黑龙江省哈尔滨市道外区第七十二中学2022-2023学年九年级数学上册第三次月考测试题(含解析)

黑龙江省哈尔滨市第七十二中学2022-2023学年九年级数学上册第三次月考测试题（附答案）
一、选择题（满分30分）
1．下列实数中，无理数是（　　）
A．π B．1.13 C． D．﹣|﹣5|
2．抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+5的顶点坐标是（　　）
A．（1，5） B．（﹣1，5） C．（1，﹣5） D．（﹣1，﹣5）
3．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，是一个由3个相同的正方体组成的立体图形，则它的主视图为（　　）
A． B． C． D．
5．关于抛物线y＝﹣（x+2）2+6图象的性质，下列说法错误的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴x＝﹣2
C．顶点坐标是（﹣2，6） D．与x轴没有交点
6．已知反比例函数y＝的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是（　　）
A．k＞2 B．k≥2 C．k≤2 D．k＜2
7．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，点A落在A′位置，若A′C⊥AB，则∠B′A′C的度数为（　　）
A．45° B．60° C．70° D．90°
8．把抛物线y＝2（x+3）2﹣5向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得新的抛物线解析式为（　　）
A．y＝2（x+5）2﹣7 B．y＝2（x+1）2﹣7
C．y＝2（x+1）2+3 D．y＝2（x+5）2+3
9．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：AE＝2：3，△BDC的面积为25，则四边形AEFB的面积为（　　）
A．25 B．9 C．21 D．16
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列四个结论：①ac＜0；②b﹣2a＜0；③b2﹣4ac＜0；④4a﹣2b+c＜0．其中正确的结论有（　　）个
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（共30分）.
11．数1 130 000用科学记数法可表示为 　 　．
12．函数y＝中自变量x的取值范围是　 　．
13．因式分解：xy2﹣4x＝　 　．
14．二次函数y＝2x2﹣8x+1的最小值是　 　．
15．不等式组的解集为　 　．
16．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形面积是　 　．
17．如图，AB切⊙O于点B，连接OA，若OA＝2OB，则∠A的度数是　 　度．
18．分别写有﹣5，﹣9，0，5，9的五张外观形状完全相同的卡片，蒙上眼睛从中任抽一张，那么抽到表示非负数的卡片概率是　 　．
19．在正方形ABCD中，AB＝2，点P是正方形边上一点，若PD＝2AP，则AP的长为 　 　．
20．已知，如图AC和DE是△ABD的两条高，交于点F，∠CAD＝45°，DF＝17，BE＝5，则BC的长为 　 　．
三、解答题（共计60分）.
21．先化简，再求值：÷﹣，其中x＝2tan60°﹣4sin30°．
22．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，其中端点A、B均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出平行四边形ABCD，点C和点D均在小正方形的顶点上，且平行四边形ABCD的面积为12；
（2）在图中画出以AB为腰的等腰直角△ABE，且点E在小正方形的顶点上；
（3）连接DE，直接写出DE的长．
23．为评估九年级学生在“新冠肺炎”疫情期间“空中课堂”的学习效果，某中学抽取了部分参加调研测试的学生成绩作为样本，并把样本分为优、良、中、差四类，绘制成了如图1、图2所示的两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）该校九年级共有445人参加了这次调研测试，请估算该校九年级共有多少名学生的成绩达到了优秀？
24．如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，BP∥AC，CP∥BD．
（1）求证：OP＝AD；
（2）不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的平行四边形．
25．某大型商场准备购买一批A型和B型商品，已知一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元，用6000元采购A型商品的件数是用1200元采购B型商品的件数的2倍．
（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？
（2）该商场购进A型和B型商品若干，准备采取“买二送一”的优惠销售方案，即：买两件A型商品赠送一件B型商品，通过一段试销发现A型商品每天的销售量y（件）与A型商品的销售单价x（元）满足：y＝﹣2x+200，若商场继续以上述优惠销售方案进行销售，当A型商品的销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大，并求出此时的最大销售利润．
26．已知⊙O中，弦AD、BC交于点E，连接DB、AC，DB＝DE．
（1）如图1，求证：CE＝CA；
（2）如图2，过点D作⊙O的切线交CB延长线于点F，连接AB，2∠FDB+∠ABC＝90°，求证：BC为⊙O的直径；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点E作EG∥BD交弧DC于点G，连接CG，在CG上取点H，连接EH，∠GEH＝45°，CH＝4，AB＝6，求线段DF的长．
27．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+k交x轴于点A，交y轴于点C，抛物线y＝ax2+bx+3过A、C两点，另交x轴于点B，OB＝OC．
（1）求a和b的值；
（2）横坐标为t（t＞0）的点P在抛物线y＝ax2+bx+3上，分别连接BC、PC、PB，设△PBC的面积为S，求S与t的函数关系式（直接写出t的取值范围）；
（3）当P点在第四象限抛物线上时，连接AP交y轴于点Q，线段PQ的垂直平分线交直线BC于点D，连接PD，点K在射线DC上，连接QK、PK，四边形QKDP的面积等于PK2，，求点P的坐标．
参考答案
一、选择题（满分30分）
1．解：A．π是无理数，故本选项符合题意；
B．1.13为分数，不是无理数，故本选项不符合题意；
C．，为整数，不是无理数，故本选项不符合题意；
D．﹣|﹣5|＝﹣5，为整数，不是无理数，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．解：抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+5的顶点坐标为（1，5），
故选：A．
3．解：A．是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B．是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：A．
4．解：从正面看有两层，下面一层有2个正方形，上面一层有一个正方形．从正面看有两列，左面有2个正方形，右面有1个正方形，
故选：A．
5．解：
∵y＝﹣（x+2）2+6，
∴抛物线开口向下、对称轴为x＝﹣2、顶点坐标为（﹣2，6），故A、B、C说法是正确的；
在y＝﹣（x+2）2+6中，令y＝0可得﹣（x+2）2+6＝0，解得x＝﹣2±，
∴抛物线与x轴有交点，
∴选项D的说法是错误的，
故选：D．
6．解：∵y＝的图象位于第一、第三象限，
∴k﹣2＞0，
k＞2．
故选：A．
7．解：∵将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，
∴∠ACA'＝20°，
∵A′C⊥AB，
∴∠A+∠ACA'＝90°，
∴∠A＝70°，
由旋转知，∠B′A′C＝∠A，
∴∠B′A′C＝70°，
故选：C．
8．解：∵抛物线y＝2（x+3）2﹣5的顶点坐标是（﹣3，﹣5），将其向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到新抛物线的顶点坐标是（﹣5，﹣7）
∴所得到的新的抛物线的解析式为y＝2（x+5）2﹣7．
故选：A．
9．解：因为EF∥AB，DE：AE＝2：3，
所以，
所以S△DEF：S△ABD＝4：25，
又因为四边形ABCD是平行四边形，
所以△ABD≌△BDC，△BDC的面积为25，所以△ABD的面积为25，
所以△DEF的面积为4，
则四边形AEFB的面积为21．
故选：C．
10．解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，能得到：a＜0，c＞0，
∴ac＜0，故①正确；
②∵对称轴x＜﹣1，
∴﹣＜﹣1，a＜0，
∴b＜2a，
∴b﹣2a＜0，故②正确．
③图象与x轴有2个不同的交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，故③错误．
④当x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，故④错误；
故选：C．
二、填空题（共30分）.
11．解：将1 130 000用科学记数法可表示为1.13×106．
故答案为：1.13×106．
12．解：由题意得，2x﹣1≠0，
解得x≠．
故答案为：x≠．
13．解：xy2﹣4x，
＝x（y2﹣4），
＝x（y+2）（y﹣2）．
14．解：∵二次函数有最小值，
∴＝﹣7，
故答案为：﹣7．
15．解：解不等式x﹣3≤0，得：x≤3，
解不等式x+1＞0，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤3，
故答案为：﹣1＜x≤3．
16．解：由题意得，n＝120°，R＝6，
故可得扇形的面积S＝＝＝12π．
故答案为12π．
17．解：∵AB切⊙O于点B，
∴∠ABO＝90°，
∵OA＝2OB，
∴∠A＝30°．
故答案为：30．
18．解：在这5张卡片中非负数有﹣5、﹣9、0这3张，
∴抽到表示非负数的卡片概率是，
故答案为：．
19．解：当点P在AD上时，
∵PD＝2AP，PD+AP＝2，
∴AP＝，
当点P在AB上时，
∵PD2＝AP2+AD2，
∴4AP2＝AP2+4，
∴AP＝，
综上所述：AP＝或，
故答案为或．
20．解：∵AC和DE是△ABD的两条高，
∴∠ACD＝∠ACB＝90°，∠AEF＝∠BED＝90°，
∴∠EDB+∠B＝∠B+∠BAC＝90°，
∴∠EAF＝┐FDC，
∵∠CAD＝45°，∠ACD＝90°，
∴∠CDA＝∠CAD＝45°，
∴AC＝DC，
∴△ACB≌△DCF（ASA），
∴CF＝CB，
设CF＝CB＝x，
∴CD＝，
∵∠EDB＝∠CDF，∠FCD＝∠BED，
∴△EDB∽△CDF，
∴＝，
∴＝，
整理得，x＝85﹣x2，
两边平方得，x2（289﹣x2）＝（85﹣x2）2，
解得x＝±或x＝±，
∵x＞0，
∴x＝或x＝，
故答案为：或．
三、解答题（共计60分）.
21．解：÷﹣
＝
＝
＝，
当x＝2tan60°﹣4sin30°＝2﹣4×＝2时，原式＝．
22．解：（1）如图，平行四边形ABCD即为所求作．
（2）如图，△ABE即为所求作．
（3）DE＝＝．
23．解：（1）由图可知，差等学生人数为8人，其所占百分比为16%，
∴8÷16%＝50（人），
∴在这次调查中，一共抽取了50名学生．
（2）中等人数为50﹣10﹣22﹣8＝10（人），
补全图形如图所示：
（3）九年级共有445人，优等生所占比例为：1﹣16%﹣20%﹣44%＝20%，
∴445×20%＝89（人），
∴估计该校九年级共有89名学生的成绩达到了优秀．
24．（1）证明：∵BP∥AC，CP∥BD，
∴四边形BPCO是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠BOC＝90°，BC＝AD，
∴四边形BPCO是矩形，
∴OP＝BC，
∴OP＝AD；
（2）解：图中的平行四边形：四边形ABCD，四边形OBPC，四边形ABPO，四边形OPCD．
25．解：（1）设B商品的价格为x元，则A商品的价格为（x+30）元，
由题意得：，解得：x＝20，
故一件A，B型商品的进价分别为50元，20元；
（2）设销售利润为w，由题意得：w＝y（x﹣50）﹣y×20＝﹣2（x﹣100）（x﹣60），
∵﹣2＜0，故w有最大值，
当x＝（100+60）＝80时，w的最大值为800，
故A型商品的销售单价定为80元时，每天的销售利润最大，最大销售利润为800元．
26．（1）证明：∵BD＝DE，
∴∠B＝∠BED，
∵∠B＝∠A，∠BED＝∠AEC，
∴∠A＝∠AEC，
∴CE＝CA．
（2）证明：如图1，
作直径DG，连接BG，
∴∠CBD＝90°，
∴∠ODB+∠G＝90°，
∵FD是⊙O得切线，
∴OD⊥DF，
∴∠ODF＝90°，
∴∠BDF+∠ODB＝90°，
∴∠G＝∠BDF，
设∠G＝∠BDF＝α，
∵2∠BDF+∠ABC＝90°，
∴∠BDF+∠ABC＝90°﹣∠BDF＝90°﹣α，∠ABC＝90°﹣2α，
∵＝，
∴∠G＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠BDF，
∴∠BAD+∠ABC＝90°﹣α，
∴∠AEC＝90°﹣α，
∵AC＝CE，
∴∠CAE＝∠AEC＝90°﹣α，
∴∠ACE＝180°﹣∠CAE﹣∠AEC＝2α，
∴∠ACE+∠ABC＝2α+（90°﹣2α）＝90°，
∴BC是⊙O得直径；
（3）解：如图2，
连接CD，作∠QEC＝∠HEC交AC于Q，作AR⊥EQ于R，交BC于W，作AT⊥AR于T，作DV⊥BC于V，
设∠BDF＝∠BAD＝∠DCF＝α，则∠ACB＝2α，
∵EG∥BD，
∴∠CEG＝∠DBE，
∵∠AEC＝∠BED＝∠DBE，
∴∠AEC＝∠CEG，
由对称性可得，
△AEC和△GEC对称，△QEC和△HEC对称，
∴AQ＝GH＝4，∠AEQ＝∠GEH＝45°，
∴∠EAR＝∠AER＝45°，
∴AR＝ER，∠RAQ＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAR＝90°﹣45°﹣α＝45﹣α，
在Rt△ABT中，
∵∠BAT＝∠EAR+∠BAD＝45°+α，
∴∠ABT＝90°﹣∠BAT＝45°﹣α，
∴△ABT∽△QAR，
∴＝，
设AT＝3x，BT＝3y，
∴ER＝AR＝2y，RQ＝2x，
∵∠ABC＝90°﹣2∠BDF＝90°﹣2α，∠ABT＝45°﹣α，
∴∠WBT＝∠ABC﹣∠ABT＝（90°﹣2α）﹣（45°﹣α）＝45°﹣α，
∴∠WBT＝∠ABT，
∵∠ATB＝∠WBT＝90°，BT＝BT，
∴△ABT≌△WBT（ASA），
∴TW＝AT＝3x，
∵TR＝AR﹣AT＝2y﹣3x，
∴RW＝TW﹣TR＝3x﹣（2y﹣3x）＝6x﹣2y，
∵∠EWR＝∠BAT，∠ERW＝∠ATB，
∴△ERW∽△BTA，
∴，
∴，
∴y＝2x，
∵∠ATB＝90°，
∴AT2+BT2＝AB2
∴（3x）2+（3y）2＝62，
∴x2+y2＝4，
∴x＝，y＝，
∴AT＝3x＝，BT＝，
∴AW＝2AT＝，
∵S△ABW＝，
∴6 AX＝，
∴AX＝，
∴BX＝＝＝，
∵tan∠ABC＝，
∴＝，
∴AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵CE＝AC＝8，
∴BE＝AB﹣CE＝10﹣8＝2，
∴EX＝BX﹣BE＝＝，
∴tan∠EAX＝＝＝，
∵AX∥DV，
∴∠VDE＝∠EAX，
∴tan∠VDX＝＝，
∵BD＝DE，DV⊥BE，
∴BV＝EV＝，
∴DV＝3BV＝3．
∴BD＝＝＝，
∴sin∠BDV＝＝，
∵∠BDV＝∠DCF，
∴tan∠DCF＝，
∴CD＝3BD＝3，
由（1）得：∠BDF＝∠DCF，
∵∠F＝∠F，
∴△DBF∽△CDF，
∴＝，
∴DF＝3BF，CF＝3DF＝9BF，
由CF﹣BF＝BC得，
9x﹣x＝10，
∴x＝，
∴DF＝3x＝．
27．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3交y轴于点C，
∴C（0，3），
∴OC＝3，
∵OB＝OC＝3，
∴B（3，0），
∵直线y＝3x+k交y轴于点C（0，3），
∴k＝3，
∴y＝3x+3，
令y＝0，得3x+3＝0，
解得：x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A、B两点，
∴，
解得：，
∴a＝﹣1，b＝2；
（2）设直线BC的解析式为y＝mx+n，将B（3，0），C（0，3）代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
由（1）知：a＝﹣1，b＝2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
设P（t，﹣t2+2t+3），过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，
则M（t，﹣t+3），
∴PM＝|﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）|＝|﹣t2+3t|，
当0＜t＜3时，如图1，此时PM＝﹣t2+3t，
S＝S△PBM+S△PCM＝PM （3﹣m）+PM （m﹣0）＝（﹣t2+3t）＝t2+t，
当t＞3时，如图2，此时PM＝t2﹣3t，
S＝S△PCM﹣S△PBM＝PM （m﹣0）﹣PM （m﹣3）＝（t2﹣3t）＝t2﹣t，
∴S与t的函数关系式为：S＝；
（3）如图3中，直线BC的解析式为y＝﹣x＝3，点D可设（m，﹣m+3），P（n，﹣n2+2n+3），其中n＞3，直线AP的解析式为y＝（3﹣n）x+3﹣n，则Q（0，3﹣n），
∴PD2＝（m﹣n）2+（﹣m+3+n2﹣2n﹣3）2＝（m﹣n）2+（n2﹣2n﹣m）2，QD2＝m2+（﹣m﹣3﹣3+n）2＝m2+（m﹣n）2，
∵PD＝QD，
∴（m﹣n）2+（n2﹣2n﹣m）2＝m2+（m﹣n）2，
∴（n2﹣2n﹣m﹣m）（n2﹣2n﹣m+m）＝0，
∴2n2﹣2n＝2m＞0，n2﹣2n＝0（舍去n＞3），
∴点P又可以假设为（n，3﹣2m），
∴PQ2＝n2+[﹣n2+2n+3﹣（3﹣n）]2＝n2+（3n﹣n2）2＝n2+（n﹣2m）2＝4m2﹣4mn+2n2，
∴PD2+DQ2＝2QD2＝2[m2+（﹣m﹣3﹣3+n2）2]＝2[m2+（m﹣n）2]＝4m2﹣4mn+2n2，
∴PD2+QD2＝PQ2，
∴△PDQ是等腰直角三角形，
过点Q作QH⊥BC于点H．
∵OB＝OC，△OBC是等腰直角三角形，
∴△QCH是等腰直角三角形，QH＝CQ，CQ＝3﹣（3﹣n）＝n，
∴QH＝n，
如图3中，过2K作KK1⊥OC于点K1，过点P作PP1⊥OC于点P1过点K作KK2∥PP1于点K2，过点D作DD1⊥OC于点D1，则P1（0，3﹣2m）．
∵CK＝CD﹣DK＝DD1﹣AQ＝m﹣AQ，
∴CK1＝KK1＝（m﹣AQ）＝m﹣AQ，
∴KK2＝CP1﹣CK1＝3﹣（3﹣2m）﹣（m﹣AQ）＝m+AQ，PK2＝PP1﹣KK1＝n﹣（m﹣AQ）＝AQ，
∴PK2＝（PK22+KK22）＝[（m+AQ）2+（n﹣m+AQ）2]
＝[m2+（m﹣n）2]+n AQ+AQ2]
∵PD2＝QD2＝[m2+（﹣m﹣3﹣3+n）2]＝m2+（m﹣n）2，
∴PK2＝QD2+n AQ+AQ2，
∵四边形QKDP的面积＝△PDQ的面积+△KDQ的面积＝DQ+ DK QH＝DQ2+×AQ×n＝PK2，
∴QD2+×AQ×n＝QD2+n AQ+AQ2，
∴QD2＝AQ2，AQ2＝1+（3﹣n）2，QD2＝（PQ）2＝[n2+（3﹣n+n2﹣2n﹣302]＝[n2+（n2﹣3n）2]，
∴[n2+（n2﹣3n）2]＝[1+（3﹣n）2]，
∴49+49（n﹣3）2＝4n2+4（n2﹣3n）2＝4n2+4n2（n﹣3）2，
∴49[1+（n﹣3）2]＝4n2[1+（n﹣3）2}，
∴n＞3，
∴1+（n﹣3）2≠0，
∴n＝，
∴﹣n2+2n﹣3＝﹣，
∴P（，﹣）．