课件27张PPT。 数学归纳法
(1)数学归纳法的概念：
先证明当n取第一值n0(例如可取n0＝1)时命题成立，然后假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当 时命题也成立．这种证明方法叫做数学归纳法．
(2)数学归纳法适用范围：
数学归纳法的适用范围仅限于与 的数学命题的证明．n＝k＋1正整数有关 (3)数学归纳法证明与正整数有关的数学命题步骤：
①证明当n取 (如取n0＝1或2等)时命题正确；
②假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时结论正确，证明当
时命题也正确．
由此可以断定，对于任意 的正整数n，命题都正确．第一个值n0n＝k＋1不小于n0 利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设． [例2] 求证：x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除．
[思路点拨] 本题是与正整数有关的命题，直接分解出因式(x＋y)有困难，故可考虑用数学归纳法证明．
[证明] (1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)能被x＋y整除．
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，x2k－y2k能被x＋y整除，
那么当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2
＝x2·x2k－y2·y2k－x2y2k＋x2y2k＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)
∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除，
∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除．
即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除．
由(1)(2)可知，对任意正整数n命题均成立． 利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式．这就往往要涉及到
“添项”与“减项”“因式分解”等变形技巧，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得证．3．用数学归纳法证明：(3n＋1)7n－1(n∈N＋)能被9整除．
证明：①当n＝1时，4×7－1＝27能被9整除命题成立．
②假设n＝k时命题成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除，当n＝k＋1时，
[(3k＋3)＋1]·7k＋1－1＝[3k＋1＋3]·7·7k－1＝
7·(3k＋1)·7k－1＋21·7k
＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋6·7k＋21·7k
＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋27·7k，由归纳假设(3k＋1)·7k－1能被9整除，又因为 18k·7k＋27·7k也能被9整除，所以[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1能被9整除，即n＝k＋1时命题成立．
则①②可知对所有正整数n命题成立．4．用数学归纳法证明：
当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除．
证明：(1)当n＝1时，x＋y能被x＋y整除．
(2)假设n＝2k－1时，x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，当n＝2k＋1时，x2k＋1＋y2k＋1＝x2k＋1＋y2k＋1＋x2y2k－1－x2y2k－1＝x2(x2k－1＋y2k－1)－y2k－1(x＋y)(x－y)，
根据归纳假设x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，另一项有因式x＋y，
因此也能被x＋y整除，
所以，当n＝2k＋1时，命题仍然成立．
根据(1)(2)可知当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除. 用数学归纳法证明几何问题时，一定要清楚从n＝k到n＝k＋1时，新增加的量是多少．一般地，证明第二步时，常用的方法是加1法，即在原来k的基础上，再增加一个，当然我们也可以从k＋1个中分出1个来，剩下的k个利用假设．6．求证：平面内有n(n≥2)条直线，其中任意两条直线不
平行，任意三条直线不过同一点，求证它们彼此互相分割成n2条线段(或射线)
证明：(1)当n＝2时，两条直线不平行，彼此互相分割成4条射线，命题成立。
(2)假设当n＝k时，命题成立，即k条满足条件的直线彼此互相分割成k2条线段(或射线)．那么n＝k＋1时，取出其中一条直线为l，其余k条直线彼此互相分割成k2条线段(或射线)直线l把这k条直线又一分为二，多出k条线段(或射线)；l又被这k条直线分成k＋1部分，所以这k＋1条直线彼此互相分割成k2＋k＋k＋1＝(k＋1)2条线段(或射线)，即n＝k＋1时，命题成立．
由(1)，(2)知，命题成立．课件22张PPT。 1．利用数学归纳法证明不等式
在不等关系的证明中，方法多种多样，其中数学归纳法是常用的方法之一．在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，常常要与其他方法，如 、 、 、 等结合进行．比较法分析法综合法放缩法 2．归纳—猜想—证明的思想方法
数学归纳法作为一种重要的证明方法，常常体现在“归纳—猜想—证明”这一基本思想方法中．一方面可用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论；更重要的是，要用不完全归纳法去发现某些结论、规律并用 证明其正确性，形成“观察—归纳—猜想—证明”的思想方法．数学归纳法[证明] (1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，
左边>右边；
当n＝2时，左＝22＋2＝6，右＝22＝4，所以左边>右边；
当n＝3时，左＝23＋2＝10，右＝32＝9，所以左边>右边．
因此当n＝1,2,3时，不等式成立． (2)假设当n＝k(k≥3且k∈N＋)时，不等式成立．
当n＝k＋1时，
2k＋1＋2
＝2·2k＋2
＝2(2k＋2)－2>2k2－2
＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3
＝(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)(因k≥3，则k－3≥0，
k＋1>0)≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2.
所以2k＋1＋2>(k＋1)2.故当n＝k＋1时，原不等式也成立．
根据(1)(2)，原不等式对于任何n∈N都成立． 利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n＝k到n＝k＋1的变形．为满足题目的要求，常常要采用
“凑”的手段，一是凑出假设的形式，便于用假设；二是凑出结论的形式，再证明． [例2] 设f(n)>0(n∈N＋)，对任意自然数n1和n2总有f(n1＋n2)＝f(n1)f(n2)，又f(2)＝4.
(1)求f(1)，f(3)的值．
(2)猜想f(n)的表达式，并证明你的猜想．
[思路点拨] 利用f(n1＋n2)＝f(n1)f(n2)可求出f(1)，f(3)再猜想f(n)，利用数学归纳法给出证明．[解] (1)由于对任意自然数n1和n2，
总有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)．
取n1＝n2＝1，得f(2)＝f(1)·f(1)，即f2(1)＝4.
∵f(n)>0(n∈N＋)，
∴f(1)＝2.
取n1＝1，n2＝2，得f(3)＝23.
(2)由f(1)＝21，f(2)＝4＝22，f(3)＝23，
猜想f(n)＝2n.
证明：①当n＝1时f(1)＝2成立；
②假设n＝k时，f(k)＝2k成立．
f(k＋1)＝f(k)·f(1)＝2k·2＝2k＋1，
这就是说当n＝k＋1时，猜想也成立．
由①②知猜想正确，即f(n)＝2n. 利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：观察——归纳——猜想——证明．即先通过观察部分项的特点．进行归纳，判断并猜想出一般结论，然后用数学归纳法进行证明．4．在数列{an}、{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an、bn、an＋1
成等差数列，bn、an＋1、bn＋1成等比数列(n∈N＋)．
(1)求a2、a3、a4及b2、b3、b4的值，由此猜测{an}、{bn}的通项公式；
(2)证明你的结论．
解：(1)由条件得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1.
由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.
猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.(2)用数学归纳法证明：①当n＝1时，由上知结论成立．
②假设当n＝k时，结论成立．
即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，
那么当n＝k＋1时，ak＋1＝2bk－ak＝
2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)．
bk＋1＝ ＝(k＋2)2.
所以当n＝k＋1时， 结论也成立．
由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．
