初中数学同步训练必刷题(人教版八年级下册 17.2 勾股定理的逆定理)

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名称 初中数学同步训练必刷题(人教版八年级下册 17.2 勾股定理的逆定理)
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资源类型 试卷
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科目 数学
更新时间 2023-01-13 19:21:58

文档简介

初中数学同步训练必刷题(人教版八年级下册 17.2 勾股定理的逆定理)
一、单选题(每题3分,共30分)
1.(2022八下·巴彦期末)下列各组数据中,不能作为直角三角形三边长的是(  )
A.1,2,3 B.3,4,5 C.9,12,15 D.5,12,13
2.(2022八下·同江期末)下列各组数是勾股数的是(  )
A.5,12,14 B.6,8,12 C.4,5,6 D.7,24,25
3.(2022八下·无为期末)两只蚂蚁在水平地面上从同一地点出发,一只以每分钟12cm的速度朝正东方向爬行,一只以每分钟16cm的速度朝正南方向爬行,10分钟之后两只蚂蚁相距(  )
A.120cm B.160cm C.200cm D.280cm
4.(2022八下·无为期末)已知的三条边分别为a,b,c,下列条件不能判断是直角三角形的是(  )
A. B.
C.,, D.
5.(2022八下·潮安期末)如图,一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向,与灯塔P的距离为30海里的A处,轮船沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处,则此时轮船所在位置B与灯塔P之间的距离为(  )
A.60海里 B.45海里 C.20海里 D.30海里
6.(2022八下·滨城期末)如图,在中,,垂足为D,E为边的中点,,则(  )
A. B. C. D.
7.(2022八下·临汾期末)已知一三角形的三边长m,n,p满足,则这个三角形的面积为(  )
A.12 B.60 C.48 D.24
8.(2022八下·泰安期末)《九章算术》“勾股”章有一题:“今有二人同所立,甲行率七,乙行率三,乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会,问甲、乙行各几何.”大意是说:已知甲、乙两人同时从同一地点出发,甲的速度为7,乙的速度为3,乙一直向东走,甲先向南走10步,后又向东北方向走了一段后与乙相遇,那么相遇时所用时间为多少?若设甲与乙相遇时间为x,则可列方程为(  )
A. B.
C. D.
9.(2022八下·临西期末)如图,一个圆桶底面直径为8cm,高为12cm,则桶内所能容下的最长木棒的长度为(  ).
A.8cm B.10cm C. D.
10.(2022八下·博兴期末)“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,且,小正方形的面积为3,则大正方形的边长为(  )
A.10 B.7 C. D.
二、填空题(每题3分,共30分)
11.(2022八下·仙居期末)木工师傅要做一张长方形的桌面.完成后,量得桌面的长为,宽为,对角线为130cm,则做出的这个桌面   .(填“合格”或“不合格”)
12.(2022八下·纳溪期末)如图,每个小正方形的边长为1,点A,B,C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数是   .
13.(2022八下·凉山期末)如图,圆柱形玻璃杯,高为12cm,底面周长为10cm,在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在玻璃杯外壁,离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为   (玻璃杯厚度忽略不计).
14.(2022八下·通道期末)如图,四边形ABCD中,AB⊥BC,AB=4,BC=3,AD=12,CD=13,则四边形ABCD的面积是   .
15.(2022八下·八公山期末)一个三角形的三边的比为5:12:13,它的周长为60,则它的面积是    .
16.(2022八下·海珠期末)在中,,,边上的中线,则的长为   .
17.(2022八下·老河口期中)如图,图中的所有四边形都是正方形,三角形是直角三角形,两个小正方形的面积分别是1,2,最大的正方形的面积等于   .
18.(2022八下·安庆期中)如图,这是某种牛奶的长方体包装盒,长、宽、高分别为5cm、4cm、12cm,插吸管处的出口到相邻两边的距离都是1cm,为了设计配套的直吸管,要求插入碰到底面后,外露的吸管长度要在3cm至5cm间(包括3cm与5cm,不计吸管粗细及出口的大小),则设计的吸管总长度L的范围是   .
19.已知,如图,四边形ABCD中,AB=3cm,AD=4cm,BC=13cm,CD=12cm,且∠A=90°,则四边形ABCD的面积   .
20.(2022八下·长沙月考)已知a,b,c为三角形的三边,若有(a+c)2=b2+2ac,则这个三角形的形状是   三角形.
三、解答题(共6题,共60分)
21.(2022八下·无为期末)如图,一只小鸟旋停在空中A点,A点到地面的高度米,A点到地面C点(B、C两点处于同一水平面)的距离米.若小鸟竖直下降12米到达D点(D点在线段AB上),求此时小鸟到地面C点的距离.
22.(2022八下·潜山期末)八(2)班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度,小强测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米(如图①),小云拉着绳子的下端往后退,当她将绳子拉直时,小晨测得此时小云拉绳子的手到地面的距离为1米,到旗杆的距离为8米(如图②),请你求出旗杆的高度.
23.(2022八下·营口期末)如图,中,,点E是的中点,求的长.
24.(2022八下·乾安期末)如图,有一架秋千,当它静止时,踏板离地的垂直高度DE=1m,将它往前推送4m(水平距离BC=4m)时,秋千的踏板离地的垂直高度BF=2m,秋千的绳索始终拉得很直,求绳索AD的长度.
25.(2022八下·建昌期末)在如图所示的四边形草坪中,,,,,,求这块草坪的面积.
26.(2022八下·陈仓期末)已知a、b、c是的三边,且满足,试判断的形状.阅读下面解题过程:
解:由得:


即③
∴为. ④
(1)试问:以上解题过程是否正确:
(2)若不正确,请指出错在哪一步?(填代号)   
(3)本题的结论应为   .
答案解析部分
1.【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解:A、12+22≠32,不符合勾股定理的逆定理,故不能作为直角三角形的三边长,
B、32+42=52,符合勾股定理的逆定理,故能作为直角三角形的三边长,
C、92+122=152,符合勾股定理的逆定理,故能作为直角三角形的三边长,
D、52+122=132,符合勾股定理的逆定理,故能作为直角三角形的三边长,
故答案为:A.
【分析】利用勾股定理的逆定理对每个选项一一判断即可。
2.【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解:A、∵,∴5,12,14不是勾股数,故不符合题意;
B、∵,∴6,8,12不是勾股数,故不符合题意;
C、∵,∴4,5,6不是勾股数,故不符合题意;
D、∵,∴7,24,25是勾股数,故符合题意.
故答案为:D.
【分析】根据勾股定理逆定理计算求数判断是否是勾股数.
3.【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解:12×10=120(cm),16×10=160(cm)
由勾股定理可得:两只蚂蚁间的距离=(cm)
故答案为:C
【分析】利用勾股定理求解即可。
4.【答案】B
【知识点】三角形内角和定理;勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解:A.∵c2=a2﹣b2,
∴b2+c2=a2,
∴此三角形是直角三角形,故本选项不符合题意;
B.∵
设∠A=3x,则∠B=4x,∠C=5x,
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴3x+4x+5x=180°,解得x=15°,
∴∠C=5×15°=75°,
∴此三角形不是直角三角形,故本选项符合题意;
C.∵52+122=132,
∴此三角形是直角三角形,故本选项不符合题意;
D.∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A=∠B+∠C,
∴∠A=90°,
∴此三角形是直角三角形,故本选项不符合题意.
故答案为:B.
【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的内角和逐项判断即可。
5.【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解:由题意可得:∠B=30°,AP=30海里,∠APB=90°,
故AB=2AP=60(海里),
则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为:BP=(海里)
故答案为:D.
【分析】先利用含30°角的直角三角形的性质可得AB=2AP=60,再利用勾股定理求出BP的长即可。
6.【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理;解直角三角形;直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解:∵CD⊥AB,
∴∠ADC=∠CDB=90°,
∵E为BC的中点,
∴DE=BE=EC=,
∴BC=2,
∵,
∴ ABC为直角三角形,∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠DCB=90°,
∵∠B+∠DCB=90°,
∴∠ACD=∠B,
∵,
∴,
∴,
∴∠ACD=∠B=30°,
故答案为:B.
【分析】先求出BC=2,再求出,最后利用锐角三角函数计算求解即可。
7.【答案】D
【知识点】三角形的面积;勾股定理的逆定理;非负数之和为0
【解析】【解答】解:
化简可得:

∴m=6,p=8,n=10

∴三角形为直角三角形

故答案为:D.
【分析】先利用非负数之和为0的性质求出m=6,p=8,n=10,再利用勾股定理的逆定理证明三角形为直角三角形,最后利用三角形的面积公式计算即可。
8.【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解:如图:
设甲与乙相遇时间为x,这时乙共行,
甲共行,
∵,
∴,
又∵∠°,
∴,

故答案为:C.
【分析】设甲与乙相遇时间为x,再利用勾股定理可得。
9.【答案】D
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解:如图,AC为圆桶底面直径,BC为圆桶的高,
∴AC=8cm,BC=12cm,
∴cm,
即桶内所能容下的最长木棒的长度为cm.
故答案为:D.
【分析】将立体几何转换成平面几何,再利用勾股定理求解即可。
10.【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解:设大正方形的边长为c,
则c2=a2+b2,
∵(a+b)2=11,
∴a2+2ab+b2=11①,
∵小正方形的面积为3,
∴(a-b)2=3,
∴a2-2ab+b2=3②,
①+②得2a2+2b2=14,
∴a2+b2=7,
∴c==,
故答案为:D.
【分析】设大正方形的边长为c,利用勾股定理可得c2=a2+b2,再根据图象可得a2+2ab+b2=11①,a2-2ab+b2=3②,将①+②可得2a2+2b2=14,求出c的值。
11.【答案】不合格
【知识点】勾股定理的逆定理;矩形的判定
【解析】【解答】解:不合格,
理由:,
即:,

四边形ABCD不是矩形,
这个桌面不合格.
故答案为:不合格.
【分析】由题意可得AD2+CD2≠AC2,则四边形ABCD不是矩形,据此判断.
12.【答案】45°
【知识点】勾股定理的逆定理;等腰直角三角形
【解析】【解答】解:∵AC2=BC2=12+22=5;AB2=12+32=10,
∴AC2+BC2=AB2,
∴∠ACB=90°,AC=BC,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴∠ABC=45°.
故答案为:45°.
【分析】利用勾股定理的逆定理证明AC2+BC2=AB2,同时可证得AC=BC,可推出△ABC是等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性质可求出∠ABC的度数.
13.【答案】13cm
【知识点】勾股定理的应用;平面展开﹣最短路径问题;轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解:沿过A的圆柱的高剪开,得出矩形EFGH,
过C作CQ⊥EF于Q,作A关于EH的对称点A',连接A'C交EH于P,连接AP,则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离,
∵AE=A'E,A'P=AP,
∴AP+PC=A'P+PC=A'C,
∵CQ=×10=5cm,A'Q=12-3+3=12cm,
在Rt△A'QC中,A'C==13cm.
故答案为:13cm.
【分析】在侧面展开图中,过C作CQ⊥EF于Q,作A关于EH的对称点A',连接A'C交EH于P,连接AP,则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离,求出A'Q,CQ的长,在Rt△A'QC中,根据勾股定理求出A'C,即可解答.
14.【答案】36
【知识点】三角形的面积;勾股定理;勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解:连接AC,如图,
在△ABC中,AB⊥BC,AB=4,BC=3,
∴AC==5.
在△ADC中,AD=12,CD=13,AC=5.
∵122+52=132,即AD2+AC2=CD2,
∴△ADC是直角三角形,且∠DAC=90°,
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=AB BC+AC AD=×3×4+×5×12=36.
故答案为:36.
【分析】连接AC,根据勾股定理可得AC=5,则AD2+AC2=CD2,推出△ADC是直角三角形,且∠DAC=90°,然后根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC结合三角形的面积公式进行计算.
15.【答案】120
【知识点】三角形的面积;勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解:设三角形的三边分别为5x,12x,13x,
则,

∴三角形的三边分别为10,24,26,
∵,
∴三角形为直角三角形,
∴三角形的面积为:,
故答案为:120.
【分析】先求出三角形的三边分别为10,24,26,再求出三角形为直角三角形,最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
16.【答案】13
【知识点】勾股定理;勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解:如图,
是边上的中线,



是直角三角形,


故答案为:13.
【分析】先求出BD=DC=5,再利用勾股定理计算求解即可。
17.【答案】3
【知识点】勾股定理的应用;正方形的性质
【解析】【解答】解:∵两个小正方形的面积分别为1和2,
∴它们分别是直角三角形的两条直角边的平方,
则根据勾股定理可得:
故答案为:3.
【分析】根据勾股定理的几何意义得到,依此进行解答即可.
18.【答案】16cm≤L≤17cm
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解:①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长,最长为17cm;
②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形,
底面距定点最远距离为5cm,高为12cm,
由勾股定理可得杯里面管长为=13cm,
∵外露的吸管长度要在3cm至5cm间
∴设计的吸管总长度L的范围是16cm≤L≤17cm.
故答案为16cm≤L≤17cm.
【分析】根据当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长,最长为17cm;再根据露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形,用勾股定理可得最短长度。
19.【答案】36cm2
【知识点】勾股定理;勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解:连接BD,
∵AB=3cm,AD=4cm,∠A=90°,BC=13cm,CD=12cm,
∴BD= = =5cm.
∵122+52=132,即CD2+BD2=BC2,
∴△BCD是直角三角形,∠BDC=90°,
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD= ×3×4+ ×5×12=6+30=36cm2.
故答案为:36cm2.
【分析】连接BD,根据勾股定理求出BD的长,再由勾股定理的逆定理判断出△BCD的形状,由S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD即可得出结论.
20.【答案】直角
【知识点】完全平方公式及运用;勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解:∵(a+c)2=b2+2ac,
∴ ,
即,
所以该三角形是直角三角形.
故答案为:直角.
【分析】利用完全平方公式对已知等式展开,然后进行整理可得a2+c2=b2,接下来根据勾股定理逆定理进行判断.
21.【答案】解:由勾股定理得;,
∴(米),
∵(米),
∴在中,由勾股定理得,
∴此时小鸟到地面C点的距离17米.
答; 此时小鸟到地面C点的距离为17米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】先利用勾股定理求出BC的长,再利用线段的和差求出BD的长,最后利用勾股定理求出CD的长即可。
22.【答案】解:设长为米,则绳子长为米,的长度为米.
在中,米,
米,米,
由勾股定理可得,,
解得:.
答:旗杆的高度为16米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设长为米,则绳子长为米,的长度为米,利用勾股定理列出方程求解即可。
23.【答案】解:在 中, ,

∴ ,
∵ ,
∵ , ,
∴ ,
∴ ,
∴ 是直角三角形,
∵点E是 的中点,
∴ .
【知识点】勾股定理的逆定理;直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】先利用勾股定理的逆定理证明 是直角三角形,再利用直角三角形斜边上中线的性质可得。
24.【答案】解:在Rt△ACB中AC2+BC2=AB2,
设秋千的绳索长为xm,则AC=(x﹣1)m,
故x2=42+(x﹣1)2,
解得:x=8.5,
答:绳索AD的长度是8.5m.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据题意先求出 x2=42+(x﹣1)2, 再求解即可。
25.【答案】解:如图所示,连接,
∵,
∴在中,.
∵,
∴是直角三角形,
∴,
∴,
∴这块草坪的面积为216平方米.
【知识点】勾股定理的逆定理;几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】连接AC,先利用勾股定理证明是直角三角形,再利用三角形的面积公式和割补法求解即可。
26.【答案】(1)错误
(2)③
(3)直角三角形或等腰三角形
【知识点】因式分解的应用;等式的性质;等腰三角形的判定;勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解:错误,理由是:
等式两边同除以a2-b2时,必须a2-b2≠0,但这里不能确定a2-b2≠0,
由得:

②,
当a2-b2=0时,等式成立,
∵a>0,b>0,
∴a=b;
当a2-b2≠0时,;
∴或a=b ③,
∴为等腰三角形或直角三角形. ④
故答案为:错误,③,直角三角形或等腰三角形.
【分析】由于②到③时等式两边都除以了a2-b2,如果a2-b2=0,根据等式的性质可知,此时③不一定成立,因此要分a2-b2=0和a2-b2≠0两种情况讨论.
1 / 1初中数学同步训练必刷题(人教版八年级下册 17.2 勾股定理的逆定理)
一、单选题(每题3分,共30分)
1.(2022八下·巴彦期末)下列各组数据中,不能作为直角三角形三边长的是(  )
A.1,2,3 B.3,4,5 C.9,12,15 D.5,12,13
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解:A、12+22≠32,不符合勾股定理的逆定理,故不能作为直角三角形的三边长,
B、32+42=52,符合勾股定理的逆定理,故能作为直角三角形的三边长,
C、92+122=152,符合勾股定理的逆定理,故能作为直角三角形的三边长,
D、52+122=132,符合勾股定理的逆定理,故能作为直角三角形的三边长,
故答案为:A.
【分析】利用勾股定理的逆定理对每个选项一一判断即可。
2.(2022八下·同江期末)下列各组数是勾股数的是(  )
A.5,12,14 B.6,8,12 C.4,5,6 D.7,24,25
【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解:A、∵,∴5,12,14不是勾股数,故不符合题意;
B、∵,∴6,8,12不是勾股数,故不符合题意;
C、∵,∴4,5,6不是勾股数,故不符合题意;
D、∵,∴7,24,25是勾股数,故符合题意.
故答案为:D.
【分析】根据勾股定理逆定理计算求数判断是否是勾股数.
3.(2022八下·无为期末)两只蚂蚁在水平地面上从同一地点出发,一只以每分钟12cm的速度朝正东方向爬行,一只以每分钟16cm的速度朝正南方向爬行,10分钟之后两只蚂蚁相距(  )
A.120cm B.160cm C.200cm D.280cm
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解:12×10=120(cm),16×10=160(cm)
由勾股定理可得:两只蚂蚁间的距离=(cm)
故答案为:C
【分析】利用勾股定理求解即可。
4.(2022八下·无为期末)已知的三条边分别为a,b,c,下列条件不能判断是直角三角形的是(  )
A. B.
C.,, D.
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理;勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解:A.∵c2=a2﹣b2,
∴b2+c2=a2,
∴此三角形是直角三角形,故本选项不符合题意;
B.∵
设∠A=3x,则∠B=4x,∠C=5x,
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴3x+4x+5x=180°,解得x=15°,
∴∠C=5×15°=75°,
∴此三角形不是直角三角形,故本选项符合题意;
C.∵52+122=132,
∴此三角形是直角三角形,故本选项不符合题意;
D.∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A=∠B+∠C,
∴∠A=90°,
∴此三角形是直角三角形,故本选项不符合题意.
故答案为:B.
【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的内角和逐项判断即可。
5.(2022八下·潮安期末)如图,一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向,与灯塔P的距离为30海里的A处,轮船沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处,则此时轮船所在位置B与灯塔P之间的距离为(  )
A.60海里 B.45海里 C.20海里 D.30海里
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解:由题意可得:∠B=30°,AP=30海里,∠APB=90°,
故AB=2AP=60(海里),
则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为:BP=(海里)
故答案为:D.
【分析】先利用含30°角的直角三角形的性质可得AB=2AP=60,再利用勾股定理求出BP的长即可。
6.(2022八下·滨城期末)如图,在中,,垂足为D,E为边的中点,,则(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理;解直角三角形;直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解:∵CD⊥AB,
∴∠ADC=∠CDB=90°,
∵E为BC的中点,
∴DE=BE=EC=,
∴BC=2,
∵,
∴ ABC为直角三角形,∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠DCB=90°,
∵∠B+∠DCB=90°,
∴∠ACD=∠B,
∵,
∴,
∴,
∴∠ACD=∠B=30°,
故答案为:B.
【分析】先求出BC=2,再求出,最后利用锐角三角函数计算求解即可。
7.(2022八下·临汾期末)已知一三角形的三边长m,n,p满足,则这个三角形的面积为(  )
A.12 B.60 C.48 D.24
【答案】D
【知识点】三角形的面积;勾股定理的逆定理;非负数之和为0
【解析】【解答】解:
化简可得:

∴m=6,p=8,n=10

∴三角形为直角三角形

故答案为:D.
【分析】先利用非负数之和为0的性质求出m=6,p=8,n=10,再利用勾股定理的逆定理证明三角形为直角三角形,最后利用三角形的面积公式计算即可。
8.(2022八下·泰安期末)《九章算术》“勾股”章有一题:“今有二人同所立,甲行率七,乙行率三,乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会,问甲、乙行各几何.”大意是说:已知甲、乙两人同时从同一地点出发,甲的速度为7,乙的速度为3,乙一直向东走,甲先向南走10步,后又向东北方向走了一段后与乙相遇,那么相遇时所用时间为多少?若设甲与乙相遇时间为x,则可列方程为(  )
A. B.
C. D.
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解:如图:
设甲与乙相遇时间为x,这时乙共行,
甲共行,
∵,
∴,
又∵∠°,
∴,

故答案为:C.
【分析】设甲与乙相遇时间为x,再利用勾股定理可得。
9.(2022八下·临西期末)如图,一个圆桶底面直径为8cm,高为12cm,则桶内所能容下的最长木棒的长度为(  ).
A.8cm B.10cm C. D.
【答案】D
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解:如图,AC为圆桶底面直径,BC为圆桶的高,
∴AC=8cm,BC=12cm,
∴cm,
即桶内所能容下的最长木棒的长度为cm.
故答案为:D.
【分析】将立体几何转换成平面几何,再利用勾股定理求解即可。
10.(2022八下·博兴期末)“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,且,小正方形的面积为3,则大正方形的边长为(  )
A.10 B.7 C. D.
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解:设大正方形的边长为c,
则c2=a2+b2,
∵(a+b)2=11,
∴a2+2ab+b2=11①,
∵小正方形的面积为3,
∴(a-b)2=3,
∴a2-2ab+b2=3②,
①+②得2a2+2b2=14,
∴a2+b2=7,
∴c==,
故答案为:D.
【分析】设大正方形的边长为c,利用勾股定理可得c2=a2+b2,再根据图象可得a2+2ab+b2=11①,a2-2ab+b2=3②,将①+②可得2a2+2b2=14,求出c的值。
二、填空题(每题3分,共30分)
11.(2022八下·仙居期末)木工师傅要做一张长方形的桌面.完成后,量得桌面的长为,宽为,对角线为130cm,则做出的这个桌面   .(填“合格”或“不合格”)
【答案】不合格
【知识点】勾股定理的逆定理;矩形的判定
【解析】【解答】解:不合格,
理由:,
即:,

四边形ABCD不是矩形,
这个桌面不合格.
故答案为:不合格.
【分析】由题意可得AD2+CD2≠AC2,则四边形ABCD不是矩形,据此判断.
12.(2022八下·纳溪期末)如图,每个小正方形的边长为1,点A,B,C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数是   .
【答案】45°
【知识点】勾股定理的逆定理;等腰直角三角形
【解析】【解答】解:∵AC2=BC2=12+22=5;AB2=12+32=10,
∴AC2+BC2=AB2,
∴∠ACB=90°,AC=BC,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴∠ABC=45°.
故答案为:45°.
【分析】利用勾股定理的逆定理证明AC2+BC2=AB2,同时可证得AC=BC,可推出△ABC是等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性质可求出∠ABC的度数.
13.(2022八下·凉山期末)如图,圆柱形玻璃杯,高为12cm,底面周长为10cm,在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在玻璃杯外壁,离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为   (玻璃杯厚度忽略不计).
【答案】13cm
【知识点】勾股定理的应用;平面展开﹣最短路径问题;轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解:沿过A的圆柱的高剪开,得出矩形EFGH,
过C作CQ⊥EF于Q,作A关于EH的对称点A',连接A'C交EH于P,连接AP,则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离,
∵AE=A'E,A'P=AP,
∴AP+PC=A'P+PC=A'C,
∵CQ=×10=5cm,A'Q=12-3+3=12cm,
在Rt△A'QC中,A'C==13cm.
故答案为:13cm.
【分析】在侧面展开图中,过C作CQ⊥EF于Q,作A关于EH的对称点A',连接A'C交EH于P,连接AP,则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离,求出A'Q,CQ的长,在Rt△A'QC中,根据勾股定理求出A'C,即可解答.
14.(2022八下·通道期末)如图,四边形ABCD中,AB⊥BC,AB=4,BC=3,AD=12,CD=13,则四边形ABCD的面积是   .
【答案】36
【知识点】三角形的面积;勾股定理;勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解:连接AC,如图,
在△ABC中,AB⊥BC,AB=4,BC=3,
∴AC==5.
在△ADC中,AD=12,CD=13,AC=5.
∵122+52=132,即AD2+AC2=CD2,
∴△ADC是直角三角形,且∠DAC=90°,
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=AB BC+AC AD=×3×4+×5×12=36.
故答案为:36.
【分析】连接AC,根据勾股定理可得AC=5,则AD2+AC2=CD2,推出△ADC是直角三角形,且∠DAC=90°,然后根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC结合三角形的面积公式进行计算.
15.(2022八下·八公山期末)一个三角形的三边的比为5:12:13,它的周长为60,则它的面积是    .
【答案】120
【知识点】三角形的面积;勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解:设三角形的三边分别为5x,12x,13x,
则,

∴三角形的三边分别为10,24,26,
∵,
∴三角形为直角三角形,
∴三角形的面积为:,
故答案为:120.
【分析】先求出三角形的三边分别为10,24,26,再求出三角形为直角三角形,最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
16.(2022八下·海珠期末)在中,,,边上的中线,则的长为   .
【答案】13
【知识点】勾股定理;勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解:如图,
是边上的中线,



是直角三角形,


故答案为:13.
【分析】先求出BD=DC=5,再利用勾股定理计算求解即可。
17.(2022八下·老河口期中)如图,图中的所有四边形都是正方形,三角形是直角三角形,两个小正方形的面积分别是1,2,最大的正方形的面积等于   .
【答案】3
【知识点】勾股定理的应用;正方形的性质
【解析】【解答】解:∵两个小正方形的面积分别为1和2,
∴它们分别是直角三角形的两条直角边的平方,
则根据勾股定理可得:
故答案为:3.
【分析】根据勾股定理的几何意义得到,依此进行解答即可.
18.(2022八下·安庆期中)如图,这是某种牛奶的长方体包装盒,长、宽、高分别为5cm、4cm、12cm,插吸管处的出口到相邻两边的距离都是1cm,为了设计配套的直吸管,要求插入碰到底面后,外露的吸管长度要在3cm至5cm间(包括3cm与5cm,不计吸管粗细及出口的大小),则设计的吸管总长度L的范围是   .
【答案】16cm≤L≤17cm
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解:①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长,最长为17cm;
②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形,
底面距定点最远距离为5cm,高为12cm,
由勾股定理可得杯里面管长为=13cm,
∵外露的吸管长度要在3cm至5cm间
∴设计的吸管总长度L的范围是16cm≤L≤17cm.
故答案为16cm≤L≤17cm.
【分析】根据当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长,最长为17cm;再根据露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形,用勾股定理可得最短长度。
19.已知,如图,四边形ABCD中,AB=3cm,AD=4cm,BC=13cm,CD=12cm,且∠A=90°,则四边形ABCD的面积   .
【答案】36cm2
【知识点】勾股定理;勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解:连接BD,
∵AB=3cm,AD=4cm,∠A=90°,BC=13cm,CD=12cm,
∴BD= = =5cm.
∵122+52=132,即CD2+BD2=BC2,
∴△BCD是直角三角形,∠BDC=90°,
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD= ×3×4+ ×5×12=6+30=36cm2.
故答案为:36cm2.
【分析】连接BD,根据勾股定理求出BD的长,再由勾股定理的逆定理判断出△BCD的形状,由S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD即可得出结论.
20.(2022八下·长沙月考)已知a,b,c为三角形的三边,若有(a+c)2=b2+2ac,则这个三角形的形状是   三角形.
【答案】直角
【知识点】完全平方公式及运用;勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解:∵(a+c)2=b2+2ac,
∴ ,
即,
所以该三角形是直角三角形.
故答案为:直角.
【分析】利用完全平方公式对已知等式展开,然后进行整理可得a2+c2=b2,接下来根据勾股定理逆定理进行判断.
三、解答题(共6题,共60分)
21.(2022八下·无为期末)如图,一只小鸟旋停在空中A点,A点到地面的高度米,A点到地面C点(B、C两点处于同一水平面)的距离米.若小鸟竖直下降12米到达D点(D点在线段AB上),求此时小鸟到地面C点的距离.
【答案】解:由勾股定理得;,
∴(米),
∵(米),
∴在中,由勾股定理得,
∴此时小鸟到地面C点的距离17米.
答; 此时小鸟到地面C点的距离为17米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】先利用勾股定理求出BC的长,再利用线段的和差求出BD的长,最后利用勾股定理求出CD的长即可。
22.(2022八下·潜山期末)八(2)班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度,小强测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米(如图①),小云拉着绳子的下端往后退,当她将绳子拉直时,小晨测得此时小云拉绳子的手到地面的距离为1米,到旗杆的距离为8米(如图②),请你求出旗杆的高度.
【答案】解:设长为米,则绳子长为米,的长度为米.
在中,米,
米,米,
由勾股定理可得,,
解得:.
答:旗杆的高度为16米.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设长为米,则绳子长为米,的长度为米,利用勾股定理列出方程求解即可。
23.(2022八下·营口期末)如图,中,,点E是的中点,求的长.
【答案】解:在 中, ,

∴ ,
∵ ,
∵ , ,
∴ ,
∴ ,
∴ 是直角三角形,
∵点E是 的中点,
∴ .
【知识点】勾股定理的逆定理;直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】先利用勾股定理的逆定理证明 是直角三角形,再利用直角三角形斜边上中线的性质可得。
24.(2022八下·乾安期末)如图,有一架秋千,当它静止时,踏板离地的垂直高度DE=1m,将它往前推送4m(水平距离BC=4m)时,秋千的踏板离地的垂直高度BF=2m,秋千的绳索始终拉得很直,求绳索AD的长度.
【答案】解:在Rt△ACB中AC2+BC2=AB2,
设秋千的绳索长为xm,则AC=(x﹣1)m,
故x2=42+(x﹣1)2,
解得:x=8.5,
答:绳索AD的长度是8.5m.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据题意先求出 x2=42+(x﹣1)2, 再求解即可。
25.(2022八下·建昌期末)在如图所示的四边形草坪中,,,,,,求这块草坪的面积.
【答案】解:如图所示,连接,
∵,
∴在中,.
∵,
∴是直角三角形,
∴,
∴,
∴这块草坪的面积为216平方米.
【知识点】勾股定理的逆定理;几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】连接AC,先利用勾股定理证明是直角三角形,再利用三角形的面积公式和割补法求解即可。
26.(2022八下·陈仓期末)已知a、b、c是的三边,且满足,试判断的形状.阅读下面解题过程:
解:由得:


即③
∴为. ④
(1)试问:以上解题过程是否正确:
(2)若不正确,请指出错在哪一步?(填代号)   
(3)本题的结论应为   .
【答案】(1)错误
(2)③
(3)直角三角形或等腰三角形
【知识点】因式分解的应用;等式的性质;等腰三角形的判定;勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解:错误,理由是:
等式两边同除以a2-b2时,必须a2-b2≠0,但这里不能确定a2-b2≠0,
由得:

②,
当a2-b2=0时,等式成立,
∵a>0,b>0,
∴a=b;
当a2-b2≠0时,;
∴或a=b ③,
∴为等腰三角形或直角三角形. ④
故答案为:错误,③,直角三角形或等腰三角形.
【分析】由于②到③时等式两边都除以了a2-b2,如果a2-b2=0,根据等式的性质可知,此时③不一定成立,因此要分a2-b2=0和a2-b2≠0两种情况讨论.
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