第二章一元二次函数、方程和不等式（含答案）

第二章 一元二次函数、方程和不等式 复习与检测
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．若不等式对一切实数都成立，则的取值范围是
A． B．
C． D．
3．关于的不等式的解集为R，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．若，满足，，且，则的值为（ ）
A． B． C．9 D．11
5．若，则下列不等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．两个工厂生产同一种产品，其产量分别为.为便于调控生产，分别将、、中的值记为并进行分析.则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
7．若a，b为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
8．设，则的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．或 C． D．
9．已知正数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．如果两个正方形的边长之和为，那么它们的面积之和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．下列命题中正确的是（ ）
A．当1时， B．当时， C．当时， D．当时，
12．设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为3 B．的最大值为1
C．的最小值为2 D．的最小值为2
13．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，，则
14．（多选）下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为2
B．已知x＞1，则的最小值为
C．若正数x、y满足x+2y＝3xy，则2x+y的最小值为3
D．设x、y为实数，若9x2+y2+xy＝1，则3x+y的最大值为
三、填空题
15．已知，则的取值范围是________．
16．已知一元二次方程有一个根比1大，另一个根比1小，则实数a的取值范围是______.
17．点是一次函数图象上一动点，则的最小值是______．
18．已知，，且，则的最小值为________．
四、解答题
19．设m为实数，函数，分别根据以下条件求实数m的取值范围.
（1）方程有实根；
（2）不等式的解集为.
20．已知a，b都是正数，求证：
(1)；
(2)．
21．已知函数，且满足，对任意的实数都有成立.
（1）求的解析式；
（2）若在上是单调递减函数，求实数的取值范围.
参考答案：
1．D
【分析】利用特殊值法和作差比较法比较即得正确选项.
【详解】解：对于A选项，取特殊值 ，满足，但不满足，故错误；
对于B选项，因为，所以，所以，故错误；
对于C选项，因为，所以，所以，即，故错误；
对于D选项，因为，所以，所以，即，故正确.
故选：D.
【点睛】(1)本题主要考查不等式的性质和实数比较大小，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力
(2)比较实数大小，常用包括比差和比商两种方法.比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.
2．B
【解析】根据一元二次不等式恒成立讨论，即可.
【详解】解：当时，对一切实数都成立，故符合题意；
当时，要使不等式对一切实数都成立，
则，
综上：
故选：B.
【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
3．D
【分析】根据对应抛物线开口向上的一元二次不等式大于零恒成立，直接列判别式，计算即可.
【详解】关于的不等式的解集为R，故对应方程的判别式，即，，故.
故选：D.
4．A
【分析】依题可得，，为方程的两个不等实根，
由根与系数的关系即可求解
【详解】依题可得，，为方程的两个不等实根，
所以，，
所以.
故选：A.
5．C
【分析】结合不等式的性质、差比较法确定正确选项.
【详解】∵，∴，∴，故A选项成立；
，∴，故B选项成立；
，∴，故C选项不成立；
，∴，故D选项成立.
故选：C
6．A
【分析】解方程可依次求得，结合基本不等式可得大小关系.
【详解】由得：，解得：，即；
由得：，解得：，即；
由得：，解得：，即；
又，（当且仅当时取等号），.
故选：A.
7．A
【解析】由于，故展开利用基本不等式求解即可得答案.
【详解】解：因为a，b为正实数，
所以
，
当且仅当时，即时，“=”成立.
故选：A.
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查运算能力，是基础题.
8．C
【解析】根据必要条件和充分条件的概念逐一判断即可.
【详解】由，有或，
故的必要不充分条件中的取值范围应真包含集合或，可排除A、B；
又 或，或，
验证可知，只有C选项符合.
故选：C.
【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的概念，属于基础题.
9．D
【分析】利用基本不等式“1”的妙用及换元法即可求得结果.
【详解】，
令，，则，，
，
当且仅当且，即，时，等号成立，
所以，故有最小值.
故选：D.
10．B
【解析】设两个正方形的边长分别为、，可得，利用基本不等式可求得两个正方形的面积之和的最小值.
【详解】设两个正方形的边长分别为、，则，且，
由基本不等式可得，所以，，
所以，，当且仅当时，等号成立，
因此，两个正方形的面积之和的最小值为.
故选：B.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
11．ABCD
【分析】结合基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可判断ACD；对B选项，需变换，才能使用基本不等式判断.
【详解】A中，因为，由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，故A正确；
B中，因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以成立，故B正确；
C中，因为，由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，而，所以成立，故C正确；
D中，因为，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以成立，故D正确；
故选：ABCD
12．ABD
【分析】根据基本不等式判断．
【详解】因为正实数m、n，
所以，
当且仅当且m+n=2，即m=n=1时取等号，此时取得最小值3，A正确；
由 ，当且仅当m=n=1时，mn取得最大值1，B正确；
因为，当且仅当m=n=1时取等号，故≤2即最大值为2，C错误；
，当且仅当时取等号，此处取得最小值2，故D正确.
故选：ABD
13．AD
【分析】A．由不等式的性质判断；B.举例判断；C.由判断； D.作差判断.
【详解】A．由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故正确；
B. 当时，，故错误；
C.当时，故错误；
D.，因为，，，所以，故正确；
故选：AD
14．BCD
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及基本不等式的公式，即可求解.
【详解】解：对于A选项，当x=-1时，，故A选项错误，
对于B选项，当x＞1时，x﹣1＞0，
则，
当且仅当时，等号成立，故B选项正确，
对于C选项，若正数x、y满足x+2y＝3xy，
则，
，
当且仅当x＝y＝1时，等号成立，故C选项正确，
对于D选项，
，
所以，可得，
当且仅当y＝3x时，等号成立，故3x+y的最大值为，D选项正确.
故选：BCD.
15．
【分析】由，确定，从而得到.
【详解】因为，所以 ，解得：
所以
故答案为
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.
16．
【分析】结合二次函数的图象与性质判断求解．
【详解】令函数，则其图象开口向上，顶点坐标为，对称轴是，若二次函数有两个零点，则必有一个零点小于0，即小于1，
要使另一个零点比1大，则需满足，解得，即时，二次方程有一个根比1大，另一个根比1小.所以满足题意的实数a的取值范围是.
故答案为：．
17．
【分析】把点代入函数的解析式得到，然后利用基本不等式求最小值.
【详解】由题意可知，
又因为，
所以，当且仅当即时等号成立．
所以的最小值是.
故答案为：.
18．##
【分析】妙用“1”，展开使用基本不等式可得.
【详解】因为，
所以
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值为.
故答案为：
19．（1）；（2）.
【分析】结合二次函数与一元二次方程的关系判断即可
【详解】（1）方程有实根，则满足对应的，即，解得，当时，显然有解，故；
（2）不等式的解集为等价于恒成立，则满足，解得
【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式的关系，属于基础题
20．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）不等式两边同乘以2，应用基本不等式证明即可；
（2）由，应用作差法比较大小即可.
（1）
由a、b都是正数，则，，，
所以，即，当且仅当时取等号.
（2）
由，
所以，
又a，b都是正数，故，即.
21．(1) :;(2).
【分析】(1)由题中条件,恒成立可求得参数,进而求出函数解析式;
(2)利用二次函数的单调减区间和对称轴的位置关系求解参数的取值范围.
【详解】(1)由题中条件,且恒成立,即得,解得,
所以函数的解析式为:.
(2)由(1)知,∴,
∴对称轴,∵函数在上是单调减函数,
∴由解得,即满足题意的实数的取值范围:.
【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法,考查了由二次函数的单调区间求参数的问题,属于一般难度的题.