2.2 基本不等式 综合应用专题试卷（含解析）

高一数学《基本不等式》综合应用专题试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．已知，，，则的最小值为（ ）
A． B．12 C． D．6
3．若正实数x，y满足，则（ ）
A．有最小值8 B．有最小值9 C．有最大值8 D．有最大值9
4．已知，，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．有最小值4 B．有最小值1
C．有最大值4 D．有最小值4
5．某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位元（试剂的总产量为单位，），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（ ）
A．60单位 B．70单位 C．80单位 D．90单位
6．若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，且，则的最小值为（ ）
A． B．8 C． D．10
8．已知正数x，y满足，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知正数a，b满足，则（ ）
A．ab的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为4 D．的最小值为2
10．已知实数，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．有最小值 B．有最大值
C．有最小值 D．有最大值
11．（多选）下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为2
B．已知x＞1，则的最小值为
C．若正数x、y满足x+2y＝3xy，则2x+y的最小值为3
D．设x、y为实数，若9x2+y2+xy＝1，则3x+y的最大值为
12．已知，，且，则（ ）
A．的取值范围 B．的取值范围是
C． D．的最小值是
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分.共20分．
13．已知，且，则的最小值为_________ .
14．若，则的最小值为___________.
15．已知，则函数的最小值为_______.
16．已知且，则的最小值为___________.
四、解答题（70分）
17．（10分）正数x，y满足.
(1)求xy的最小值；
(2)求x＋2y的最小值．
18．（12分）求下列函数的最值
（1）求函数的最小值.
（2）若正数，满足，求的最小值.
19．（12分）（1）若，求的最小值及对应的值；
（2）若，求的最小值及对应的值．
20．（12分）（1）设，求的最大值；
（2）已知，，若，求的最小值．
21．（12分）第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至8月8日在四川成都举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件.
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入， 该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入( - 600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.
22．（12分）已知均为正实数，且满足证明：
(1)；
(2)．
参考答案及详解
1．已知，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【详解】，
，
当且仅当，即时取等号，
故选：D.
2．已知，，，则的最小值为（ ）
A． B．12 C． D．6
【答案】A
【详解】因为，，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：A.
3．若正实数x，y满足，则（ ）
A．有最小值8 B．有最小值9 C．有最大值8 D．有最大值9
【答案】B
【详解】由得，
则，
当且仅当时等号成立，
故有最小值9．
故选：B.
4．已知，，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．有最小值4 B．有最小值1
C．有最大值4 D．有最小值4
【答案】A
【详解】解： ，，且，
对于A，，当且仅当时取等号，所以A正确，
对于B，因为，所以，当且仅当时取等号，即有最大值1，所以B错误，
对于C，因为，当且仅当时取等号，即有最小值4，所以C错误，
对于D，因为，当且仅当时取等号，即有最大值4，所以D错误，
故选：A
5．某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位元（试剂的总产量为单位，），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（ ）
A．60单位 B．70单位 C．80单位 D．90单位
【答案】D
【详解】解：设每生产单位试剂的成本为，
因为试剂总产量为单位，则由题意可知，原料总费用为元，
职工的工资总额为元，后续保养总费用为元，
则，
当且仅当，即时取等号，
满足，
所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．
故选：D．
6．若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：因为，所以，当且仅当即时取等号，因为恒成立，所以，即；
故选：C
7．已知，且，则的最小值为（ ）
A． B．8 C． D．10
【答案】D
【详解】整理为：，由基本不等式得：，即，解得：或，由于，所以舍去，从而的最小值是10
故选：D
8．已知正数x，y满足，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令，，则，
即，
∴
，
当且仅当，即，时，等号成立，
故选：A.
二、多选题
9．已知正数a，b满足，则（ ）
A．ab的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为4 D．的最小值为2
【答案】AB
【分析】由利用基本不等式求ab的最大值，再求的最小值，由利用基本不等式求其最小值，再求的最小值.
【详解】∵ a，b为正实数，
∴ ，当且仅当时等号成立，又，
∴ ，当且仅当，时等号成立，
∴ ab的最大值为，A对，
时取等号 ，因为,
∴ ,其 最小值不是2，D错，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
又，
∴ ，当且仅当，时等号成立，
∴的最小值为， B对，
∵ ，
∴ ，当且仅当，时等号成立，
∴ 的最小值为8，C错，
故选：AB.
10．已知实数，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．有最小值 B．有最大值
C．有最小值 D．有最大值
【答案】AC
【详解】，解不等式得或，故，
等号当且仅当时取得，故有最小值9，则A对，B错；
，解不等式得或，又，
故，当且仅当时取等号，故有最小值6，则C对，D错，
故选：AC．
11．（多选）下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为2
B．已知x＞1，则的最小值为
C．若正数x、y满足x+2y＝3xy，则2x+y的最小值为3
D．设x、y为实数，若9x2+y2+xy＝1，则3x+y的最大值为
【答案】BCD
【详解】解：对于A选项，当x=-1时，，故A选项错误，
对于B选项，当x＞1时，x﹣1＞0，
则，
当且仅当时，等号成立，故B选项正确，
对于C选项，若正数x、y满足x+2y＝3xy，
则，
，
当且仅当x＝y＝1时，等号成立，故C选项正确，
对于D选项，
，
所以，可得，
当且仅当y＝3x时，等号成立，故3x+y的最大值为，D选项正确.
故选：BCD.
12．已知，，且，则（ ）
A．的取值范围 B．的取值范围是
C． D．的最小值是
【答案】CD
【详解】因为,且,所以，
当且仅当时取等号，注意到，则解得,
即,所以的取值范围为，故A错误;
又,且仅当时取等号,
解得，又，故B错误，
由,得,
所以，，
所以，
当且仅当，即或，无法取到，故，故C正确；
，
,当且仅当,即时取等号,
此时取得最小值，故D正确.
故选：CD.
第II卷（非选择题）
三、填空题
13．已知，且，则的最小值为_________ .
【答案】6
【分析】根据基本不等式，即可求解.
【详解】解：∵
∴，（当且仅当，取“=”）
故答案为：6.
14．若，则的最小值为___________.
【答案】
【详解】若，则，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故答案为：.
15．已知，则函数的最小值为_______.
【答案】7
【分析】由，得，构造导数关系，利用基本不等式即可得到.
【详解】法一：，，
，
当且仅当，即时等号成立，
故答案为：7.
法二：，令得或，
当时函数单调递减，
当时函数单调递增，
所以当时函数取得最小值为：，
故答案为：7.
16．已知且，则的最小值为___________.
【答案】
【详解】解：令，，因为，所以，
则，，所以,
所以
，
当且仅当，即，，即时取“”，
所以的最小值为.
故答案为：.
四、解答题
17．正数x，y满足.
(1)求xy的最小值；
(2)求x＋2y的最小值．
【答案】(1)36；(2)
【分析】(1)由基本不等式可得，再求解即可；
(2)由，再求解即可.
【详解】解：(1)由得xy≥36，当且仅当，即时取等号，
故xy的最小值为36.
(2)由题意可得，
当且仅当，即时取等号，
故x＋2y的最小值为.
18．求下列函数的最值
（1）求函数的最小值.
（2）若正数，满足，求的最小值.
【答案】（1）；（2）5.
【详解】（1），当且仅当即时等号成立，
故函数的最小值为.
（2）由得，
则，
当且仅当,即，时等号成立，
故的最小值为5.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
19．（1）若，求的最小值及对应的值；
（2）若，求的最小值及对应的值．
【答案】（1）最小值为5，；（2）最小值为，．
【分析】（1）化简，再利用基本不等式求解；
（2）化简，再利用基本不等式求解.
【详解】（1）因为，所以，
当且仅当即时等号成立，函数取最小值5；
（2）
当且仅当即时等号成立，函数取最小值.
20．（1）设，求的最大值；
（2）已知，，若，求的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）将转化为，用基本不等式求最大值即可；
（2）将变形为，整理后用基本不等式求最值.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为；
（2）因为，，所以，．
又，所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．
21．第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至8月8日在四川成都举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件.
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入， 该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入( - 600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.
【答案】(1)要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元
(2)当该商品改革后的销售量至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元
（2）依题意，时，不等式有解，等价于时，有解，利用基本不等式，可以求得结论．
【详解】（1）解：设每件定价为t元，依题意得，
整理得 ，
解得.
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.
（2）解：依题意，时，
不等式有解
等价于时，有解
（当且仅当时，等号成立）
．此时该商品的每件定价为30元
当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
22．已知均为正实数，且满足证明：
(1)；
(2)．
【详解】（1）均为正实数，则当且仅当时取“”，
同理可得：，当且仅当，时等号成立，
故当且仅当时取“”，
又，
故.
（2）
当且仅当时取“”，
同理当且仅当时取“”，
当且仅当时取“”．
又由，
可知．
当且仅当时取“”．
所以，
故．
当且仅当时取“”．