第二章 一元二次函数、方程和不等式 复习题-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含解析）

第二章一元二次函数、方程和不等式 复习题
一、单选题（12题）
1．若且，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，，设，则（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题为假命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
4．已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知正数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
6．已知，，若，则的最小值为（ ）
A．9 B．7 C．5 D．4
7．若时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．64 B．36 C．18 D．9
9．若不等式的解集为，则值是（ ）
A．-10 B．-14 C．10 D．14
10．若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
11．函数在上的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．4
12．已知函数，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（4题）
13．若，则的取值范围是______．
14．已知，则的最小值为__________．
15．不等式的解集为___________．
16．已知是关于的方程的两个实根，且，则__________.
三、解答题（6题）
17．比较大小.
(1)比较与的大小；
(2)比较与的大小.
18．（1）已知、为正实数，，，．试比较与的大小，并指出两式相等的条件；
（2）求函数的最小值．
19．求解下列问题：
(1)解不等式；
(2)已知，，，求的最小值.
20．已知关于的不等式的解集为.
(1)求实数的值；
(2)正实数满足，求的最小值；
21．已知关于的不等式的解集为.求：
(1)实数的取值范围；
(2)函数的最小值
22．已知函数，a为常数.
(1)若，解关于x的不等式；
(2)若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围.
参考答案：
1．D
【分析】对于ABC，举反例排除即可；
对于D，利用不等式的性质即可判断.
【详解】对于A，令，则，但，故A错误；
对于B，令，则，但，故B错误；
对于C，令，则，故C错误；
对于D，因为，则，即，
又，所以，故D正确.
故选：D.
2．A
【分析】利用作差法判断的正负即可得出结果.
【详解】由题意可知，
当且仅当时，等号成立；
即.
故选：A
3．C
【分析】用不等式的性质或特殊值代入的方法逐项进行检验即可判断
【详解】对于，因为，则，则成立，故选项正确；
对于，因为，所以，则，故选项正确；
对于，因为，但不成立，故选项不正确；
对于，因为，所以，则，也即，故选项正确，
故选：.
4．A
【分析】由条件，结合不等式的性质求出的取值范围即可.
【详解】因为，所以
又，所以，
所以的取值范围是，
故选：A.
5．D
【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可.
【详解】解：因为正数x，y满足，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故选：D
6．A
【分析】将代入，利用基本不等式求解即可.
【详解】解：因为，，若，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：A.
7．A
【分析】将不等式等价转化为，利用均值不等式求出不等式左边的最小值即可求解.
【详解】由题意可知：不等式恒成立等价转化为，
因为，所以，
则
（当且仅当，也即时等号成立），
所以，
故选：.
8．C
【分析】首先利用“1”的妙用，变形，展开后，利用基本不等式求最小值.
【详解】因为，
所以，
当，即，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：C
9．A
【分析】由题意可知方程的根为，结合根与系数的关系得出，从而得出的值.
【详解】由题意可知方程的根为
由根与系数的关系可知，
解得
即
故选：A
10．A
【分析】根据一元二次不等式与二次函数的联系即可得解．
【详解】因为不等式的解集为空集，
所以，即，
解得，即实数的取值范围为.
故选：A．
【点睛】本题考查根据一元二次不等式的解集求参数范围，理解一元二次不等式与二次函数之间的联系是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
11．C
【分析】先对函数化简，然后分和两种情况求其最大值即可.
【详解】，
当时，，
由，得，
所以当时，取得最大值；
当时，，
由，得，
所以当时，取得最大值，
综上的最大值为2，
故选：C.
12．B
【分析】比较顶点与区间端点函数值即可求出结果．
【详解】，对称轴，
因为所以函数的值域为：
故选：B
13．
【分析】根据条件得到，得到取值范围.
【详解】，故，则，
又，故.
故答案为：
14．
【分析】由已知条件构造出，然后与相乘，构造出基本不等式，利用基本不等式即可.
【详解】因为，
所以，
又，
所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为：，
故答案为：.
15．
【分析】利用一元二次不等式的解法即可求得结果.
【详解】不等式即,
解得或，
故答案为：
16．2
【分析】根据根与系数的关系结合条件即得.
【详解】因为是关于的方程的两个实根，
则，又，
所以，
解得或，
经判别式检验知.
故答案为：2.
17．(1)；
(2).
【分析】（1）作差整理，即可得出结果；（2）作差整理，即可得出结果.
【详解】（1）作差有，
，
所以，.
（2）作差有，，
所以，.
18．（1），当时两式相等；（2）49.
【分析】（1）利用作差法，结合代数运算即可求解；
（2）适当配凑后，结合“1”的妙用以及基本不等式即可求得结果.
【详解】（1）作差比较：=，
所以，，当时两式相等．
（2）因为，故可得，
则
，
当且仅当，，即取得等号，
故的最小值为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据分式不等式的求法求得正确答案.
（2）利用基本不等式求得正确答案.
【详解】（1）不等式可化简为，
即，解得或.
故原不等式的解集为.
（2）∵，∴，且，，
∴，
当且仅当，即，时等号成立.
故的最小值为9.
20．(1).
(2)9.
【分析】（1）由一元二次不等式的解集可知和是方程的两个根，由此利用根与系数的关系，即可求得答案；
（2）由已知结合（1）可得，将变形为，展开后利用基本不等式即可求得答案.
【详解】（1）由题意可得和是方程的两个根，
由根与系数的关系可得 ，解得.
（2）正实数满足，由（1）可得，即，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为9.
21．(1)
(2)4
【分析】（1）利用判别式的正负即可求解；
（2）利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）∵不等式的解集为.
∴，解得
∴实数的取值范围为.
（2）由（1）知，∴
∴函数，
当且仅当，即时取等号
∴的最小值为4.
22．(1)
(2)
【分析】(1)代入解分式不等式即可.(2)由于不等式对任意的恒成立，则参变分离，转化为函数的最值解决即可.
【详解】（1）（1）∵，∴，即，化简得，
即∴解得，∴时，关于x的不等式的解集为.
（2）（2）对任意，，即，
恒成立，所以.
令，则，，
，
当且仅当，即，时取“=”，所以，
故实数a的取值范围为.