第三章函数的概念与性质 复习题（含解析）

第三章函数的概念与性质 复习题
一、单选题
1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数满足，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3．已知函数，则（ ）
A． B．3 C．1 D．19
4．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数对任意实数都有，并且对任意，总有，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
6．已知函数，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
7．已知函数是奇函数，是偶函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知偶函数的定义域为，且对于任意均有成立，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．若幂函数在区间上单调递减，则（ ）
A．3 B．1 C．或3 D．1或
10．下列函数中，既是奇函数，又在上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
11．下列函数中，其图像如图所示的函数为（ ）
A． B． C． D．
12．把长为的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（4题）
13．函数的定义域是 __________
14．已知，且，则______.
15．已知幂函数的图象经过点，则________．
16．已知函数是幂函数，它的表达式为，且当时，是严格减函数，则的取值集合是______．
三、解答题（6题）
17．已知函数．
(1)分别计算，的值；
(2)求的值．
18．已知函数．
(1)求，的值；
(2)若，求实数a的值
19．已知函数
(1)求
(2)求定义域和值域
20．已知定义在上的奇函数，当时，
(1)求函数的解析式；
(2)直接判断函数在上的单调性（无需证明）；
(3)解关于的不等式(其中).
21．已知：函数，问当取什么值时，函数是
(1)正比例函数；
(2)幂函数且在上为增函数.
22．某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．
旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，用y表示出租所有自行车的日净收入．(日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得)
（1）求函数的解析式；
（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？
参考答案：
1．D
【详解】不等式的解集即为所求函数的定义域．
【解答】函数的定义域为，函数中，，解得，
函数的定义域为．
故选：D
2．A
【分析】根据已知条件利用赋值法求解，先求出，再求出，从而可求出.
【详解】令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
故选：A
3．B
【分析】根据已知函数解析式可先求，然后代入可求.
【详解】由，则.
故选：B
4．D
【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】因为函数为上的增函数，
所以，函数在上为增函数，可得，
函数在上为增函数，可得，且有，
所以，，解得.
故选：D.
5．B
【分析】根据题意结合函数单调性的定义和性质运算分析.
【详解】∵对任意，总有，
∴在上单调递增，
故，A错误；
对于，分别令，可得，
故，即，B正确；
，即，C、D错误.
故选：B.
6．C
【分析】化简函数，利用基本不等式，计算即可．
【详解】函数，，
，
∴，当且仅当，即时，等号成立，
故，
则的最大值为．
故选：C．
7．D
【分析】根据函数的奇偶性可得出关于、的等式组，由此可解得函数的解析式.
【详解】因为是奇函数，是偶函数，所以，．
所以，，即，
因此，.
故选：D.
8．C
【分析】由题意可得在单调递减，又函数为偶函数，故在单调递增，所以不等式等价于，即解出即可.
【详解】因为的定义域为，且对于任意
均有成立，
可得在单调递减，
又函数为偶函数，
所以在单调递增，
所以等价于，
所以，
即，
即，
解得：，
所以实数的取值范围是：，
故选：C.
9．A
【分析】由题目条件可得且.
【详解】因为函数为幂函数，且在区间上单调递减，所以且，又，可得或.
当时，满足，舍去；
当时，满足.
综上.
故选：A.
10．D
【分析】根据基本初等函数的单调性和奇偶性结合选项即可求解.
【详解】对于A，是偶函数，故不符合，
对于B，为非奇非偶函数，故不符合，
对于C,在上是减函数，故不符合
对于D，奇函数，同时又在上是增函数，符合要求，
故选：D.
11．A
【分析】根据函数的性质逐项分析即得．
【详解】由图象可知函数为奇函数，定义域为，且在单调递减，
对于A，，定义域为，，
所以函数为奇函数，在单调递减，故A正确；
对于B，，定义域为，故B错误；
对于C，，定义域为，故C错误；
对于D，，定义域为，，函数为偶函数，故D错误.
故选：A．
12．D
【分析】求得两个正三角形面积之和的表达式，结合二次函数的性质求得最小值，
【详解】设两段长分别为，，其中，则这两个正三角形的边长分别为，，
面积之和为，
由二次函数的性质可知，当，时，取得最小值，
所以．
故选：D
13．
【分析】根据解析式的形式，列式求函数的定义域.
【详解】函数的定义域，需满足，解得：且，
所以函数的定义域是.
故答案为：
14．-13
【分析】设，易证其为奇函数，由已知可得，进而可得，而，代入可得答案．
【详解】设，函数定义域为R，则有，
故函数为奇函数，
由可得，
故.
故答案为：-13．
15．
【分析】根据题意，将点的坐标代入函数即可求出函数的解析式，然后将代入即可求解.
【详解】因为幂函数的图象经过点，
所以，则，所以，
则，
故答案为：.
16．
【分析】根据幂函数的单调性得到，解得答案.
【详解】在上单调递减，故，解得，
，故，
故答案为：
17．(1)1，1
(2)
【分析】（1）代入计算求和即可；
（2）先得到，，再分组求和即可.
【详解】（1），；
（2）因为，
又，
所以
.
18．(1)，
(2)1或
【分析】（1）由解析式计算即可；
（2）分类讨论的值，结合解析式得出实数a的值.
【详解】（1）解：
（2）①
②
③
综上，实数a的值为1或．
19．(1)，
(2)定义域为，值域
【分析】（1）利用换元法，设，求函数的解析式；
（2）根据（1）可知函数的定义域，再结合函数的单调性，求函数的值域.
【详解】（1）设，则，
，；
（2）由（1）可知，，所以函数的定义域是，
∵，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
∵=
∴函数值域为.
20．(1)
(2)减区间：，没有增区间
(3)答案见解析
【分析】（1）根据函数奇偶性的对称性，即可求函数在R上的解析式；
（2）由（1）画出函数的图像；
（3）根据函数单调性，得x的一元二次不等式，分解因式，讨论两根大小解不等式即可；
【详解】（1）设x＜0，，则
又为奇函数，所以，于是时，
所以
（2）
根据，画出其图像，故的减区间：，没有增区间.
（3）由（2）知在R上单调递减，
故等价为
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；当时，或.
综上：当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为.
21．(1)或
(2)
【分析】（1）根据正比例函数解析式的特征可知系数不为0，指数为1，建立方程组，解之即可；
（2）根据幂函数的解析式的特点可知系数为1，且，建立方程解之即可．
【详解】（1）若是正比例函数，则，由得，解得或，此时满足得．
（2）若是幂函数，则，即，此时或，
当时在上单调递减，不符题意，舍去；
当时在上单调递增，符号题意；
故．
22．（1）；（2）日租金定为元时，日净收入最多，为元.
【分析】（1）分别求出和时，函数的解析式即可.
（2）分别求出和时，函数的最大值，再比较即可得到答案.
【详解】（1）由题知：当时，，
令，解得，因为，所以，.
当时，，，.
所以.
（2）当，且时，为增函数，
所以元.
当，且时，，
当时，元.
综上所述，当每日自行车日租金定为元时，日净收入最多，为元.
【点睛】本题主要考查函数的模型，同时考查一次函数和二次函数的最值问题，属于简单题.