第四章 指数函数与对数函数 复习题（含解析）

第四章 指数函数与对数函数 复习题
一、单选题（12题）
1．设，为方程的两个根，则（ ）
A．8 B．-8 C．1 D．3
2．已知，则的值等于（ ）
A． B．6 C． D．8
3．已知函数，则（ ）
A． B．2 C． D．4
4．设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．对于 ，且，下列说法中，正确的是（ ）
①若 ，则 ; ② 若，则;
③ 若 ，则; ④若 ，则.
A．①③ B．②④ C．② D．①②④
6．计算：（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
7．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
8．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
9．下面对函数，与在区间上的递减情况说法正确的是（ ）
A．递减速度越来越慢，递减速度越来越快，递减速度比较平稳
B．递减速度越来越快，递减速度越来越慢，递减速度越来越快
C．递减速度越来越慢，递减速度越来越慢，递减速度比较平稳
D．递减速度越来越快，递减速度越来越快，递减速度越来越快
10．已知方程在上有实数解，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知是定义在上的偶函数，且满足，当时，，若函数（其中且）恰有个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．从2015年到2022年，某企业通过持续的技术革新来降低其能源消耗，到了2022年该企业单位生产总值能耗降低了30％．如果这7年平均每年降低的百分率为，那么满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（4题）
13．指数函数在其定义域内是减函数，则实数的取值范围是_______.
14．__________.
15．函数的值域为________.
16．已知函数在区间上为增函数，则的取值范围是______.
三、解答题（6题）
17．（1）求值：；
（2） 已知 ， 求的值．
18．（1）已知实数满足，求的值．
（2）若，求证：．
19．已知指数函数的图像过点.
(1)求函数的解析式；
(2)求不等式的解集.
20．已知函数且．
(1)求函数的定义域；
(2)是否存在实数，使得函数在区间上的最大值为2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
21．已知函数，
(1)当时，求该函数的值域；
(2)若函数对于恒成立，求的取值范围.
22．已知函数（且）.
(1)若，且，求函数的零点；
(2)当时，有最小值，求的值.
参考答案：
1．A
【分析】利用根与系数的关系，结合指数幂的运算，可得答案.
【详解】由于，为方程的两个根,
利用根与系数的关系，得，
所以,
故选:A
2．C
【分析】先根据展开求值，再根据求解，原等式代入求解即可.
【详解】，则，
，
，
则，
故选：C.
3．D
【分析】根据已知直接计算即可.
【详解】由已知，所以，
故选：D
4．A
【分析】利用幂函数和指数函数的性质比较大小即可.
【详解】因为在上单调递增，且，
所以，即，
因为在上单调递减，且，
所以，即，
所以，
故选：A.
5．C
【分析】根据对数的含义以及性质一一判断各选项，即可判断出答案.
【详解】对于①，当 时， 都没有意义，故不成立;
对于②，，则必有 ，故正确;
对于③，当 互为相反数且不为 0 时，也有，但此时，故错误;
对于④，当时，都没有意义，故错误.
综上，只有②正确.
故选：C
6．B
【分析】由对数的运算法则化简即可求得.
【详解】由对数运算法则化简得
故选：B
7．D
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，则它们是同一函数，对选项逐一判断即可.
【详解】对于A，的定义域为，而的定义域为，定义域不同，不是同一函数；
对于B，的定义域为，而的定义域为，定义域不同，不是同一函数；
对于C，的定义域为，而的定义域为，定义域不同，不是同一函数；
对于D，，，它们的定义域为，对应关系也相同，是同一函数.
故选：D
8．A
【分析】由对数真数大于零、分式分母不等于零可构造不等式组求得结果.
【详解】由得：且，的定义域为.
故选：A.
9．C
【分析】作出三个函数的图象，由此可得出结论.
【详解】观察函数、、在区间上的图象如下图所示：
函数的图象在区间上递减较快，但递减速度逐渐变慢；
函数在区间上，递减较慢，且越来越慢．
同样，函数的图象在区间上递减较慢，且递减速度越来越慢．
函数的图象递减速度比较平稳．
故选：C.
10．D
【分析】令，求出对称轴，然后分和两种情况讨论即可.
【详解】令，则对称轴为，
当时，在上为增函数，
因为方程在上有实数解，
所以，即，解得，
当时，因为方程在上有实数解，
所以，解得或（舍去），
综上或，
故选：D
11．B
【分析】由函数（其中且）恰有个不同的零点，得，即，恰有个不同的解，，又得函数是周期函数，且最小正周期，函数为偶函数，图象关于直线对称，根据数形结合及即可.
【详解】由题知，
因为函数（其中且）恰有个不同的零点，
所以，即，恰有个不同的解，
令
因为由函数是偶函数知，函数的图象关于轴对称，
由，
所以函数是周期函数，且最小正周期，
因为易知函数为偶函数，图象关于直线对称，
当时，由函数的图象与函数的图象知，
函数的图象与函数的图象有且只有2个交点，
即方程有且只有2个不相等的实数根，不符合题意，舍去；
当时，在同一坐标系中作出函数图象与函数的图象，
如图所示，由图知，函数图象与函数的图象有6个不同交点，
即方程有6个不相等的实数根，
所以，解得，
故选：B.
12．D
【分析】设2015年该企业单位生产总值能耗为，根据题意列出2022年该企业单位生产总值能耗得到方程即可.
【详解】设2015年该企业单位生产总值能耗为，
则到2022年该企业单位生产总值能耗为，
由题设可得，即，
故选：D.
13．
【分析】根据指数函数的性质和题意可得：，解之即可求解.
【详解】因为指数函数在其定义域内是减函数，
所以，解之可得：，
则实数的取值范围是，
故答案为：.
14．
【分析】根据对数的运算、指数的运算求解即可.
【详解】.
故答案为：.
15．
【分析】利用换元法结合对数函数和指数函数的性质求解即可.
【详解】函数的定义域为，
令，则，
因为，所以，即，
所以，即，
所以函数的值域为，
故答案为：
16．
【分析】根据对数函数的定义域以及复合函数的单调性分析运算.
【详解】由题意可得：在上恒成立
∵，，则函数在上为减函数，
∴，解得，
当时，则在上为减函数，故在上为增函数，即符合题意，
故的取值范围是.
故答案为：.
17．（1） ；（2） ．
【分析】（1）利用幂的运算性质即可求解；（2）根据式子结构，利用平方法可以求解.
【详解】（1）
．
（2） 因为 ， 所以，
即， 所以，
即．
18．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用指数幂的运算求出的值，再利用平方差公式可求得的值；
（2）利用指数与对数的换算可得出，，，再利用换底公式以及对数的运算性质可证得结论成立.
【详解】（1）解：，，，
又，，所以；
（2）证明：设，则且，，，
，，，
，.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据待定系数法即可求解，
（2）根据指数函数的单调性即可求解.
【详解】（1）设指数函数（且），
∵函数的图像过点，∴，解得或（舍）.
∴.
（2）由（Ⅰ）知不等式等价于.
∴，∴.
∴不等式的解集为.
20．(1)；
(2)存在实数时，使得函数在区间上的最大值为2．
【分析】（1）由题意解出即可；
（2）利用换元法以及对数函数性质分析即可.
【详解】（1）依题意，
即，
所以
即，
所以函数的定义域为．
（2），
令，
则，
．
易知二次函数的图像开口向下，
对称轴为直线，
所以函数在上单调递增，
所以．
假设存在满足题意的实数，
当时，函数单调递增，
，解得或（舍去），
当时，函数单调递减，
，解得（舍去），
综上，存在实数时，
使得函数在区间上的最大值为2．
21．(1)
(2)
【分析】（1）换元设，结合二次函数的对称性求最值；（2）换元设，由题意可得对于恒成立，根据单调性求，的最大值，运算求解.
【详解】（1）由题意可得：，
设，当时，则
故函数转化为，
∵函数开口向上，对称轴为，
则在上单调递减，在上单调递增，且，
∴，
故的值域为.
（2）当时，则，
∵对于恒成立，即，
∴对于恒成立，
令，，
对，且，
则，
∵，则，
则，即，
∴在上为增函数，则，
故，即，
∴的取值范围是.
22．(1)6
(2)
【分析】(1)利用函数零点的定义以及对数的运算求解；(2)根据复合函数的单调性讨论最值求解.
【详解】（1）时，定义域为，
令，
即，所以，
即解得（舍）或.
所以的零点为6.
（2）,，
令，，
则在单调递增，
若，在单调递减，
解得，
若，在单调递增，
无最小值，不满足题意，
所以.