第二章 一元二次函数、方程和不等式单元检测-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

第二章 一元二次函数、方程和不等式单元检测
一、单选题
1．已知，，，，下列不等关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．设，，，则有（ ）.
A． B．
C． D．m，n的大小不定
3．已知，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“>”和“<”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若实数，则的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．4
5．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
7．若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
8．若关于x的不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若，则下列命题中真命题的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
10．已知正数x，y满足，则下列说法错误的是（ ）
A．的最大值为2 B．的最大值为2
C．的最小值为2 D．的最小值为2
11．设，，为实数，不等式的解集是或，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．下列叙述不正确的是（ ）
A．的解是
B．“”是“”的充要条件
C．已知，则“”是“”的必要不充分条件
D．函数的最小值是
三、填空题
13．对于实数a，b，“”是“”的______条件．（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”或“既非充分又非必要”）
14．已知，则的最小值是___________.
15．若关于的不等式的解集为，则的值为__________.
16．设矩形ABCD的周长为16cm，把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点P，则的面积取最大值时，AB的长为______．
四、解答题
17．（1）已知，比较与的大小．
（2）已知，比较与的大小．
18．解关于实数的不等式：.
19．（1）已知，求的取值范围；
（2）若，求证：；
20．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为，宽为.
(1)若菜园面积为，则为何值时，可使所用篱笆总长最小？
(2)若使用的篱笆总长度为，求的最小值.
21．（1）已知，求的最小值；
（2）已知，求的最小值；
（3）已知，求的最大值.
22．某市在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为15年．已知每厘米厚的隔热层建造成本是4万元，设每年的能源消耗费用为万元，隔热层的厚度为厘米，两者满足关系式： (，为常数)．若隔热层的厚度为5厘米，则每年的能源消耗费用为2万元，15年的总维修费用为20万元，记为15年的总费用．(总费用＝隔热层的建造成本费用＋使用15年的能源消耗费用＋15年的总维修费用).
(1)求常数；
(2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用最小，并求出最小值．
答案
1．A
2．A
3．C
4．A
5．C
6．B
7．D
8．D
9．ACD
10．BCD
11．BCD
12．AD
13．充要
14．4
15．1
16．cm
17．（1）．
∵，∴，即，当且仅当时取等号．
（2．
因为，所以；又，所以，
所以．
18.当时，不等式可化为
，不等式的解集为
若，由可得：或
因为，所以
当时，，不等式的解集为或
当时，，不等式的解集为
当时，，不等式的解集为.
当时，，不等式的解集为.
19．（1）令，
∴，可得，则，而，
∴.
（2），又，
∴，则，得证.
20．（1）由已知可得,而篱笆总长为.
又,当且仅当,即时等号成立
所以菜园的长为18m,宽为9m时,可使所用篱笆总长最小.
（2）由已知.
因为
（当且仅当时等号成立）.
所以（当且仅当时等号成立）
所以的最小值为.
21．（1）因为，故，当且仅当，即时取等号.
故的最小值为4；
（2）因为，故，所以，当且仅当，即时取等号，故的最小值为；
（3）因为，故，当且仅当，即时取等号，故的最大值为.
22．（1）依题意，当时，
（2）由(1)知()
当且仅当，即时，取最小值，最小值为70万元