第二章一元二次函数、方程和不等式 （含解析）

第二章 一元二次函数、方程和不等式 复习与检测
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数在上单调递增，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．若，满足，，且，则的值为（ ）
A． B． C．9 D．11
3．设，则的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．或 C． D．
4．已知，则函数的最小值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
5．若对任意，有恒成立，则实数x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，则函数的最小值为（ ）．
A．4 B．6 C．8 D．10
7．定义运算．当时, 的最小值为
A．1 B． C．2 D．4
8．设，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知正数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．下列不等式：
①；
②；
③；
④
其中恒成立的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、多选题
11．下列命题中真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
12．下列说法正确的是（ ）
A．命题“”的否定是“”.
B．命题“，”的否定是“，”
C．“”是“”的必要条件.
D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件
13．下列命题不正确的（ ）
A． B．
C． D．
14．对任意两个实数，定义若，，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数
B．方程有三个解
C．函数在区间上单调递增
D．函数有4个单调区间
三、填空题
15．若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_________．
16．已知，，且，则的最小值为________．
17．已知为正实数，且，则的最小值为___________.
18．已知，，且，则的最大值是______．
四、解答题
19．已知函数，，
（1）当时，试求不等式的解集；
（2）若，试求关于的不等式的解集
20．已知a，b都是正数，求证：
(1)；
(2)．
21．某车站准备建造一间高为3米，底面积为15平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米300元，左右两面新建墙体的报价为每平方米160元，屋顶和地面以及其他报价共计2800元设屋子的左右两面墙的长度均为.
(1)请建立工程队报价y关于的函数关系式；
(2)当左右两面墙的长度为多少米时，工程队的报价最低，最低报价是多少？
参考答案：
1．C
【解析】根据二次函数的单调性，考虑对称轴与2的关系求解不等式.
【详解】因为在上单调递增，所以，即.
故选：C
【点睛】此题考查根据二次函数的单调性求参数的取值范围，关键在于熟练掌握二次函数的基本性质，准确列出不等关系求解，需要注意考虑端点处等号能否成立.
2．A
【分析】依题可得，，为方程的两个不等实根，
由根与系数的关系即可求解
【详解】依题可得，，为方程的两个不等实根，
所以，，
所以.
故选：A.
3．C
【解析】根据必要条件和充分条件的概念逐一判断即可.
【详解】由，有或，
故的必要不充分条件中的取值范围应真包含集合或，可排除A、B；
又 或，或，
验证可知，只有C选项符合.
故选：C.
【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的概念，属于基础题.
4．B
【分析】根据基本不等式可求得最小值．
【详解】∵，∴，
当且仅当，即时等号成立．∴的最小值是6．
故选：B．
5．B
【分析】由题意可得，然后求出的最大值即可.
【详解】因为对任意，有恒成立，
所以，
因为，所以，
所以，
故选：B
6．B
【分析】由题意得，则，然后利用基本不等式可求得结果
【详解】由于，则，
故
当且仅当，即时取到等号，
因此的最小值为6．
故选：B
7．B
【分析】先将运用新定义运算表示出来，然后待求结果利用基本不等式求解出最小值，并注明取等号的条件.
【详解】由新定义运算知，.因为,
所以,当且仅当时等号成立，所以的最小值是.
故答案为.
【点睛】本题考查新定义背景下的基本不等式运用，难度一般.利用基本不等式求解最值的时候注意说明取等号的条件.
8．D
【分析】两次利用基本不等式即可求出最小值.
【详解】因为，所以，
所以（当且仅当时取等号），
所以，
所以，（当且仅当，即时取等号）.
故答案为：D
9．D
【分析】利用基本不等式“1”的妙用及换元法即可求得结果.
【详解】，
令，，则，，
，
当且仅当且，即，时，等号成立，
所以，故有最小值.
故选：D.
10．B
【分析】对于①，利用不等式的性质可得解；对于②，利用作差法可知，只时，成立；对于③，利用作差法知即可判断； 对于④，利用③的结论结合不等式的性质可判断；
【详解】对于①，∵，∴，又，，故①恒成立；
对于②，，，，但符号不确定，当时，，故②不恒成立；
对于③，，∴，故③恒成立；
对于④，由③知，，，两边同时开方，可得，故④恒成立；
故恒成立的结论是①③④
故选：B．
11．BCD
【分析】A.举反例分析判断真假；B C可以利用不等式的性质分析判断真假；D. 可以利用作差法比较大小，分析判断得解.
【详解】A. 若，令不满足，所以该选项错误；
B. 若，则，所以该选项正确；
C. 若，则，所以该选项正确；
D. 若，则，所以该选项正确.
故选：BCD
12．BD
【分析】根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题判断A,B选项，根据充分条件，必要条件的定义判断C,D选项.
【详解】对于A选项，命题“”的否定是“，”，故A选项错误；
对于B选项，命题“，”的否定是“，”，故B选项正确；
对于C选项，不能推出，也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C选项错误；
对于D选项，关于x的方程有一正一负根,所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件,故D选项正确.
故选：BD
【点睛】本题考查全称命题与特称命题的否定，充要条件的判断，考查逻辑推理能力，是中档题.本题D选项解题的关键在于根据韦达定理和判别式得等价条件，进而解不等式求得讨论即可.
13．ABD
【分析】利用不等式的性质，结合特殊值法、比较法逐一判断即可.
【详解】A：且，因此，
即，故本命题不正确；
B：因为，显然不成立，所以本命题不正确；
C：由，而，
所以有，而，故本命题正确；
D：若，显然成立，但是不成立，故本命题不正确，
故选：ABD
【点睛】方法点睛：关于不等式是否成立问题，一般有直接运用不等式性质法、特殊值法、比较法.
14．ABD
【分析】结合题意作出函数的图象，进而数形结合求解即可.
【详解】解：根据函数与，，画出函数的图象，如图．
由图象可知，函数关于y轴对称，所以A项正确；
函数的图象与x轴有三个交点，所以方程有三个解，所以B项正确；
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以C项错误，D项正确．
故选：ABD
15．##
【分析】要使不等式对任意实数x恒成立，只需即可，求出的最小值即可得出答案.
【详解】解：因为不等式对任意实数x恒成立，
所以只需，
，
所以当时，，
所以，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：
16．##
【分析】妙用“1”，展开使用基本不等式可得.
【详解】因为，
所以
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值为.
故答案为：
17．3
【解析】利用已知条件，结合“1”代换构造，进而应用基本不等式求最值，即可求的最小值；
【详解】知：当且仅当等号成立，
∴，即有，
故答案为：3
【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，根据已知条件构造基本不等式形式求最值，然后求参数范围；
18．
【分析】利用，，且，求出的范围，将消元得，利用二次函数的最值及倒数法则即可求得的最大值.
【详解】解：因为，，且，所以，
，
当时，取最小值，
所以取最大值，
故的最大值是.
故答案为：.
19．（1）；（2）答案见解析.
【分析】（1）依题意可得，直接解一元二次不等式即可；
（2）依题意可得，再对参数分类讨论，即可得到不等式的解集；
【详解】解：（1）当时，因为，所以
即，解得或，原不等式的解集为.
（2）由，即，即，
所对应的一元二次方程有两个实数根，
当，即时，原不等式的解集为，
当，即时，原不等式的解集为，
当，即时，原不等式的解集为；
20．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）不等式两边同乘以2，应用基本不等式证明即可；
（2）由，应用作差法比较大小即可.
（1）
由a、b都是正数，则，，，
所以，即，当且仅当时取等号.
（2）
由，
所以，
又a，b都是正数，故，即.
21．(1)，
(2)当左右两面墙的长度为米时报价最低，最低报价是10000元
【分析】（1）根据题意首先表达出各墙面面积乘以单位造价，最后加上屋顶地面固定造价，化简后最后可得解析式，同时要注意自变量的范围（2）根据解析式可利用基本不等式求解最小值
（1）
由题意，保管室前面墙体长,所以工程队报价+2800，
化简得，
（2）
由（1）可知=10000
当时，即x=时等号成立.
所以，当左右两面墙的长度为米时报价最低，最低报价是10000元