初中数学同步训练必刷题（人教版七年级下册 6.1 平方根）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2023八上·榆林期末）64的平方根是（ ）
A． ±8 B．±4 C．±2 D．8
【答案】A
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：64的平方根为±8.
故答案为：A
【分析】根据正数的平方根有两个，它们互为相反数，可得到64的平方根.
2．（2022八上·兴平期中）计算：（ ）
A．-8 B．8 C．-4 D．4
【答案】D
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：.
故答案为：D
【分析】利用正数的算术平方根是正数，可得答案.
3．（2022七上·余杭月考）若x的平方等于3，则x等于（ ）
A． B．9 C．或 D．9或-9
【答案】C
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵x的平方等于3即x2=3
∴x=.
故答案为：C
【分析】利用正数的平方根有两个，它们互为相反数，可得到x的值.
4．（2022八上·乐山期中）下列说法中正确的是（ ）
A．-4的平方根为 B．-4的算术平方根为-2
C．0的平方根与算术平方根都是0 D．的平方根为-4
【答案】C
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解：A、-4没有平方根，故A不符合题意；
B、-4没有算术平方根，故B不符合题意；
C、0的平方根与算术平方根都是0，故C符合题意；
D、（-4）2的平方根为±4，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用负数没有平方根和算术平方根，可对A，B作出判断；利用0的平方根和算术平方根都是0，可对C作出判断；利用正数的平方根有两个，它们互为相反数，可对D作出判断.
5．（2022七上·杭州期中） 的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ 的算术平方根为 ，
故答案为：A.
【分析】先求出，再求 的算术平方根即可.
6．（2018-2019学年数学华师大版八年级上册 第11章 数的开方 单元检测a卷） 的平方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．4
【答案】C
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解：由题意可得 =4
因为（±2）2=4
所以4的平方根为±2
即 的平方根为±2.
故答案为：C.
【分析】要求的平方根就是求4的平方根，即可解答。
7．（2022七上·桐乡期中）平方根等于本身的数是
A．-1 B．0 C．1 D．0，±1
【答案】B
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：-1没有平方根，0有平方根是0，1有平方根是±1.
故答案为：B.
【分析】平方根等于本身的数是0，据此判断.
8．（2022七上·鄞州月考）平方根是±的数是 （ ）
A． B． C． D．±
【答案】C
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵，
∴平方根是±的数是 .
故答案为：C
【分析】的平方根是± ，即可求解.
9．（新人教版数学七年级下册 第六章实数6.1平方根同步练习）已知 ＋ =0，则 的平方根是（ ）
A．± B． C． D．±
【答案】A
【知识点】平方根；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】解答：根据题意得，b-4=0，a-1=0，
解得a=1，b=4，
所以 ，
的平方根是 ，
故选A．
分析：根据非负数的性质列式求出a、b的值，再代入代数式求出 ，然后根据平方根的定义解答即可．几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
10．（2022八上·沈北新期中）若一个正数的两个平方根分别是2m－4与3m－1，则m的值是（ ）
A．1 B．－1 C．－3 D．－3或1
【答案】A
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是2m 4与3m 1，
∴2m 4＋3m 1＝0，
∴m＝1；
故答案为：A．
【分析】根据平方根的性质可得2m 4＋3m 1＝0，再求出m的值即可。
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（2017·泰兴模拟）的平方根是
【答案】
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】
∵=3，
又∵（±）2=3，
∴的平方根是±．
【分析】首先得出的值，再利用平方根的定义计算即可．
12．（2022七上·海曙期中）等于 .
【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：.
故答案为：2.
【分析】4的算术平方根是2，据此即得结论.
13．（2021八上·房山期中）在实数范围内，-1没有平方根的理由是 ．
【答案】负数没有平方根
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：-1是负数，负数没有平方根，所以没有平方根．
故答案为：负数没有平方根.
【分析】根据平方根的定义求解即可。
14．（2022七上·桐乡期中）若，则 .
【答案】
【知识点】平方根
【解析】【解答】解： ，
，
，
故答案为： .
【分析】由已知条件可得m2=3，结合平方根的概念可得m的值.
15．（2022七上·镇海区期中）计算： .
【答案】
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】根据算术平方根的概念进行解答.
16．（2022七上·温州期中）若某数的一个平方根为， 则这个数的另一个平方根为 .
【答案】
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵某数的一个平方根是，
∴这个数的另一个平方根是.
故答案为：.
【分析】根据正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，而只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出答案.
17．（2022八上·莲湖月考） ．
【答案】8
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解： ．
故答案为：8．
【分析】根据算术平方根的定义求解即可.
18．（2022七下·依安期末）m的平方根是n-3和n-7，那么mn= ．
【答案】20
【知识点】平方根
【解析】【解答】的平方根是和，，解得：，
则，故，则.故答案为20 .
【分析】根据平方根的性质可得，求出n的值，再求出m的值，最后将m、n的值代入mn计算即可。
19．（2022七下·巴彦期末）若有算术平方根，则x满足的条件是 ．
【答案】x≥5
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：根据题意得，x﹣5≥0，
解得x≥5，
故答案为：x≥5．
【分析】正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根，据此可得x﹣5≥0，继而求解.
20．（2022八下·莱芜期末）计算： ．
【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：
．
故答案为：2．
【分析】先计算被开方数，再利用二次根式的性质求解即可。
三、解答题（共8题，共60分）
21．（2022七上·鄞州期中）已知，是9的平方根，求的值．
【答案】解：∵，
∴，
又∵z是9的平方根，
∴，
∴分两种情况：
当时，；
当时，
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【分析】根据平方根、算术平方根的概念结合题意可得x=5、z=±3，然后代入5z-2x中计算即可.
22．（2022七上·武侯期中）若x是平方等于其本身的有理数，y2＝4，且xy＞0，求x-y的值.
【答案】解：因为x是平方等于其本身的有理数，y2＝4，
所以x＝1或0，y＝±2，
因为xy＞0，
∴x＝1，y＝2，
则x-y＝1-2＝-1.
【知识点】平方根；有理数的减法法则
【解析】【分析】根据题意可得x＝1或0，y＝±2，结合xy>0可得x=1，y=2，然后根据有理数的减法法则进行计算.
23．（【细解】初中数学鲁教版七年级上册第四章实数2平方根第2课时平方根）求下列各式中x的值．
（1）x2-36=0；
（2）0.25x2=1．
【答案】（1）解： x2=36，
x=±6
（2）解： x2=4，
x=±2
【知识点】平方根
【解析】【分析】（1）先移项求出x2，再利用平方根的意义求出x即可；
（2）利用系数化为1求出x2，再利用平方根的意义求出x即可.
24．（2022七下·漯河期末）一个正数的平方根分别是2a﹣5和2a+1，b﹣30的立方根是﹣3，求 的算术平方根．
【答案】解：由题意得： 2a﹣5+2a+1 =0， b﹣30 =-27，
解得：a=1，b=3，
∴，
∴ 的算术平方根是.
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【分析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，则可得出2a﹣5+2a+1 =0，再根据立方根的定义得出b﹣30 =-27，则可求出a、b值，然后代值求 的值，再求其算术平方根即可.
25．（2021七上·慈溪期中）已知的一个平方根是3，的一个平方根是，求的平方根．
【答案】解：∵2a 1的平方根为±3，3a＋b 1的平方根为±4，
∴2a 1＝9，3a＋b 1＝16，
解得：a＝5，b＝2，
∴a＋2b＝5＋4＝9，
∴a＋2b的平方根为±3．
【知识点】平方根
【解析】【分析】根据平方根的概念结合题意可得2a-1=9，3a+b-1=16，联立求出a、b的值，然后求出a+2b的值，再根据平方根的概念进行解答.
26．（2022七下·合阳期末）海啸是一种破坏力极强的海浪，由海底地震、火山爆发等引起，在广阔的海面上，海啸的行进速度可按公式计算，其中v表示海啸的速度（），d表示海水的深度，g表示重力加速度．若在海洋深度20m处发生海啸，求其行进的速度．
【答案】解：由题意可知，，
则，
∴海啸行进的速度是．
【知识点】平方根
【解析】【分析】根据所给公式即可求得海洋深度20m处海啸的行进速度.
27．（2021八上·沈阳期中）已知 .
（1）已知x的算数平方根为3，求a的值；
（2）如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数．
【答案】（1）解：∵x的算术平方根是3，
∴1-2a=9，解得a=-4；
（2）解：当1-2a=3a-4，得a=1，
此时x=-1，则这个数为
当1-2a+3a-4=0，得a=3，
此时x=-5，则这个为数
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【分析】（1）利用算术平方根的定义可得1-2a=9，求出a的值即可；
（2）根据x，y都是同一个数的平方根，分两种情况：可得当1-2a=3a-4，得a=1； 当1-2a+3a-4=0，得a=3，再分别代入计算即可。
28．（2021八上·秦都月考）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”.例如： ， ， 这三个数， ， ， ，其结果 ， ， 都是整数，所以 ， ， 这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是 ，“最大算术平方根”是 .
（1） ， ， 这三个数是“老根数”吗？若是，请求出任意两个数乘积的“最小算术平方根”与“最大算术平方根”；
（2）已知 ，a， ，这三个数是“老根数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的 倍，求a的值.
【答案】（1）解：因为 ， ， ，
所以 ， ， 这三个数是“老根数”，
因为 ，
所以其中“最小算术平方根”是 ，“最大算术平方根”是 ；
（2）解：当 时，
根据题意得 ，
解得 ；
当 时，
根据题意得 ，
解得 ，不合题意舍去；
当 时，
根据题意得 ，
解得 ，
综上所述，a的值为 或 .
【知识点】算术平方根
【解析】【分析】（1）根据“老根数”的定义，利用算术平方根的性质，可证得结论；再比较算术平方根的大小，可得到任意两个数乘积的“最小算术平方根”与“最大算术平方根”.
（2）分情况讨论：当a＞16和16＜a＜36时，分别可得到关于a的方程，解方程分别求出符合题意的a的值.
1 / 1初中数学同步训练必刷题（人教版七年级下册 6.1 平方根）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2023八上·榆林期末）64的平方根是（ ）
A． ±8 B．±4 C．±2 D．8
2．（2022八上·兴平期中）计算：（ ）
A．-8 B．8 C．-4 D．4
3．（2022七上·余杭月考）若x的平方等于3，则x等于（ ）
A． B．9 C．或 D．9或-9
4．（2022八上·乐山期中）下列说法中正确的是（ ）
A．-4的平方根为 B．-4的算术平方根为-2
C．0的平方根与算术平方根都是0 D．的平方根为-4
5．（2022七上·杭州期中） 的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
6．（2018-2019学年数学华师大版八年级上册 第11章 数的开方 单元检测a卷） 的平方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．4
7．（2022七上·桐乡期中）平方根等于本身的数是
A．-1 B．0 C．1 D．0，±1
8．（2022七上·鄞州月考）平方根是±的数是 （ ）
A． B． C． D．±
9．（新人教版数学七年级下册 第六章实数6.1平方根同步练习）已知 ＋ =0，则 的平方根是（ ）
A．± B． C． D．±
10．（2022八上·沈北新期中）若一个正数的两个平方根分别是2m－4与3m－1，则m的值是（ ）
A．1 B．－1 C．－3 D．－3或1
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（2017·泰兴模拟）的平方根是
12．（2022七上·海曙期中）等于 .
13．（2021八上·房山期中）在实数范围内，-1没有平方根的理由是 ．
14．（2022七上·桐乡期中）若，则 .
15．（2022七上·镇海区期中）计算： .
16．（2022七上·温州期中）若某数的一个平方根为， 则这个数的另一个平方根为 .
17．（2022八上·莲湖月考） ．
18．（2022七下·依安期末）m的平方根是n-3和n-7，那么mn= ．
19．（2022七下·巴彦期末）若有算术平方根，则x满足的条件是 ．
20．（2022八下·莱芜期末）计算： ．
三、解答题（共8题，共60分）
21．（2022七上·鄞州期中）已知，是9的平方根，求的值．
22．（2022七上·武侯期中）若x是平方等于其本身的有理数，y2＝4，且xy＞0，求x-y的值.
23．（【细解】初中数学鲁教版七年级上册第四章实数2平方根第2课时平方根）求下列各式中x的值．
（1）x2-36=0；
（2）0.25x2=1．
24．（2022七下·漯河期末）一个正数的平方根分别是2a﹣5和2a+1，b﹣30的立方根是﹣3，求 的算术平方根．
25．（2021七上·慈溪期中）已知的一个平方根是3，的一个平方根是，求的平方根．
26．（2022七下·合阳期末）海啸是一种破坏力极强的海浪，由海底地震、火山爆发等引起，在广阔的海面上，海啸的行进速度可按公式计算，其中v表示海啸的速度（），d表示海水的深度，g表示重力加速度．若在海洋深度20m处发生海啸，求其行进的速度．
27．（2021八上·沈阳期中）已知 .
（1）已知x的算数平方根为3，求a的值；
（2）如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数．
28．（2021八上·秦都月考）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”.例如： ， ， 这三个数， ， ， ，其结果 ， ， 都是整数，所以 ， ， 这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是 ，“最大算术平方根”是 .
（1） ， ， 这三个数是“老根数”吗？若是，请求出任意两个数乘积的“最小算术平方根”与“最大算术平方根”；
（2）已知 ，a， ，这三个数是“老根数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的 倍，求a的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：64的平方根为±8.
故答案为：A
【分析】根据正数的平方根有两个，它们互为相反数，可得到64的平方根.
2．【答案】D
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：.
故答案为：D
【分析】利用正数的算术平方根是正数，可得答案.
3．【答案】C
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵x的平方等于3即x2=3
∴x=.
故答案为：C
【分析】利用正数的平方根有两个，它们互为相反数，可得到x的值.
4．【答案】C
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解：A、-4没有平方根，故A不符合题意；
B、-4没有算术平方根，故B不符合题意；
C、0的平方根与算术平方根都是0，故C符合题意；
D、（-4）2的平方根为±4，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用负数没有平方根和算术平方根，可对A，B作出判断；利用0的平方根和算术平方根都是0，可对C作出判断；利用正数的平方根有两个，它们互为相反数，可对D作出判断.
5．【答案】A
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ 的算术平方根为 ，
故答案为：A.
【分析】先求出，再求 的算术平方根即可.
6．【答案】C
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解：由题意可得 =4
因为（±2）2=4
所以4的平方根为±2
即 的平方根为±2.
故答案为：C.
【分析】要求的平方根就是求4的平方根，即可解答。
7．【答案】B
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：-1没有平方根，0有平方根是0，1有平方根是±1.
故答案为：B.
【分析】平方根等于本身的数是0，据此判断.
8．【答案】C
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵，
∴平方根是±的数是 .
故答案为：C
【分析】的平方根是± ，即可求解.
9．【答案】A
【知识点】平方根；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】解答：根据题意得，b-4=0，a-1=0，
解得a=1，b=4，
所以 ，
的平方根是 ，
故选A．
分析：根据非负数的性质列式求出a、b的值，再代入代数式求出 ，然后根据平方根的定义解答即可．几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
10．【答案】A
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是2m 4与3m 1，
∴2m 4＋3m 1＝0，
∴m＝1；
故答案为：A．
【分析】根据平方根的性质可得2m 4＋3m 1＝0，再求出m的值即可。
11．【答案】
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】
∵=3，
又∵（±）2=3，
∴的平方根是±．
【分析】首先得出的值，再利用平方根的定义计算即可．
12．【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：.
故答案为：2.
【分析】4的算术平方根是2，据此即得结论.
13．【答案】负数没有平方根
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：-1是负数，负数没有平方根，所以没有平方根．
故答案为：负数没有平方根.
【分析】根据平方根的定义求解即可。
14．【答案】
【知识点】平方根
【解析】【解答】解： ，
，
，
故答案为： .
【分析】由已知条件可得m2=3，结合平方根的概念可得m的值.
15．【答案】
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】根据算术平方根的概念进行解答.
16．【答案】
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵某数的一个平方根是，
∴这个数的另一个平方根是.
故答案为：.
【分析】根据正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，而只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出答案.
17．【答案】8
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解： ．
故答案为：8．
【分析】根据算术平方根的定义求解即可.
18．【答案】20
【知识点】平方根
【解析】【解答】的平方根是和，，解得：，
则，故，则.故答案为20 .
【分析】根据平方根的性质可得，求出n的值，再求出m的值，最后将m、n的值代入mn计算即可。
19．【答案】x≥5
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：根据题意得，x﹣5≥0，
解得x≥5，
故答案为：x≥5．
【分析】正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根，据此可得x﹣5≥0，继而求解.
20．【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：
．
故答案为：2．
【分析】先计算被开方数，再利用二次根式的性质求解即可。
21．【答案】解：∵，
∴，
又∵z是9的平方根，
∴，
∴分两种情况：
当时，；
当时，
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【分析】根据平方根、算术平方根的概念结合题意可得x=5、z=±3，然后代入5z-2x中计算即可.
22．【答案】解：因为x是平方等于其本身的有理数，y2＝4，
所以x＝1或0，y＝±2，
因为xy＞0，
∴x＝1，y＝2，
则x-y＝1-2＝-1.
【知识点】平方根；有理数的减法法则
【解析】【分析】根据题意可得x＝1或0，y＝±2，结合xy>0可得x=1，y=2，然后根据有理数的减法法则进行计算.
23．【答案】（1）解： x2=36，
x=±6
（2）解： x2=4，
x=±2
【知识点】平方根
【解析】【分析】（1）先移项求出x2，再利用平方根的意义求出x即可；
（2）利用系数化为1求出x2，再利用平方根的意义求出x即可.
24．【答案】解：由题意得： 2a﹣5+2a+1 =0， b﹣30 =-27，
解得：a=1，b=3，
∴，
∴ 的算术平方根是.
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【分析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，则可得出2a﹣5+2a+1 =0，再根据立方根的定义得出b﹣30 =-27，则可求出a、b值，然后代值求 的值，再求其算术平方根即可.
25．【答案】解：∵2a 1的平方根为±3，3a＋b 1的平方根为±4，
∴2a 1＝9，3a＋b 1＝16，
解得：a＝5，b＝2，
∴a＋2b＝5＋4＝9，
∴a＋2b的平方根为±3．
【知识点】平方根
【解析】【分析】根据平方根的概念结合题意可得2a-1=9，3a+b-1=16，联立求出a、b的值，然后求出a+2b的值，再根据平方根的概念进行解答.
26．【答案】解：由题意可知，，
则，
∴海啸行进的速度是．
【知识点】平方根
【解析】【分析】根据所给公式即可求得海洋深度20m处海啸的行进速度.
27．【答案】（1）解：∵x的算术平方根是3，
∴1-2a=9，解得a=-4；
（2）解：当1-2a=3a-4，得a=1，
此时x=-1，则这个数为
当1-2a+3a-4=0，得a=3，
此时x=-5，则这个为数
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【分析】（1）利用算术平方根的定义可得1-2a=9，求出a的值即可；
（2）根据x，y都是同一个数的平方根，分两种情况：可得当1-2a=3a-4，得a=1； 当1-2a+3a-4=0，得a=3，再分别代入计算即可。
28．【答案】（1）解：因为 ， ， ，
所以 ， ， 这三个数是“老根数”，
因为 ，
所以其中“最小算术平方根”是 ，“最大算术平方根”是 ；
（2）解：当 时，
根据题意得 ，
解得 ；
当 时，
根据题意得 ，
解得 ，不合题意舍去；
当 时，
根据题意得 ，
解得 ，
综上所述，a的值为 或 .
【知识点】算术平方根
【解析】【分析】（1）根据“老根数”的定义，利用算术平方根的性质，可证得结论；再比较算术平方根的大小，可得到任意两个数乘积的“最小算术平方根”与“最大算术平方根”.
（2）分情况讨论：当a＞16和16＜a＜36时，分别可得到关于a的方程，解方程分别求出符合题意的a的值.
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