课件17张PPT。(ac＋bd)2|ac＋bd||ac|＋|bd| 2．柯西不等式的向量形式
定理2：设α，β是两个向量，则 ，当且仅当β是 ，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．
[注意] 柯西不等式的向量形式中α·β≤|α||β|，取等号“＝”的条件是β＝0或存在实数k，使α＝kβ.零向量|α·β|≤|α|·|β| 利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，构造柯西不等式的基本形式，从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件．1．已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：|ax＋by|≤1
证明：由柯西不等式得
(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝1，
∴|ax＋by|≤1. [例2] 求函数y＝3sin α＋4cos α的最大值．
[思路点拨] 函数的解析式是两部分的和，若能化为ac＋bd的形式就能用柯西不等式求其最大值． ①变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；
②有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；
③而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．4．已知2x2＋y2＝1，求2x＋y的最大值．
5．已知2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值．
课件15张PPT。 1．顺序和、乱序和、反序和
设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，称
为这两个实数组的顺序积之和(简称 )，称
为这两个实数组的反序积之和(简称 )．称 为这两个实数组的乱序
积之和(简称 )．
a1b1＋a2b2＋顺序和a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1
反序和a1c1＋a2c2＋…＋ancn乱序和…＋anbn 2．排序不等式(排序原理)
定理：(排序原理，又称为排序不等式) 设a1≤a2
≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，则有
≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤ ，等号成立
(反序和等于顺序和)?a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn.
排序原理可简记作： ．a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1a1b1＋a2b2＋…＋anbn反序和≤乱序和≤顺序和 利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．
2．设x≥1，求证：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.
证明：∵x≥1，∴1≤x≤x2≤……≤xn.
由排序原理得12＋x2＋x4＋…＋x2n
≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1
即1＋x2＋x4＋…＋x2nn≥(n＋1)xn. ①
又因为x，x2，…，xn,1为1，x，x2，…，xn的一个排列
由排序原理得：1·x＋x·x2＋…＋xn－1·xn＋xn·1
≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1
得x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥(n＋1)xn ②
将①②相加得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn. 在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．课件18张PPT。(a1b1＋a2b2＋a3b3)2bi＝0(i＝1,2,3)(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2 利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．答案：16答案：C5．把一根长为12 m的细绳截成三段，各围成三个正方形．
问：怎样截法，才能使围成的三个正方形面积之和S最
小，并求此最小值．
