第二章一元二次函数、方程和不等式 复习题
一、单选题(12题)
1.若且,则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
2.已知,,设,则( )
A. B. C. D.
3.下列命题为假命题的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,则
4.已知,,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知正数x,y满足,则的最小值为( )
A.2 B.4 C. D.
6.已知,,若,则的最小值为( )
A.9 B.7 C.5 D.4
7.若时,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知,,且,则的最小值为( )
A.64 B.36 C.18 D.9
9.若不等式的解集为,则值是( )
A.-10 B.-14 C.10 D.14
10.若关于的不等式的解集为空集,则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
11.函数在上的最大值是( )
A. B. C.2 D.4
12.已知函数,则函数的值域为( )
A. B. C. D.
二、填空题(4题)
13.若,则的取值范围是______.
14.已知,则的最小值为__________.
15.不等式的解集为___________.
16.已知是关于的方程的两个实根,且,则__________.
三、解答题(6题)
17.比较大小.
(1)比较与的大小;
(2)比较与的大小.
18.(1)已知、为正实数,,,.试比较与的大小,并指出两式相等的条件;
(2)求函数的最小值.
19.求解下列问题:
(1)解不等式;
(2)已知,,,求的最小值.
20.已知关于的不等式的解集为.
(1)求实数的值;
(2)正实数满足,求的最小值;
21.已知关于的不等式的解集为.求:
(1)实数的取值范围;
(2)函数的最小值
22.已知函数,a为常数.
(1)若,解关于x的不等式;
(2)若不等式对任意的恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案:
1.D
【分析】对于ABC,举反例排除即可;
对于D,利用不等式的性质即可判断.
【详解】对于A,令,则,但,故A错误;
对于B,令,则,但,故B错误;
对于C,令,则,故C错误;
对于D,因为,则,即,
又,所以,故D正确.
故选:D.
2.A
【分析】利用作差法判断的正负即可得出结果.
【详解】由题意可知,
当且仅当时,等号成立;
即.
故选:A
3.C
【分析】用不等式的性质或特殊值代入的方法逐项进行检验即可判断
【详解】对于,因为,则,则成立,故选项正确;
对于,因为,所以,则,故选项正确;
对于,因为,但不成立,故选项不正确;
对于,因为,所以,则,也即,故选项正确,
故选:.
4.A
【分析】由条件,结合不等式的性质求出的取值范围即可.
【详解】因为,所以
又,所以,
所以的取值范围是,
故选:A.
5.D
【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可.
【详解】解:因为正数x,y满足,
所以,当且仅当,即时等号成立,
所以的最小值为.
故选:D
6.A
【分析】将代入,利用基本不等式求解即可.
【详解】解:因为,,若,
所以,
当且仅当,即时,等号成立.
故选:A.
7.A
【分析】将不等式等价转化为,利用均值不等式求出不等式左边的最小值即可求解.
【详解】由题意可知:不等式恒成立等价转化为,
因为,所以,
则
(当且仅当,也即时等号成立),
所以,
故选:.
8.C
【分析】首先利用“1”的妙用,变形,展开后,利用基本不等式求最小值.
【详解】因为,
所以,
当,即,即时,等号成立,
所以的最小值为.
故选:C
9.A
【分析】由题意可知方程的根为,结合根与系数的关系得出,从而得出的值.
【详解】由题意可知方程的根为
由根与系数的关系可知,
解得
即
故选:A
10.A
【分析】根据一元二次不等式与二次函数的联系即可得解.
【详解】因为不等式的解集为空集,
所以,即,
解得,即实数的取值范围为.
故选:A.
【点睛】本题考查根据一元二次不等式的解集求参数范围,理解一元二次不等式与二次函数之间的联系是解题的关键,考查学生的逻辑推理能力和运算能力,属于基础题.
11.C
【分析】先对函数化简,然后分和两种情况求其最大值即可.
【详解】,
当时,,
由,得,
所以当时,取得最大值;
当时,,
由,得,
所以当时,取得最大值,
综上的最大值为2,
故选:C.
12.B
【分析】比较顶点与区间端点函数值即可求出结果.
【详解】,对称轴,
因为所以函数的值域为:
故选:B
13.
【分析】根据条件得到,得到取值范围.
【详解】,故,则,
又,故.
故答案为:
14.
【分析】由已知条件构造出,然后与相乘,构造出基本不等式,利用基本不等式即可.
【详解】因为,
所以,
又,
所以,
所以,
当且仅当,即时取等号,
所以的最小值为:,
故答案为:.
15.
【分析】利用一元二次不等式的解法即可求得结果.
【详解】不等式即,
解得或,
故答案为:
16.2
【分析】根据根与系数的关系结合条件即得.
【详解】因为是关于的方程的两个实根,
则,又,
所以,
解得或,
经判别式检验知.
故答案为:2.
17.(1);
(2).
【分析】(1)作差整理,即可得出结果;(2)作差整理,即可得出结果.
【详解】(1)作差有,
,
所以,.
(2)作差有,,
所以,.
18.(1),当时两式相等;(2)49.
【分析】(1)利用作差法,结合代数运算即可求解;
(2)适当配凑后,结合“1”的妙用以及基本不等式即可求得结果.
【详解】(1)作差比较:=,
所以,,当时两式相等.
(2)因为,故可得,
则
,
当且仅当,,即取得等号,
故的最小值为.
19.(1)
(2)
【分析】(1)根据分式不等式的求法求得正确答案.
(2)利用基本不等式求得正确答案.
【详解】(1)不等式可化简为,
即,解得或.
故原不等式的解集为.
(2)∵,∴,且,,
∴,
当且仅当,即,时等号成立.
故的最小值为9.
20.(1).
(2)9.
【分析】(1)由一元二次不等式的解集可知和是方程的两个根,由此利用根与系数的关系,即可求得答案;
(2)由已知结合(1)可得,将变形为,展开后利用基本不等式即可求得答案.
【详解】(1)由题意可得和是方程的两个根,
由根与系数的关系可得 ,解得.
(2)正实数满足,由(1)可得,即,
所以,
当且仅当,即时等号成立,
所以的最小值为9.
21.(1)
(2)4
【分析】(1)利用判别式的正负即可求解;
(2)利用基本不等式即可求解.
【详解】(1)∵不等式的解集为.
∴,解得
∴实数的取值范围为.
(2)由(1)知,∴
∴函数,
当且仅当,即时取等号
∴的最小值为4.
22.(1)
(2)
【分析】(1)代入解分式不等式即可.(2)由于不等式对任意的恒成立,则参变分离,转化为函数的最值解决即可.
【详解】(1)(1)∵,∴,即,化简得,
即∴解得,∴时,关于x的不等式的解集为.
(2)(2)对任意,,即,
恒成立,所以.
令,则,,
,
当且仅当,即,时取“=”,所以,
故实数a的取值范围为.