第六章 平面向量及其应用 单元测试-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含答案）

第六章 平面向量及其应用单元测试
一、单选题
1．下列物理量中哪个是向量（ ）
A．质量 B．功 C．温度 D．力
2．给出下列说法：①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，四边形是等腰梯形，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量满足，那么向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．在正方形ABCD中，M是BC的中点．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，则在上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
7．已知是平面内两个不共线的向量，下列向量中能作为平面的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
8．在中，若，且，则是（ ）.
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
A．若为单位向量，则 B．若与共线，则或
C．若，则 D．是与非零向量共线的单位向量
10．如图，是所在平面内任意一点，是的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
12．在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．若，则的面积是15 D．若，则外接圆半径是
三、填空题
13．，，，均为非零向量，且，，，则四边形ABCD的形状是______．
14．已知非零向量满足，且，则__________．
15．已知向量，，则__．
16．为提高执法效能，国家决定组建国家海洋局，国家海洋局以中国海警局名义开展海上维权执法.某海警船从海岛出发，沿南偏东的方向航行40海里后到达海岛，然后再从海岛出发，沿北偏东的方向航行了海里到达海岛.如果海警船直接从海岛出发到海岛，则航行的路程为__________海里.
四、解答题
17．如图，多边形ABCDEF为正六边形，在以此六边形各顶点和中心为起点、终点的向量中：
(1)写出与相等的向量；
(2)写出的负向量；
(3)写出与平行的向量；
(4)写出与长度相等的向量．
18．已知向量．
(1)求证：三点共线．
(2)若，求的值．
19．已知，．
(1)若，求；
(2)若，求；
(3)若与垂直，求当k为何值时，？
20．（1）若向量，求与的夹角；
（2）已知，求与夹角的余弦值.
21．在中，角所对的边分别为．已知且．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
22．在中，角，，所对的边分别为，，，且．
(1)求角的大小；
(2)若为边上的高，若，求的最大值．
答案
1．D
2．C
3．B
4．D
5．C
6．B
7．C
8．B
9．CD
10．BCD
11．BD
12．AD
13．矩形
14．
15．
16．
17．（1）两向量相等是指两向量方向相同，长度相等，由图可得与相等的向量为：，，；
（2）向量的负向量是指与方向相反，长度相等的向量，由图可得的负向量为：，，，；
（3）两向量平行，是指两向量方向相同或相反，由图可得平行的向量为：
，，，，，，，，.
（4）由图，因图形为正六边形，则，故与长度相等的向量为：，，，，.
18．（1）证明：∵，故三点共线；
（2），，
则有，即，解得
19．（1）由可知，两向量的夹角为或，
当夹角为时，；
当夹角为时，；
所以，.
（2）由题意可知，
若，则
，
所以.
（3）由与垂直可得，即；
若，则，
即，得，
所以.
当时，.
20．（1），，
，
，，
设与的夹角为θ(0≤θ≤π)，则，
.
（2）由题意知，
，
所以，设的夹角为，
则.
21．（1）由边化角可得，
又因为,所以，
又因为得，
将代入，整理得，
或（舍），所以.
（2）由（1）得得，，且，
则，
所以.
（3）由余弦定理，
得，
因为,所以，
又因为，所以，
所以
,
所以
.
22．（1），由正弦定理，
得，
由，
得，又，
所以，有，即，
又，所以；
（2）由，得，
由余弦定理及，
得，
当且仅当时取到等号.
所以，故，
即的最大值为1.