第三章 圆锥曲线的方程 复习题（含解析）

第三章圆锥曲线的方程 复习题
一、单选题（12题）
1．“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．椭圆上一点P与焦点的距离为5，则点P与另一个焦点的距离为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．椭圆与曲线的（ ）
A．焦距相等 B．离心率相等
C．焦点相同 D．曲线是双曲线
4．已知椭圆：的离心率为，为椭圆上的一个动点，定点，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．3
5．在平面直角坐标系中，设是双曲线的两个焦点，点在上，且，则的面积为（ ）
A． B．2 C． D．4
6．双曲线的两焦点为F1，F2，P点在双曲线上，且满足，则△PF1F2的面积为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
7．双曲线的右焦点到其渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．或 D．或
9．抛物线的焦点到圆上点的距离的最大值为（ ）
A．6 B．2 C．5 D．8
10．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且点到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知椭圆：与抛物线：交于两点，为坐标原点，若的外接圆经过点，则等于（ ）
A． B． C．2 D．4
12．已知抛物线为坐标原点，点为抛物线上的一点，且点在轴的上方，若线段的垂直平分线过点，则直线的斜率为（ ）
A．1 B．2 C． D．
二、填空题（4题）
13．方程表示椭圆，则实数的取值范围是__________.
14．已知双曲线的一个焦点到渐近线的距离为2，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的渐近线为___________．
15．已知抛物线方程为，则其焦点坐标为__________．
16．已知P是抛物线上一点，且P到焦点F的距离与P到直线的距离之和为7，则______.
三、解答题（6题）
17．根据下列条件求椭圆的标准方程：
(1)焦点坐标为，过点；
(2)经过两点．
18．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在轴上，长轴长为4，焦距为2；
(2)经过两点.
(3)经过点，且与椭圆有共同的焦点；
19．已知椭圆的左、右焦点分别为F ，F ，动点M满足|| MF | -| MF || =4.
(1)求动点M的轨迹C的方程：
(2)已知点A(-2，0)，B(2，0)，当点M与A，B不重合时，设直线MA，MB的斜率分别为k ，k ，证明:为定值.
20．已知双曲线（，）中，离心率，实轴长为4
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知直线：与双曲线交于，两点，且在双曲线存在点，使得，求的值.
21．已知抛物线的焦点为.
(1)求；
(2)斜率为的直线过点，且与抛物线交于两点，求线段的长.
22．已知抛物线（）的焦点为，点为抛物线上一点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，，若，求的值.
参考答案：
1．A
【分析】先根据焦点在x轴上的椭圆求出，再根据充分性，必要性的概念得答案.
【详解】由方程表示焦点在x轴上的椭圆得：，
解得或，
由充分性，必要性的概念知，
“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件.
故选：A.
2．B
【分析】利用椭圆的定义可得解.
【详解】根据椭圆的定义知，，
因为，所以．
故选：B.
3．A
【分析】根据椭圆的几何性质，曲线，化简为，即可解决.
【详解】对于椭圆可得焦点在轴上，，
所以焦距为8，离心率为，焦点为，
曲线，化简为，
因为，
所以，且，
所以曲线表示焦点在轴上椭圆，
所以，
焦距为8，离心率为，焦点为，
故选：A
4．B
【分析】根据椭圆的离心率，求出椭圆方程，再利用两点间距离公式和点在圆上，换成关于点横坐标的二次函数，根据二次函数在闭区间上的最值即可求解.
【详解】因为椭圆：的离心率为，
所以椭圆的离心率，又，则，
所以椭圆方程为，设椭圆上一动点，则，
所以，因为，
所以当时，取最大值，
故选：.
5．B
【分析】利用双曲线的几何性质求解即可.
【详解】因为点在上，是双曲线的两个焦点,
由双曲线的对称性不妨设，
则①，，
因为，所以，
由勾股定理得②，
①②联立可得，，
所以，
故选：B
6．B
【分析】利用焦点三角形的性质结合题设条件可得，从而可得焦点三角形为直角三角形，从而可求其面积.
【详解】不妨设点P在双曲线右支上.
由双曲线的定义可得，
又，两式联立得.
又，所以，即为直角三角形，
所以.
故选：B
7．A
【分析】由已知可得焦点坐标及渐近线方程，运用点到直线的距离公式，计算即可.
【详解】双曲线，可得，，，
则右焦点到它的渐近线的距离为．
故选：．
8．D
【分析】分两种情况焦点在轴上与焦点在轴上，再根据离心率公式即可得到答案.
【详解】当双曲线的焦点在轴上时，离心率；
当焦点在轴上时．
故选：D.
9．A
【分析】由题可得焦点坐标为：，又圆心坐标为，据此可得答案.
【详解】由，得，故抛物线焦点坐标为.
又由题可得圆心C坐标为，半径为1.设圆C上一点为P，则如图，当F，C，P三点共线时，最大，为.
故选：A
10．C
【分析】由题易得，知，双曲线焦点在轴上，渐近线方程为，又由点到双曲线的渐近线的距离为4，得，即可解决.
【详解】由题知，抛物线开口向右，，
所以焦点为，
因为焦点与双曲线的一个焦点重合，
所以，且双曲线焦点在轴上，渐近线方程为，即，
因为点到双曲线的渐近线的距离为4，即，
所以，
所以双曲线的方程为，
故选：C
11．A
【分析】根据椭圆和抛物线的对称性知的外接圆的圆心必在x轴，设圆心为，结合圆的性质可得、进而得，代入椭圆方程计算即可求解.
【详解】设，则，.
由题意知，四点共圆，
由椭圆和抛物线的对称性，知的外接圆的圆心必在x轴，
设与x轴相交于点D，则，
在圆D中，有，
即，又，
所以，解得，①
代入，得，②
将①②代入椭圆方程，得，
整理，得，解得.
经检验，时，符合题意.
故实数p的值为.
故选：A.
12．A
【分析】设出点的坐标，写出的线段所在直线的解析式，进而求出线段垂直平分线所在直线的解析式，通过线段的垂直平分线过点，得到点的横坐标与的关系，即可求出直线的斜率.
【详解】解：由题意设，则，线段的中点为
∴线段的垂直平分线为：
∵线段的垂直平分线过点
∴
解得：
∴直线的斜率为：
故选：A.
13．
【分析】根据椭圆标准方程需要满足的条件，列出不等式组求解实数的取值范围.
【详解】方程表示椭圆，则有，解得且，所以实数的取值范围是.
故答案为：
14．
【分析】由椭圆方程求出焦点坐标，从而确定双曲线的焦点坐标，再得到双曲线的渐近线，利用点到直线距离公式列出方程，求出，得到渐近线方程.
【详解】中，，故焦点坐标为，
不妨令焦点坐标到渐近线的距离为2，
的渐近线方程为：，即，
则，
所以双曲线的渐近线为．
故答案为：
15．
【分析】将抛物线方程化为标准方程即可确定焦点坐标.
【详解】将抛物线方程化为标准方程得：，其焦点坐标为.
故答案为：.
16．6
【分析】条件结合抛物线的定义列方程求出点的横坐标，再求即可.
【详解】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，
设点的坐标为，
因为P是抛物线上一点，所以等于点到准线的距离且，，
由已知P到焦点F的距离与P到直线的距离之和为7，
所以，
因为，所以可整理成，解方程得，
所以点到准线的距离为6，故，
故答案为：6.
17．(1)
(2)
【分析】(1)由条件求出左焦点坐标，结合椭圆的定义求，再由关系求即可；
(2)设椭圆方程为，由条件求即可.
【详解】（1）设椭圆的长半轴为，短半轴为，
因为焦点的坐标为，所以另一个焦点为，且，
又椭圆过点，所以，
所以，
所以，故，所以椭圆的标准方程为；
（2）设椭圆方程为，因为椭圆经过两点，所以，解得，
所以椭圆的标准方程为.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由定义和椭圆关系式可直接求解；
（2）设所求椭圆的方程，将代入即可求解；
（3）设出标准方程，将代入，结合相同联立方程可求解.
【详解】（1）∵椭圆的焦点在x轴上，
∴设椭圆的方程为（），
∵长轴长为4，焦距为2，
∴，，
∴，，
∴，
∴椭圆的方程为；
（2）设所求椭圆的方程，
将代入上式得，解得，
所以所求椭圆的标准方程为；
（3）椭圆，即，故，
焦点为，，
设所求椭圆的标准方程，
所以，解得，
所以所求椭圆的标准方程为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）由椭圆方程得出焦点坐标，由已知分析动点满足的条件，根据定义利用待定系数法设方程，求出相关的量即可；
（2）设设，代入方程中化简得的表达式，利用斜率公式写出
的表达式，化简即可
【详解】（1）由椭圆知：
所以左、右焦点分别为
因为动点M满足|| MF | -| MF || =4
所以动点在以为焦点的双曲线上，
设动点设方程为：
由双曲线的定义得：
所以
所以动点设方程为：
（2）设
则
由
所以
所以.
20．(1)
(2)或
【分析】（1）根据离心率以及实轴长即可求解的值，进而可求双曲线方程，
（2）联立直线与曲线的方程，得韦达定理，进而结合向量满足的关系即可代入求值.
【详解】（1）因为双曲线的离心率，实轴长为4，
，解得，
因为
所以双曲线的标准方程为
（2）将直线与曲线联立 得，
设，，则，，
设，由得，
即 ，又因为，解得，
所以或.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据焦点坐标可直接求得的值；
（2）将直线方程与抛物线方程联立可得，进而得到，利用抛物线焦点弦长公式可求得结果.
【详解】（1）为抛物线的焦点，，解得：.
（2）由（1）知：抛物线；
直线，
由得：，
设，，则，
，.
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线过点，且，利用抛物线的定义求解；
（2）设，联立，根据，由，结合韦达定理求解.
【详解】（1）由抛物线过点，且，
得
所以抛物线方程为；
（2）由不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，
设，联立
得，
所以，
所以，
所以
因为，
所以，
则，
，即，
解得或，
又当时，直线与抛物线的交点中有一点与原点重合，
不符合题意，故舍去；
所以实数的值为.