BE∥OA，交直线CD于点F．
(1)如图1，若点C在线段OB的延长线上，
①依题意补全图1；
②用等式表示∠OAC与∠BFC的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若点C在线段OB上，直接用等式表示出∠OAC与∠BFC的数量关系．
参考答案：
1．B
【分析】找出点关于的对称点，连接、，根据轴对称的性质，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据网格的特点，结合勾股定理，得出，，再根据，再根据勾股定理的逆定理，得出是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质，得出，进而即可得出的度数．
【详解】解：如图，找出点关于的对称点，连接、，
∵点关于的对称点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
故选：B
【点睛】本题考查了轴对称、网格的特点、勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线，得出是解本题的关键．
2．C
【分析】先根据等腰三角形三线合一的性质得出，从而可求的度数，然后根据等边对等角即可求解．
【详解】解：∵，为边的中线，
∴，即，
又，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一、等边对等角性质是解题的关键．
3．A
【分析】求出a2＋b2＝c2，根据勾股定理即可判断选项A；根据勾股定理的逆定理即可判断选项B；根据直角三角形的判定即可判断选项C；求出最大角∠C的度数，即可判断选项D．
【详解】解：A、根据选项，化简得a2＝c2 b2，即a2＋b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；
B、根据选项中，，，可得，
∴12＋22≠32，即，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、根据选项∠A＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形，不一定是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、根据选项中∠A：∠B：∠C＝3：4：5，设，则由三角形内角和定理∠A＋∠B＋∠C＝180°得，解得，
∴最大角∠C＝＝75°＜90°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
4．B
【分析】利用勾股定理求出AC2的值，再由勾股定理的逆定理判定△ACD也为直角三角形，则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD．
【详解】解：如图，连接AC．
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=2，
∵AC2+CD2=AD2，
∴△CDA也为直角三角形，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB×BC+AC×CD=．
故四边形ABCD的面积是．故选B.
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理的应用．解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，求出AC的长．
5．C
【分析】能够满足一个角为90度或两边的平方和等于另外一个边的平方即可证明是直角三角形，由此逐项分析即可．
【详解】解：选项A：由可得，能够判定是直角三角形，不符合题意；
选项B：由可得，能够判定是直角三角形，不符合题意；
选项C：，，，不能判定是直角三角形，符合题意；
选项D：，，，能够判定是直角三角形，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查直角三角形的判定，掌握直角三角形的一个角为90度以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
6．C
【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判断即可．
【详解】A、对于△ABD，由于，则此三角形不是直角三角形，同理△ADC也不是直角三角形，故不合题意；
B、对于△ABC，由于，则此三角形不是直角三角形，同理△ADC也不是直角三角形，故不合题意；
C、对于△ABC，由于，则此三角形是直角三角形，同理△BDC也是直角三角形，故符合题意；
D、对于△ABC，由于，则此三角形不是直角三角形，同理△BDC也不是直角三角形，故不合题意．
故选：C
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，其内容是：两条短边的平方和等于长边的平方，则此三角形是直角三角形，为便于利用平方差公式计算，常常计算两条长边的平方差即两条长边的和与这两条长边的差的积，若等于最短边的平方，则此三角形是直角三角形．
7．C
【分析】根据平行线的性质，求得,求的余角，根据对顶角相等即可求解．
【详解】ab
AB⊥BC，∠1＝35°
．
故选C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，余角的定义，对顶角相等，熟悉以上知识点是解题的关键．
8．D
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】A、，不能作为直角三角形三条边，不符合题意；
B、，不能作为直角三角形三条边，不符合题意；
C、，不能作为直角三角形三条边，不符合题意；
D、，能作为直角三角形三条边，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
9．##65度
【分析】根据直角三角形的性质求出，再根据三角形的外角性质求出。
【详解】解：在中，，，
则，
是的外角，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、三角形的外角性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题关键。
10．4
【分析】根据直角三角形的两锐角互余，可求得 ，再根据含角的直角三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：在中，,
,
,
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查的是含角的直角三角形的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键．
11． 直角
【分析】根据勾股定理求得，根据勾股定理的逆定理证明是，进而根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴是，且,
∴，
故答案为：直角；．
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，掌握勾股定理以及逆定理是解题的关键．
12．48
【分析】根据平行线的性质推知∠1=∠EGO，则由垂直的定义和直角三角形的两个锐角互余的性质来求∠2的度数．
【详解】解：∵AB∥CD，∠1=42°，
∴∠EGO=∠1=42°，
∵OG⊥EF，
∴∠EOG=90°，
∴∠2+∠EGO=90°，
∴∠2=90°-42°=48°．
故答案为：48．
【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”的性质是解题的关键．
13．270°##270度
【分析】根据三角形的内角和定理及对顶角的性质可求得∠GCF+∠DBE=90°，再利用三角形的内角和定理可得∠G+∠F+∠GCF+∠D+∠B+∠DBE=360°，进而可求解∠D+∠G+∠AFG+∠AED的度数．
【详解】解：∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=90°，
∴∠ACB+∠ABC=90°，
∵∠GCF=∠ACB，∠DBE=∠ABC，
∴∠GCF+∠DBE=90°，
∵∠G+∠F+∠GCF=∠D+∠B+∠DBE=180°，
∴∠G+∠F+∠GCF+∠D+∠B+∠DBE=360°，
∴∠D+∠G+∠AFG+∠AED=270°，
故答案为：270°．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
14．
【分析】过点，分别作的垂线和的垂线交于点，连接，，先证，得，再证，得，进而得出，当，，三点不共线时，；当，，三点共线时，，然后根据直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半求出的值，从而得出结果．
【详解】过点，分别作的垂线和的垂线交于点，连接，，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
当，，三点不共线时，；
当，，三点共线时，．
的最小值是的长，
，，
，
，
，
，
的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，直角三角形的性质，正确作出辅助线找出恰当的全等三角形是解本题的关键．
15．(1)
(2)直角三角形
(3)5
(4)图形见解析
【分析】（1）根据勾股定理计算即可；
（2）求出BC、AC的长即可判断△ABC的形状；
（3）由（2）可知△ABC是直角三角形，直接利用公式求面积；
（4）分别画出A、B、C关于直线l的轴对称点，再依次链接即可．
（1）
（2）
，
∴
∴△ABC的形状是一个直角三角形
（3）
由（2）可知△ABC是直角三角形
∴
（4）
图形如图所示：
【点睛】本题考查网格中作对称及利用勾股定理求边长，属于常规题，解题的关键是熟练在网格中找到线段所在的直角三角形．
16．(1)补全图形见解析，ON∥PM
(2)①证明见解析；②α=30°，图见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义补全图形，且∠YON=∠XON=α，再根据三角形的外角性质可得∠PMN=α=∠XON，进而利用平行线的判定即可作出结论；
（2）①根据平行线的判定和角平分线的定义进行判断即可作出结论；②根据平行线的性质和直角三角形的两锐角互余求解即可．
(1)
解：补全图形如图1：
直线ON与直线PM的位置关系为ON∥PM，理由：
∵ON平分∠XOY，∠XOY=2α，
∴∠YON=∠XON=α，
∵PA∥OY，
∴∠XAN=∠XOY=2α，
∵∠P+∠PMA=∠XAN，∠P=α，
∴∠PMA=α，即∠PMA=∠XON，
∴ON∥PM；
(2)
①如图2，∵PA∥OY，
∴∠PAO=∠XOY=2α，∠OBP=∠P=α，∠PAC=∠OBC，
∵PA平分∠OAC，
∴∠PAC=∠PAO=2α，则∠OBC=2α，
∴∠PBC=∠OBC-∠OBP=2α-α=α，
∴∠OBP=∠PBC，
∴BP平分∠OBC；
②符合题意的图形如图3，
∵PA∥OY，
∴∠OBP=∠P=α，
∵PM⊥OA，
∴∠XOY+∠OBP=90°，
∴2α+α=90°，则α=30°．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形的外角性质、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
17．(1)①见解析，②，理由见解析
(2)
【分析】（1）①根据题意作出图形；②设交于点，根据平行线的性质可得，根据垂直的定义以及直角三角形的两锐角互余可得，即可得出；
（2）设交于点，根据平行线的性质可得，根据垂直的定义以及直角三角形的两锐角互余可得，等量代换即可得出结论．
（1）
解：①如图所示，
②，理由如下，
如图，设交于点，
，
，
，
，
；
（2）
解：如图，设交于点，
，
，
，
，
，
，
即．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，直角三角形的两锐角互余，正确的作出图形是解题的关键．
试卷第1页，共3页
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