第三章 圆锥曲线的方程 单元检测（含答案）

第三章 圆锥曲线的方程单元检测
一、单选题
1．已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，若，则（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
2．已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积（ ）．
A． B． C． D．
3．在双曲线中，虚轴长为6，且双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知双曲线的右焦点为F，两条渐近线分别为，过F且与平行的直线与双曲线C及直线依次交于点B，D，点B恰好平分线段，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
5．若抛物线：的焦点坐标为，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．设抛物线的焦点为，上一点，满足直线与轴正半轴交于点，且在，之间，若，且点到抛物线准线的距离为，则点的纵坐标为（ ）
A．1 B． C． D．
7．若直线：经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则下列说法中错误的是（ ）
A．抛物线的焦点为 B．
C．抛物线的准线为 D．
8．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积、已知椭圆：的面积为，两个焦点分别为，，点为椭圆的上顶点，直线与椭圆交于两点，若的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
二、多选题
9．若椭圆上一点与左右焦点，组成一个直角三角形，则点到轴的距离可以是（ ）
A． B． C． D．
10．若方程表示的曲线为，则下列说法中不正确的有（ ）
A．若为椭圆，则
B．若为双曲线，则或
C．若为椭圆，且焦点在轴上，则
D．若为双曲线，则其渐近线方程为
11．过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，过A、B分别做抛物线C准线的垂线，垂足为，线段的中点为M，线段的中点为N，则（ ）
A． B．
C．以为直径的圆与y轴相切 D．以为直径的圆与y轴相切
12．我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”如图，已知椭圆分别为左、右顶点，分别为上、下顶点，分别为左、右焦点，为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）
A． B．
C．轴 D．四边形的内切圆过左右两个焦点
三、填空题
13．若椭圆的离心率为，短半轴长为，则该椭圆的长半轴长为______．
14．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，的延长线交双曲线于点，若双曲线的离心率，则_________.
15．设为抛物线的焦点，点在抛物线上，点，且，则__________.
16．设抛物线的焦点为，点在抛物线上，为的重心，且，直线过点与抛物线交于两点，为坐标原点，则___________．
四、解答题
17．已知椭圆的长轴长为10，焦距为6．
(1)求C的方程；
(2)若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求l的方程．
18．己知椭圆C的两个焦点分别为和，点在椭圆上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点作倾斜角为的直线l交椭圆C于A、B两点，求线段的长度．
19．已知椭圆的左、右焦点分别为F ，F ，动点M满足|| MF | -| MF || =4.
(1)求动点M的轨迹C的方程：
(2)已知点A(-2，0)，B(2，0)，当点M与A，B不重合时，设直线MA，MB的斜率分别为k ，k ，证明:为定值.
20．已知双曲线C1过点(4，-6)且与双曲线C2：共渐近线，点Р在双曲线C1上(不包含顶点).
(1)求双曲线C1的标准方程；
(2)记双曲线C1与坐标轴交于A，B两点，求直线PA，PB的斜率之积.
21．已知抛物线上的点到焦点的距离为4．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若直线与抛物线交于，两点，且以线段为直径的圆过原点，求证直线恒过定点，并求出此定点的坐标．
22．已知动点P到直线的距离是P到点距离的2倍，点P的轨迹记为C．
(1)证明：存在点，使得为定值．
(2)过点F且斜率的直线l与C交于A，B两点，M，N为x轴上的两个动点，且，，若，求k．
答案
1．D
2．B
3．B
4．B
5．D
6．D
7．C
8．A
9．BC
10．AC
11．AC
12．BD
13．
14．
15．
16．
17．（1）设C的焦距为，长轴长为，
则，
所以，所以，
所以C的方程为．
（2）设，
代入椭圆方程得
两式相减可得，
即．
由点为线段的中点，
得，
则l的斜率，
所以l的方程为，
即．
18．（1）设椭圆C的方程为，
则，解得，
故椭圆C的方程为；
（2）过点作倾斜角为的直线l的方程为，设
联立，消去得，
，
19．（1）由椭圆知：
所以左、右焦点分别为
因为动点M满足|| MF | -| MF || =4
所以动点在以为焦点的双曲线上，
设动点设方程为：
由双曲线的定义得：
所以
所以动点设方程为：
（2）设
则
由
所以
所以.
20．（1）设双曲线的方程为，
将(4，－)代入可得，解得，
故双曲线的标准方程为.
（2）由（1）可设，A(，0)，B(，0)，P(，)，
则，，
而点P在双曲线上，点，即.
故.
21．（1）由题设知，抛物线的准线方程为，
由点到焦点的距离为4，得，解得，
∴抛物线的标准方程为．
（2）由消去得．
∴，．
设直线和直线的斜率分别为，，
以线段为直径的圆过原点，∴，∴．
∵，，
∴，．
∴，即．
∴直线．
∴直线恒过定点．
22．（1）证明：设点，由已知可得，
整理可得.
所以点的轨迹是一个椭圆，，，，且椭圆的焦点为，，即是椭圆的右焦点，
取，根据椭圆的定义可知，.
所以，存在点，使得为定值4．
（2）
因为，，所以，.
如图，在中，，所以，
又，即，所以.
同理可得，，
所以，即.
又，所以.
设，，直线的方程为
联立直线与椭圆的方程可得，.
恒成立，
且，
则，
又，即，
整理可得，又，所以.