河南省许昌市五校2013-2014学年高二上学期第四次联考数学（文）试题

许昌市五校联考高二第四次考试
文科数学试卷
考试时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{x||x|≤a，a＞0}，集合B＝{－2,－1,0,1,2}，且A∩B＝{－1,0,1}，则a的取值范围是 (　　)
A．(1，2)　　　 　B．[1，2) C．(1，2] D．(0，1]
2．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n?α.则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的 (　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数f(x)＝ax3＋2x＋1(a≠0)在x＝1处的切线方程为x＋y－m＝0，则实数a等于(　　)
A．1 B．－1 C．－2 D．3
4．要得到函数y＝cos2x的图像，只需将y＝sin的图像 (　　)
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝λ＋μ，则的值为 (　　)
A．1　　　　 B. C．2 D.
6．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为 (　　)
A．8＋＋ B．4＋ C.＋ D．4＋＋
7．若在区间[－5，5]内任取一个实数a，则使直线x＋y＋a＝0与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2有公共点的概率为 (　　)
A． B． C． D．
8．执行下边的程序框图，输出的S值为 (　　)
A. B. C. D.
9．已知x＞1，y＞1，且lnx，，lny成等比数列，则xy (　　)
A．有最大值e B．有最小值e C．有最大值 D．有最小值
10．已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0，2)时，f(x)＝lnx－ax，当x∈(－2，0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于 (　　)
A.　　　 　B.　　 　　C.　　　 　D．1
11．已知函数f(x)＝2x－log x，实数abc满足0A．x0＞c B．x0＜c C．x0＞a D．x0＜a
12．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为
(　　)
A．(－1，1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．已知关于x的不等式＜0的解集是（）∪（），则＝________．
14．已知点P(x，y)满足条件(k为常数)，若z＝x＋3y的最大值为8，则
k＝________．
15．在直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－1，0)，C(1，0)，顶点B在椭圆上，则的值为__________．
16．设F是抛物线C1：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A是抛物线与双曲线C2：1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)
已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝.
(1)Sn为{an}的前n项和，证明：Sn＝；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．
18．(本题满分12分)
如图，已知AB平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，，且F是CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）设AB=1，求多面体ABCDE的体积．
19．（本题满分12分）
在△ABC中，设A、B、C的对边分别为a、b、c，向量，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，，求△ABC的面积.
20．（本题满分12分）
已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.
(1)若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，求实数a的值；
(2)在(1)的条件下，若存在实数n使f(n)≤m－f(－n)成立，求实数m的取值范围．
21．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝x3－x2＋bx＋a(a，b∈R)，且其导函数f′(x)的图象过原点．
(1)当a＝1时，求函数f(x)的图象在x＝3处的切线方程；
(2)若存在x<0，使得f′(x)＝－9，求a的最大值；
(3)当a>0时，求函数f(x)的零点个数．
22．（本题满分12分）
已知点，直线与直线斜率之积为，记点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）设是曲线上任意两点，且，是否存在以原点为圆心且与总相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
许昌市五校联考高二第四次考试
参考答案
一、选择题： BABAC ABABD CB
二、填空题： 13．-2 14．-6 15．2 16．
三、解答题
17．(1)【证明】因为an＝×()n－1＝，Sn＝＝，所以Sn＝.
……………………………5分
(2)【解】因为bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－ .
所以{bn}的通项公式为bn＝－ .
……………………………10分
18．【解】（1）如图，取CE中点P，连结FP、BP，
∵F为CD的中点，∴FP//DE，且FP=．
又AB//DE，且AB= ∴AB//FP，且AB=FP，∴ABPF为平行四边形，∴AF//BP．
又∵AF平面BCE，BP平面BCE，∴AF//平面BCE． ……………………6分
（2）∵直角梯形ABED的面积为，C到平面ABDE的距离为，
∴四棱锥C－ABDE的体积为．即多面体ABCDE的体积为．
……………………12分
19．【解】（1）
，又，
． ……………………………6分
（2），
，为等腰三角形，．……………………12分
20．【解】(1) 由|2x－a|＋a≤6得|2x－a|≤6－a，
∴a－6≤2x－a≤6－a，即a－3≤x≤3.∴a－3＝－2.∴a＝1. ……………………4分
(2)由(1)知f(x)＝|2x－1|＋1，令φ(n)＝f(n)＋f(－n)，
φ(n)＝|2n－1|＋|2n＋1|＋2
则φ(n)的最小值为4，故实数m的取值范围是[4，＋∞)．
……………………12分
21．【解】f(x)＝x3－x2＋bx＋a，f′(x)＝x2－(a＋1)x＋b．
由f′(0)＝0，得b＝0，f′(x)＝x(x－a－1)． ……………………2分
(1)当a＝1时，f(x)＝x3－x2＋1，f′(x)＝x(x－2)，f(3)＝1，f′(3)＝3，
所以函数f(x)的图象在x＝3处的切线方程为y－1＝3(x－3)，即3x－y－8＝0．……4分
(2)存在x<0，使得f′(x)＝x(x－a－1)＝－9，
－a－1＝－x－＝(－x)＋(－)≥2＝6，a≤－7．
当且仅当x＝－3时，a＝－7．所以a的最大值为－7． ……………………7分
(3)当a>0时，x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0，a＋1)
a＋1
(a＋1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
故f(x)的极大值f(0)＝a>0，
f(x)的极小值f(a＋1)＝a－(a＋1)3＝－[a3＋3(a－)2＋]<0．
又f(－2)＝－a－<0，f(x)＝x2[x－(a＋1)]＋a，f((a＋1))＝a>0．
所以函数f(x)在区间(－2,0)，(0，a＋1)，(a＋1，(a＋1))内各有一个零点，故函数f(x)共有三个零点． ……………………12分
22．【解】（1）设， 则由直线与直线斜率之积为得，．整理得曲线的方程为，．
……………………3分
（2）若，则．设．
①若直线斜率不存在，则．由得：，又．解得直线方程为，原点O到直线的距离．
②若直线斜率存在，设方程为．
由得．
即， （*）
由得，整理得．
代入（*）式解得．
此时中．
此时原点O到直线的距离．
故原点O到直线的距离恒为．
存在以原点为圆心且与总相切的圆，方程为．……………………12分