课件23张PPT。 1．作差比较法
(1)作差比较法的理论依据a－b>0? ，a－b<0? ，a－b＝0? .
(2)作差比较法解题的一般步骤：①作差；②变形整理，③判定符号，④得出结论．
其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定 ，常用的手段有：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等．a>ba 4(ab＋bc＋ac)>(a＋b＋c)2.
[思路点拨] 作差法证明，注意条件“在同一个三角形中，任意两边之和大于第三边”的应用．[证明] ∵a、b、c是△ABC的三边长．
∴a>0，b>0，c>0，且b＋c－a>0，c＋a－b>0，a＋b－c>0.
∴4(ab＋bc＋ac)－(a＋b＋c)2
＝2(ab＋bc＋ac)－(a2＋b2＋c2)
＝(b＋c－a)a＋(c＋a－b)b＋(a＋b－c)c>0.
∴4(ab＋bc＋ac)>(a＋b＋c)2. (1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．
(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．
(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用配方法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论．1．求证：a2＋b2≥2(a－b－1)；
证明：a2＋b2－2(a－b－1)
＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1)．
2．已知a，b∈R＋，n∈N＋，
求证：(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)．
证明：∵(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1)
＝an＋1＋abn＋ban＋bn＋1－2an＋1－2bn＋1
＝a(bn－an)＋b(an－bn)
＝(a－b)(bn－an)．(1)若a>b>0时，bn－an<0，a－b＞0，
∴(a－b)(bn－an)<0.
(2)若b>a>0时，bn－an>0，a－b<0.
∴(a－b)(bn－an)<0.
(3)若a＝b>0时，(bn－an)(a－b)＝0.
综上(1)(2)(3)可知，对于a，b∈R＋，n∈N＋，都有(a＋b)
(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1). 当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法，用作商比较法时，如果需要在不等式两边同乘某个数，要注意该数的正负，且最后结果与1比较．4．如果a，b都是正数，且a≠b，
求证a6＋b6>a4b2＋a2b4.
方法二：a6＋b6－a4b2－a2b4
＝a4(a2－b2)＋b4(b2－a2)
＝(a2－b2)(a4－b4)
＝(a2－b2)2(a2＋b2)
∵a≠b，∴(a2－b2)2>0，a2＋b2>0.
∴(a2－b2)2(a2＋b2)>0.
∴a6＋b6>a4b2＋a2b4.
[例3] 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？
[思路点拨] 先用m、n表示甲、乙两人走完全程所用时间，再进行比较． 应用不等式解决实际问题时， 关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决．也即建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解．在实际应用不等关系问题时，常用比较法来判断数的大小关系，若是选择题或填空题则可用特殊值加以判断．5．某人乘出租车从A地到B地，有两种方案；第一种方案：
乘起步价为10元．每千米1.2元的出租车，第二种方案：
乘起步价为8元，每千米1.4元的出租车．按出租车管理
条例，在起步价内．不同型号的出租车行驶的路程是相
等的，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较合适？解：设A地到B地距离为m千米．起步价内行驶的路程为a千米．
显然当m≤a时，选起步价为8元的出租车比较便宜．
当m>a时，设m＝a＋x(x>0)，乘坐起步价为10元的出租车费用
为P(x)元．乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)＝10＋1.2 x，
Q(x)＝8＋1.4x
∵P(x)－Q(x)＝2－0.2x＝0.2(10－x)
∴当x>10时，P(x)合适．
当x<10时，P(x)>Q(x)，此时选起步价为8元的出租车较为合适．
当x＝10时，P(x)＝Q(x)，两种出租车任选，费用相同．课件18张PPT。 1．不等式的证明方法——反证法
(1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，然后由 出发，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行 ，得到和命题的条件
(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明 不成立，从而证明原命题成立．
(2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明 ，从而断定原命题成立．此假设正确的推理假设假设不成立 2．不等式的证明方法——放缩法
放缩法证明的定义：
证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值 或 ，简化不等式，从而达到证明的目的．
3．放缩法的理论依据主要有
(1)不等式的传递性；
(2)等量加不等量为 ；
(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．放大缩小不等量 (1)反证法适用范围：凡涉及不等式为否定性命题，唯一性、存在性命题可考虑反证法．如证明中含“至多”，“至少”，“不能”等词语的不等式．
(2)注意事项：在对原命题进行否定时，应全面、准确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，在解题时要灵活应用．1．实数a，b，c不全为0的等价条件为 ( )
A．a，b，c均不为0
B．a，b，c中至多有一个为0
C．a，b，c中至少有一个为0
D．a，b，c中至少有一个不为0
解析：“不全为0”是对“全为0”的否定，与其等价的是
“至少有一个不为0”．
答案：D2．证明：三个互不相等的正数a、b、c成等差数列，则a，
b，c不可能成等比数列．
证明：假设a，b，c成等比数列，则b2＝ac.
又∵a、b、c成等差数列
∴a＝b－d，c＝b＋d(其中d公差)．
∴ac＝b2＝(b－d)(b＋d)．∴b2＝b2－d2.
∴d2＝0，∴d＝0.这与已知中a、b、c互不相等矛盾．
∴假设不成立．∴a、b、c不可能成等比数列．3．已知函数y＝f(x)在R上是增函数，且f(a)＋f(－b) f(－a)，求证：a证明：假设ab.
当a＝b时，－a＝－b则有f(a)＝f(b)，f(－a)＝f(－b)，于是f(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(－a)与已知矛盾．
当a>b时，－a<－b，由函数y＝f(x)的单调性可得f(a)>f(b)，f(－b)>f(－a)
于是有f(a)＋f(－b)>f(b)＋f(－a)与已知矛盾．故假设不成立．
∴a (2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．5．设f(x)＝x2－x＋13，a，b∈[0,1]，求证：
|f(a)－f(b)|<|a－b|.
证明：|f(a)－f(b)|＝|a2－a－b2＋b|
＝|(a－b)(a＋b－1)|＝|a－b||a＋b－1|
∵0≤a≤1,0≤b≤1 ∴0≤a＋b≤2，
－1≤a＋b－1≤1，|a＋b－1|≤1.
∴|f(a)－f(b)|≤|a－b|.课件23张PPT。 1．综合法
(1)证明的特点：
综合法又叫顺推证法或 法，是由 和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的 ，最后推出所要证明的结论成立．由因导果已知条件推理论证执果索因充分 综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．证明：∵a，b，c∈R，
∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc.
c2＋a2≥2ca
将以上三个不等式相加得：
2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca) ①
即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. ② (1)当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或条件与结论之间的关系不明显时，可用分析法来寻找证明途径．
(2)分析法证明的关键是推理的每一步都必须可逆． (1)通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明．
(2)有些不等式的证明，需要一边分析一边综合，称之为分析综合法，或称“两头挤”法，如本例，这种方法充分表明了分析法与综合法之间互为前提，互相渗透，相互转化的辩证统一关系．
