课件27张PPT。1．不等式的基本性质 1．实数大小的比较
(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的 ．在数轴上，右边的数总比左边的数 ．
(2)如果a－b＞0，则 ；如果a－b＝0，则 ；如果a－b＜0，则 .
(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的
；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的 ．
大小大a＝ba＞ba＜b差a－b的符号差的符号 2．不等式的基本性质
由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：
(1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即
.
(2)如果a＞b，b＞c，那么 .即a＞b，b＞c? .
(3)如果a＞b，那么a＋c> .
(4)如果a＞b，c>0，那么ac bc；如果a>b，c<0，那么ac bc.
a＞b?b＜aa＞ca＞cb＋c><＞＞ 3．对上述不等式的理解
使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：
(1)等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数c(或代数式)结果有三种：①c＞0时得 不等式；②c＝0时得 ；③c<0时得 不等式．同向等式异向相减正值相除正值 比较两个数(式子)的大不，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等．
1．已知a，b∈R，比较a4＋b4与a3b＋ab3的大小．
进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件． 求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．6．已知1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1，求2α－β的
取值范围．课件32张PPT。2．基本不等式充要条件充分不必要条件a＝b 用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明．1．已知a、b、c是不全相等的正数，求证：a(b2＋c2)＋
b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)>6abc.
证明：∵b2＋c2≥2bc，a＞0，
∴a(b2＋c2)≥2abc. ①
同理b(c2＋a2)≥2abc， ②
c(a2＋b2)≥2abc. ③
因为a、b、c不全相等，所以①②③式中至少有一个式子不能取“＝”．
∴a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)>6abc. 在应用基本不等式求最值时， 分以下三步进行：
(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；
(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正；
(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．答案：C4．已知x>0，y>0且5x＋7y＝20，求xy的最大值．
5．若正数a、b满足ab＝a＋b＋3，(1)求ab的取值范围；
(2)求a＋b的取值范围．
[例3] 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完． (1)将2012年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数．
(2)该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
[思路点拨] (1)两个基本关系式是解答关键，即利润＝销售收入－生产成本－促销费；生产成本＝固定费用＋生产费用；
(2)表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式列出函数表达式． 利用不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y的函数表达式y＝f(x)(x一般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识解题．求解过程中要注意实际问题对变量x的范围制约．7.围建一个面积为360 m2的矩形场
地，要求矩形场地的一面利用
旧墙(利用旧墙需维修)，其他三
面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为
2 m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元
/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x
(单位：元)．
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并
求出最小总费用．
课件25张PPT。3．三个正数的算术—几何平均不等式a＝b＝c算术平均几何平均a，b，c均为正数a＝b＝ca1＝a2＝…＝an (1)不等式的证明方法较多，关键是从式子的结构入手进行分析．
(2)运用三个正数的平均值不等式证明不等式时，仍要注意“一正、二定、三相等”，在解题中，若两次用平均值不等式，则只有在“相等”条件相同时，才能取到等号．2．已知a1，a2，…，an都是正数，且a1a2…an＝1，求证：
(2＋a1)(2＋a2)…(2＋an)≥3n.
(1)利用三个正数的算术－几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．
(2)应用平均不等式定理，要注意三个条件“即一正二定三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．答案：D4．已知x，y∈R＋且x2y＝4，试求x＋y的最小值及达到最
小值时x、y的值．
5．已知长方体的表面积为定值S，试问这个长方体的长、
宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．
课件19张PPT。1．绝对值三角不等式 绝对值三角不等式
(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 时，等号成立．
几何解释：用向量a，b分别替换a，b.
①当a与b不共线时，有|a＋b|<|a|＋|b|，其几何意义为：
．
②若a，b共线，当a与b 时，|a＋b|＝|a|＋|b|，当a与b
时，|a＋b|<|a|＋|b|.
由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式．
③定理1的推广：如果a，b是实数，则||a|－|b||≤|a±b|
≤|a|＋|b|.ab≥0三角形的两边之和大于第三边同向反向 (2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.
当且仅当 时，等号成立．
几何解释：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，
当点B在点A，C之间时，|a－c| |a－b|＋|b－c|.
当点B不在点A，C之间时：①点B在A或C上时，|a－c|
|a－b|＋|b－c|；
②点B不在A，C上时，|a－c| |a－b|＋|b－c|.
应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．(a－b)(b－c)≥0＝＝< 含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式||a|－|b|||a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．1．设a、b是满足ab<0的实数，则下列不等式中正确的是
( )
A．|a＋b|>|a－b| B．|a＋b|<|a－b|
C．|a－b|<||a|－|b|| D．|a－b|<|a|＋|b|
解析：∵ab<0且|a－b|2＝a2＋b2－2ab，
∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab<|a－b|2.
∴(|a|＋|b|)2＝a2＋b2＋2|ab|＝|a－b|2.
故A、D不正确．B正确；又由定理1的推广知C不正确．
答案：B [例2] (1)求函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值和最小值．
(2)设a∈R，函数f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)．
若|a|≤1，求|f(x)|的最大值．
[思路点拨] 利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解．[解] (1)法一：||x－3|－|x＋1||
≤|(x－3)－(x＋1)|＝4，
∴－4≤|x－3|－|x＋1|≤4.
∴ymax＝4，ymin＝－4. (1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．
(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．3．若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2则|a＋b|的最大值是________，
最小值是________．
解析：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，
∴1＝3－2≤|a＋b|≤3＋2＝5.
答案：5 14．求函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的最小值．
解：∵|x－1|＋|x＋1|＝|1－x|＋|x＋1|≥
|1－x＋x＋1|＝2，
当且仅当(1－x)(1＋x)≥0，
即－1≤x≤1时取等号．
∴当－1≤x≤1时，函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|
取得最小值2.5．若对任意实数，不等式|x＋1|－|x－2|>a恒成立，求a的
取值范围．
解：a<|x＋1|－|x－2|对任意实数恒成立，
∴a<[|x＋1|－|x－2|]min.
∵||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，
∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3.
∴[|x＋1|－|x－2|]min＝－3.
∴a<－3.即a的取值范围为(－∞，－3)．课件30张PPT。2．绝对值不等式的解法 1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
只需将ax＋b看成一个整体，即化成|x|≤a，|x|≥a(a>0)型
不等式求解．
|ax＋b|≤c(c>0)型不等式的解法：先化为 ，
再由不等式的性质求出原不等式的解集．
不等式|ax＋b|≥c(c>0)的解法：先化为 或
，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集．－c≤ax＋b≤cax＋b≥cax＋b≤－c 2．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
①利用绝对值不等式的 求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．几何意义 ②以绝对值的 为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键．
③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图像(有时需要考查函数的增减性)是解题关键．
零点 [例1] 解下列不等式：
(1)|5x－2|≥8；(2)2≤|x－2|≤4.
[思路点拨] 利用|x|>a及|x|
0)型不等式的解法求解．
|ax＋b|≥c和|ax＋b|≤c型不等式的解法：
①当c>0时，|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c，
|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c.
②当c＝0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b| ③当c<0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|≤c的解集为?.1．解下列不等式：
(1)|3－2x|<9；(2)|x－x2－2|>x2－3x－4；
(3)|x2－3x－4|>x＋1
解：(1)∵|3－2x|<9，∴|2x－3|<9.
∴－9<2x－3<9.
即－6<2x<12.
∴－3 ∴原不等式的解集为{x|－3x＋1或x2－3x－4<－x－1，
∴x2－4x－5>0或x2－2x－3<0.
解得x>5或x<－1或－1∴不等式的解集是(5，＋∞)∪(－∞，－1)∪(－1,3)． [例2] 解不等式|x－3|－|x＋1|<1.
[思路点拨] 解该不等式，可采用三种方法：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用各绝对值的零点分段讨论；(3)构造函数，利用函数图像分析求解． |x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式
的三种解法：分区间(分类)讨论法、图像法和几何法．
分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和
图像法直观，但只适用于数据较简单的情况．2．解不等式|x－2|－|x＋7|≤3.
解：令x＋7＝0，x－2＝0得x＝－7，x＝2.
①当x<－7时，
不等式变为－x＋2＋x＋7≤3，
∴9≤3.∴ 解集为空集．
②当－7≤x≤2时，
不等式变为－x＋2－x－7≤3，
即x≥－4.∴－4≤x≤2.③当x>2时，
不等式变为x－2－x－7≤3，
即－9≤3恒成立，∴x>2.
∴原不等式的解集为[－4，＋∞]．3．解不等式|2x－1|＋|3x＋2|≥8. [例3] 已知不等式|x＋2|－|x＋3|>m.
(1)若不等式有解；
(2)若不等式解集为R；
(3)若不等式解集为?，分别求出m的范围．
[思路点拨] 解答本题可以先根据绝对值|x－a|的意义或绝对值不等式的性质求出|x＋2|－|x＋3|的最大值和最小值，再分别写出三种情况下m的范围． [解] 法一：因|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差．
即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.
由图像知(|PA|－|PB|)max＝1，
(|PA|－|PB|)min＝－1.
即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m<1，m的范围为(－∞，1)； (2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小，即m＜－1，m的范围为(－∞，－1)；
(3)若不等式的解集为?，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1，m的范围为[1，＋∞)
法二：由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，
可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
(1)若不等式有解，则m∈(－∞，1)．
(2)若不等式解集为R，则m∈(－∞，－1)．
(3)若不等式解集为?，则m∈[1，＋∞)． 问题(1)是存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式解集为R或为空集时，不等式为绝对不等式或矛盾不等式，属于恒成立问题，恒成立问题f(x)a恒成立?f(x)min>a.4．把本例中的“>”改成“<”，即|x＋2|－|x＋3| 求出m的范围．
解：由例题知－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1，所以
(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值大即可，即m∈(－1，＋∞)；
(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值大即可，即m∈(1，＋∞)
(3)若不等式的解集为?，m只要不大于|x＋2|－|x＋3|的最小值即可，即m∈(－∞，－1]5．把本例中的“－”改成“＋”，即|x＋2|＋|x＋3|>m时，分
别求出m的范围．
解：|x＋2|＋|x＋3|≥|(x＋2)－(x＋3)|＝1，
即|x＋2|＋|x＋3|≥1.
(1)若不等式有解，m为任何实数均可，
即m∈R；
(2)若不等式解集为R，即m∈(－∞，1)
(3)若不等式解集为?，这样的m不存在，即m∈?.