黑龙江省哈尔滨市南岗区第三十七中学2022-2023学年八年级上册第三次月考数学测试题(含解析)

黑龙江省哈尔滨市第三十七中学2022-2023学年八年级数学上册第三次月考测试题（附答案）
一、选择题（共计30分）
1．下列计算正确的是（　　）
A．a3﹣a2＝a B．（a2）3＝a5 C．a6÷a2＝a3 D．a2 a3＝a5
2．如图所示的图案中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列各式中，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．﹣a2+b2 B．﹣a2﹣b2 C．a2+b2 D．a3﹣b3
5．如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（　　）
A．不变 B．扩大2倍 C．缩小2倍 D．缩小4倍
6．代数式x2+mx+4是个完全平方式，则m的值为（　　）
A．±2 B．±4 C．±1 D．±9
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，AB的垂直平分线DE交AC于D，连结BD，若△DBC的周长为23，则BC的长为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．算式的结果为（　　）
A．﹣1 B．2 C． D．1
9．现要装配30台机器，在装配好6台以后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务，求原来每天装配机器的台数x，下列所列方程中正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．下列说法中：①两个全等的三角形一定关于某直线对称；
②若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形；
③等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
④到△ABC的三个顶点距离相等到的点是三条边的垂直平分线的交点；
⑤任何数的0次幂都等于1．正确的有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共计30分）
11．某种感冒病毒的直径是0.000009405米，用科学记数法表示这个数为　 　米．
12．当　 　时，分式有意义．
13．将4a3﹣ab2因式分解后的结果为 　 　．
14．计算：4﹣＝　 　．
15．计算：（x+2y﹣3）2＝　 　．
16．如图，已知△ABC是等边三角形，∠BCD＝90°，BC＝CD，则∠BAD＝　 　．
17．如图，∠BAC＝30°，P是∠BAC平分线上一点，PM∥AC交AB于M，PD⊥AC于D，若PD＝5，则AM＝　 　．
18．已知a+b＝3，ab＝﹣5，则a2+b2的值为 　 　．
19．在△ABC中，AB的垂直平分线DF交边BC于D，交AB于点F，AC的垂直平分线EG交边BC于E，交AC于点G，若∠DAE＝40°，则∠BAC等于 　 　°．
20．已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，点E在BC上，且满足2∠CDE＝∠A﹣∠B，若AB＝，BC＝，则CE＝　 　．
三、解答题（共计60分）
21．（1）（2a+b）（b﹣3a）；
（2）（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）．
22．先化简，再求代数式的值，其中a＝4．
23．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（5，1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）直接写出△BC1C的面积．
24．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在AB、BC上，BD＝CE，连接AE，CD交于点O．
（1）如图1，求证：CD＝AE；
（2）如图2，作等边△AEF，连接BF，DF．直接写出图2中所有120度的角．
25．冬季来临，是流感的高发期，我校积极进行班级环境消毒，总务处购买甲、乙两种消毒液共100瓶，购买这两种消毒液共用780元，其中甲种消毒液共用240元，且乙种消毒液的单价是甲种消毒液单价的1.5倍．
（1）求甲、乙两种消毒液的单价各为多少元？
（2）该校准备再次购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），共140瓶，且所需费用不超过1200元，问甲种消毒液至少要购买多少瓶？
26．已知：如图1，在四边形ABCD中，连接BD，∠ADB＝180°﹣2∠A．
（1）求证：AD＝BD；
（2）如图2，连接AC，交BD于点E，若∠BCD+∠DCE＝180°．求证：∠CBD＝∠CAD；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G为四边形ABCD外一点，连接GE、GD，且满足∠GEA＝∠GDA，∠AEG+∠CBD+∠BDC＝90°，若BC+CE＝DE，CD＝，GD﹣GE＝，求△DCE的面积．
27．如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，∠ABO＝45°，且A（0，3）．
（1）直接写出B点坐标；
（2）动点P从点O出发，以每秒钟2个单位长度的速度沿x轴的正方向运动，连接AP，设△ABP的面积为S，若点P运动的时间为t秒，请用含t的代数式表示S，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，如图2，点E（，）在第一象限，射线EA交x轴于点C，线段CE的垂直平分线交y轴于点D，过C点作CG⊥BE于点G，交AB的延长线于点F，当∠ADE﹣∠CDO＝90°，且满足S＝时，求△DPF的面积？
参考答案
一、选择题（共计30分）
1．解：（A）a3与a2不是同类项，不能合并，故A错误．
（B）原式＝a6，故B错误．
（C）原式＝a4，故C错误．
故选：D．
2．解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
3．解：A选项，原式＝2，故该选项符合题意；
B选项，原式＝＝2，故该选项不符合题意；
C选项，原式＝，故该选项不符合题意；
D选项，原式＝4，故该选项不符合题意；
故选：A．
4．解：A、是b与a的平方差的形式，故选项正确；
B、不是平方差的形式，故选项错误；
C、是a、b的平方和的形式，不是平方差的形式，故选项错误；
D、是a，b的立方差的形式，不是平方差的形式，故选项错误．
故选：A．
5．解：由题意得，
＝＝．
故选：A．
6．解：∵x2±2 2x+22＝x±4x+4是完全平方式，
∴m＝±4．
故选：B．
7．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴AD+CD＝BD+CD＝AC，
∵△DBC的周长为23，AC＝15，
∴BC＝23﹣15＝8．
故选：C．
8．解：
＝
＝（2×）2020×
＝1×
＝，
故选：C．
9．解：用原来技术装6台的工作时间为：，用新技术装剩下24台的工作时间为．所列方程为：+＝3．故选A．
10．解：①两个全等的三角形不一定关于某直线对称，故原说法错误；
②若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形，说法正确；
③等腰三角形的底边上的高、中线、以及顶角平分线互相重合，故原说法错误；
④到△ABC的三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点，说法正确；
⑤任何非零数数的0次幂都等于1，说法错误．
故说法中正确的个数为2个，
故选：B．
二、填空题（共计30分）
11．解：0.000009405＝9.405×10﹣6，
故答案为：9.405×10﹣6．
12．解：根据题意得：x﹣1≠0，所以x≠1．
13．解：4a3﹣ab2＝a（4a2﹣b2）＝a（2a+b）（2a﹣b）．
故答案为：a（2a+b）（2a﹣b）．
14．解：原式＝4﹣3
＝．
故答案为：．
15．解：（x+2y﹣3）2
＝[（x+2y）﹣3]2
＝（x+2y）2﹣6（x+2y）+9
＝x2+4xy+4y2﹣6x﹣12y+9．
故答案为：x2+4xy+4y2﹣6x﹣12y+9．
16．解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠BCA＝∠BAC＝60°，
∵∠BCD＝90°，BC＝CD，
∴∠ACD＝30°，CA＝CD，
∴∠CAD＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝135°，
故答案为：135°．
17．解：过P点作PE⊥AB于E，如图，
∵P是∠BAC平分线上一点，PD⊥AC，PE⊥AB，
∴PE＝PD＝5，
∵PM∥AC，
∴∠EMP＝∠BAC＝30°，∠MPA＝∠DAP，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP＝∠CAP，
∴∠MPA＝∠MAP，
∴AM＝PM，
在Rt△PME中，∵∠EMP＝30°，
∴PM＝2PE＝10，
∴AM＝10．
故答案为：10．
18．解：∵a+b＝3，ab＝﹣5，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝9．
∴a2+b2＝9﹣2ab＝9+10＝19．
故答案为：19．
19．解：如图1，∵DF，EG分别垂直平分AB和AC，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∠DAB+∠B+∠EAC+∠C﹣∠DAE＝180°，
∴2（∠B+∠C）＝220°，
解得，∠B+∠C＝110°，
∴∠BAC＝70°；
如图2，
∵DF，EG分别垂直平分AB和AC，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∠DAB+∠B+∠EAC+∠C+∠DAE＝180°，
则2（∠B+∠C）＝140°，
解得，∠B+∠C＝70°，
∴∠BAC＝110°，
故答案为：70或110．
20．解：如图，过A作AF∥DE交BC于点F，
∵D是AC中点，
∴E是CF中点，
2∠CDE＝∠BAC﹣∠B，
设∠FAC＝∠EDC＝α，
∴∠BAC﹣∠B＝2α，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC+2∠B＝180°，
∴∠B＝60°﹣α，
∵∠AFB＝∠FAC+C＝α+60°﹣α＝60°+α，
∵∠BAF＝∠BAC﹣α＝180﹣∠B﹣∠AFB＝60°+α，
∴∠BAF＝∠BFA，
∴BF＝BA＝，
∴FC＝BC﹣BF＝﹣，
∴CE＝CF＝（﹣）．
故答案为：（﹣）．
三、解答题（共计60分）
21．解：（1）原式＝2ab﹣6a2+b2﹣3ab
＝﹣6a2+b2﹣ab；
（2）原式＝4x2+12xy+9y2﹣（4x2﹣y2）
＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+y2
＝12xy+10y2．
22．解：
＝
＝
＝
＝，
当a＝4时，原式＝＝﹣．
23．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，C1（﹣5，1）；
（2）△BC1C的面积为＝10．
24．解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACE＝60°，BC＝AC，
∵∠AFD＝∠CAE+∠ACD＝60°，∠BCD+∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴∠BCD＝∠CAE，
在△CAE和△BCD中，
，
∴△CAE≌△BCD（ASA），
∴CD＝AE；
（2）∵∠FDB＝60°，
∴∠ADF＝120°，
∵∠DFB+∠DBC＝60°+60°＝120°＝∠FBC，
∵∠AOD＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴∠DOE＝∠AOC＝120°，
故120度的角有∠ADF，∠FBC，∠AOC，∠DOE．
25．解：（1）设甲种消毒液的单价为x元，则乙种消毒液的单价为1.5x元，
依题意得：+＝100，
解得：x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝1.5×6＝9．
答：甲种消毒液的单价为6元，乙种消毒液的单价为9元．
（2）设购买m瓶甲种消毒液，则购买（140﹣m）瓶乙种消毒液，
依题意得：6m+9（140﹣m）≤1200，
解得：m≥20，
∴m的最小值为20．
答：甲种消毒液至少要购买20瓶．
26．（1）证明：∵∠DAB+∠ABD+∠ADB＝180°，∠ADB＝180°﹣2∠A，
∴∠DAB+（180°﹣2∠DAB）+∠ABD＝180°，
即∠ABD＝∠DAB，
∴AD＝BD；
（2）证明：作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，
∵∠BCD+∠DCE＝180°，∠BCD+∠DCN＝180°，
∴∠DCE＝∠DCN，
∵DM⊥AC，DN⊥BC，
∴DM＝DN，
在Rt△ADM和Rt△BDN中，
，
∴Rt△ADM≌Rt△BDN（HL），
∴∠CBD＝∠CAD；
（3）解：延长BC，GE交于点H，连接DH，设GE与CD交于点O，
∵∠DCH＝∠CDB+∠CBD，∠AEG＝∠CEO，
∴∠AEG+∠CDB+∠CBD＝∠DCH+∠OEC，
由（2）知，∠DCH＝∠DCE，
∴∠DCE+∠OEC＝∠AEG+∠CBD+∠CDB＝90°，
∴∠EOC＝∠HOC＝90°，
∵∠HCO＝∠ECO，CO＝CO，
∴△HCO≌△ECO（ASA），
∴HO＝OE，EC＝CH，
∴CD是EH的垂直平分线，
∴DE＝DH，
∵BC+CE＝BC+CH＝BH＝DE＝DH，
∴∠HDB＝∠HBD，
∵∠ADG＝∠AEG，
∴∠DAE＝∠DGE＝∠DBC＝∠HDB，
∵∠DEH＝∠DGE+∠EDG＝∠HDB+∠EDG＝∠GDH，
∴∠GDH＝∠DHG，
∴GD＝GH，
∴EH＝GH﹣GE＝GD﹣GE＝，
∴OE＝EH＝，
∴S△DCE＝CD×OE＝＝．
27．解：（1）由题意可知，△AOB为等腰直角三角形，
∴AO＝OB＝3，
∴B点坐标为（3，0）．
（2）如图：P点坐标为（2t，0）
①当点P在OB上时，即0≤t≤，
S△ABP＝×AO×OP＝＝，
②当点P在OB延长线上，即t≥时，
S△ABP＝×AO×BP′＝＝3t﹣．
（3）如图，过点F作FN⊥x轴，交x轴于N点，
∴∠N＝90°
由题意可知，
DC＝DE，ON＝，
∠ADE＝∠N+∠NED＝90°+∠NED，
∵∠ADE﹣∠CDO＝90°，
∴∠NED＝∠CDO，
在△CDO与△EDN中，
，
∴△CDO≌△EDN（AAS），
∴CO＝ND，NE＝OD＝，
设直线CE的解析式为：y＝kx+3，
∴×k+3＝，
解得：k＝，
∴直线CE的解析式为：y＝x+3，
当y＝0时，x＝，
∴C点坐标为（，0），
∴OC＝﹣，
∵NO＝OD+ND，
∴＝+（﹣）
解得：m＝1，
∴E点坐标为（6，9），C点坐标为（﹣3，0），D点坐标为（0，6），
连接DF交x轴于M点，
设直线BE的解析式为：y＝kx+b，代入E、B两点坐标得，
，
解得：，
∴直线BE的解析式为：y＝3x﹣9，
∵BE⊥CF，O为CB的中点，连接OG，OG为Rt△CGB斜边上的中线，
则OG＝OB＝OA＝3，
∵点G在直线BE上，设G点坐标为（x，3x﹣9），
则x2+（3x﹣9）2＝32，
记得x1＝3（舍去），x2＝，
∴点G的坐标为（，﹣），
设直线CG的解析式为：y＝kx+b，将点C、G代入得，
，
解得
∴直线CG的解析式为：y＝﹣x﹣1，
由题意可知，直线AB的解析式为：y＝﹣x+3，
联立直线AB和直线CG的解析式，
，
解得F点坐标为（6，﹣3），
设直线DM的解析式为：y＝kx+6，代入F点坐标得，
k＝﹣，
∴直线DM的解析式为：y＝﹣x+6，
∴M点坐标为（4，0），
当S＝时，P点在OB上，坐标为（，0）或P点在OB延长线上，坐标为（，0），
当点P在OB上时，PM＝4﹣＝，
S△DPF＝S△DPM+S△FPM＝PM＝×＝×（6+3）＝，
当点P在OB的延长线上时，P′M＝﹣4＝，
S△DPF＝×P′M×（6+3）＝××9＝，
综上，△DPF的面积为或．