第三章 圆锥曲线的方程 单元检测（含答案）

第三章 圆锥曲线的方程单元检测
一、单选题
1．已知椭圆的离心率为，则（ ）
A． B． C．2 D．3
2．椭圆焦点在轴上，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形恰好是边长等于4的正方形，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆的一个焦点为，左顶点为A，上顶点为B，若 ，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为该双曲线上的任意一点，设为原点，，，为实数，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知F是抛物线的焦点，点在抛物线C上，则（ ）
A． B． C．3 D．4
7．设F为抛物线的焦点，过F的直线交抛物线C于A，B两点，且，O为坐标原点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知O为坐标原点，双曲线C：的右焦点为F，以OF为直径的圆与C的两条渐近线分别交于与原点不重合的点A，B，若，则的周长为（ ）
A．6 B． C． D．
二、多选题
9．已知M是椭圆上一点，，是其左右焦点，则下列选项中正确的是（ ）
A．椭圆的焦距为2 B．椭圆的离心率
C．椭圆的短轴长为4 D．的面积的最大值是4
10．己知双曲线，则（ ）
A．双曲线C的实半轴长为2 B．双曲线C的虚轴长为
C．双曲线C的离心率为2 D．双曲线C的渐近线方程为
11．已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过的直线与抛物线交于两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．当，则直线的倾斜角为
C．若，则点到轴的距离为8
D．
12．已知曲线，则（ ）
A．若，则曲线C是圆，其半径为2
B．若，则曲线C是椭圆，其焦点在y轴上
C．若线C过点，则C是双曲线
D．若，则曲线C不表示任何图形
三、填空题
13．以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为____________.
14．已知抛物线的图像过点，则该抛物线的焦点到准线的距离为___________.
15．若椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则___________．
16．已知直线与椭圆C：交于A，B两点，弦BC平行y轴，交x轴于D，AD的延长线交椭圆于E，下列说法中正确的命题有______．
①椭圆C的离心率为：； ②；
③； ④以AE为直径的圆过点B．
四、解答题
17．（1）已知椭圆的焦点为，，点是椭圆上的一个点，求椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆中，且，求椭圆的标准方程．
18．已知的两个顶点分别为椭圆的左焦点和右焦点，且三个内角满足关系式.
(1)求线段的长度；
(2)求顶点的轨迹方程.
19．已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴上，且抛物线上的点到焦点的距离是5.
(1)求该抛物线的标准方程；
(2)若过点的直线与该抛物线交于，两点，求证：为定值.
20．已知分别是椭圆的左、右焦点，，点在椭圆上且满足．
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，求直线的方程．
21．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2，渐近线的斜率为2．
(1)求双曲线的方程；
(2)设过点的直线与曲线交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．
22．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，钝角三角形的面积为，斜率为的直线交椭圆C于P，Q两点.当直线经过，A两点时，点到直线的距离为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设O为坐标原点，当直线的纵截距不为零时，试问是否存在实数k，使得
为定值 若存在，求出此时面积的最大值；若不存在，请说明理由.
答案
1．B
2．A
3．D
4．C
5．D
6．D
7．D
8．B
9．BCD
10．BCD
11．AD
12．BC
13．
14．2
15．9
16．②③④
17．（1）显然椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的方程为，
则，解得：，
椭圆方程为：
（2）因为，，解得：，
又因为，所以，
椭圆的标准方程为或.
18．（1）椭圆的方程为，
椭圆的方程为，
分别为椭圆的左焦点和右焦点，
，
，线段的长度；
（2）中根据正弦定理得：(为外接圆半径)，
，
，
,
．
点的轨迹是以为左右焦点的双曲线的右支，且不包含右顶点，
设该双曲线方程为
且，
顶点的轨迹方程为
19．（1）∵抛物线焦点在轴上，且过点，
∴设抛物线方程为（），
由抛物线定义知，点到焦点的距离等于5，
即点到准线的距离等于5，
则，∴，
∴抛物线方程为.
（2）显然直线的斜率不为0，又由于直线过点，所以可设直线的方程为：，
由，化简并整理得，恒成立，
设，，则，则，
∴.
所以为定值.
20．（1）由椭圆定义知：，解得：，
又，即，，椭圆的方程为：.
（2）设直线，，，
由得：，
，解得：；
，，
，解得：，
直线的方程为：或.
21．（1）由已知可得，双曲线的渐近线方程为，双曲线焦点，.
则到渐近线，即的距离为，所以，
又渐近线的斜率为2，即，所以，
所以双曲线的方程为.
（2）由已知可得，直线的斜率存在，设斜率为，则.
联立直线的方程与双曲线的方程可得，，
设，，.
当，即时，此时直线与双曲线的渐近线平行，不满足题意，所以，.
，解得，且.
由韦达定理可得，，且，.
又，，
则，
因为，，
所以，
要使为常数，则应与无关，
即应有，解得，此时是个常数，这样的点存在.
所以，在轴上存在定点的坐标为，使得为常数.
22．（1）设，，，则经过，
A两点时直线的方程为，即.
因为点到直线的距离为，所以①，②
因为为钝角三角形，所以为钝角，所以.
所以，即③.
联立①②③式及得，，.
故椭圆C的标准方程为.
（2）由题意设直线的方程为，
联立 消元得.
当，即时满足题意.
设，，则，.
所以
,
所以
.
因为上式为定值，所以上式与无关.所以，得.
此时.
又点到直线的距离，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
经检验，此时成立，
所以面积的最大值为1.