第五章 三角函数 复习题（含解析）

第五章 三角函数 复习题
一、单选题（12题）
1．如果第一象限角，锐角，小于的角，那么三者之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知半径为2的扇形面积为则扇形的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，为的边上的一点，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．4
4．已知角的终边经过点，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过，则（ ）
A． B． C． D．
6．下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
7．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数且的图像过定点，且角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
9．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
10．把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
11．先将函数的周期扩大为原来的倍，再将新函数的图像向右平移，则所得图像的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
12．某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈的模型波动（的单位：千元，，，，为月份，且）．已知3月出厂价最高，为9千元，7月出厂价最低，为5千元，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（4题）
13．已知扇形的周长为，面积为，则扇形圆心角的弧度数为___________.
14．已知函数是以4为周期的奇函数，且，则______．
15．若，则__．
16．函数的最小正周期为______．
三、解答题（6题）
17．已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为
(1)若，，求扇形的弧长
(2)若扇形的周长为，当为多少弧度时，该扇形面积最大并求出最大面积．
18．（1）化简：（为第二象限角）；
（2）求证：．
19．已知
(1)化简
(2)若，求的值.
20．已知．
(1)求函数在上的单调递减区间；
(2)求函数在上的值域；
(3)求不等式在上的解集．
21．已知函数．
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)若将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，求函数在区间上的值域．
22．已知扇形（如图所示），圆心角，半径，在弧上取一点P，作扇形的内接矩形，记，矩形的面积为y.
(1)写出y与x的函数关系式，并化简；
(2)求矩形面积的最大值，并求此时x的取值.
参考答案：
1．B
【分析】利用举特例可判断ACD选项，由可判断B选项
【详解】因为第一象限角，锐角，小于的角，
所以对于A，因为，，所以，但，故，所以A错误；
对于B，，，故B正确，
对于C，∵，∴，但，所以，故C错误，
对于D，∵，，，故，，故D选项错误，
故选：B
2．C
【分析】根据扇形的面积公式，代入相关数据，即可求解.
【详解】设扇形的圆心角大小为，半径为，则由扇形的面积为，可得：，解得：扇形的圆心角．
故选：C
3．A
【分析】利用任意角的三角函数定义和勾股定理，先在中求出, 再在中求即可.
【详解】,
，
，
中， ，即，
.
故选: A.
4．C
【分析】由可得，再根据余弦函数的定义求解即可.
【详解】解：因为，
所以，
所以.
故选：C.
5．D
【分析】首先根据三角函数的定义得到，再根据诱导公式求解即可.
【详解】已知角终边经过，
所以，
所以.
故选：D
6．A
【分析】根据余弦函数，正切函数，正弦函数的性质判断B，C，D，根据函数图象判断A.
【详解】对于选项A，因为的图象如下，
由图象可得函数图象关于对称，且为周期函数，最小正周期为，
所以函数为最小正周期为的周期函数，且为偶函数，A正确；
对于选项B，函数的周期，
又，所以函数为奇函数，B错误；
对于选项C，函数为奇函数，C错误；
对于选项D，函数的最小正周期为，D错误；
故选：A.
7．B
【分析】结合对数函数的定义域得到，结合函数单调性，求出答案.
【详解】由题意得：，即，
考虑时，单调递增，最小正周期为，且，
故，
故函数的定义域为.
故选：B
8．D
【分析】根据对数型函数过定点求得，利用三角函数的定义求出，再利用诱导公式和二倍角公式求解即可.
【详解】因为当时，，所以过定点，
由三角函数的定义可得，，，
所以，
故选：D
9．D
【分析】根据辅助角公式化简得到，利用整体思想求解函数的值域.
【详解】，
因为，
所以，
因为在上单调递增，在上单调递减，
故当时，取得最大值，最大值为，
当时，取得最小值，最小值为，
故.
故选：D
10．B
【分析】根据反向平移，先将的图象先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍即可得到．
【详解】将的图象先向左平移个单位长度得到，
再将图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍得到，
所以．
故选：B．
11．A
【分析】根据图像的伸缩变换和平移规则即可得出解析式.
【详解】周期扩大为原来的倍即是横坐标扩大为原来的倍,可得,
再将新函数的图像向右平移可得,所得图像的解析式为.
故选:A
12．D
【分析】先根据最值，求出，求出最小正周期，进而求出，代入特殊点坐标求出，求出正确答案.
【详解】解：由题意得：，解得：，又最小正周期为，
所以，所以，
将代入，解得：，则，，
因为，所以当时，符合题意，
综上：.
故选：D
13．4或1
【分析】根据题意设出扇形的圆心角，半径与弧长，通过扇形的周长与面积的公式，列方程可求得半径与弧长，进而可求出圆心角.
【详解】设圆心角为，半径为，弧长为，则，
解得或，
所以或1.
故答案为：4或1.
14．
【分析】利用周期性和奇偶性求得，代入计算即可.
【详解】因为是奇函数，所以，
又因为的周期为4，所以，
所以，
故答案为：
15．
【分析】根据余弦差角公式的逆运算得到，结合，求出，再利用正弦的二倍角公式求出答案.
【详解】，，
则，
所以．
故答案为：
16．2
【分析】利用诱导公式和倍角公式化简函数解析式，由最小正周期公式求解.
【详解】，
函数最小正周期.
故答案为：2
17．(1)
(2)当时，扇形的面积最大，最大面积是．
【分析】（1）首先将角度转化为弧度，然后根据扇形的弧长公式即可得到答案；
（2）设扇形的弧长为，则，扇形的面积为，由二次函数性质即可得到面积的最大值．
【详解】（1）设扇形的弧长为．，即，.
（2）由题设条件知，,
因此扇形的面积
当时，有最大值，此时,
当时，扇形的面积最大，最大面积是．
18．(1)1;(2)证明见解析
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系化简求值；
（2）利用同角三角函数的基本关系化简证明.
【详解】（1）原式
，
因为为第二象限角，所以上式.
（2）左边右边.
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式进行化简即可；
（2）根据已知求得，利用同角三角函数关系，齐次化，弦化切，化简即可求得原式的值.
【详解】（1）由已知，
所以.
（2）由（1）知，所以，
所以
.
20．(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）通过诱导公式可得函数的单调递减区间相当于函数的单调递增区间，直接由正弦函数的单调性即可得结果；
（2）通过的范围得出的范围，由正弦函数的性质即可得结果；
（3）先求出在上的解集，再结合给定区间即可得结果.
【详解】（1），
函数的单调递减区间相当于函数的单调递增区间，
令，，
则，，
函数在上的单调递减区间为，．
（2），
，
当，即时，；
当，即时，，
函数在上的值域为
（3），
，，
，，
，或，
故不等式在上的解集为或
21．(1)，
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换整理可得，代入最小正周期运算求解，再以为整体结合正弦函数可得，运算求解的单调递减区间；（2）根据图像变换可得，以为整体结合正弦函数图像求值域．
【详解】（1）
∴的最小正周期为
∵，则
∴的单调递减区间为
（2）根据题意可得：将函数的图象向右平移个单位长度，得到
再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍(纵坐标不变)，则
∵，则
∴，则
即函数在区间上的值域为．
22．(1)，
(2)当时，
【分析】（1）利用锐角三角函数表示出，，，再根据及三角恒等变换将函数化简，即可得到函数关系式；
（2）根据正弦函数的性质计算可得；
【详解】（1）解：在直角中，，，
在直角中，， 又，
所以，
所以
，
即，.
（2）解：因为，所以，所以当，即时，.