第四章 指数函数与对数函数 复习与检测（含解析）

第四章 指数函数与对数函数 复习与检测
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某化工厂对产生的废气进行过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为：，其中是正的常数．如果在前消除了的污染物，则污染物减少需要花费的时间为（ ）
（精确到，参考数据）
A．30 B．31 C．32 D．33
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．根据《道路交通安全法》规定：驾驶员在血液中的酒精含量大于或等于20mg/100mL/小于80mg/100mL时的驾驶行为视为饮酒驾驶．某人喝了酒后，血液中的酒精含量升到60mg/100mL．在停止喝酒后，若血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，为了保障交通安全，这人至少经过几小时才能开车（ ）（精确到1小时，参考数据，）
A．7 B．6 C．5 D．4
4．若函数对恒有意义，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，，则
A． B．
C． D．
6．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）（是自然对数的底数）
A． B．
C． D．
7．已知函数，，的零点分别，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．已知函数（），其中，若方程恰好有3个不同解，，（），则与的大小关系为（ ）
A．不能确定 B． C． D．
二、多选题
11．设函数，，，下列函数说法正确的是（ ）
A．在区间上为增函数 B．的图象关于点成中心对称
C．的图象关于轴成轴对称 D．的值域为
12．在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
13．已知的定义域为，其函数图象关于直线对称且，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．为偶函数 B．在上单调递减
C．关于对称 D．
14．已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
15．若函数则________．
16．________.
17．函数与函数在区间上增长速度较快的一个是__________.
18．若是函数的一个零点，则的另一个零点为______.
四、解答题
19．新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品．该公司每年产生此药品不超过300千件，此药品的年固定成本为250万元，每生产x千件需另投入成本为（万元）．每千件药品售价为50万元，在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完．
（Ⅰ）当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？利润最大是多少？
（Ⅱ）当年产量为多少千件时，每千件药品的平均利润最大？并求最大平均利润．
20．已知是函数的一个零点，且．
(1)求的解析式；
(2)利用函数单调性的定义证明：在上是增函数．
21．化简计算
(1)
(2)
参考答案：
1．D
【分析】根据所给数据先求，再解即可得解.
【详解】由题意当时，，当时，，
所以，解得，所以．
当时，有，
即，解得．
故选：D．
2．D
【分析】由对数函数的定义域可得，用列举法表示出，从而可选出正确选项.
【详解】解：因为，，所以，.
故选:D.
【点睛】本题考查了集合的化简，考查了两集合的关系，考查了集合的交集运算，考查了集合的并集运算.本题的关键和易错点是对集合的化简.
3．C
【解析】设这人至少经过小时才能开车，根据血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，由求解.
【详解】设这人至少经过小时才能开车，
由题意得：，即，
所以 ，
所以这人至少经过5小时才能开车，
故选：C
4．D
【分析】根据对数函数以及基本不等式求出的取值范围即可．
【详解】由题意得：对恒成立，
即恒成立，
令，当且仅当即时，有最小值，
故，
故选：．
5．C
【分析】由题意可知，三个数中的值最小，再根据换地公式可知，，即可得到结果.
【详解】因为，，，所以最小.
又因为，，所以，所以.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了对数的大小比较以及对数换地公式的应用，属于基础题.
6．A
【分析】根据图象观察函数定义域和在处的函数值符号可排除错误选项.
【详解】由图知，，可排除BC；又由图可知，因为选项D中函数，则，故D错误.
故选：A
7．A
【分析】先判断出三个函数的单调性，再分别判断三个函数函数值的正负情况，得出零点的值或范围，即可得到答案．
【详解】解：因为函数，，，
所以函数，，均为增函数，
当时，恒成立，故的零点小于0，即，
当时，恒成立，当时，，所以，
当时，，故，
故．
故选：A．
8．D
【分析】根据指数函数与对数函数的性质，得到且，令，设，结合函数的单调性与最值，得出，即可求解.
【详解】根据指数函数与对数函数的性质，可得，即，
，，所以且
令，因为，所以，
设，则函数在上为单调递增函数，
所以，
因为且，所以，
所以，所以，
所以.
故选：D.
9．C
【分析】y＝f(x)＋3x的零点个数就是y＝f(x)与y＝－3x两个函数图象的交点个数，列方程可得有2个解，即原函数有2个零点.
【详解】函数y＝f(x)＋3x的零点个数就是y＝f(x)与y＝－3x两个函数图象的交点个数，
当时，与y＝－3x无交点
当时，令或时， 有2个交点，
所以函数有2个零点
故选：C
【点睛】本题考查了函数的零点个数问题，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.
10．A
【分析】先求出，得到（极大值），（极小值），（极大值），（极小值）．再分三种情况讨论结合数形结合分析得解.
【详解】，．
当时，，
即，
当时，，
若，则，；
若，则，，
又，∴，
又（极大值），（极小值），（极大值），
（极小值）．
要使恰好有3个不同解，结合图象得：
①当，即时，得，不存在这样的示数．
②当，即时，解得，
此时，又因为与关于对称，
∴，∴．
③当，即时，解得．
此时，，是方程的两实根，
所以，而，所以.
故选：A．
【点睛】方法点睛：研究函数的零点问题常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令函数得到分析函数的图象即得解）. 数形结合是高中数学的一种重要数学思想，要注意灵活运用，提高解题效率.
11．ABC
【分析】写出解析式，根据指数函数的性质可判断A；利用可判断B；利用函数为偶函数可判断C；利用指数函数的性质以及基本不等式可判断D.
【详解】A，由题意可得，
因为在区间上单调递增，
所以在区间上为增函数，A正确；
B，，
所以的图象关于点成中心对称，故B正确；
C，，
，即，
的图象关于轴成轴对称，故C正确；
D，，，
，
当且仅当，即时取等号，
所以，
的值域为 ，故D错误.
故选：ABC
12．BD
【分析】分和两种情况讨论两个函数的单调性进行判断.
【详解】当时，在单调递增且其图象恒过点，
在单调递增且其图象恒过点，
则选项B符合要求；
当时，在单调递减且其图象恒过点，
在单调递减且其图象恒过点，
则选项D符合要求；
综上所述，选项B、D符合要求.
故选：BD.
13．ACD
【分析】由可得函数的周期性，再根据函数的对称性即可得到函数的奇偶性，根据函数在的函数解析式判断函数在上的单调性，最后根据周期性与奇偶性求出即可；
【详解】解：对于A，因为的定义域为，其函数图象关于直线对称
所以，又，所以
所以，即，所以函数为偶函数，故A正确；
对于B：因为，所以，即所以函数是周期为的周期函数，当时，，因为当时，函数在上单调递增，所以当时，，函数在上单调递增，故B错误；
对于C：因为函数图象关于直线对称，所以，又函数是偶函数，所以，即，，所以，所以关于对称，故C正确；
对于D：，又时，，所以，故D正确；
故选：ACD
14．BCD
【分析】因为指数函数比增长的快，结合不等式的解集可得，由，，利用表示和可判断B、C；再计算可判断D，进而可得正确选项.
【详解】因为指数函数比增长的快，若，则不等式的解集为不成立，所以，故选项A不正确；
因为和是方程的两根，所以，，
所以 ，所以选项B、C正确；
，故选项D正确；
故选：BCD.
15．1
【分析】利用函数的解析式，由内到外逐层计算，即可得出的值.
【详解】解：，
，则.
故答案为：1.
16．8
【分析】直接利用对数的运算法则以及指数幂的运算法则化简即可.
【详解】
.
故答案为：8.
17．
【解析】将问题转化为比较与增长速度问题，结合图象可确定结果.
【详解】，比较与的增长速度只需比较与增长速度即可，
由图象可知：的增长速度快于，
函数与函数在区间上增长速度较快的是.
故答案为：.
18．1
【分析】根据给定条件，求出a值，再解方程求出另一零点作答.
【详解】因是函数的一个零点，则，解得，
则有，由，即，解得或，
所以的另一个零点为1.
故答案为：1
19．（Ⅰ）当年产量为200千件时，所获利润最大为3750万元；（Ⅱ）当年产量为50千件时，每千件药品的平均利润最大为30万元．
【解析】（Ⅰ）根据题意可得利润，根据二次函数性质即可求出最大值；
（Ⅱ）利用基本不等式可求出最大值.
【详解】（Ⅰ）设所获利润为万元，
则由题可得（），
当时，，
所以当年产量为200千件时，在这一药品的生产中所获利润最大为3750万元；
（Ⅱ）可知平均利润为，
当且仅当，即时等号成立，
所以当年产量为50千件时，每千件药品的平均利润最大为30万元．
20．(1)；
(2)证明见解析．
【分析】（1）由函数值及零点定义列方程组求得得解析式；
（2）设，作差法证明可得．
【详解】（1）由题意，解得，
∴；
（2）设，则，，
所以，
所以，
所以在上是增函数．
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据指数的计算求解即可；
（2）根据对数与指数的计算求解即可.
【详解】（1）原式
（2）原式