第三章 函数的概念与性质 单元检测（含答案）

第三章 函数的概念与性质单元检测
一、单选题
1．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
2．下面各组函数中是同一函数的是（ ）
A．与
B． 与
C．与
D．与
3．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围为（ ）．
A． B．
C．或 D．或
5．已知函数是奇函数，函数是偶函数，若，则的值为（ ）
A．9 B．8 C． D．
6．已知幂函数在（0，+）上单调递减，则m的值为（ ）
A． B．4 C．或 D．1或4
7．图中为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数a的值依次可以是（ ）
A． B． C． D．
8．设函数，对于任意负数，都.已知函数的图象关于对称，若，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A． B．
C．定义域为时，值域为 D．值域为时，定义域为
10．已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．若，则
C．是奇函数 D．在上单调递增
11．下列说法正确的是（ ）
A．若幂函数的图象经过点，则解析式为
B．若函数，则在区间上单调递减
C．幂函数始终经过点和
D．若幂函数图象关于轴对称，则
12．记实数中的最大数为，最小数为，则关于函数的说法中正确的是（ ）
A．方程有三个根
B．的单调减区间为和
C．的最大值为
D．的最小值为
三、填空题
13．函数的值域为______．
14．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则函数的解析式为________．
15．已知函数的图像经过点，若，则的取值范围为__________.
16．若函数，当时，有最大值，则实数的取值范围______．
四、解答题
17．（1）已知是二次函数，且满足，，求解析式；
（2）已知，求的解析式．
18．已知函数.
(1)判断函数在上的单调性，并证明；
(2)求函数在上的最值.
19．已知（为常数），且.
(1)求的解析式
(2)判断的奇偶性并写出单调区间
(3)关于x的方程有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围
20．已知幂函数（）的定义域为，且在上单调递增．
(1)求m的值；
(2)，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
21．我国是用水相对贫乏的国家，据统计，我国的人均水资源仅为世界平均水平的．因此我国在制定用水政策时明确提出“优先满足城乡居民生活用水”，同时为了更好地提倡节约用水，对水资源使用进行合理配置，对居民自来水用水收费采用阶梯收费．某市经物价部门批准，对居民生活用水收费如下：第一档，每户每月用水不超过立方米，则水价为每立方米元；第二档，若每户每月用水超过立方米，但不超过立方米，则超过部分水价为每立方米元；第三档，若每户每月用水超过立方米，则超过部分水价为每立方米元，同时征收其全月水费的用水调节税．设某户某月用水立方米，水费为元．
(1)试求关于的函数；
(2)若该用户当月水费为元，试求该年度的用水量；
(3)设某月甲用户用水立方米，乙用户用水立方米，若之间符合函数关系：．则当两户用水合计达到最大时，一共需要支付水费多少元？
22．已知函数定义域为，且函数同时满足下列个条件：①对任意的实数，恒成立；②当时，；③.
(1)求及的值；
(2)求证：函数既是上的奇函数，同时又是上的减函数；
(3)若，求实数的取值范围.
答案
1．A
2．C
3．B
4．C
5．B
6．A
7．D
8．A
9．ABC
10．AC
11．ACD
12．AC
13．
14．
15．
16．
17．（1）令 ，．
因为，所以，则．
由题意可知：
即.
得，所以．
所以
（2）法一：配凑法
根据．
可以得到．
法二：换元法
令，则
．
.
18．（1）函数在上单调递减；
理由如下：
取，规定；
则
因为，
所以
所以
所以函数在上单调递减
（2）由（1）函数在上单调递减，
所以函数在上单调递减，
所以，
.
19．（1）由得
∴，
所以
即的解析式为.
（2）易知，函数的定义域为R，
且满足，
所以，函数为偶函数；
易知的对称轴为，且开口向上，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
故函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
（3）∵方程有两个不相等的实数根，
∴有两个不相等的实数根，
即
所以或
即实数k的取值范围为
20．(1)或，
又因为函数在上单调递增，
，（舍），
，.
(2)，恒成立，
，恒成立．
令，，
则在区间上单调递增，在区间上单调递减，
，
故．
21．（1）因为某户该月用水立方米，
按收费标准可知，当时，；
当时，；
当时，．
所以
（2）由题可得，当该用户水费为元时，处于第二档，
所以， 解得．
所以该月的用水量为立方米．
（3）因为，
所以．
当时，，此时．
所以此时两户一共需要支付的水费是元．
22．（1）当时，由题意得，解得，
当时，由题意，解得.
（2）令，则，
任取，则，即，
所以函数是上的奇函数；
任取，则，
因为，所以，由②知，所以，
即，所以函数是上的减函数.
（3）因为，
令可得，
所以，
又因为，所以，所以，
即，
由（2）可知是上的减函数，所以，
解得.