初中数学同步训练必刷题（人教版八年级下册 17.1 勾股定理）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022八下·承德期末）如图，中，，，则BC的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：中，
∵，，
∴
，
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理求出BC的长即可。
2．（2022八下·顺平期末）直角的斜边为5，一条直角边为4，则此三角形的面积是（ ）
A．10 B．20 C．12 D．6
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】由勾股定理得，另一条直角边为，
∴此三角形的面积是，
故答案为：D．
【分析】先利用勾股定理求出另一条直角边，再利用三角形的面积公式求解即可.
3．（2022八下·敦化期末）如图，数轴上的点A表示的数是1，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A． B． C．2.8 D．
【答案】A
【知识点】实数在数轴上的表示；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可得，
AB=2，BC=2，AB⊥BC，
∴AC=2，
∴AD=2，
∴点D表示数为：2-1，
故答案为：A．
【分析】利用勾股定理求出AC的长，即可得到AD=AC=2，从而可得点D表示数为：2-1。
4．（2022八下·无为期末）两只蚂蚁在水平地面上从同一地点出发，一只以每分钟12cm的速度朝正东方向爬行，一只以每分钟16cm的速度朝正南方向爬行，10分钟之后两只蚂蚁相距（ ）
A．120cm B．160cm C．200cm D．280cm
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：12×10=120（cm），16×10=160（cm）
由勾股定理可得：两只蚂蚁间的距离=（cm）
故答案为：C
【分析】利用勾股定理求解即可。
5．（2022八下·潮安期末）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B与灯塔P之间的距离为（ ）
A．60海里 B．45海里 C．20海里 D．30海里
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，
故AB=2AP=60（海里），
则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：BP=（海里）
故答案为：D．
【分析】先利用含30°角的直角三角形的性质可得AB=2AP=60，再利用勾股定理求出BP的长即可。
6．（2022八下·陈仓期末）如图，在等边中，，垂足为D，且，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴∠B=60°，∠BAD=30°，
设BD=x，
∴AB=2x，
∵AD2+BD2=AB2，
∴x2+3=4x2，
解得x=1或-1（舍去），
∴AB=2x=2，
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的性质得出∠BAD=30°，可设BD=x，AB=2x，然后根据勾股定理列方程求解，即可解答.
7．（2022八下·太原期末）如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝5．现将△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置．若平移的距离为3，则CG的长为（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】D
【知识点】勾股定理；平移的性质
【解析】【解答】由题意得：BE=3，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝5，
∴∠A=∠BCA=45°，CE=BC BE=5 3=2，
由平移性质得：AB∥DE，
∴∠EGC=∠A=45°=∠BCA ，∠GEC=∠B=90°，
∴EG=CE=2，
由勾股定理得：．
故答案为：D．
【分析】根据平移的性质可得∠EGC=∠A=45°=∠BCA ，∠GEC=∠B=90°，EG=CE=2，再利用勾股定理求出CG的长即可。
8．（2022八下·黄山期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形边长都为1，则网格上△ABC中，边长为无理数的边长有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】勾股定理；无理数的认识
【解析】【解答】如图所示：
AB＝，故是无理数；
BC=，故是无理数；
AC=，故不是无理数.
所以无理数的边长有2个.
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理求出AB、BC和AC的长，再根据无理数的定义判断即可。
9．（2022八下·盘龙期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分别以四边向外做正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲、S乙、S丙、S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（ ）
A．S甲＝ S丁 B．S乙＝S丙
C．S甲＋S乙＝S丙＋S丁 D．S甲－S乙＝S丙－S丁
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：连接AC，
由勾股定理得AB2+BC2=AC2，AD2+CD2=AC2，
∴甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，
故答案为：C．
【分析】连接AC，根据勾股定理可得AB2+BC2=AC2，AD2+CD2=AC2，再利用正方形的性质可得甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积。
10．（2022八下·槐荫期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CA，CB的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若AC=2，BC=4，则DF的长为（ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
【答案】B
【知识点】平行线的性质；勾股定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AC=2，BC=4，
由勾股定理得：AB==6，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠EBF，
∵D，E分别为CA，CB的中点，
∴DE∥AB，DE=AB=3，BE=BC=2，
∴∠ABF=∠EFB，
∴∠EFB=∠EBF，
∴EF=BE=2，
∴DF=DE-EF=1，
故答案为：B．
【分析】先求出AB的长，再利用中位线的性质求出DE的长，最后利用线段的和差求出DF=DE-EF=1即可。
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（2022八下·安宁期末）在Rt△ABC中，，已知AB=15，AC=9，则BC= .
【答案】12
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
∴
故答案为：12.
【分析】利用勾股定理求出BC的长即可。
12．（2022八下·沂南期末）如图，一根长16cm的牙刷置于底面直径为6cm、高8cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是 ．
【答案】6≤h≤8
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：当牙刷与杯底垂直时h最大，h最大＝16﹣8＝8cm．
当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
如图所示：此时，AB＝cm，
故h＝16﹣10＝6cm．
故h的取值范围是6≤h≤8．
故答案是：6≤h≤8．
【分析】利用勾股定理求出最大值和最小值，即可得到范围。
13．（2022八下·无为期末）直角三角形的两直角边长是和3cm，则它的斜边上的高是 cm．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：由题，设斜边为a，斜边上的高为h
由面积相等，有
【分析】先利用勾股定理求出a的值，再利用等面积法可得，最后求出h的值即可。
14．（2022八下·景谷期末）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，，，则的长为 ．
【答案】7
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由已知作图方法可得，是线段的垂直平分线，
连接EC，如图，
所以，
所以，
所以∠BEC=∠CEA=90°，
因为，，
所以，
在中，，
所以，
因此的长为7．
故答案为：7．
【分析】先利用勾股定理求出AE的长，再利用线段的和差可得。
15．（2022八下·滨城期末）一个三角形两条边长为3和4，当第三条边长为 时，此三角形为直角三角形．
【答案】或5
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设第三条边长为x，此三角形为直角三角形，那么可能出现以下两种情况：
①边长为4的边为斜边，此时x＜4，则32+x2＝42，得；
②边长为4的边为直角边，此时边长为x的边为斜边，则32+42＝x2，得x＝5．
综上，或5．
故答案为：或5．
【分析】分类讨论，利用勾股定理，计算求解即可。
16．（2022八下·咸宁期中）一根直立于水中的芦节（BD）高出水面（AC）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC＝6米，水的深度（AB）为 米
【答案】8
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设水深x米，则AB=x，
则有：BD=AD+AB=x+2，
即有：BD=BC=x+2，
根据芦节直立水面，可知BD⊥AC，且AC=6，
则在直角△ABC中：，
即：，
解得x=8，
即水深8米.
故答案为：8.
【分析】设水深x米，则AB=x，BC=BD=AD+AB=x+2，由题意可得BD⊥AC且AC=6，然后利用勾股定理计算即可.
17．（2022八下·兴国期末）如图的阴影部分是一个半圆，它的面积是 ．（结果保留π）
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：圆的直径长=，
∴半圆的面积为，
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出圆的直径长，再利用半圆的面积公式计算即可。
18．（2022八下·钦州期末）如图，图1中是第七届国际数学教育大会（ICME－7）会徽图案、它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如果图2中的，若代表的面积，代表的面积，以此类推，代表的面则的值为 ．
【答案】7
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：，
，
……
，
，
……
，
．
故答案为：7.
【分析】根据勾股定理可得OA2=，OA3=，……，OA7=，然后根据三角形的面积公式分别求出S1、S2……、S7，据此不难求出S12+S12+S32+……+S72的值.
19．（2022八下·金平期末）某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子底端A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为2m，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为 m．
【答案】2.2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AE＝0.7m，DE＝2.4m，
∴，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2m，AC＝AD＝2.5，
∴m，
∴BE＝AE＋AB＝0.7＋1.5＝2.2m，
故答案为：2.2．
【分析】根据题意，利用勾股定理计算求解即可。
20．（2022八下·惠城期末）如图，在直线l上摆放着三个正方形，其中正放的两个正方形的顶点M，N分别是斜放正方形相邻两边的中点，三个正方形的面积依次为，，．已知，，则= ．
【答案】16
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，
∵正放的两个正方形的顶点M，N分别是斜放正方形相邻两边的中点，
∴BM=BN，∠MBN=90°，∠MAB=∠NCB=90°，
∴∠MBA+∠CBN=90°，
∵∠MBA+∠AMB=90°，
∴∠AMB=∠CBN，
∴△AMB≌△CBN（AAS），
∴BC=AM，
∵，，
∴AM=1，，
∴由勾股定理得：BM=2，
∴．
故答案为：16
【分析】利用“AAS”证明△AMB≌△CBN可得BC=AM，再利用勾股定理求出BM的长，即可得到。
三、解答题（共6题，共60分）
21．（2022八下·威县期末）如图，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度为16米的大树被折断，树的顶部落在离树根8米处，即，求这棵树在离地面多高处被折断（即求AC的长度）？
【答案】解：设，
∵在中，，
∴，
∴．
答：这棵树在离地面6米处被折断
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据题意先求出 ， 再计算求解即可。
22．（2022八下·冠县期末）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦12米（的长）处，升起云梯到火灾窗口，云梯长20米，云梯底部距地面3米（的长），问：发生火灾的住户窗口距离地面有多高（的长）？
【答案】解：由题意可知：AE=CD=3米，AC=DE=12米，AB=20米；
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即BC2+122=202，
解得：BC=16（米），
∴BD=BC+CD=16+3=19（米）；
答：发生火灾的住户窗口距离地面19米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】利用勾股定理可得BC2+122=202，求出BC的长，再利用线段的和差求出BD的长即可。
23．（2022八下·临汾期末）如图，小明在甲岛上的一个观测站A处观测，发现在甲岛的正西方10海里处B点有一艘船向正北方驶去，2小时后，小明再次观察发现该船位于距离甲岛海里的C处，求该船的行驶速度．
【答案】解：依题意，AB=10海里，海里，
由勾股定理，得（海里），
15÷2=7.5（海里/小时）．
答：该船的行驶速度为7.5海里/小时．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】利用勾股定理求出BC的长，再利用“速度=路程÷时间”可得答案。
24．（2022八下·惠州期末）如图，．
（1）尺规作图：作的垂直平分线交于点D，交于点E（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的基础上，连接，求的长．
【答案】（1）解：如图1，所作直线DE即为线段AB的垂直平分线，
（2）解：如图，
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
设BD=x，则AD=x，CD=8-x，
∵Rt△BCD中，BC2+CD2=BD2，
∴42+（8-x）2=x2，
解得x=5，
∴BD=5．
【知识点】勾股定理；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）设BD=x，则AD=x，CD=8-x，利用勾股定理列出方程42+（8-x）2=x2，求解即可。
25．（2022八下·潮安期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC=6，BC=8，CD=3．
（1）求AB和DE的长；
（2）求△ADB的面积．
【答案】（1）解：∵∠C=90°，∴AB==10；∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，∵CD=3，∴DE=3；
（2）解：由（1）知，AB=10，∴△ADB的面积为S△ADB=AB DE=×10×3=15．
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质可得CD=DE=3；
（2）利用三角形的面积公式计算即可。
26．（2021八下·扎兰屯期末）如图，在△ABC中， BC=a，AC=b，AB=c，若∠C为直角，如图1，则有结论： ；当∠C为锐角（如图2）或钝角（如图3）时，请你完成下列探究：
（1）分别猜想∠C为锐角或钝角这两种情况下与的大小关系；
（2）任选（1）中的一个猜想进行证明．
【答案】（1）解：猜想：若∠C为锐角时，>
若∠C为钝角时，．
（2）解：当∠C为锐角时，；证明如下：
如图，过点A作AD⊥CB于点D，设CD=x，则BD=，
在直角三角形ACD中，，
在直角三角形ABD中，，
∴，即．
∵>0，x>0，
∴
当∠C为钝角（如图）时，，证明如下：
如图，过点A作BC的垂线交BC的延长线于点M，设，则，
在直角三角形ACM中，，
在直角三角形ABM中，，
∴，即．
∵>0，>0，
∴<．
【知识点】勾股定理的证明；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据题意直接猜想：若∠C为锐角时，> ； 若∠C为钝角时，；
（2）分两种情况：当∠C为锐角时，过点A作AD⊥CB于点D，设CD=x，则BD=，根据勾股定理可得，，所以，再化简可得；当∠C为钝角时，根据勾股定理可得，，所以，再化简可得<。
1 / 1初中数学同步训练必刷题（人教版八年级下册 17.1 勾股定理）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022八下·承德期末）如图，中，，，则BC的长为（ ）
A．2 B． C． D．
2．（2022八下·顺平期末）直角的斜边为5，一条直角边为4，则此三角形的面积是（ ）
A．10 B．20 C．12 D．6
3．（2022八下·敦化期末）如图，数轴上的点A表示的数是1，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A． B． C．2.8 D．
4．（2022八下·无为期末）两只蚂蚁在水平地面上从同一地点出发，一只以每分钟12cm的速度朝正东方向爬行，一只以每分钟16cm的速度朝正南方向爬行，10分钟之后两只蚂蚁相距（ ）
A．120cm B．160cm C．200cm D．280cm
5．（2022八下·潮安期末）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B与灯塔P之间的距离为（ ）
A．60海里 B．45海里 C．20海里 D．30海里
6．（2022八下·陈仓期末）如图，在等边中，，垂足为D，且，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
7．（2022八下·太原期末）如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝5．现将△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置．若平移的距离为3，则CG的长为（ ）
A． B． C．4 D．2
8．（2022八下·黄山期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形边长都为1，则网格上△ABC中，边长为无理数的边长有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．（2022八下·盘龙期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分别以四边向外做正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲、S乙、S丙、S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（ ）
A．S甲＝ S丁 B．S乙＝S丙
C．S甲＋S乙＝S丙＋S丁 D．S甲－S乙＝S丙－S丁
10．（2022八下·槐荫期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CA，CB的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若AC=2，BC=4，则DF的长为（ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（2022八下·安宁期末）在Rt△ABC中，，已知AB=15，AC=9，则BC= .
12．（2022八下·沂南期末）如图，一根长16cm的牙刷置于底面直径为6cm、高8cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是 ．
13．（2022八下·无为期末）直角三角形的两直角边长是和3cm，则它的斜边上的高是 cm．
14．（2022八下·景谷期末）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，，，则的长为 ．
15．（2022八下·滨城期末）一个三角形两条边长为3和4，当第三条边长为 时，此三角形为直角三角形．
16．（2022八下·咸宁期中）一根直立于水中的芦节（BD）高出水面（AC）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC＝6米，水的深度（AB）为 米
17．（2022八下·兴国期末）如图的阴影部分是一个半圆，它的面积是 ．（结果保留π）
18．（2022八下·钦州期末）如图，图1中是第七届国际数学教育大会（ICME－7）会徽图案、它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如果图2中的，若代表的面积，代表的面积，以此类推，代表的面则的值为 ．
19．（2022八下·金平期末）某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子底端A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为2m，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为 m．
20．（2022八下·惠城期末）如图，在直线l上摆放着三个正方形，其中正放的两个正方形的顶点M，N分别是斜放正方形相邻两边的中点，三个正方形的面积依次为，，．已知，，则= ．
三、解答题（共6题，共60分）
21．（2022八下·威县期末）如图，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度为16米的大树被折断，树的顶部落在离树根8米处，即，求这棵树在离地面多高处被折断（即求AC的长度）？
22．（2022八下·冠县期末）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦12米（的长）处，升起云梯到火灾窗口，云梯长20米，云梯底部距地面3米（的长），问：发生火灾的住户窗口距离地面有多高（的长）？
23．（2022八下·临汾期末）如图，小明在甲岛上的一个观测站A处观测，发现在甲岛的正西方10海里处B点有一艘船向正北方驶去，2小时后，小明再次观察发现该船位于距离甲岛海里的C处，求该船的行驶速度．
24．（2022八下·惠州期末）如图，．
（1）尺规作图：作的垂直平分线交于点D，交于点E（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的基础上，连接，求的长．
25．（2022八下·潮安期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC=6，BC=8，CD=3．
（1）求AB和DE的长；
（2）求△ADB的面积．
26．（2021八下·扎兰屯期末）如图，在△ABC中， BC=a，AC=b，AB=c，若∠C为直角，如图1，则有结论： ；当∠C为锐角（如图2）或钝角（如图3）时，请你完成下列探究：
（1）分别猜想∠C为锐角或钝角这两种情况下与的大小关系；
（2）任选（1）中的一个猜想进行证明．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：中，
∵，，
∴
，
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理求出BC的长即可。
2．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】由勾股定理得，另一条直角边为，
∴此三角形的面积是，
故答案为：D．
【分析】先利用勾股定理求出另一条直角边，再利用三角形的面积公式求解即可.
3．【答案】A
【知识点】实数在数轴上的表示；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可得，
AB=2，BC=2，AB⊥BC，
∴AC=2，
∴AD=2，
∴点D表示数为：2-1，
故答案为：A．
【分析】利用勾股定理求出AC的长，即可得到AD=AC=2，从而可得点D表示数为：2-1。
4．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：12×10=120（cm），16×10=160（cm）
由勾股定理可得：两只蚂蚁间的距离=（cm）
故答案为：C
【分析】利用勾股定理求解即可。
5．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，
故AB=2AP=60（海里），
则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：BP=（海里）
故答案为：D．
【分析】先利用含30°角的直角三角形的性质可得AB=2AP=60，再利用勾股定理求出BP的长即可。
6．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴∠B=60°，∠BAD=30°，
设BD=x，
∴AB=2x，
∵AD2+BD2=AB2，
∴x2+3=4x2，
解得x=1或-1（舍去），
∴AB=2x=2，
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的性质得出∠BAD=30°，可设BD=x，AB=2x，然后根据勾股定理列方程求解，即可解答.
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；平移的性质
【解析】【解答】由题意得：BE=3，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝5，
∴∠A=∠BCA=45°，CE=BC BE=5 3=2，
由平移性质得：AB∥DE，
∴∠EGC=∠A=45°=∠BCA ，∠GEC=∠B=90°，
∴EG=CE=2，
由勾股定理得：．
故答案为：D．
【分析】根据平移的性质可得∠EGC=∠A=45°=∠BCA ，∠GEC=∠B=90°，EG=CE=2，再利用勾股定理求出CG的长即可。
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；无理数的认识
【解析】【解答】如图所示：
AB＝，故是无理数；
BC=，故是无理数；
AC=，故不是无理数.
所以无理数的边长有2个.
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理求出AB、BC和AC的长，再根据无理数的定义判断即可。
9．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：连接AC，
由勾股定理得AB2+BC2=AC2，AD2+CD2=AC2，
∴甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，
故答案为：C．
【分析】连接AC，根据勾股定理可得AB2+BC2=AC2，AD2+CD2=AC2，再利用正方形的性质可得甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积。
10．【答案】B
【知识点】平行线的性质；勾股定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AC=2，BC=4，
由勾股定理得：AB==6，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠EBF，
∵D，E分别为CA，CB的中点，
∴DE∥AB，DE=AB=3，BE=BC=2，
∴∠ABF=∠EFB，
∴∠EFB=∠EBF，
∴EF=BE=2，
∴DF=DE-EF=1，
故答案为：B．
【分析】先求出AB的长，再利用中位线的性质求出DE的长，最后利用线段的和差求出DF=DE-EF=1即可。
11．【答案】12
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
∴
故答案为：12.
【分析】利用勾股定理求出BC的长即可。
12．【答案】6≤h≤8
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：当牙刷与杯底垂直时h最大，h最大＝16﹣8＝8cm．
当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
如图所示：此时，AB＝cm，
故h＝16﹣10＝6cm．
故h的取值范围是6≤h≤8．
故答案是：6≤h≤8．
【分析】利用勾股定理求出最大值和最小值，即可得到范围。
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：由题，设斜边为a，斜边上的高为h
由面积相等，有
【分析】先利用勾股定理求出a的值，再利用等面积法可得，最后求出h的值即可。
14．【答案】7
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由已知作图方法可得，是线段的垂直平分线，
连接EC，如图，
所以，
所以，
所以∠BEC=∠CEA=90°，
因为，，
所以，
在中，，
所以，
因此的长为7．
故答案为：7．
【分析】先利用勾股定理求出AE的长，再利用线段的和差可得。
15．【答案】或5
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设第三条边长为x，此三角形为直角三角形，那么可能出现以下两种情况：
①边长为4的边为斜边，此时x＜4，则32+x2＝42，得；
②边长为4的边为直角边，此时边长为x的边为斜边，则32+42＝x2，得x＝5．
综上，或5．
故答案为：或5．
【分析】分类讨论，利用勾股定理，计算求解即可。
16．【答案】8
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设水深x米，则AB=x，
则有：BD=AD+AB=x+2，
即有：BD=BC=x+2，
根据芦节直立水面，可知BD⊥AC，且AC=6，
则在直角△ABC中：，
即：，
解得x=8，
即水深8米.
故答案为：8.
【分析】设水深x米，则AB=x，BC=BD=AD+AB=x+2，由题意可得BD⊥AC且AC=6，然后利用勾股定理计算即可.
17．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：圆的直径长=，
∴半圆的面积为，
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出圆的直径长，再利用半圆的面积公式计算即可。
18．【答案】7
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：，
，
……
，
，
……
，
．
故答案为：7.
【分析】根据勾股定理可得OA2=，OA3=，……，OA7=，然后根据三角形的面积公式分别求出S1、S2……、S7，据此不难求出S12+S12+S32+……+S72的值.
19．【答案】2.2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AE＝0.7m，DE＝2.4m，
∴，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2m，AC＝AD＝2.5，
∴m，
∴BE＝AE＋AB＝0.7＋1.5＝2.2m，
故答案为：2.2．
【分析】根据题意，利用勾股定理计算求解即可。
20．【答案】16
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，
∵正放的两个正方形的顶点M，N分别是斜放正方形相邻两边的中点，
∴BM=BN，∠MBN=90°，∠MAB=∠NCB=90°，
∴∠MBA+∠CBN=90°，
∵∠MBA+∠AMB=90°，
∴∠AMB=∠CBN，
∴△AMB≌△CBN（AAS），
∴BC=AM，
∵，，
∴AM=1，，
∴由勾股定理得：BM=2，
∴．
故答案为：16
【分析】利用“AAS”证明△AMB≌△CBN可得BC=AM，再利用勾股定理求出BM的长，即可得到。
21．【答案】解：设，
∵在中，，
∴，
∴．
答：这棵树在离地面6米处被折断
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据题意先求出 ， 再计算求解即可。
22．【答案】解：由题意可知：AE=CD=3米，AC=DE=12米，AB=20米；
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即BC2+122=202，
解得：BC=16（米），
∴BD=BC+CD=16+3=19（米）；
答：发生火灾的住户窗口距离地面19米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】利用勾股定理可得BC2+122=202，求出BC的长，再利用线段的和差求出BD的长即可。
23．【答案】解：依题意，AB=10海里，海里，
由勾股定理，得（海里），
15÷2=7.5（海里/小时）．
答：该船的行驶速度为7.5海里/小时．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】利用勾股定理求出BC的长，再利用“速度=路程÷时间”可得答案。
24．【答案】（1）解：如图1，所作直线DE即为线段AB的垂直平分线，
（2）解：如图，
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
设BD=x，则AD=x，CD=8-x，
∵Rt△BCD中，BC2+CD2=BD2，
∴42+（8-x）2=x2，
解得x=5，
∴BD=5．
【知识点】勾股定理；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）设BD=x，则AD=x，CD=8-x，利用勾股定理列出方程42+（8-x）2=x2，求解即可。
25．【答案】（1）解：∵∠C=90°，∴AB==10；∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，∵CD=3，∴DE=3；
（2）解：由（1）知，AB=10，∴△ADB的面积为S△ADB=AB DE=×10×3=15．
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质可得CD=DE=3；
（2）利用三角形的面积公式计算即可。
26．【答案】（1）解：猜想：若∠C为锐角时，>
若∠C为钝角时，．
（2）解：当∠C为锐角时，；证明如下：
如图，过点A作AD⊥CB于点D，设CD=x，则BD=，
在直角三角形ACD中，，
在直角三角形ABD中，，
∴，即．
∵>0，x>0，
∴
当∠C为钝角（如图）时，，证明如下：
如图，过点A作BC的垂线交BC的延长线于点M，设，则，
在直角三角形ACM中，，
在直角三角形ABM中，，
∴，即．
∵>0，>0，
∴<．
【知识点】勾股定理的证明；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据题意直接猜想：若∠C为锐角时，> ； 若∠C为钝角时，；
（2）分两种情况：当∠C为锐角时，过点A作AD⊥CB于点D，设CD=x，则BD=，根据勾股定理可得，，所以，再化简可得；当∠C为钝角时，根据勾股定理可得，，所以，再化简可得<。
1 / 1
