黑龙江省哈尔滨市工业大学附属中学2022-2023学年八年级数学上学期第三次月考测试题(含解析)

黑龙江省哈尔滨市工业大学附属中学
2022-2023学年八年级数学上册第三次月考测试题（附答案）
一、选择题（共30分）
1．在，﹣，，，，中，分式有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．下列计算正确的是（　　）
A．a2 a3＝a6 B．（﹣a﹣1b﹣3）﹣2＝﹣a2b6
C．（a﹣b）4＝﹣（b﹣a）4 D．3a﹣3＝
3．下列因式分解正确的是（　　）
A．a2﹣2＝（a+4）（a﹣4） B．25x2﹣1＝（5x﹣1）（1﹣5x）
C．4﹣12x+9x2＝（﹣3x+2）2 D．x2﹣27＝（x﹣3）（x﹣9）
4．已知x2+mx+25是完全平方式，则m的值为（　　）
A．10 B．±10 C．20 D．±20
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD是斜边AB上的高，若AD＝3cm，则斜边AB的长为（　　）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
6．如果把分式中的x、y都扩大到原来的5倍，则分式的值（　　）
A．扩大到原来的25倍 B．扩大到原来的5倍
C．不变 D．缩小到原来的
7．甲、乙两人同时从A地出发，骑自行车行30千米到B地，甲比乙每小时少走3千米，结果乙先到40分钟．若设乙每小时走x千米，则可列方程（　　）
A． B．﹣＝
C．﹣＝ D．﹣＝
8．如图四边形ABCD中，∠A＝58°，∠C＝100°，连接BD，E是AD上一点，连接BE，∠EBD＝36°．若点A，C分别在线段BE，BD的中垂线上，则∠ADC的度数为（　　）
A．75° B．65° C．63° D．61°
9．当n是整数时，两个连续奇数的平方差（2n+1）2﹣（2n﹣1）2是_____的倍数．（　　）
A．3 B．5 C．7 D．8
10．下列说法正确的是（　　）
A．任何数的0次幂都等于1
B．等腰三角形是关于一条边上的中线成轴对称的图形
C．等腰三角形两腰上的高相等
D．如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是等腰直角三角形
二、填空题（共30分）
11．﹣0.00000015用科学记数法表示为 　 　．
12．分解因式3x（m+n）﹣6y（m+n）＝　 　．
13．当x为　 　时，分式的值为0．
14．分式，的最简公分母是 　 　．
15．若a+b＝7，ab＝12，则a2﹣ab+b2的值是　 　．
16．已知＝3，则的值为　 　．
17．A、B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运900kg所用的时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？若设A型机器人每小时搬运xkg，可列方程：　 　．
18．如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，延长CB至D，使DB＝BA，延长BC至E，使CE＝AC，则∠DAE＝　 　．
19．△ABC中，AB的垂直平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，DE垂直直线BC于E，若AC＝7，CE＝2，则BC的长是 　 　．
20．如图，在△ABC中，点D在边BC上，点E在边AC上，AB＝AE，连接AD，DE，过点A作AF⊥BC于点F，若∠BAC＝∠ADE＝60°，BD＝5，DE＝3，则BF的长是 　 　．
三、解答题（共60分）
21．计算．
（1）（2m2n﹣2）2 3m﹣3n3；
（2）÷（a﹣）．
22．解下列方程：
（1）﹣＝﹣2
（2）﹣＝1
23．先化简，再求值：÷ ，其中x＝．
24．如图，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，BF交CE于点D，BD＝CD，连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）当BD＝AD，∠BAD＝30°时，直接写出图中度数是120°的角．
25．哈工大图书馆新进一批图书，张强和李明两位图书员负责整理图书，已知张强3小时清点完这批图书的一半，李明加入清点另一半图书的工作，两人合作1.2小时清点完另一半图书；
（1）如果李明单独清点这批图书需要几小时？
（2）经过一段时间，这批图书破损严重，哈工大图书馆决定在致知书店购买甲、乙两种图书共120本进行补充，该书店每本甲种图书的售价为25元，进价20元；每本乙种图书的售价为40元，进价30元．如果此批图书全部售出后所得利润不低于950元，那么该书店至少需要卖出乙种图书多少本？
26．在等边三角形ABC中，D为直线BC上一点，连接AD，在射线BC上取一点E，使AD＝DE，连接AE，在射线AC上取点F，连接EF．
（1）如图1，当点D在BC边上，∠CAD＝2∠FEC时，求∠AEF的度数；
（2）在（1）的条件下，求证：AD＝AF；
（3）在（1）的条件下，如图2，若点D在BC延长线上，过点A作AK⊥EF交EF的延长线于点K，过点F作BE的平行线交AK于点H，连接DH，若FH＝2，DH＝4，求线段AF的长度．
27．如图，在平面直角坐标系中，点A（t，0）为x轴负半轴上一动点，等腰△ABC的底边AC在x轴上，AB＝BC，∠ACB＝30°，点B（t+3，）在第一象限．
（1）如图1，求点C的坐标；（用含t的代数式表示）
（2）如图2，在y轴负半轴上分别取点D和点E，连接BD，CD，BE，BE与CD交于点F，若BD＝DE＝AB，请猜想∠BFC的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出∠BFC的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG∥BE交x轴于点G，连接AD，若AD＝DF，OA＝OG，请求出点A的坐标．
参考答案
一、选择题（共30分）
1．解：在，﹣，，，，中，，，，的分母中含有字母，是分式，共有4个．
故选：C．
2．解：A．根据同底数幂的乘法，a2 a3＝a5，那么A错误，故A不符合题意．
B．根据积的乘方与幂的乘方，（﹣a﹣1b﹣3）﹣2＝（﹣1）﹣2a2b6＝a2b6，那么B错误，故B不符合题意．
C．根据乘方的定义，（a﹣b）4＝[﹣（b﹣a）]4＝（b﹣a）4，那么C错误，故C不符合题意．
D．根据负整数指数幂，，那么D正确，故D符合题意．
故选：D．
3．解：A．根据平方差公式，，那么A错误，故A不符合题意．
B．根据平方差公式，25x2﹣1＝（5x+1）（5x﹣1），那么B错误，故B不符合题意．
C．根据完全平方公式，4﹣12x+9x2＝（﹣3x+2）2，那么C正确，故C符合题意．
D．根据平方差公式，，那么D错误，故D不符合题意．
故选：C．
4．解：∵x2+mx+25是完全平方式，
∴m＝±10，
故选：B．
5．解：∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠A＝60°，∠ACB＝90°，
∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝30°，∠ACD＝180°﹣∠ADC﹣∠A＝30°，
∵AD＝3cm，
∴AC＝2AD＝6cm，
∴AB＝2AC＝12cm，
故选：D．
6．解：＝＝＝ ，
所以如果把分式中的x、y都扩大到原来的5倍，那么分式的值缩小原来的，
故选：D．
7．解：设乙每小时走x千米，则甲每小时走（x﹣3）千米，由题意得：
﹣＝，
故选：A．
8．解：∵点A，C分别在线段BE，BD的中垂线上，
∴AE＝AB，BC＝DC．
∵∠A＝58°，∠C＝100°，
∴∠ABE＝＝61°，∠CBD＝＝40°．
∵∠EBD＝36°，
∴∠ABC＝∠ABE+∠EBD+∠CBD＝61°+36°+40°＝137°，
∴∠ADC＝360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC＝360°﹣58°﹣100°﹣137°＝65°．
故选：B．
9．解：∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]
＝4n×2
＝8n．
又∵n是整数，
∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2是8的倍数．
故选：D．
10．解：A．任何非零数的0次幂都等于1，原说法错误，故本选项不合题意；
B．等腰三角形是关于底边上的中线所在的直线成轴对称的图形，原说法错误，故本选项不合题意；
C．等腰三角形两腰上的高相等，说法正确，故本选项符合题意；
D．如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形，原说法错误，故本选项不合题意；
故选：C．
二、填空题（共30分）
11．解：﹣0.00000015＝﹣1.5×10﹣7．
故答案为：﹣1.5×10﹣7．
12．解：原式＝3（m+n）（x﹣2y），
故答案为：3（m+n）（x﹣2y）
13．解：∵3x﹣6＝0，
∴x＝2，
当x＝2时，2x+1≠0．
∴当x＝2时，分式的值是0．
故答案为2．
14．解：分式，的最简公分母是6x2y3．
故答案为：6x2y3．
15．解：∵a+b＝7，ab＝12，
∴原式＝（a+b）2﹣3ab＝49﹣36＝13，
故答案为：13
16．解：∵﹣＝＝3，
∴y﹣x＝3xy，即x﹣y＝﹣3xy，
则＝＝＝＝．
故答案为：
17．解：设A种机器人每小时搬运x千克化工原料，则B种机器人每小时搬运（x﹣30）千克化工原料，由题意得
，
故答案为：．
18．解：∵∠ABC＝50°，DB＝BA，
∴∠D＝∠DAB＝∠ABC＝25°；
同理可得∠CAE＝∠ACB＝40°；
∵在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，
∴∠BAC＝50°，
∴∠DAE＝∠DAB+∠BAC+∠CAE＝115°，
故答案为：115°
19．解：如图，当点E在BC上时．
过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于F，连接AD＝BD，
∵AB的垂直平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，
∴AD＝BD，DE＝DF，
在Rt△ADF和Rt△BDE中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△BDE（HL），
∴BE＝AF，
同理可得CE＝CF，
∴AF＝7+2＝9，
∴BC＝BE+CE＝9+2＝11，
当点E在BC的延长线上时，如图，
同理可得AF＝BE＝AC﹣CF＝7﹣2＝5，
∴BC＝BE﹣CE＝5﹣2＝3，
综上：BC＝11或3，
故答案为：11或3．
20．解：延长DE至点G，使DE＝AD，
∵∠ADE＝60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴∠DAG＝∠BAC＝60°，AG＝AD，
∴∠BAD＝∠EAG，
在△BAD和△EAG中，
，
∴△BAD≌△EAG（SAS），
∴BD＝EG＝5，∠ADB＝∠G＝60°，
∴AD＝DG＝8，
∵∠DAF＝30°，
∴DF＝AD＝4，
∴BF＝1，
故答案为：1．
三、解答题（共60分）
21．解：（1）原式＝4m4n﹣4 3m﹣3n3
＝12mn﹣1
＝；
（2）原式＝÷
＝
＝
＝
＝．
22．解：（1）化为整式方程得：3＝x＝﹣2x+4，
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解，
所以原方程的解是：x＝；
（2）化为整式方程得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1，
解得：x＝1，
经检验x＝1不是分式方程的解，
所以原方程无解．
23．解：
＝，
当x＝时，原式＝＝．
24．（1）证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BED＝∠DFC＝90°，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE＝DF，
又∵BF⊥AC，CE⊥AB，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵BD＝AD，∠BAD＝30°，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵BD＝CD＝AD，
∴∠DAC＝∠C＝30°，
∵BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADF＝∠CDF＝∠ADE＝∠BDE＝60°，
∴∠ADB＝∠EDF＝∠ADC＝120°．
25．解：（1）设李明单独清点这批图书需要x小时，
根据题意得：+＝，
解得x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，也符合题意，
∴x＝4，
答：李明单独清点这批图书需要4小时；
（2）设书店卖出乙种图书m本，
根据题意得（25﹣20）（120﹣m）+（40﹣30）m≥950，
解得m≥70，
答：该书店至少需要卖出乙种图书70本．
26．（1）解：∵AD＝DE，
∴∠AED＝∠EAD，
设∠CEF＝α，∠AEF＝β，
∵∠CAD＝2∠FEC＝2α，
∵AD＝DE，
∴∠AED＝∠EAD＝β﹣α，
∴∠EAC＝2α+β﹣α＝α+β，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°＝∠CAE+∠AEC＝2β，
∴β＝30°，
∴∠AEF＝30°；
（2）证明：延长EF交∠CDA的角平分线于点M，连接DF，AM，
∵MD＝MD，∠EDM＝∠ADM，ED＝AD，
∴△EDM≌△ADM（SAS），
∴∠EMD＝∠AMD，EM＝AM，
∴∠AEM＝∠EAM＝30°，
∴∠EMA＝∠EMD＝∠AMD＝120°，
∵∠EAF+∠DEF＝30°，∠EAF+∠FAM＝30°，
∴∠FAM＝∠DEF，
∴∠FAM＝∠MAD，
∴△FAM≌△DAM（ASA），
∴AF＝AD；
（3）如图2中，延长DH交EF于点Q，延长FH交AB的延长线于点J，连接DJ，交AK于点T，连接AQ．
∵FJ∥CB，
∴∠AJF＝∠ABC＝60°，∠AFJ＝∠ACB＝60°，
∵∠CAB＝60°，
∴△AFJ是等边三角形，
∴FJ＝AF＝AJ，
∵AD＝AF＝DE，
∴DE＝FJ，DE∥FJ，
∴四边形DEFJ是平行四边形，
∴QE∥DJ，
∵AK⊥FQ，
∴AK⊥DJ，
∵AD＝AJ，
∴AK垂直平分线段DJ，
∴HD＝JH，
∴∠HDJ＝∠HJD，
∵FQ∥DJ，
∴∠HFQ＝∠HJD，∠HQF＝∠HDJ，
∴∠HFQ＝∠HQF，
∴HF＝HQ＝2，
∴DQ＝DH+HQ＝4+2＝6，
∴AF＝AQ，
∴∠FAK＝∠KAQ，
∵AD＝AJ，AT⊥DJ，
∴∠DAT＝∠JAT，
∴△DAF＝∠QAJ，
∴∠DAQ＝∠CAB＝60°
∴△ADQ是等边三角形，
∴AD＝DQ＝6，
∴AF＝AD＝6．
27．解：（1）如图1，
过B作BD⊥x轴于点M，
∵B（t+3，），A（t，0），
∴AM＝（t+3）﹣t＝3，
∵AB＝BC，
∴CM﹣AM＝3，
∴OC＝OM+CM＝t+3+3＝t+6，
∴C（t+6，0）；
（2）如图2，
连接AD，
设∠DAC＝α，
∴∠BAD＝∠DAC+∠BAC＝α+30°，
∵AB＝BD＝DE，
∴∠BDA＝∠BAD＝α+30°，∠DEB＝∠DBE，
∵∠ADO＝90°﹣∠DAC＝90°﹣α，
∴∠ODB＝∠BDA﹣∠ODA＝（α+30°）﹣（90°﹣α）＝2α﹣60°，
∵∠DEB+∠DBE＝∠ODB，
∴2∠DBE＝2α﹣60°，
∴∠DBE＝α﹣30°，
∵BD＝BC＝AB，∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝120°﹣（120°﹣2α）＝2α，
∴∠BDC＝∠BCD＝＝90°﹣α，
∴∠BFC＝∠DBE+∠BDC＝（α+30°）+（90°﹣α）＝60°；
（3）如图3，
延长AD交BE于Q，作BR⊥y轴于R，作BW⊥AC于W，
由（2）知：∠ADB＝α+30°，∠BDC＝90°﹣α，∠BFC＝60°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝120°，∠DFQ＝∠BFC＝60°，
∴∠FDQ＝180°﹣∠ADC＝60°，
∴△DFQ是等边三角形，
∴DF＝DQ，
∵AD＝DF，
∴AD＝DQ，
∵DG∥BE，
∴＝1，∠ODG＝∠DEB，
∴GT＝AG，
∵BW∥OE，
∴∠TBW＝∠DEB，
∴∠ODG＝∠TBW，
∵∠BWT＝∠DOG＝90°，
∴△BWT∽△DOG，
∴，
设OG＝2a，则OA＝5a，
∴GT＝AG＝7a，
∴AT＝GT+AG＝14a，OT＝OG+GT＝9a，
∵AW＝3，
∴WT＝AW﹣AT＝3﹣14a，
∴，
∴OD＝，
∴OE＝DE+OD＝2+，
ER＝OE+OR＝3+，
∵OT∥BR，
∴△EOT∽△ERB，
∴，
∵BR＝OW﹣OA＝3﹣5a，
∴＝，
化简得，
490a2﹣189a+18＝0，
∴（14a﹣3） （35a﹣6）＝0，
∴a1＝，a2＝，
当a＝时，AT＝14a＝3＝AW，不符合题意，故舍去，
∴a＝，
∴OA＝5a＝，
∴A（﹣，0）．